Elementy. Elementy. Wrocław, 24 marca 2010
|
|
|
- Wacław Sowa
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wrocław, 24 marca 2010
2 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny
3 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce
4 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce Księgi XI XIII geometrii brył
5 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce Księgi XI XIII geometrii brył Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25% (Księga X)
6 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce Księgi XI XIII geometrii brył Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25% (Księga X) Każda z pozostałych to około 5 8% całości dzieła.
7 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny
8 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów
9 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów
10 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu
11 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)
12 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie
13 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD
14 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe
15 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe
16 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne
17 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył
18 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)
19 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos) XIII: bryły platońskie
20 Źródła naszej wiedzy O matematyce przed Euklidesem wiemy z książki Eudemosa z Rodos (ok do -300), ucznia Arystotelesa. Napisał książkę o historii matematyki, książka zaginęła, ale pewne jej fragmenty przepisał w Komentarzach do Euklidesa Proklos, zyjący w latach (czyli 700 lat po Euklidesie). Najstarsze egzemplarze Elementów jakie znamy, pochodzą z około 880 roku, od czasów Euklidesa minęło do ich napisania więcej czasu, niż od ich napisania do chwili obecnej!
21 Co napisał Eudemos Poczatki wiedzy geometrycznej pochodza z Egiptu, bo tam wylewy Nilu zmusiły ludzi od mierzenia np. pól powierzchni (czyli powierzchni pól). Arytmetykę rozwinęli Fenicjanie, gdyż potrzebna była do handlu i obrotu pieniężnego. Pitagoras przekształcił matematykę w jedną ze sztuk wyzwolonych, badając jej twierdzenia w sposób intelektualny i niematerialny. Hipokrates z Chios badał księżyce i napisał pierwsze elementy. Platon wielce przyczynił się do rozwoju matematyki, bo uważał studiowanie jej za sprawę pierwszej wagi (napis na wejściu do akademii). Bardzo też dbał o ścisłość definicji, wprowadził pewne postulaty itp. Teajtet, Eudoksos,... (uczniowie Platona)
22 Matematyka Greckie słowo mathema µαθηµα oznaczało kiedyś to, czego się uczymy, wiedza i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków. Greckie manthanein oznacza uczyć się. Inne języki: angielski mind
23 Matematyka Greckie słowo mathema µαθηµα oznaczało kiedyś to, czego się uczymy, wiedza i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków. Greckie manthanein oznacza uczyć się. Inne języki: angielski mind sanskryt man = myśleć
24 Matematyka Greckie słowo mathema µαθηµα oznaczało kiedyś to, czego się uczymy, wiedza i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków. Greckie manthanein oznacza uczyć się. Inne języki: angielski mind sanskryt man = myśleć łacina mens = dusza (mens sana in corpore sano)
25 Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje
26 Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje 5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii)
27 Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje 5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii) 5 common notions - aksjomatów dotyczących nie tylko wielkości geometrycznych
28 Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje 5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii) 5 common notions - aksjomatów dotyczących nie tylko wielkości geometrycznych 48 twierdzeń
29 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB
30 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta
31 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach...
32 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach... Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.
33 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach... Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie. Tw. 47.
34 Księga II Księga dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4
35 Księga II Księga dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
36 Księga II Księga dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklides w języku geometrii.
37 Księga II Księga dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklides w języku geometrii. Twierdzenie 14 mówi, że dla każdego czworokąta da się skonstruować kwadrat o takim samym polu (a co z kołem!?).
38 Księga III Księgia III poświęcona jest okręgom: kąty w okręgach, dwusieczne, cięciwy, styczne do okręgów itp.
39 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny
40 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne.
41 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r-kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r, s)=1, to umiemy skonstruować r s-kąt foremny.
42 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r-kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r, s)=1, to umiemy skonstruować r s-kąt foremny. Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, to umiemy skonstruować k-kąt foremny.
43 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r-kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r, s)=1, to umiemy skonstruować r s-kąt foremny. Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, to umiemy skonstruować k-kąt foremny. Stąd konstrukcje wystarczy przeprowadzić dla wielokątów foremnych o p bokach, gdzie p > 2 jest liczbą pierwszą.
44 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:
45 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1.
46 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną).
47 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną
48 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.
