Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09
|
|
- Czesław Brzozowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie). 7 marca 2009 r. 1. Na płaszczyźnie dany jest trójkąt ABC. Ile co najwyżej może istnieć takich punktów D różnych od C, że proste AB i CD są prostopadłe, a przy tym <) ACB = <) ADB?. Z równości kątów wynika, że punkt D leży na tym łuku AB okręgu opisanego na trójkącie ABC, który zawiera punkt C lub na odbiciu symetrycznym tegoż łuku względem prostej AB (zrób rysunek w przypadku, gdy łuk jest większy od półokręgu). Figura będąca sumą tych dwóch łuków ma z prostą prostopadłą do prostej AB co najwyżej 4 punkty wspólne. 10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, liczba przekątnych wielokąta, porównywanie pól wielokątów w oparciu o proste zależności geometryczne jak np. przystawanie i zawieranie, rozpoznawanie przystających konfiguracji geometrycznych. 14. Dla której liczby naturalnej n w dowolnym n-kącie wypukłym liczba przekątnych jest k razy większa od liczby boków, jeżeli a) k = 2 b) k = c) k = 5 d) k = 10 Liczba przekątnych w n-kącie wypukłym jest równa n(n )/2, skąd otrzymujemy k = n, 2 czyli n = 2k +. W konsekwencji otrzymujemy następujące odpowiedzi a) k = 2, n =7 b) k =, n =9 c) k = 5, n =1 d) k = 10, n =2 Szkice rozwiązań Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego
2 15. Dla których liczb naturalnych n istnieje n-kąt wypukły, którego każdy kąt wewnętrzny ma miarę 60 lub 160? Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta jest równa (n 2) 180. Załózmy, że wielokąt ma k kątów równych 60 i n k kątów równych 160. Wówczas porównanie sumy kątów prowadzi do równania 180(n 2) = 60k +160(n k), co daje kolejno 180n 60 = 160n 100k 20n+100k = 60. Pamiętajmy przy tym, że 0 k n. Przy tym ograniczeniu powyższe równanie jest spełnione przez 4 pary (n,k): (,), (8,2), (1,1), (18,0). Nietrudno stwierdzić, że w każdym przypadku istnieje wielokąt o zadanych kątach. Dla n=, 8, 1 i Dziewięciokąt A 1 A 2 A...A 9 jest foremny. Wyznaczyć miary kątów trójkąta a) A 1 A A 7 b) A 2 A A 8 c) A A 4 A 5 a) kąty przy wierzchołkach A 1, A, A 7 mają miary odpowiednio 80, 60, 40 b) kąty przy wierzchołkach A 2, A, A 8 mają miary odpowiednio 100, 60, 20 c) kąty przy wierzchołkach A, A 4, A 5 mają miary odpowiednio 20, 140, Dany jest dwunastokąt foremny A 1 A 2 A...A 12. Dla podanych dwóch przekątnych wskazać trzecią przekątną przechodzącą przez ich punkt przecięcia. a) A 1 A 7, A A 9 b) A 1 A 5, A 2 A 8 c) A 1 A 5, A A 7 d) A 1 A 6, A 4 A 9 a) A k A k+6, k = 2,4,5,6 b) A A 11 c) A 4 A 10 d) A 5 A Dany jest jedenastokąt foremny A 1 A 2 A...A 11. Połączyć podane czworokąty w pary czworokątów przystających a) A 1 A 2 A 4 A 9 b) A 1 A A 7 A 11 Szkice rozwiązań Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego
3 c) A 1 A 4 A 10 A 11 d) A 1 A 6 A 9 A 10 e) A 1 A 4 A 6 A 11 f) A 1 A 2 A A 9 g) A 1 A 6 A 8 A 11 h) A 1 A A 4 A 8 Które czworokąty mają równe pola? Pary czworokątów przystających to: a) - d) b) - h) c) - f) e) - g) Równe pola mają ponadto a), d), e), g). 19. Dany jest 1-kąt foremny A 1 A 2 A...A 1. Dla podanych i, j wskazać taką liczbę k, że trójkąt A i A j A k jest trójkątem równoramiennym ostrokątnym a) i = 1, j = 2 b) i = 1, j = 5 c) i = 1, j = 6 d) i = 1, j = 7 a) i = 1, j = 2, k =8 b) i = 1, j = 5, k =9 (lub k =10) c) i = 1, j = 6, k =9 (lub k =10 lub k =11) d) i = 1, j = 7, k =8 (lub k =1) 140. Który punkt wewnątrz trójkąta równobocznego ma najmniejszą sumę odległości od jego boków? Każdy ma taką samą Który punkt wewnątrz trójkąta równobocznego ma najmniejszą sumę odległości od jego wierzchołków? Środek ciężkości Który punkt wewnątrz kwadratu ma najmniejszą sumę odległości od jego boków? Każdy ma taką samą. 14. Który punkt wewnątrz kwadratu ma najmniejszą sumę odległości od jego wierzchołków? Punkt przecięcia przekątnych. Szkice rozwiązań Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego
4 144. W wierzchołkach kwadratu o boku 1 km znajdują się 4 domy. Czy można zbudować sieć dróg o łącznej długości mniejszej od 2 2 km, umożliwiającą dojście z każdego domu do każdego innego? Tak. Można zbudować sieć dróg o łącznej długości równej 1+ km. W tym celu zamiast narzucającego się połączenia domów ze środkiem kwadratu, należy utworzyć dwa rozwidlenia. Z każdego z nich powinny wychodzić drogi tworzące kąty 120. Dwie z tych dróg powinny prowadzić do dwóch sąsiednich wierzchołków kwadratu, a trzecia do drugiego rozwidlenia Obliczyć pole sześciokąta formenego o boku 1. Ponieważ sześciokąt foremny można zbudować z 6 trójkątów równobocznych o boku 1, a pole każdego trójkąta jest równe /4, otrzymujemy 6 4 = Obliczyć pole dwunastokąta formenego o boku 1. Na każdym boku sześciokąta foremnego zbudujmy kwadrat. Łącząc odpowiednie wierzchołki kwadratów otrzymamy dwunastokąt foremny zbudowany z sześciokąta foremnego, 6 kwadratów i 6 trójkątów równobocznych. Zatem pole dwunastokąta jest równe = W 101-kącie foremnym pomalowano na czerwono dowolne 52 wierzchołki. Dowieść, że istnieje trójkąt równoramienny, którego wszystkie wierzchołki są czerwone. Wybierzmy dowolny czerwony wierzchołek i poprowadźmy przez niego prostą zawierającą średnicę okręgu opisanego na 101-kącie. Wówczas pozostałych 100 wierzchołków 101-kąta tworzy 50 par wierzchołków symetrycznych względem tej prostej. Wśród tych wierzchołków, 51 jest czerwonych, istnieje więc co najmniej jedna para złożona z dwóch czerwonych wierzchołków. Para ta w połączeniu z wierzchołkiem wybranym na początku, wyznacza trójkąt równoramienny spełniający warunki zadania. 11. Zadanie na pożegnanie Czy wykresy funkcji f(x) = 2 x oraz g(x) = x się przecinają? Nietrudno ustalić, że w pobliżu zera wykresy się nie przecinają, a przy tym f(x) < g(x) dla x niezbyt odległych od zera. Szkice rozwiązań Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego
5 Pierwsza myśl: Funkcja wykładnicza rośnie szybciej niż funkcja wielomianowa, zatem wartości funkcji f powinny dla dużych x przewyższyć wartości funkcji g. Stąd wynika, że wykresy się przetną. Dla pełnej precyzji matematycznej wypadałoby w tym miejscu skorzystać z własności Darboux funkcji ciągłych, jednak możemy ten element potraktować bardziej intuicyjnie. Doprecyzowanie: Spróbujmy porównać wartości funkcji f i g dla konkretnych wartości argumentu. Ze względu na postać funkcji f najlepiej do tego celu nadają się potęgi dwójki. I tak dla x = 128 otrzymujemy oraz skąd oraz skąd Dla x = 256 otrzymujemy f(128) = g(128) = , f(128) < g(128). f(256) = g(256) = , f(256) > g(256). Zatem wykresy funkcji f i g przecinają się - punkt przecięcia odpowiada pewnemu argumentowi z przedziału (128, 256). Refleksja: Dla x = 128 wykres funkcji wielomianowej jest jeszcze powyżej wykresu funkcji potęgowej. Przy tym f(128) = 2 128, Gdzie znajduje się punkt wykresu funkcji f odpowiadający x = 128? Przyjmując za jednostkę na osiach 1 cm oraz zakładając rozmiar wszechświata rzędu cm, stwierdzamy, że ten punkt znajduje się kilkadziesiąt miliardów wszechświatów dalej. Wykresy funkcji f i g już dawno opuściły nasz wszechświat, a jeszcze daleko im do przecięcia! Sytuacji nie uratuje nawet przyjęcie na osiach jednostki równej średnicy elektronu (rząd wielkości 10 1 cm). Wykresy funkcji f i g nadal nie przecinają się w obrębie naszego wszechświata. Czy możemy więc jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie postawione w treści zadania? Szkice rozwiązań Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego
10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta,
10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, liczba przekątnych wielokąta, porównywanie pól wielokątów w oparciu o proste zależności geometryczne jak np. przystawanie i zawieranie, rozpoznawanie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
GEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
I. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
I. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk
PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)
Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania
SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...
Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Podstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś
Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne
rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne
rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa
Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka
Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj
Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12
Geometria płaska - matura 010 1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają ługości 7cm i 4 7cm. Wysokość poprowazona z wierzchołka kąta prostego ma ługość: 1 5 A. 7cm B. cm C. 8 7cm D. 7 7cm 5 7. Miara
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner
Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych
Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.
Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny)
edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny) Stopień Rozdział 1. Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:
KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:
KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum
wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby
MATURA probna listopad 2010
MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log
Wymagania edukacyjne na poszczególne stopnie szkolne klasa III
Wymagania edukacyjne na poszczególne stopnie szkolne klasa III Rozdział 1. Bryły - wie, czym jest graniastosłup, graniastosłup prosty, graniastosłup prawidłowy - wie, czym jest ostrosłup, ostrosłup prosty,
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI
Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?
Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +
1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Liczby rzeczywiste: Uczeń otrzymuje ocenę ( jeśli rozumie i stosuje podpowiedź nauczyciela)oraz
ARKUSZ II
www.galileusz.com.pl ARKUSZ II W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D)
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 klasa 2 (pp)
Kod ucznia Nazwisko i imię ucznia M A T E M A T Y K A klasa -(pp) MAJ 07 Czas pracy: 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron (zadania -4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY
5 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY DATA: 30 MAJA 2017 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:000 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW
Geometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 142033 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Pole trójkata
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.
Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x
. Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw
PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Wersja testu A 25 września 2011
1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)
ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM
ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.
Tematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY:
ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY: KLASA II GIMNAZJUM Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je zatem opanować
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM
REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Wielokąty i Okręgi- zagadnienia
Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
2 Figury geometryczne
Płaszczyzna, proste... 21 2 igury geometryczne 1 Płaszczyzna, proste i półproste P 1. Wypisz proste, do których: a) prosta k jest równoległa, o n k l b) prosta p jest prostopadła, m c) prosta k nie jest
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne
XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne Zadanie. 4 Rozwiąż równanie 07 sin( ). Wiadomo, że: wyrażenie 4 przyjmuje wartości nieujemne dla każdego
A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje