Optymalizacja procesów sterowania z opóźnieniami

Transkrypt

1 Optymalizacja prcesów sterwania z późnieniami Prblem sterwania ptymalneg prcesami z późnieniami stanu plega na minimalizacji wskaźnika jakści G(x, u). = t1 t g(x(t), x(t r), u(t), t)dt + h(x(t 1 )) z uwzglȩdnieniem równania dynamiki prcesu ze skupinym późnieniem stanu r ẋ(t) = f(x(t), x(t r), u(t), t), t [t, t 1 ] i z zadanym funkcyjnym warunkiem pcz atkwym x(t) = ξ(t), t [t r, t ] raz z uwzglȩdnieniem graniczeń chwilwych sterwania u(t) U, t [t, t 1 ]. Stan funkcyjny x(t), t [t r, t ] nazywa siȩ stanem zupe lnym prcesu z późnieniami. Jeśli zadany jest zupe lny stan pcz atkwy takieg prcesu i jeg sterwanie, t równanie stanu prcesu z późnieniami psiada jednznaczne rzwi azanie w przedziale sterwania [t, t 1 ]. Wektr x(t) nazywa siȩ stanem chwilwym prcesu z późnieniami. W dalszym ci agu stswane s a znaczenia g(x, x, u, t), f(x, x, u, t), gdzie x jest argumentem późninym funkcji g i f. Na funkcjȩ g nak ladany jest warunek g(x, x,, t) = c znacza, że wyzerwanie sterwania wyzerwuje sk ladw a ca lkw a wskaźnika jakści. Warunek taki upraszcza bliczanie gradientu wskaźnika jakści zredukwaneg d przestrzeni sterwania. Z uwagi na z lżny charakter dynamiki klasy rzważanych prcesów d ich ptymalizacji stswane s a w pierwszej klejnści metdy kierunków pprawy takie jak metda najszybszeg spadku z antygradientem jak kierunkiem pprawy (jeśli U = R m ) lub z rzutwanym antygradientem jak kierunkiem pprawy (jeśli U jest wypuk lym zbirem dmkniȩtym). Wzór na gradient wskaźnika jakści 1

2 zredukwaneg d przestrzeni sterwania prcesu z późnieniami mżna uzyskać stsuj ac metdȩ wariacji funkcjna lu Lagrange a w pstaci t1 L(η, x, u) =. g(x(t), x(t r), u(t), t)dt + h(x(t 1 )) t t1 t + η T (t)(ẋ(t) f(x(t), x(t r), u(t), t))dt + η T (t)(x(t) ξ(t))dt. t t r Jeśli U = R m, t warunek knieczny ptymalnści prcesu sterwania przybiera pstać zerwania siȩ pierwszych wariacji funkcjna lu Lagrange a L η δη =, L x δx =, L u δu =, przy czym wariacja stanu w przedziale pcz atkwym jest zerwa δx(t) =, t [t r, t ] pnieważ ustalny jest warunek pcz atkwy ξ(t), t [t r, t ]. Zerwanie siȩ wariacji funkcjna lu L wzglȩdem zmiennej sprzȩżnej η prwadzi d równania stanu z funkcyjnym warunkiem pcz atkwym L η δη = ẋ(t) = f(x(t), x(t r), u(t), t), t [t, t 1 ], x(t) = ξ(t), t [t r, t ]. Zerwanie siȩ wariacji funkcjna lu L wzglȩdem zmiennej stanu x prwadzi d równania sprzȩżneg z funkcyjnym warunkiem kńcwym t1 L x δx = (g x (t)δx(t) + g x (t)δx(t r))dt + h x (x(t 1 ))δx(t 1 )+ t t1 + η T (t)(δẋ(t) f x (t)δx(t) f x (t)δx(t r))dt =. t Pdstawienia t =. t1 t1 r t r,...dt...d t, prwadz a d wyrażenia t1 t t r g x (t) g x ( t + r), η T (t)f x (t) η T ( t + r)f x (t + r) t (g x (t) η T (t)f x (t))δx(t)dt + t1 r t r (g x ( t + r) η T ( t + r)f x ( t + r)δx( t)d t +h x (x(t 1 ))δx(t 1 ) + η T (t 1 )δx(t 1 ) η T (t )δx(t ) η T (t)δx(t)dt =. t Zak ladamy funkcyjny warunek kńcwy na zmienne sprzȩżne w przedziale wyprzedzaj acym mment kńcwy przedzia lu sterwania t1 η(t) = h x (x(t 1 )), t [t 1, t 1 + r] 2