49 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku. W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisując konstrukcję kąta foremnego...
50 Kolejne księgi W V mamy proporcje między wielkościami abstrakcyjnymi (porównaj: Arystoteles Etyka nikomachejska, str. 172). W tym figury podobne. W VI proporcje i pola. W VII użycie proporcji do mierzenia liczb. Algorytm Euklidesa (Twierdzenie VII.1), NWD i liczby pierwsze. Twierdzenie VII.31 Dowód używa faktu: każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy.
51 Dowód z Księgi W księdze IX Elementów znajduje się poniższe twierdzenie: Jest wiecej liczb pierwszych niż jakakolwiek ustalona ilość liczb pierwszych.
52 Dowód z Księgi Jest też dowód: Niech a, b, c będą liczbami pierwszymi. Twierdzę, że istnieje więcej liczb pierwszych niż a, b, c. W tym celu rozważmy liczbę d = abc + 1. Albo jest ona pierwsza albo ma czynnik pierwszy (Tw. VII.32). Jeśli jest pierwsza, to znaleźliśmy liczby pierwsze a, b, c, d, których jest więcej niż a, b, c. Jeśli nie jest pierwsza, ale ma czynnik pierwszy g, to twierdzę, iż g nie jest równa żadnej spośród a, b, c. Przypuśćmy, że jest przeciwnie (tzn. g jest jedną spośród a, b, c). Wtedy g dzieli abc, ale g dzieli abc + 1. Stąd g powinna dzielić liczbę 1, co jest absurdem. Zatem g nie jest równa żadnej spośród a, b, c, więc a, b, c, g są pierwsze.
53 Erdös i dowody z Księgi Węgierski, podróżujący całe życie matematyk Paul Erdös ( ) twierdził, że Bóg ma Księgę, w której zapisane są idealne dowody wszystkich twierdzeń. Przykładem takiego dowodu jest właśnie dowód Euklidesa o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych.
54 Piąty aksjomat Księga I Elementów jest wyjątkowa. Wszystkie pozostałe mają co najwyżej definicje, po których następują twierdzenia. Dlaczego? Może pozostałe aksjomaty (dla liczb) uważano za oczywiste? Można tylko spekulować.
55 Geometria absolutna Twierdzenia geometrii płaszczyzny, które nie można wyprowadzić bez piątego postulatu tworzą geometrię absolutną. Oto przykład takiego twierdzenia: Twierdzenie I. 27 Jeśli prosta przecina dwie proste tak, że kąty odpowiadające są równe, to te dwie proste są równoległe. Wariantem powyższego jest kolejne Twierdzenie I. 28 Jeśli kąty G i H są równe, to proste AB i CD są równoległe. Jeśli suma kątów H oraz przyległego do G ma 180, to AB i CD są równoległe.
56 Odwracamy Twierdzenie I.27 Twierdzenie I.29. Jeśli proste AB i CD są równoległe, to kąty α i β są równe. Wspaniałe twierdzenie: aby sprawdzić równoległość prostych, należałoby sprawdzić, czy się przecinają, więc trzeba przedłużyć je w nieskończoność! Twierdzenie mówi, że wystarczy sprawdzić lokalnie: zmierzyć kąty. Do dowodu KONIECZNY jest Piąty Postulat (o równoległych).
57 Inne konsekwencje Piątego Postulatu Suma wewnetrznych kątów trójkąta jest równa dwóm kątom prostym. (Twierdzenie I.32). Ta własność charakteryzuje trójkąt w klasie wielokątów. Immanuel Kant podał ją w Krytyce czystego rozumu jako przykład syntetycznego sądu apriori to znaczy absolutnie pewnej wiedzy, niewynikającej z naszego doświadczenia. Z tego twierdzenia wynika, że suma kątów w n-kącie jest równa (n 2)π. Jakob Steiner wyprowadził z tego ostatniego faktu wzór Eulera dla wielościanów wypukłych: W + S K = 2.
58 Próby poprawienia Piątego Postulatu G. Saccheri opublikował w 1733 roku ksiażkę Euklides od wszelkich defektów uwolniony. Badał tam czworokąt o trzech kątach prostych. Wówczas czwarty kąt może być ostry albo prosty albo rozwarty. Kąt prosty równoważny jest Piątemu Postulatowi. Kąt rozwarty przeczy istnieniu linii o nieskończonej długości. Z założenia, że kąt jest ostry wyprowadził wiele wniosków, o których wierzył, że przeczą innym (absolutnym) twierdzeniom Euklidesa. Ale się mylił. Starożytni próbowali zastąpić go prostszym - próby nie powiodły się. W roku 1663 John Wallis wykazał, że zdanie istnieją trójkąty podobne o różnych polach implikuje Piąty Postulat.
59 Geometria na sferze Do zrozumienia innych rodzajów geometrii potrzebne jest pojecie linii geodezyjnej: to najkrótsza linia łącząca dwa punkty. Na przykład na sferze jest to łuk koła wielkiego, wyznaczonego przez te punkty. W takiej geometrii, gdy za proste przyjmiemy koła wielkie, to dostajemy inną geometrię: w niej nie ma w ogóle prostych równoległych, bo każde dwie proste przecinają się.
60 Geometria na sferze Trójkąt w tej geometrii to figura wyznaczona przez trzy punkty i łuki kół wielkich, wyznaczonych przez pary punktów. Zauważmy, że suma kątów każdego trójkąta ma ponad 180. Jak wykazał J. H. Lambert, pole takiego trójkąta (na sferze o promieniu 1) jest równe nadmiarowi tego trójkąta tzn. sumie kątów minus π.
61 Bolyai, Łobaczewski i Gauss Około roku 1830 J. Bolyai, N. Łobaczewski i K. Gauss niezależnie zbudowali geometrie oparte na zaprzeczeniu Piątego Postulatu. Założyli, że przez dany punkt można poprowadzić więcej niż jedną prostą równoległą do zadanej. I otrzymali inną geometrię. W niej pewne twierdzenia, ale nie było zgody co do tego, czy ta teoria nie jest wewnętrznie sprzeczna. Gauss wyników nie opublikował (nie chciał krzyku Beotów ).
62 Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej),
63 Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej), prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x 2 + y 2 = 1);
64 Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej), prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x 2 + y 2 = 1); izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względem średnic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu dysku;
65 Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej), prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x 2 + y 2 = 1); izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względem średnic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu dysku; inwersje zadane są wzorem: dla a < 1 określamy I a (z) = a z 1 āz. Zauważmy, że I a(a) = 0 oraz I a (I a (z)) = z.
66 Geometria hiperboliczna Zadanie. Dane są: prosta L i punkt A. Poprowadzić przez A więcej niż jedną prostą równoległą do L. Ile jest prostych, które nie mają punktów wspólnych z L? Model Poincarego jest konforemny, to znaczy hiperboliczne kąty między prostymi są takie same jak kąty euklidesowe (liczone dla stycznych w punkcie przecięcia łuków). Łatwo obliczać odległość od (0,0): punkt leżący w euklidesowej odległości r [0, 1) od (0, 0) znajduje się w hiperbolicznej odległości 1 1+r 2 ln 1 r od (0,0). Odległości innych par punktów łatwo obliczyć, przesuwając jeden z nich do (0, 0) za pomocą izometrii. Dwie proste są równoległe, jeśli ich jedynym punktem wspólnym jest punkt graniczny (na okręgu). Dwie proste, które w ogóle nie mają punktów wspólnych (nawet granicznego) to nadrównoległe.
Elementy. Elementy. Wrocław, 16 marca 2016
Wrocław, 16 marca 2016 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik.
Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego
Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
GEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI
Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Podstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk
PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać
Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:
Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Bukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum
wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby
Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli
Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Wielokąty foremne. (Konstrukcje platońskie)
Wielokąty foremne (Konstrukcje platońskie) 1 Definicja 1. Wielokąt wypukły nazywa się foremny, jeżeli ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe. Przykładami wielokątów foremnych są trójkąt równoboczny,
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII Uczeń na ocenę dopuszczającą: - zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim, - umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie rzymskim
O geometrii nieeuklidesowej. Andrzej Kotański
O geometrii nieeuklidesowej Andrzej Kotański Plan 1. Rys historyczny 2. Zaprzeczenie piątego pewnika Euklidesa 3. Modele geometrii eliptycznej i hiperbolicznej 4. Modele Beltramiego i Poincarego 5. Kąt
Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII
Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII Temat 1. System rzymski. 2. Własności liczb naturalnych. 3. Porównywanie
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Lista działów i tematów
Lista działów i tematów Gimnazjum. Klasa 1 Liczby i działania Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Zaokrąglenia liczb. Szacowanie wyników Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich Mnożenie i dzielenie
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019 Zasada trzech etapów (jeszcze raz) Trzy etapy, enaktywny, ikoniczny
Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x
. Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
Matematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Twierdzenie Pitagorasa
Imię Nazwisko: Paweł Rogaliński Nr indeksu: 123456 Grupa: wtorek 7:30 Data: 10-10-2012 Twierdzenie Pitagorasa Tekst artykułu jest skrótem artykułu Twierdzenie Pitagorasa zamieszczonego w polskiej edycji
FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 7 Lang: Pole powierzchni kuli Nierówność dla objętości skorupki: (pow. małej kuli) h objętość skorupki
ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 h
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:
Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
WYMAGANIA EDUKACYJNE
GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie II gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
WYMAGANIA EDUKACYJNE
SZKOŁA PODSTAWOWA W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie 8 Szkoły Podstawowej str. 1 Wymagania edukacyjne
Wielokąty i Okręgi- zagadnienia
Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli
WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM
Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań
Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii
Matematyka klasa II kryteria oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych opracowano na podstawie programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ 1. POTĘGI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6 Lang: Długość okręgu. pole pierścienia będę chciał znaleźć inne wyrażenie na pole pierścienia. oszacowanie
Jednokładność i podobieństwo
Jednokładność i podobieństwo Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Iloczynem niezerowego wektora u przez liczbę rzeczywistą s 0 nazywamy wektor v spełniający następujące dwa warunki: 1) v =
Przedmiotowy system oceniania z matematyki kl.ii
DZIAŁ 1. POTĘGI Matematyka klasa II - wymagania programowe zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym (K) umie zapisać potęgę w postaci iloczynu (K) umie zapisać iloczyn jednakowych czynników
Matematyczne słowa Autorki innowacji: Jolanta Wójcik Magda Kusyk
Szkoła Podstawowa im Kornela Makuszyńskiego w Łańcuchowie Krzyżówki matematyczne klasy V, które powstały jako efekt realizacji innowacji pedagogicznej Matematyczne słowa Autorki innowacji: Jolanta Wójcik
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie
LX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 IM. ŚW. JANA KANTEGO W ŻOŁYNI. Wymagania na poszczególne oceny klasa VIII Matematyka z kluczem
SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 IM. ŚW. JANA KANTEGO W ŻOŁYNI Wymagania na poszczególne oceny klasa VIII Matematyka z kluczem I. Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016 Dział Na ocenę dopuszczającą Na ocenę dostateczną Na ocenę dobrą POTĘGI PIERWIASTKI Uczeń: zna i rozumie pojęcie o
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2016/2017 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2) P podstawowy - ocena dostateczna (3) R rozszerzający -
REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM
REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
Kod ucznia Liczba punktów WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJÓW W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 04.01.2018 1. Test konkursowy zawiera 20 zadań. Są to zadania zamknięte i otwarte. Na ich rozwiązanie
Jeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne
rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa II program Matematyka z plusem POTĘGI POZIOM KONIECZNY ocena dopuszczająca zapisać potęgę w postaci iloczynu zapisać iloczyn jednakowych czynników w postaci potęgi
ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY:
ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY: KLASA II GIMNAZJUM Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je zatem opanować
MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, - sposób i potrzebę zaokrąglania liczb, - pojęcie wartości bezwzględnej,
Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum
Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum Opracowano na podstawie planu realizacji materiału nauczania matematyki Matematyka Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja Praca zbiorowa pod
SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM NA ROK SZKOLNY 2017/2018
SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM NA ROK SZKOLNY 2017/2018 1. Ocena niedostateczna: Uczeń nie opanował wiadomości i umiejętności przewidzianych podstawą programową. Ocenę
Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner
Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna:
Ewa Koralewska LP... OGÓLNA PODSTA- WA PROGRA MOWA b c PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem TEMATYKA LEKCJI LICZBA GODZIN Lekcja organizacyjna. Liczby.
Ułamki i działania 20 h
Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie
WYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT
WYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA System rzymski. Powtórzenie i utrwalenie umiejętności z zakresu podstawy
Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami: