Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Transkrypt

1 Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

2

3

4 W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie jednego twierdzenia wieloma sposobami. Tworzenie dowodów poprzedźmy tłumaczeniem dostrzeżonej własności i stopniowym ulepszaniem tłumaczenia.

5 PRZEKONAJ MNIE, ŻE TAK JEST

6 GEOMETRYCZNE 1) Dany jest prostokąt ABCD. Bok AB podzielono na trzy równe odcinki: AX, XY i YB. Wyznaczono trójkąty DAX, DXY i DYB. Uzasadnij, że wyznaczone trójkąty mają równe pola. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra. 1) pole trójkątów.ggb AX = XY = YB = 1 a = 1 AB to podstawy trójkątów DAX, DXY i DYB. 3 3 Odcinek AD = h to wysokość tych trójkątów. Podstawiając nasze dane do wzoru na pole P = a h P DAX = 1 a h 3 2 = P DXY = P DYB = a h 6 2, otrzymamy:

7 2) Dany jest prostokąt ABCD i dowolny punkt P położony wewnątrz tego prostokąta. Udowodnij, że AP 2 + CP 2 = BP 2 + DP 2 lub drugie pytanie: wykaż, że P APD + P BPC = P APB + P CPD Rozwiązanie do pierwszego pytania: Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 2)punkt wewnątrz prostokąta.ggb

8 Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa Zapisujemy warunek do udowodnienia: AP 2 + CP 2 = BP 2 + DP 2 AP = e; BP = g CP = h; DP = f AB = CD = a s = a m Stosujemy tw. Pitagorasa do zaznaczonych trójkątów: m 2 + p 2 = e 2 s 2 + p 2 = g 2 p 2 = g 2 s 2 k 2 + s 2 = h 2 m 2 + k 2 = f 2 k 2 = f 2 m 2 Tworzymy układ czterech równań i stosujemy metodę podstawiania: m 2 + p 2 = e 2 p 2 = g 2 s 2 m 2 + g 2 s 2 = e 2 k 2 + s 2 = h 2 k 2 = f 2 m 2 f 2 m 2 + s 2 = h 2 s 2 = h 2 f 2 + m 2 m 2 + g 2 (h 2 f 2 + m 2 ) = e 2 m 2 + g 2 h 2 + f 2 m 2 = e 2 po redukcji i uporządkowaniu stron otrzymamy: g 2 + f 2 = e 2 + h 2 a więc: AP 2 + CP 2 = BP 2 + DP 2 c.n.d.

9 3) W trapezie ABCD, w którym AB DC oraz AB > CD, przekątna DB zawiera się w dwusiecznej kąt ABC. Wykaż, że DC = BC. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 3)trapez, jego boki.ggb

10 Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych oraz właściwości dwusiecznej kąta. W trapezie ABCD podstawy są do siebie równoległe AB CD, a więc ABD = BDC są to kąty naprzemianległe Odcinek BD jest przekątną trapezu i dwusieczną ABC z tych informacji wynika, że: ABD = DBC W trójkącie BCD DBC = BDC, a więc trójkąt jest równoramienny czyli BC = CD c.n.d.

11 4) Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P (jak na rysunku). Wykaż, że punkty B, P i D leżą na jednej prostej. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 4)prostokąt i okręgi.ggb Zastosowanie właściwości trójkątów wpisanych w okrąg.

12 5) Wykaż, że w trapezie prostokątnym różnica kwadratów długości przekątnych równa jest różnicy kwadratów długości podstaw. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 5)trapez i przekątne.ggb Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

13 6) Wyprowadź, nie stosując twierdzenia Pitagorasa, wzór na wysokość trójkąta równobocznego. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 6)trójkąt równoboczny i wysokość.ggb Zastosowanie podobieństwa trójkątów.

14 7) Dany jest trapez ABCD, w którym podstawa AB > CD > 0 oraz ABC + BAD = 90. Środek M podstawy AB połączono ze środkiem N podstawy CD. Wykaż, że MN = a b 2. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 7) trapez i odcinek łączący środki podstaw.ggb Zastosowanie właściwości trójkątów wpisanych w okrąg.

15 8) Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB CD. Udowodnij, że AED = BAE + CDE. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 8)trapez i punkt E na ramieniu.ggb Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych.

16 9) Stosunek pól trzech parami stycznych zewnętrznie okręgów wynosi 1:4:9. Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 9)okręgi styczne.ggb Zastosowanie podobieństwa i twierdzenia Pitagorasa.

17 10) W trójkącie połączono środki wszystkich boków. Udowodnij, że powstałe cztery trójkąty są przystające i że są one podobne do danego trójkąta. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 10) środkowe trójkąta.ggb Zastosowanie podobieństwa i twierdzenia o kątach odpowiadających i naprzemianległych.