3 i zerwe sterwanie w tym przedziale tj. u(t) =, t [t 1, t 1 + r]. Bierzemy pd uwagȩ warunek δx =, t [t r, t ]. Stsuj ac pnwnie zamianȩ czasu uzyskujemy wyrażenie t1 t t, t1 t...dt t1 r t r...d t. t (g x (t) + g x (t + r) η T (t)f x (t) η T (t + r)f x (t + r) η T (t))δx(t)dt =. Uzyskujemy w ten spsób równanie sprzȩżne dla prcesu z późnieniami jak równanie różniczkwe z wyprzedzeniem η T (t) = η T (t)f x (t) η T (t + r)f x (t + r) + g x (t) + g x (t + r) i z funkcyjnym warunkiem kńcwym η T (t) = h x (x(t 1 )), t [t 1, t 1 + r]. Transpzycja i pdstawienie zmiennych prceswych daje w wyniku pe ln a pstać równania sprzȩżneg dla prcesu z późnieniem stanu jak wektrweg równania różniczkweg z wyprzedzeniem η(t) = f T x (x(t), x(t r), u(t), t)η(t) f T x (x(t + r), x(t), u(t + r), t)η(t + r) +g T x (x(t), x(t r), u(t), t) + g T x (x(t + r), x(t), u(t + r), t) z funkcyjnym warunkiem kńcwym η(t) = h x (x(t 1 )), t [t 1, t 1 + r]. Zerwanie siȩ wariacji funkcjna lu L wzglȩdem sterwania prwadzi d wzru na gradient wskaźnika jakści prcesu z późnieniami zredukwaneg d przestrzeni sterwania gdzie L u δu = t1 t H u (η(t), x(t), x(t r), u(t), t)δu(t)dt =, H(η(t), x(t), x(t r), u(t), t) =. g(x(t), x(t r), u(t), t)+η T (t)f(x(t), x(t r), u(t), t) jest funkcj a Hamiltna prblemu ptymalneg sterwania prcesami z późnieniami. Oznacza t, że wspmniany gradient wyraża siȩ wzrem J u (u)(t) = H u (η(t), x(t), x(t r), u(t), t), t [t, t 1 ]. 3

4 W prstych przypadkach sterwanie ptymalne mżna wyznaczyć z równania H u (η(t), x(t), x(t r), u(t), t) = np. na pdstawie przebiegu zmiennych sprzȩżnych. W trudniejszych przypadkach mżna ps lużyć siȩ metdami kierunków pprawy. Metda kierunków pprawy dla klasy rzważanych prblemów sterwania mże być kreślna nastȩpuj ac kreśl pcz atkwe sterwanie i funkcyjny warunek pcz atkwy stanu, wyznacz rzwi azanie równania stanu z późnieniem stanu, wyznacz rzwi azanie równania sprzȩżneg z wyprzedzeniem zmiennej sprzȩżnej, blicz gradient wskaźnika jakści w przestrzeni funkcyjnej sterwania jak pchdn a funkcji Hamiltna prblemu sterwania z późnieniami, blicz nwe sterwanie w kierunku antygradientu u + = u γju T (u) (jeśli U = R m ) lub w kierunku rzutwaneg antygradientu u + = π U (u γju T (u)) jeśli U jest dmkniȩtym zbirem wypuk lym z d lugści a krku γ kreśln a w wyniku minimalizacji kierunkwej wskaźnika jakści. Przyk lad: Minimalizacja dchylenia scylatra liniweg z późnieniem stanu d p lżenia równwagi. Zmiennymi prceswymi s a x 1 (t) - p lżenie scylatra w chwili t, x 2 (t) - prȩdkść scylatra w chwili t, u(t) - si la stabilizuj aca w chwili t. Należy zminimalizwać dchylenie scylatra z późnieniem amtyzatra d p lżenia równwagi z uwzglȩdnieniem strat energetycznych na sterwanie x 2 1(1) + x 2 2(1) + c 1 u 2 (t)dt przy graniczeniach w pstaci równań stanu z późnieniem ẋ 1 (t) = x 2 (t), t [, 1], ẋ 2 (t) = ax 1 (t r) + u(t), t [, 1], z funkcyjnym warunkiem pcz atkwym x 1 (t) = x 1, t [ r, ], x 2 (t) = x 2, t [ r, ]. 4

5 Zak ladamy, że si la ści agaj aca amrtyzatra przejawia swje dzia lanie p up lywie czasu r, c implikuje późnienie w drugim równaniu stanu. Równania sprzȩżne przyjmuj a pstać liniwych równań z wyprzedzeniem η 1 (t) = aη 2 (t + r), t [, 1], η 2 (t) = η 1 (t), t [, 1] z warunkami kńcwymi η 1 (t) = 2x 1 (1), t [1, 1 + r], η 2 (t) = 2x 2 (2), t [1, 1 + r]. Zapisujemy funkcjȩ Hamiltna prblemu H(t) = cu 2 (t) + η 1 (t)x 2 (t) + η 2 (t)( ax 1 (t r) + u(t)) i jej pchdn a H u (t) = 2cu(t) + η 2 (t). Z równania H u (t) = wynika, że sterwanie ptymalne wyrazi siȩ wzrem u (t) = 1 2c η 2(t), t [, 1]. W tym prstym przyk ladzie rzwi azujemy liniwe późnine równania stanu, liniwe wyprzedzne równania sprzȩżne i kreślamy sterwanie ptymalne na pdstawie przebiegu zmiennych sprzȩżnych. 5

