Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019

Transkrypt

1 Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019

2 Zasada trzech etapów (jeszcze raz) Trzy etapy, enaktywny, ikoniczny i symboliczny powinny (jeśli to możliwe) występować na wszystkich poziomach kształcenia. W nauczaniu przedszkolnym i w szkole podstawowej nacisk kładziemy na dwa pierwsze etapy, w nauczaniu ponadpodstawowym na dwa ostatnie.

3 Zasada trzech etapów przykład reprezentacja ikoniczna reprezentacja symboliczna f: 1,2,3,4 2,4,6,8, f x = 2x

4 Zasada trzech etapów przykład (cd.) Trzy reprezentacje pojęcia mieszają się. Jako działanie można uważać definiowanie rozpatrywanej funkcji w programie komputerowym.

5 Struktura wiedzy matematycznej pojęcia pierwotne pojęcia definiowane za pomocą pojęć pierwotnych aksjomaty prawa logiki oczywiste twierdzenia rozumowania pojęcia (definicje) mniej oczywiste twierdzenia c c rozumowania pojęcia (definicje) jeszcze mniej oczywiste twierdzenia c rozumowania

6 Przykład Pojęcia pierwotne w geometrii: punkt, prosta, płaszczyzna itd. Definicje, np. odcinek, kąt prosty. Aksjomaty, np. tzw. piąty postulat.

7 Euklides Elementy Punkt jest tym, co nie ma części lub nie ma żadnej wielkości. A linia jest to długość bez szerokości. A końcami (kresami) linii są punkty. Linią prostą jest ta, która jest jednakowo położona względem punktów na niej leżących. Powierzchnią jest to, co ma tylko długość i szerokość. A kresami powierzchni są linie. Powierzchnią płaską jest ta, która jest jednakowo położona względem prostych na niej leżących. A kąt płaski jest to wzajemne nachylenie dwóch linii schodzących się w płaszczyźnie, ale nie położonych wzdłuż prostej. A gdy linie zawierające kąt są proste, to kąt nazywamy prostoliniowym. A kiedy prosta wystawiona na prostej tworzy kąty przyległe równe między sobą, to każdy z tych równych kątów jest prosty, a wystawioną prostą nazywamy prostopadłą do tej, na której została wystawiona. Kąt rozwarty jest większy od prostego. A kąt ostry jest mniejszy od prostego. Granicą jest to, co jest czegoś kresem.

8 Euklides Elementy Figurą jest to, co się zawiera wewnątrz jakiegokolwiek lub jakichkolwiek kresów. Koło jest figurą płaską ograniczoną linią, zwaną okręgiem, taką że wszystkie proste poprowadzone z jednego punktu wewnątrz figury położonego do tej linii są między sobą równe. Punkt ten nazywamy środkiem okręgu. Średnica koła to prosta przechodząca przez środek i kończąca się z obu stron na okręgu. Dzieli ona koło na polowy. Półkole to figura ograniczona średnica i tą częścią okręgu koła, którą obejmuje średnica. Środkiem półkola jest środek koła. Figury prostokreślne to figury ograniczone prostymi. Trójkąt to figura prostokreślna ograniczona trzema prostym. Czworobok lub czworokąt to figura prostokreślna, która jest ograniczona czterema prostymi. Wielobok lub wielokąt to figura prostokreślna ograniczona więcej niż czterema prostymi. Trójkąt równoboczny to trójkąt, który ma trzy boki równe. Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma tylko dwa boki równe. Trójkąt różnoboczny to trójkąt, który ma trzy boki nierówne. Ponadto: trójkąt prostokątny to trójkąt, który ma kąt prosty. Trójkąt rozwartokątny to trójkąt, który ma kąt rozwarty. Trójkąt ostrokątny to trójkąt, który ma trzy kąty ostre. Kwadrat jest to czworobok mający równe boki i równe kąty. Romb (kwadrat ukośny) jest to czworobok mający równe boki, ale nie mający katów prostych. Równoległobok jest to czworobok mający boki przeciwległe równe, ale nie mający katów prostych. Wszystkie czworoboki inne niż wyżej wymienione nazywamy czworokątami. Linie równolegle, czyli mówiąc krócej równoległe to są proste, które leżą na tej samej płaszczyźnie i przedłużane z obu strony w nieskończoność, z żadnej strony się nie przetną.

9 Aksjomaty Euklidesa Zakłada się, że od każdego punktu do każdego punktu można poprowadzić linię prostą. I że ograniczoną prostą można ciągle przedłużać po prostej. I z każdego środka każdym rozwarciem można zakreślić okrąg. I że wszystkie kąty proste są równe między sobą. I jeżeli prosta padająca na dwie równe proste tworzy po jednej stronie kąty wewnętrzne, które w sumie są mniejsze od dwóch prostych kątów, to proste przedłużone nieograniczenie schodzą się po tej stronie, po której kąty te są w sumie mniejsze od dwóch prostych. Ten aksjomat wzbudził wiele kontrowersji, w pewnym sensie dzięki niemu powstały inne, nieeuklidesowe geometrie.

10 Dwie metody wprowadzania matematycznych pojęć Wprowadzanie nowego pojęcia przez definicję podaną przez nauczyciela lub podręcznik, zilustrowaną odpowiednimi przykładami. Wprowadzenie nowego pojęcia przez taką organizację aktywności ucznia, że on sam to pojęcie przy dyskretnej pomocy nauczyciela konstruuje a następnie definiuje.

11 Trzy etapy definiowania Definicja potoczna Definicja poglądowa Definicja formalna Definicja bardziej formalna

12 Przykład 1: ciąg liczbowy

13 Ciąg poglądowo

14 Ciąg poglądowo

15 Zaglądaj do słownika języka polskiego Popatrzmy, co na temat ciągu pisze się w Słowniku Języka Polskiego (PWN, 1998): zbiór elementów uporządkowanych według pewnej zasady i ponumerowanych kolejnym liczbami naturalnymi Wskazówka praktyczna: Do definicji potocznej, do pogadanki warto przeglądnąć słowniki języka polskiego.

16 Przykład 2: funkcja różnowartościowa Słowo, które wyjaśnia znaczenie tej definicji. Można rozpocząć od funkcji nieróżnowartościowej. Definicja poglądowa: proste poziome przesuwające się wzdłuż osi OY. Funkcja f x = x nie jest różnowartościowa, dla różnych argumentów przyjmuje tę samą wartość, np. f 1 = f 1 = 1. Funkcja f x = x 3 jest różnowartościowa, dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości.