2. O Elementach Euklidesa

Transkrypt

1 2. O Elementach Euklidesa Powszechnie wiadomo, Ŝe księgi, jak ludzie, starzeją się, najczęściej dość szybko. Nieliczne tylko dzieła trwają przez wieki. Tymczasem geometrię według Euklidesa studiowano w ciągu tysięcy lat i chociaŝ Elementy Euklidesa przestały być juŝ w XX w. podręcznikiem w szkołach, to dla filozofów, historyków a takŝe matematyków, wciąŝ Ŝyją Ŝyciem twórczym oraz inspirują do twórczej refleksji. Niestety brakuje juŝ nowych przekładów tego dzieła, a te które są, są dostępne w czytelniach niektórych wielkich bibliotek. W bibliotekach takich jak Biblioteka Jagielońska są teŝ dostępne przekłady na język polski, np. Euklidesa początków geometryi ksiąg ośmioro, to iest sześć pierwszych, jedenesta i dwunasta z przypisami dla poŝytku młodzi akademickiey wytłumaczone przez Józefa Czecha, nakładem i drukiem Iózefa Zawadzkiego typografa Imperatowskiego Wileńskiego Uniwersytetu, Wilno Większa część treści Elementów dostępna jest jednak, w wersji dostosowanej do wykładu geometrii, w podręcznikach szkolnych z XIX w. i pierwszej połowy XX w. O Ŝyciu Euklidesa wiadomo bardzo mało. JuŜ pierwszy komentator Elementów, neoplatonik Proklos ( n.e.), nie mógł wskazać ani miejsca urodzenia, ani daty jego urodzin i zgonu. Korzystając z wielu źródeł, drogą pośrednią, Proklos doszedł do wniosku, Ŝe Euklides Ŝył w Aleksandrii za czasów Ptolemeusza I ( p.n.e.), moŝna więc rok 300 p.n.e. uznać w przybliŝeniu za rok powstania Elementów. Według Proklosa Euklides był zwolennikiem Platona, o czy miała świadczyć docelowa, XIII księga Elementów poświęcona wielościanom foremnym, a skądinąd wiadomo, Ŝe wielościany te szczególnie waŝną rolę odgrywały w teorii kosmologicznej Platona. Jednak, na silny wpływ filozofii Platona wskazuje całe dzieło Euklidesa, w którym opisywane są najbardziej elementarne i idealne cechy przedmiotów składające się na wszelkie inne idealne cechy, ponadto, aby zrozumieć pewne niejasne i osobliwe dla późniejszych komentatorów i matematyków miejsca wykładu Euklidesa, naleŝy sięgnąć do poglądów Platona, innymi słowy, naleŝy załoŝyć, Ŝe Euklides był zwolennikiem Platona. Np. Euklides posługuje się pojęciem ruchu, uŝywając je w definicjach, postulatach oraz konstrukcjach, ale nie jest to pojęcie ruchu substancji czy Ŝywiołów, lecz ruchu wiecznych idei, ruchu idealnego, określającego takie relacje między ideami, jak zstępowanie, podstawianie, przedłuŝanie i kontynuację, nakładanie przez przesuwanie i obrót. Są to więc relacje niezaleŝne od upływu czasu. Zgodnie z poglądami Platona, geometria jest nauką dotycząca poznania bytu wiecznego, poznania idei, które nadają kształt temu co się kiedyś czymś staje i znowu ginie. Np. wielościany foremne nadają kształt elementarnym Ŝywiołom: Ŝywiołowi ognia jako najbardziej lekkiemu i ruchliwemu przysługuje kształt czworościanu, powietrzu kształt ośmiościanu, ziemi - sześcianu, zaś wodzie dwudziestościanu, wielościan piąty, dwunastościan, pozostaje niewykorzystany i jak sądził Platon, bóstwo postanowiło go uŝyć do nadania kształtu wszechświatowi. Oprócz wpływu filozoficznej szkoły Platona na wybór przez Euklidesa idei pierwotnych przyświecających pisaniu Elementów był wpływ panującego wtedy systemu logicznego oraz koncepcji nauki dedukcyjnej rozpowszechnionych przez Arystotelesa. KaŜda nauka dedukcyjna (wiedza demonstratywna) mówi Arystoteles w Analitykach opiera się na pewnych pierwszych elementach : definicjach, postulatach i aksjomatach, a dowodami są sylogizmy, w których występują zdania kategoryczne wynikające z postulatów i aksjomatów. Definicje nie twierdzą nic o istnieniu lub nieistnieniu definiowanego przedmiotu. Istnienie przedmiotów, którym przysługują terminy pierwotne (nie dające się zdefiniować w oparciu o wcześniejsze terminy) przyjmujemy; istnienie wśród przyjętych przedmiotów tych, którym przysługują inne terminy niŝ pierwotne dowodzimy. Z tego punktu widzenia Elementy Euklidesa w pełni spełniają wymagania Arystotelesa.

2 2.1 Definicje grupy pierwszej Zgodnie z załoŝeniami nauki dedukcyjnej propagowanymi juŝ przez Arystotelesa, definicje podane w Elementach są określeniami terminów geometrii przy pomocy najogólniejszych terminów, wspólnych dla wszystkich nauk a opisanych przez aksjomaty. Z tego powodu, pojęcia pierwotne geometrii Euklides określa w sposób następujący: 1. Punkt jest tym, co nie ma części lub nie ma Ŝadnej wielkości. 2. A linia jest to długość bez szerokości. 3. A końcami (kresami) linii są punkty. 4. Linią prostą jest ta, która jest jednakowo połoŝona względem punktów na niej leŝących. 5. Powierzchnią jest to, co ma tylko długość i szerokość. 6. A kresami powierzchni są linie. 7. Powierzchnią płaską jest ta, która jest jednakowo połoŝona względem prostych na niej leŝących. 8. A kąt płaski jest to wzajemne nachylenie dwóch linii schodzących się w płaszczyźnie, ale nie połoŝonych wzdłuŝ prostej. 9. A gdy linie zawierające kąt są proste, to kąt nazywamy prostoliniowym. 10. A kiedy prosta wystawiona na prostej tworzy kąty przyległe równe między sobą, to kaŝdy z tych równych kątów jest prosty, a wystawiona prostą nazywamy prostopadłą do tej, na której została wystawiona. 11. Kąt rozwarty jest większy od prostego. 12. A kąt ostry jest mniejszy od prostego. 13. Granicą jest to co jest czegoś kresem. 14. Figurą jest to, co się zawiera wewnątrz jakiegokolwiek lub jakichkolwiek kresów. 15. Koło jest figurą płaską ograniczoną linią, zwaną okręgiem, taką Ŝe wszystkie proste poprowadzone z jednego punktu wewnątrz figury połoŝonego do tej linii są między sobą równe. 16. Punkt ten nazywamy środkiem okręgu. 17. Średnica koła to prosta przechodząca przez środek i kończąca się z obu stron na okręgu. Dzieli ona koło na polowy. 18. Półkole to figura ograniczona średnica i tą częścią okręgu koła, którą obejmuje średnica. Środkiem półkola jest środek koła. 19. Figury prostokreślne to figury ograniczone prostymi. Trójkąt to figura prostokreślna ograniczona trzema prostym. Czworobok lub czworokąt to figura prostokreślna, która jest ograniczona czterema prostymi. Wielobok lub wielokąt to figura prostokreślna ograniczona więcej niŝ czterema prostymi. 20. Trójkąt równoboczny to trójką, który ma trzy boki równe. Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma tylko dwa boki równe. Trójkąt róŝnoboczny to trójkąt, który ma trzy boki nierówne. 21. Ponadto: trójkąt prostokątny to trójkąt, który ma kąt prosty. Trójkąt rozwartokątny to trójkąt, który ma kąt rozwarty. Trójkąt ostrokątny to trójkąt, który ma trzy kąty ostre. 22. Kwadrat jest to czworobok mający równe boki i równe kąty. Romb (kwadrat ukośny) jest to czworobok mający równe boki, ale nie mający katów prostych. Równoległobok jest to czworobok mający boki przeciwległe równe, ale nie mający katów prostych. Wszystkie czworoboki inne niŝ wyŝej wymienione nazywamy czworokątami. 23. Linie równolegle, czyli mówiąc krócej równoległe to są proste, które leŝą na tej samej płaszczyźnie i przedłuŝane z obu strony w nieskończoność, z Ŝadnej strony się nie przetną.

3 2.2 Postulaty wymagania, Ŝądania Proklos w swoich komentarzach do Elementów Euklidesa pisał o aksjomatach i postulatach, Ŝe Postulat i aksjomat róŝnią się od siebie tak, jak róŝnią zadanie i twierdzenie, nawet jeŝeli obydwa są niedowodliwe; postulat ujmujemy w tym sensie, Ŝe coś da się łatwo wykonać, w przypadku aksjomatu zaś jesteśmy zgodni, Ŝe chodzi o coś, co łatwo jest pojmowalne.... inni chcieliby powiedzieć, Ŝe postulaty dotyczą tego, co właściwe materii geometrycznej, aksjomaty zaś są tym, co naleŝy do ogólnej teorii ilości (liczbowych) i wielkości (przestrzennych).... Te wyjaśnienia Proklosa oddają niestety tylko dobór treści postulatów, ale nic nie mówią o celu formułowania postulatów postulaty wykorzystywane są we wszystkich konstrukcjach geometrycznych oraz w dowodach do wykazywania istnienia przedmiotów o danych cechach. Postulaty zakładają potencjalne istnienie wszystkich rozwaŝanych w geometrii przedmiotów, wyznaczanych przez punkty: linie proste, okręgi, kąty, przecinające się proste. Oto wykaz postulatów, które Euklides nazywa wymaganiami lub Ŝądaniami: 1. Zakłada się, Ŝe od kaŝdego punktu do kaŝdego punktu moŝna poprowadzić linię prostą. 2. I Ŝe ograniczoną prostą moŝna ciągle przedłuŝać po prostej. 3. I z kaŝdego środka kaŝdym rozwarciem moŝna zakreślić okrąg. 4. I Ŝe wszystkie kąty proste są równe między sobą. 5. I jeŝeli prosta padająca na dwie równe proste tworzy po jednej stronie kąty wewnętrzne, które w sumie są mniejsze od dwóch prostych kątów, to proste przedłuŝone nieograniczenie schodzą się po tej stronie, po której kąty te są w sumie mniejsze od dwóch prostych. 2.3 Aksjomaty pojęcia ogólne Aksjomaty nazywane są przez Euklidesa pojęciami ogólnymi, gdyŝ opisują najbardziej ogólne w naukach dedukcyjnych terminy i stosunki pomiędzy tymi terminami. Znanych jest pięć aksjomatów: 1. Równe jednemu i temu samemu są między sobą równe. 2. I jeŝeli do równych dodaje się równe, to i otrzymane całości są równe. 3. I jeŝeli od równych odejmuje się równe, to reszty są równe. 4. I wzajemnie przystające są między sobą równe. 5. I całe jest większe od części. Najbardziej kontrowersyjny dla komentatorów okazał się aksjomat 4, o którym sądzono, Ŝe nie jest ogólny, gdyŝ dotyczy tylko geometrii a nie takŝe innych nauk. Jednak, jeśli uwzględni się zwrot wzajemnie przystające, mogący oznaczać przedmioty tego samego kształtu (równokształtne, czy tak samo zbudowane), o tych samych cechach i tych samych rozmiarów, to widzimy, Ŝe aksjomat ten i współcześnie jest niezbędny do zrozumienia oraz ustalenia tego kiedy dwa przedmioty są identyczne, jest więc jak najbardziej ogólny oraz ma zastosowanie we wszystkich naukach. Niesłuszne jest dodawanie przez niektórych komentatorów postulatów 4 i 5 jako ustalających pojęcia ogólne oraz aksjomatów o odejmowaniu, podwajaniu i o połowach wielkości, gdyŝ moŝna je sylogistycznie uzasadnić na podstawie wyŝej wymienionych pojęć ogólnych.

4 2.4 Spis treści Elementów Księga I - elementarne konstrukcje, twierdzenia, o przystawaniu, pola wielokątów, twierdzenia Pitagorasa Księga II arytmetyka geometryczna Księga III geometria koła Księga IV konstrukcje wielokątów foremnych Księga V Eudoksosa teoria stosunków Księga VI figury podobne Księgi VII-VIII teoria liczb Księga X Teajteta klasyfikacja pewnych liczb niewymiernych Księga XI stereometria, objętości brył Księga XII znajdowanie pól i objętości Eudoksosa metodą wyczerpywania (całkowania) Księga XIII konstrukcja pięciu wielościanów foremnych oraz nieistnienie innych foremnych. 2.5 Wybrane fragmenty zagadnień Elementów (Filozofia matematyki, Wybór i opracowanie Roman Mórawski, WN UAM, Poznań 1994, s ) Zagadnienie 1: problem Na danej prostej wykreślić trójkąt równoboczny. Niech dana będzie prosta AB, na prostej AB trzeba wykreślić trójkąt równoboczny (rys. 1). Ze środka A długością prostej AB zakreślamy (postulat 3) koło BCD; ze środka B długością AB zakreślamy koło ACE; z punktu C, w którym okręgi tych kół przecinają się poprowadzimy (postulat 2) do punktów A, B proste CA, CB. Trójkąt ABC będzie równoboczny. PoniewaŜ punkt A jest środkiem koła BCD, więc prosta A będzie równa prostej AB (definicja 15); poniewaŝ równieŝ punkt B jest środkiem koła CAE więc prosta BC będzie równa prostej BA; dowiedziono, Ŝe prosta CA jest równa prostej BA; kaŝda więc z dwóch linii prostych CA, CN jest równa prostej AB. Wielkości zaś równe tej samej wielkości są równe między sobą (aksjomat 1); zatem prosta CA jest równa prostej CB; proste więc CA, AB, BC są sobie równe, a stąd trójkąt ABC jest równoboczny i wykreślony na danej prostej AB. Co było do rozwiązania. Zagadnienie 2: problem Z danego punktu poprowadzić prostą równą prostej danej. Niech będzie dany punkt A i prosta BC; z punktu A poprowadzić naleŝy prostą równą prostej BC (rys.2). Poprowadzimy z punktu A do punktu B prostą AB (postulat 1) i na niej wykreślimy trójkąt równoboczny DAB (zagadnienie 1); przedłuŝmy proste AE, BF w kierunku w kierunku boków DA, DB (postulat 2) i ze środka B długością prostej BC zakreślmy koło CGH (postulat 3), a ze środka D długością prostej DG koło DGH. PoniewaŜ punkt B jest środkiem koła CGH, więc prosta BC będzie równa prostej BG (definicja 15) oraz poniewaŝ punkt D jest środkiem koła GKI, więc prosta DI będzie równa prostej DG. PoniewaŜ prosta DA jest równa DB, więc w konsekwencji prosta AI jest równa

5 prostej BG (aksjomat 3). KaŜda więc z dwóch prostych AL, BC jest równa prostej BG; wielkości zaś równe tej samej wielkości są między sobą równe, stąd prosta AI jest równa prostej BC. Z danego więc punktu A poprowadzona została prosta AI równa danej prostej BC. Co było do rozwiązania. Zagadnienie 3: problem Mając dane dwie nierówne proste odciąć z większej z nich prostą mniejszą. Niech dane będą dwie proste nierówne AB oraz C, z których AB niech będzie większa; z prostej AB naleŝy odciąć prostą C. Z punktu A wyprowadzimy prostą AD równą prostej C (zagadnienie 1) i ze środka A długością prostej AD zakreślimy koło DEF (postulat 3). PoniewaŜ A jest środkiem koła DEF, więc prosta AE będzie równa prostej AD; ale równieŝ prosta C jest równa prostej C (aksjomat 1). Mając więc dane dwie proste nierówne AB i C, z większej odcięta została prosta AE równa mniejszej z prostych, czyli C. Co było do rozwiązania. Zagadnienie 4: twierdzenie JeŜeli dwa boki jednego trójkąta są równe dwom bokom drugiego trójkąta i jeŝeli równe są teŝ kąty zawarte między tymi równymi bokami, to podstawa jednego trójkąta będzie równa podstawie drugiego, trójkąty te będą sobie równe oraz równe będą i pozostałe kąty zawarte między równymi bokami. Niech będą dane dwa trójkąty ABC, DEF, które mają dwa boki AB, AC równe dwom bokom DE, DF, tzn. bok AB niech będzie równy bokowi DE, a bok AC bokowi DF. Niech teŝ kąt BAC będzie równy kątowi EDF. Twierdzę, Ŝe podstawa BC jest równa podstawie EF oraz Ŝe trójkąt ABC jest równy trójkątowi DEF i pozostałe kąty obu trójkątów teŝ są równe, tj. kąt ABC jest równy kątowi DEF, a kąt ACB równy kątowi DFE. JeŜeli przyłoŝymy do trójkąta DEF, tak by punkt A pokrył się z punktem D, prosta zaś AB przystawała do prostej DE, to punkt B pokryje się z punktem E, poniewaŝ prosta AB jest równa prostej DE, to równieŝ prosta AC przystawać będzie do prostej DF, poniewaŝ kąt BAC jest równy kątowi DEF. RównieŜ punkt C pokryje się z punktem F, gdyŝ prosta AC jest równa prostej DF. Punkt B pokrył się jednak z punktem E, zatem podstawa BC przystaje do podstawy EF. Gdyby bowiem, mimo Ŝe punkt B pokrywa się z punktem E, a punkt C z punktem F, podstawa BC nie przystawała do podstawy EF, to obie proste zawierałyby miejsce, co jest niemoŝliwe (bowiem dwie proste nie zawierają miejsca współczesny komentarz ). Zatem podstawa BC przystawać będzie do podstawy EF i będzie jej równa. Stąd teŝ cały trójkąt ABC przystawać będzie do całego trójkąta DEF i będzie mu równy, a pozostałe kąty przystawać będą do siebie i będą sobie równe, tzn. kąt ABC katowi DEF i kąt ACB katowi DFE. JeŜeli więc dwa boki w jednym trójkącie równe są dwom bokom w drugim trójkącie i jeŝeli kąty zawarte między tymi bokami równymi są takŝe równe, to podstawa jednego trójkąta będzie równa podstawie drugiego trójkąta i te dwa trójkąty będą sobie równe oraz kąty pozostałe zawarte między równymi bokami tych dwu trójkątów będą sobie równe.