6 Przyk lad: Minimalizacja dchylenia stabilneg scylatra nieliniweg z późnieniem stanu d p lżenia równwagi. Zmiennymi prceswymi s a x 1 (t) - p lżenie scylatra w chwili t, x 2 (t) - prȩdkść scylatra w chwili t, u(t) - si la stabilizuj aca w chwili t. Należy zminimalizwać dchylenie niestabilneg nieliniweg scylatra z późnieniem amtyzatra d p lżenia równwagi z uwzglȩdnieniem strat energetycznych na sterwanie x 2 1(1) + x 2 2(1) + c 1 u 2 (t)dt przy graniczeniach w pstaci równań stanu z późnieniem ẋ 1 (t) = x 2 (t), t [, 1], ẋ 2 (t) = ax 1 (t r) ãx 3 1(t r) + u(t), t [, 1], z funkcyjnym warunkiem pcz atkwym x 1 (t) = x 1, t [ r, ], x 2 (t) = x 2, t [ r, ]. Zak ladamy, że si la ści agaj aca amrtyzatra przejawia swje dzia lanie p up lywie czasu r, c implikuje późnienie w drugim równaniu stanu. Równania sprzȩżne przyjmuj a pstać nieliniwych równań z wyprzedzeniem η 1 (t) = (a + 2ãx 2 1(t))η 2 (t + r), t [, 1], η 2 (t) = η 1 (t), t [, 1] z warunkami kńcwymi η 1 (t) = 2x 1 (1), t [1, 1 + r], η 2 (t) = 2x 2 (2), t [1, 1 + r]. Przyk lad: Minimalizacja dchylenia scylatra nieliniweg z późnieniem stanu i z granicznym bszarem stabilnści lkalnej d p lżenia równwagi. Zmiennymi prceswymi s a x 1 (t) - p lżenie scylatra w chwili t, x 2 (t) - prȩdkść scylatra w chwili t, 6

7 u(t) - si la stabilizuj aca w chwili t. Należy zminimalizwać dchylenie niestabilneg nieliniweg scylatra z późnieniem amtyzatra d p lżenia równwagi z uwzglȩdnieniem strat energetycznych na sterwanie x 2 1(1) + x 2 2(1) + c 1 u 2 (t)dt przy graniczeniach w pstaci równań stanu z późnieniem ẋ 1 (t) = x 2 (t), t [, 1], ẋ 2 (t) = ax 1 (t r) + ãx 3 1(t r) + u(t), t [, 1], z funkcyjnym warunkiem pcz atkwym x 1 (t) = x 1, t [ r, ], x 2 (t) = x 2, t [ r, ]. Zak ladamy, że si la ści agaj aca amrtyzatra przejawia swje dzia lanie p up lywie czasu r, c implikuje późnienie w drugim równaniu stanu. Równania sprzȩżne przyjmuj a pstać nieliniwych równań z wyprzedzeniem η 1 (t) = (a 2ãx 2 1(t))η 2 (t + r), t [, 1], η 2 (t) = η 1 (t), t [, 1] z warunkami kńcwymi η 1 (t) = 2x 1 (1), t [1, 1 + r], η 2 (t) = 2x 2 (2), t [1, 1 + r]. W statnich dwóch przypadkach równania stanu i równania sprzȩżne maj a charakter nieliniwy. D ptymalizacji stswane s a metdy kierunków pprawy z bliczaniem gradientu zredukwaneg wskaźnika jakści za pmc a równań sprzȩżnych. 7

8 Przyk lad: Maksymalizacja uzysku bimasy we wsadwym bireaktrze sterwanym za pmc a bikatalizatra. Zmiennymi prceswymi s a x 1 (t) - stȩżenie substratu w bireaktrze w chwili t, x 2 (t) - stȩżenie ppulacji mikrbilgicznej w bireaktrze w chwili t, u(t) - intensywnść dzwania bikatalizatra w chwili t. Należy zmaksymalizwać stȩżenie ppulacji mikrbilgicznej w mmencie kńcwym cyklu funkcjnwania bireaktra wsadweg (t =, t 1 = 1) G(x, u). = x 2 (1) min uwzglȩdniaj ac równania dynamiki prcesu z późnieniem stanu ẋ 1 (t) = u(t)x 1 (t)ax 2 (t)/(b + x 2 (t)), t [, 1], ẋ 2 (t) = u(t)x 1 (t r)ax 2 (t)/(b + x 2 (t)), t [, 1], i z funkcyjnym warunkiem pcz atkwym x 1 (t) = x 1, t [ r, ], x 2 (t) = x 2, t [ r, ] raz z graniczeniem chwilwym sterwania Równania sprzȩżne przybieraj a pstać równań różniczkwych z wyprzedzeniem u(t) [, 1], t [, 1]. η 1 (t) = u(t) ax 2(t) b + x 2 (t) η ab 1(t) u(t + r) b + x 2 (t) η 2(t + r), t [, 1], ab η 2 (t) = u(t)x 1 (t) (b + x 2 ) η ab 1(t) u(t + r)x 2 1 (t) (b + x 2 (t)) η 2(t + r), t [, 1], 2 i z funkcyjnymi warunkami kńcwymi η 1 (t) =, t [1, 1 + r], η 2 (t) = x 2 (1), t [1, 1 + r]. Funkcjȩ Hamiltna prblemu mżna zapisać jak nastȩpuje H(t) = η 1 (t)u(t)x 1 (t) ax 2(t) b + x 2 (t) + η 2(t)u(t)x 1 (t r) ax 2(t) b + x 2 (t), 8

9 a gradient wskaźnika jakści jak funkcjȩ H u (t) = η 1 (t)x 1 (t) ax 2(t) b + x 2 (t) + η 2(t)x 1 (t r) ax 2(t) b + x 2 (t). Optymalne sterwanie cykliczne prcesów ze skupinymi późnieniami stanu i sterwania Mdele prcesów cyklicznych z późnieniami Prcesy z późnieniami recyrkulacyjnymi u(t) Obiekt sterwania Prces cykliczny bez późnień x(t) recykl wyjście Przyk lad: Rzważmy prces sterwania cykliczneg stȩżeniem substancji surwcwej A wprwadzanej d zbirnikweg reaktra chemiczneg dzia laniu ci ag lym, gdzie zachdzi jej przemiana w prdukt użyteczny B. Oznaczmy u(t) - stȩżenie substancji A w strumieniu wejściwym reaktra w chwili t, x(t) - stȩżenie substancji A w reaktrze w chwili t, q = 1 - jednstkwe natȩżenie przep lywu mieszaniny reaguj acej przez reaktr, Równanie stanu prcesu cykliczneg bez późnień ma pstać ẋ(t) = u(t) x(t) x 2 (t), t [, τ]. Obiekt sterwania zstaje bjȩty recyklem wprwadzaj acym późnienie stanu. h [, τ] - późnienie wprwadzane przez recykl, 9

10 γ - wspó lczynnik recyklu. Równanie stanu prcesu cykliczneg z późnieniem recyrkulacyjnym przybiera pstać ẋ(t) = (1 γ)u(t) + γx(t h) x(t) x 2 (t), t [, τ], Prblem ptymalneg sterwania cykliczneg dla rzważaneg przyk ladu plega na maksymalizacji wydajnści prcesu (tj. na minimalizacji średniej ilści nieprzereagwanej substancji surwcwej) z uwzglȩdnieniem równania stanu Q(x, u) = 1 τ x(t)dt ẋ(t) = (1 γ)u(t) + γx(t h) x(t) x 2 (t), t [, τ], chwilwych graniczeń stanu i sterwania raz średniej wydajnści źród la surwca x(t), u(t) 2, t [, τ], 1 τ u(t)dt = 1. Prblem ptymalneg sterwania statyczneg dla rzważaneg przyk ladu plega na maksymalizacji wydajnści prcesu na pzimie statycznym (tj. na minimalizacji średniej ilści nieprzereagwanej substancji surwcwej na pzimie statycznym) Q( x, ū) = x z uwzglȩdnieniem statyczneg równania stanu = (1 γ)ū + γ x x x 2, graniczeń zakresu zmiennych raz statyczneg pzimu eksplatacji źród la surwca x, ū 2, ū = 1. W statycznej wersji prblemu zanika zależnść równań stanu d późnienia h. 1

11 Prcesy z późnieniami wewnȩtrznymi u(t) Obiekt sterwania Prces cykliczny z późnieniami x(t) wyjście Przyk lad: Rzważmy prces sterwania cykliczneg stȩżeniem wejściwym substratu A wprwadzaneg d zbirnikweg bireaktra dzia laniu ci ag lym, gdzie zachdzi jeg przemiana w bimasȩ dknywana przez ppulacjȩ mikrbilgiczn a P zainstalwan a w bireaktrze. Substratem mże być specjalnie dbrana pżywka dla ppulacji P (prdukcja farmaceutyków), a także ścieki lub dpady (prcesy biczyszczania). Oznaczmy u(t) - stȩżenie substratu A w strumieniu wejściwym bireaktra w chwili t, x 1 (t) - stȩżenie substratu A w bireaktrze w chwili t, x 2 (t) - stȩżenie ppulacji P w bireaktrze w chwili t, q = 1 - jednstkwe natȩżenie przep lywu bimieszaniny przez bireaktr, Równania stanu cykliczneg biprcesu bez późnień maj a pstać dla substratu ẋ 1 (t) = u(t) x 1 (t) µ(x 1 (t))x 2 (t) t [, τ], dla ppulacji mikrbilgicznej ẋ 2 (t) = x 2 (t) + µ(x 1 (t))x 2 (t) t [, τ], gdzie µ(x 1 ) jest funkcj a przyrstu ppulacji np. µ(x 1 ) =. x 1 /(a + x 1 ) (funkcja Mnda przyrstu ppulacji z nasyceniem) lub µ(x 1 ) =. x β 1 (ptȩgwa funkcja przyrstu ppulacji), przy czym µ = µ µ (skalwania funkcji przyrstu ppulacji). Dla niektórych biprcesów charakterystyczne jest późnienie szybkści przyrstu ppulacji p zmianie stȩżenia substratu. Równania stanu cykliczneg bi- 11

12 prcesu z późnieniami przybieraj a pstać dla substratu ẋ 1 (t) = u(t) x 1 (t) µ(x 1 (t))x 2 (t) t [, τ], dla ppulacji mikrbilgicznej ẋ 2 (t) = x 2 (t) + µ(x 1 (t h))x 2 (t) t [, τ], gdzie h [, τ] jest późnieniem przyrstu ppulacji za zmianami stȩżenia substratu. Prblem ptymalneg sterwania cykliczneg dla rzważaneg przyk ladu plega na maksymalizacji wydajnści prcesu (tj. na maksymalizacji średnieg uzysku bimasy prprcjnalnej d stȩżenia ppulacji mikrbilgicznej) z uwzglȩdnieniem równań stanu Q(x, u) = 1 τ x 2 (t)dt dla substratu ẋ 1 (t) = u(t) x 1 (t) µ(x 1 (t))x 2 (t) t [, τ] i dla ppulacji mikrbilgicznej ẋ 2 (t) = x 2 (t) + µ(x 1 (t h))x 2 (t) t [, τ], chwilwych graniczeń stanu i sterwania raz średniej wydajnści źród la surwca x i (t), u(t) 2, t [, τ], 1 τ u(t)dt = 1. Prblem ptymalneg sterwania statyczneg dla rzważaneg przyk ladu plega na maksymalizacji wydajnści prcesu na pzimie statycznym (tj. na maksymalizacji uzysku bimasy na pzimie statycznym) Q( x, ū) = x 2 12

13 z uwzglȩdnieniem statycznych równań stanu dla substratu = ū x 1 µ( x 1 ) x 2 i dla ppulacji mikrbilgicznej = x 2 + µ( x 1 ) x 2, graniczeń zakresu zmiennych raz statyczneg pzimu eksplatacji źród la surwca x i, ū 2, ū = 1. Statyczna wersja prblemu nie zależy d późnienia h. Prblem ptymalneg sterwania cykliczneg (OSC) prcesami ze skupinymi późnieniami stanu i sterwania plega na maksymalizacji wskaźnika jakści w pstaci wartści średniej funkcji zysku chwilweg Q(x, u) = 1 τ g(x(t), u(t))dt przy graniczeniach bejmuj acych równanie stanu ze sta lymi skupinymi późnieniami stanu i sterwania ẋ(t) = f(x(t), x(t h 1 ), u(t), u(t h 2 ), t [, τ], zakresy dpuszczalnych wartści stanu i sterwania x(t) X, u(t) U, t [, τ] raz średni a wydajnść źróde l surwców i energii wykrzystywanych d realizacji prcesu 1 τ Bu(t)dt = u s, gdzie x Hτ 1,n jest cykliczn a trajektri a stanu prcesu, u Hτ,m jest cyklicznym sterwaniem, h 1 R + jest skupinym późnieniem stanu, h 2 R + jest skupinym późnieniem sterwania, X R n i U R m s a wypuk lymi zbirami dmkniȩtymi, B R q m jest macierz a graniczeń uśredninych sterwania, wektr u s R q charakteryzuje średni a dstȩpnść surwców i energii, zaś g : R n R m R, f : R n R n R m R m R n. 13

14 Przestrzeń Hτ r,n jest przestrzeni a τ-kreswych n-wymiarwych funkcji, których r-krtna pchdna jest ca lkwalna z kwadratem. Warunek kreswści trajektrii stanu jest zawarty w definicji przestrzeni trajektrii stanu. Warunek kreswści sterwania nie musi być frmu lwany w pstaci jawnej - sterwanie jest gólnie bir ac funkcj a nieci ag l a (jak element przestrzeni funkcji ca lkwalnych z kwadratem) i zawsze mże być kresw przed lużne na ca l a ś rzeczywist a. Ustalenie przebiegów stanu i sterwania redukuje rzważany prblem d prblemu ptymalneg sterwania statyczneg (OSS) plegaj aceg na maksymalizacji wskaźnika jakści dla statyczneg prcesu sterwania przy graniczeniach statycznych Q( x, ū) = f( x, x, ū, ū), x X, ū U, Bū = u s, gdzie ( x, ū) R n R m jest statycznym prcesem sterwania. Optymalny statyczny prces sterwania ( x, u) mżna stsunkw latw wyznaczyć stsuj ac metdy ptymalizacji skńczenie wymiarwej. Również jeg implementacja nie sprawia trudnści i sprwadza siȩ d prjektwania uk ladów stabilizacji stanu prcesu. Jednak prces taki mże zapewniać stsunkw nisk a wartść wskaźnika jakści. Dlateg analizwane s a warunki, przy których stswanie cykliczneg spsbu prwadzenia prcesu z póznieniami stanu i sterwania zwiȩksza jeg wydajnść w prównaniu z ptymalnym prcesem statycznym. W celu kreślenia warunków dminacji sterwania cykliczneg dla badanej klasy prblemów OSC prawa strna równań stanu znaczna zstanie jak f(x, x, u, ũ), gdzie x jest późninym stanem, a ũ jest późninym sterwaniem. Wprwadzne zstan a zwarte znaczenia dla wielkści kreślnych na ptymalnym statycznym prcesie sterwania g = g( x, u), ḡ x = g x ( x, u), f = f( x, x, u, u), f x = f x ( x, x, u, u), f x = f x ( x, x, u, u) itp.. Za lżenia, przy których uzyskane zstan a warunki dminacji, s a pstaci: 1) ptymalny statyczny prces sterwania leży wewn atrz bszaru dpuszczalneg tj. ( x, u) Int(X U), 14

15 2) funkcje g i f s a dwukrtnie różniczkwalne w spsób ci ag ly wzglȩdem argumentów x, x, u, ũ w tczeniu ptymalneg prcesu statyczneg, 3) wartści w lasne macierzy f x + f x e jωh 1 maj a niezerwe czȩści rzeczywiste. Za lżenie 1) pzwala na lżyć s lab a harmniczn a wariacjȩ sterwania (tj. wariacjȩ sterwania ma lej amplitudzie) na ptymalny statyczny prces sterwania bez wyprwadzania prcesu dynamiczneg z późnieniami pza bszar dpuszczalny. Za lżenie 2) umżliwia wykrzystanie drugiej wariacji wskaźnika jakści d analizy w lasnści prcesu cykliczneg z późnieniami. Jest t isttne ze wzglȩdu na zerwanie siȩ pierwszej wariacji teg wskaźnika dla prcesów cyklicznych z późnieniami. Za lżenie 3) zapewnia istnienie transmitancji widmwej prcesu z póznieniami, c jest niezbȩdne dla uzyskania warunków dminacji prcesów sterwania cykliczneg. Wspmniane warunki dminacji kreślne zstan a za pmc a metdy s labych harmnicznych wariacji ptymalneg sterwania statyczneg. Wariacje te znaczane bȩd a jak u + u, gdzie u(t) = ɛδu(t), ɛ jest ma lym ddatnim parametrem, δu(t)= k=±1 u k ejkωt jest pierwsz a harmniczn a szeregu Furiera sterwania w pstaci zesplnej ze wspó lczynnikami zesplnymi sprzȩżnymi u κ C m, a ω = 2π/τ jest czȩsttliwści a sterwania. Okreswa trajektria stanu zwi azana ze sterwaniem u + u mże być przedstawina na pdstawie metdy ma leg parametru w nastȩpuj acej pstaci x + x, x(t) = ɛδx(t) + (ɛ), gdzie δx(t) = k=±1 x k ejkωt jest czȩści a liniw a wzglȩdem ɛ zaburznej trajektrii stanu, zaś (ɛ) jest jej czȩści a nieliniw a wzglȩdem ɛ spe lniaj ac a warunek lim (ɛ)/ɛ =. ɛ Czȩść liniwa zaburznej trajektrii stanu wyznaczana jest przez rzwi azanie zlinearyzwaneg równania stanu na ptymalnym prcesie statycznym tj. przez rzwi azanie równania δẋ(t) = f x δx(t) + f x δx(t h 1 ) + f u δu(t) + f ũδu(t h 2 ). P pdstawieniu pierwszych harmnicznych sterwania i stanu δu(t) = u k e jkωt, δx(t) = x k e jkωt k=±1 k=±1 15

16 uzyskuje siȩ jkωx k e jkωt = f x k=±1 f u k=±1 k=±1 u k e jkωt + x k e jkωt + f ũ k=±1 f x k=±1 u k e jkω(t h2). x k e jkω(t h 1) + Z prównania wspó lczynników Furiera prawej i lewej strny statnieg równania wynika, że (jkωi n f x f x e jkωh 1 )x k = ( f u + f ũe jkωh 2 )u k, k = ±1. Zdefiniwanie transmitancji widmwej prcesu z późnieniami stanu i sterwania w pstaci G h1 h 2 (jkω) = (jkωi n f x f x e jkωh 1 ) 1 ( f u + f ũe jkωh 2 ) umżliwia wyrażenie zesplnych wspó lczynników Furiera pierwszej harmnicznej trajektrii stanu za pmc a zesplnych wspó lczynników Furiera pierwszej harmnicznej sterwania x k = G h1 h 2 (jkω)u k, k = ±1, przy czym dpwiednia macierz dwrtna istnieje na pdstawie za lżenia 3). Czȩść liniwa zaburznej trajektrii stanu wyraża siȩ wiȩc wzrem δx(t) = G h1 h 2 (jkω)u k e jkωt, k=±1 a jej wariant późniny jest pstaci δx(t h 1 ) = k=±1 G h1 h 2 (jkω)u k e jkωt, gdzie G h1 h 2 (jkω) = G h1 h 2 (jkω)u k e jkωh 1. Warunek dstateczny dminacji sterwania kresweg prcesu ze skupinymi późnieniami stanu i sterwania uzyskany zstanie za pmc a metdy funkcjna lów Lagrange a. Funkcjna l dpwiedni dla klasy rzważanych prcesów przybiera pstać L(τ, x, u, λ) = 1 τ 16 g(x(t), u(t))dt+

17 1 τ λ T (f(x(t), x(t h 1 ), u(t), u(t h 2 )) ẋ(t))dt, τ gdzie zak ladana jest statyczna pstać mnżnika Lagrange a λ R n z uwagi na analizwanie w lasnści prcesu sterwania zaburzneg w tczeniu ptymalneg prcesu statyczneg. Uwzglȩdnienie w funkcjnale L jedynie graniczeń w pstaci równań stanu jest mtywwane tym, że pzsta le graniczenia prblemu OSC s a autmatycznie spe lnine przy za lżeniach 1) i 2). Ograniczenia chwilwe s a zachwane dla dstatecznie ma lej wartści parametru ɛ, a graniczenia uśrednine wyzerwuj a siȩ dla harmnicznych wariacji sterwania. Jeśli kreślić funkcjȩ Hamiltna prblemu OSC jak funkcjȩ H(x(t), x(t h 1 ), u(t), u(t h 2 ), λ) = g(x(t), u(t))+ λ T f(x(t), x(t h 1 ), u(t), u(t h 2 )), t funkcjna l L mżna zapisać w pstaci wartści średniej funkcji Hamiltna prcesu z późnieniami stanu i sterwania L(τ, x, u, λ) = 1 τ H(x(t), x(t h 1 ), u(t), u(t h 2 ))dt. Bir ac pd uwagȩ tżsamść Lagrange a Q(τ, x, u) = L(τ, x, u, λ), zachdz ac a dla wszystkich dpuszcalnych prcesów sterwania z późnieniami stanu i sterwania, mṅa prównać funkcjȩ celu dla prcesu zaburzneg i ptymalneg prcesu statyczneg krzystaj a z równści Q(τ, x + x, u + u) Q( x, u) = L(τ, x + x, u + u, λ) L( x, u, λ). Z uwagi na kniecznść eliminacji nieznanej wielkści (ɛ) w rzwiniȩciu funkcjna lu L w szereg Taylra pierwszeg rzȩdu stswane jest rzwiniȩcie teg funkcjna lu w szereg Taylra drugieg rzȩdu wzglȩdem stanu, stanu późnineg, sterwania i sterwania późnineg 1 τ ( H x x(t) + 1 2τ L(τ, x + x, u, λ) L( x, u, λ) H x x(t h 1 ) + H u u(t) + ( Hũ u(t h 2 ))dt ( x T (t) H xx x(t) + x T (t) H x x x(t h 1 )+ x T (t) H xu u(t) + x T (t) H xũ u(t h 2 )+ 17

18 x T (t h 1 ) H xx x(t) + x T (t h 1 ) H xx x(t h 1 )+ x T (t h 1 ) u T (t) u T (t) H xu x(t) + x T (t) H xũ x(t h 2 )+ H xx x(t) + u T (t) H x x x(t h 1 )+ H uu u(t) + u T (t) H uũ u(t h 2 )+ u T (t h 2 ) Hũx x(t) + u T (t h 2 ) Hũ x x(t h 1 )+ u T (t h 2 ) Hũu u(t) + u T ) (t h 2 ) Hũũ u(t h 2 ) dt +( ( x, u) 2 ). W lasnści wartści średniej prcesów kreswych ( nie zależy na d mmentu pcz atkweg jej bliczania) zapewniaj a równść 1 τ = 1 τ ( H x x(t) + ( H x x(t) + H x x(t h 1 ))dt H x x(t))dt. Zerwanie siȩ pierwszej wariacji funkcjna lu L zachdzi wiȩc przy wybrze mnżnika Lagrange a z warunku H x + H x = tj. λ = (( f x + f x ) 1 ) T g T x. Zredukwanie pierwszej wariacji funkcjna lu L i pdstawienie x(t) = ɛδx(t) + (ɛ) prwadzi d rzwiniȩcia funkcjna lu L pstaci ɛ 2 2τ L(τ, x + x, u + u, λ) L( x, u, λ) = ( δx T (t) H xx δx(t) + x T (t) H x x δx(t h 1 )+ δx T (t) δx T (t h 1 ) δx T (t h 1 ) δu T (t) H xu δu(t) + δx T (t) H xũ δu(t h 2 )+ H xx δx(t) + δx T (t h 1 ) H xx δx(t h 1 )+ H xu δx(t) + δx T (t) H xũ δx(t h 2 )+ H xx δx(t) + δu T (t) H x x δx(t h 1 )+ 18

19 δu T (t) H uu δu(t) + δu T (t) H uũ δu(t h 2 )+ δu T (t h 2 ) Hũx δx(t) + δu T (t h 2 ) Hũ x δx(t h 1 )+ δu T (t h 2 ) Hũu δu(t) + δu T ) (t h 2 ) Hũũ δu(t h 2 ) dt Redukcja wyrażeń typu 1 τ Be 2jkωt dt =, +(ɛ 2 ). 1 τ Be 2jkωt dt = dla macierzy B niezależnej d czasu pzwala uzyskać nastȩpuj ace wyrażenie dla przyrstu funkcji celu prcesu kresweg Q(τ, x + x, u + u) Q( x, u) = ɛ 2 ξ Π h1 h 2 (ω)ξ + (ɛ 2 ) gdzie zależna d czȩsttliwści macierz Π h1 h 2 (ω) ma pstać G h 1 h 2 (jω) G h 1 h 2 (jω) Π h1 h 2 (ω) = H xx G h1 h 2 (jω) + G h 1 h 2 (jω) H x x Gh1 h 2 (jω)+ G h 1 h 2 (jω) G h 2 (jω) H xu + G h 1 h 2 (jω) H xu G h2 (jω)+ H xx G h1 h 2 (jω) + G h 1 h 2 (jω) H x x Gh1 h 2 (jω)+ G h 1 h 2 (jω) H xu + G h 1 h 2 (jω) H xũ G h2 (jω)+ H ux G h1 h 2 (jω) + H uu + H u x Gh1 h 2 (jω)+ Hũx G h2 (jω)+ H xx G h1 h 2 (jω) + G h 2 (jω) H x x Gh1 h 2 (jω)+ G h 2 (jω) zaś G h2 (jω) = e jkωh 2, a ξ C m H xu + G h 2 (jω) H xũ G h2 (jω), jest m-wymiarwym wektrem zesplnym kreślnym przez wspó lczynnik u 1 pierwszej harmnicznej sterwania. 19

20 Z przedstawinej analizy w lasnści prcesu sterwania cykliczneg z późnieniami stanu i sterwania wynika nastȩpuj acy Algrytm drugiej wariacji wskaźnika jakści dla badania dminacji prcesów sterwania cykliczneg ze skupinymi późnieniami stanu i sterwania 1) bliczyć ptymalny statyczny prces sterwania ( x, u), 2) wyznaczyć pmcnicze pchdne rzȩdu pierwszeg g x, g x, f x, f x, f u, f ũ, i mnżnik Lagrange a λ, 3) kreślić transmitancje widmwe G h1 h 2 (jω), G h1 h 2 (jω), G h2 (jω), G h2 (jω), 4) wyznaczyć pmcnicze hesjany cz astkwe funkcji Hamiltna H xx, H xx, H x x, H xu, H xũ,..., H uu, 5) zestawić frmȩ macierzw a ξ Π h1 h 2 (ω)ξ i dla wybraneg wektra ξ zbadać jej przebieg w funkcji czȩsttliwści wydzielaj ac pasm czȩsttliwści ddatnich wartściach frmy pi dla prcesu z póznieniami 6) kreślić dminuj ace sterwanie kreswe na pdstawie wzru u(t) = u + 2ɛ(Re(ξ)csˆωt Im(ξ)sinˆωt), gdzie czȩsttliwść ˆω wyznaczana jest na pdstawie przebiegu krzywej dminacji, 7) zbadać wp lyw późnień h 1 i h 2 na pstać sterwania dminuj aceg kreślaj ac krzywe dminacji dla różnych wartści h 1 i h 2. Przyk lad: Rzważmy prces sterwania cykliczneg stȩżeniem substancji surwcwej A wprwadzanej d zbirnikweg reaktra chemiczneg dzia laniu ci ag lym, gdzie zachdzi jej przemiana w prdukt użyteczny B. Obiekt sterwania bjȩty jest recyklem wprwadzaj acym pźnienie stanu. Oznaczmy u(t) - stȩżenie substancji A w strumieniu wejściwym reaktra w chwili t, x(t) - stȩżenie substancji A w reaktrze w chwili t, q = 1 - jednstkwe natȩżenie przep lywu mieszaniny reaguj acej przez reaktr, h [, τ] - późnienie wprwadzane przez recykl, γ =.5 - wspó lczynnik recyklu. 2

21 Prblem ptymalneg sterwania cykliczneg dla rzważaneg przyk ladu plega na maksymalizacji wydajnści prcesu (tj. na minimalizacji średniej ilści nieprzereagwaneg prduktu) z uwzglȩdnieniem równania stanu Q(x, u) = 1 τ x(t)dt ẋ(t) =.5u(t) x(t) +.5x(t h) x 2 (t), t [, τ], chwilwych graniczeń stanu i sterwania raz średniej wydajnści źród la surwca x(t), u(t) 2, t [, τ], 1 τ u(t)dt = 1. Prblem ptymalneg sterwania statyczneg dla rzważaneg przyk ladu plega na maksymalizacji wydajnści prcesu na pzimie statycznym (tj. na minimalizacji średniej ilści nieprzereagwaneg prduktu na pzimie statycznym) Q( x, ū) = x z uwzglȩdnieniem statyczneg równania stanu graniczeń zakresu zmiennych =.5ū x +.5 x x 2, x, ū 2, raz statyczneg pzimu eksplatacji źród la surwca.5, ū = 1. W ramach algrytmu badania dminacji sterwania cykliczneg wyznaczamy ptymalny prces statyczny ( x, u) = (.5, 1), pmcnicze pchdne pierwszeg rzȩdu g x = 1, mnżnik Lagrange a λ = 2/5, 21 f x = 3, f x =.5, f u =

22 pmcnicze pchdne drugieg rzȩdu czyli hesjany cz astkwe funkcji Hamiltna H(x(t), u(t), λ) = x(t) + λ(.5u(t) x(t) +.5x(t h) x 2 (t)), które przyjm a pstać H xx = 4/5, transmitancjȩ widmw a i jej sprzȩżenie G h (jω) = frmȩ macierzw a pi.5 jω + 3.5e jωh, G h(jω) =.5 jω + 3.5e jωh, ξ Π(ω)ξ = ξ 2 4/5 (3.5 cs ωh) 2 + (ω +.5 sin ωh) 2. Pnieważ frma ta jest ddatnia, t dla każdej czȩsttliwści istnieje dminuj ace sterwanie cykliczne. Jednak najlepszych efektów mżna spdziewać siȩ dla sterwania niskczȩsttliwściweg zharmnizwaneg z późnieniem prcesu. 22