18 11) W trójkącie ABC odcinek AD jest wysokością, H jest punktem przecięcia wszystkich wysokości. Udowodnij, że DC DB = AD DH. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra 11) wysokości w trójkącie.ggb Zastosowanie podobieństwa.

19 ALGEBRAICZNE 1) Wykaż, że liczba a = jest podzielna przez 30. Stosujemy przekształcenia algebraiczne: Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias oraz działania na potęgach, a = a = a = Liczba 3 27 dzieli się przez 3, a więc iloczyn dzieli się przez 3 i 10, co należało udowodnić.

20 2) Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4. Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną to 2n jest dowolną liczbą parzystą a 2n + 2 jest kolejną liczbą parzystą Zapisujemy różnicę kwadratów liczb parzystych i stosujemy przekształcenia algebraiczne: 2n+2 2 2n 2 = 2n + 2 2n + 2 4n 2 = = 4n 2 + 4n + 4 4n 2 = 4n + 4 = 4 n + 1 co należało udowodnić.

21 3) Uzasadnij, że różnica kwadratu dowolnej liczby nieparzystej i liczby 1 jest podzielna przez 4. Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną a 2n jest naturalną liczbą parzystą to 2n + 5 jest dowolną naturalną liczbą nieparzystą Zapisujemy różnicę kwadratów liczb i stosujemy przekształcenia algebraiczne: 2n = 2n + 5 2n = = 4n n = 4n n + 24 = = 4 n 2 + 5n + 6 co należało udowodnić.

22 4) Wykaż, że liczba 7 n n+1 jest liczbą podzielną przez 8. Stosujemy działania na potęgach oraz wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias : 7 n n+1 = 7 n n 7 = = 7 n = 7 n 56 = = 7 n 7 8 = 8 7 n+1 co należało udowodnić.

23 5) Wykaż, że dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej x liczba 2x 2 + 4x + 10 jest podzielna przez 8. Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego jeżeli x jest dowolną nieparzystą liczbą naturalną to x = 2n + 1 Podstawiamy wartość x do danego wyrażenia i stosujemy przekształcenia algebraiczne: 2 2n n = = 2 2n + 1 2n n = = 2(4n 2 + 4n + 1) + 8n + 14 = 8n 2 + 8n n + 14 = = 8n n + 16 = 8(n 2 + 2n + 2) co należało udowodnić.

24 6) Udowodnij, że jeśli k i l są liczbami naturalnymi oraz 1 k n, to k(n k + 1) n. Pamiętamy o warunkach zadania 1 k n Stosujemy przekształcenia i doprowadzamy wyrażenie algebraiczne do najprostszej postaci: k n k + 1 n kn k 2 + k n 0 Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: kn n k 2 + k 0 n k 1 k k 1 0 k 1 n k 0 Analizując warunki zadania stwierdzamy, że oba czynniki Iloczynu mają wartość większą lub równą zero a więc iloczyn jest liczbą większą lub równą zero. co należało udowodnić

25 7) Wykaż, że suma trzech kolejnych parzystych liczb naturalnych jest podzielna przez 6. Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną to 2n jest dowolną liczbą parzystą, a 2n + 2 i 2n + 4 jest kolejnymi liczbami parzystymi Zapisujemy sumę tych liczb parzystych i stosujemy przekształcenia algebraiczne: 2n + 2n n + 4 = 6n + 6 = 6 n + 1 co należało udowodnić.

26 8) Udowodnij, że jeśli a jest liczbą naturalną, to liczba a 3 a jest podzielna przez 6. Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego a jest dowolną liczbą naturalną Zapisujemy sumę tych liczb parzystych i stosujemy przekształcenia algebraiczne: a 3 a = a a 2 1 = a a + 1 a 1 = = a 1 a a + 1 otrzymaliśmy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, wśród których przynajmniej jedna jest zawsze parzysta, tzn. podzielna przez 2 i jedna podzielna przez 3 co należało udowodnić.

27 9) Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych parzystych liczb naturalnych jest równa podwojonej sumie tych liczb (od większej odejmujemy mniejszą). Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną to 2n jest dowolną liczbą parzystą, a 2n + 2 jest kolejną liczbą parzystą, Zapisujemy różnicę kwadratów liczb i stosujemy przekształcenia algebraiczne: 2n+2 2 2n 2 = 2n + 2 2n + 2 4n 2 = = 4n 2 + 8n + 4 4n 2 = 8n + 4 = 2 4n + 2 = = 2 2n n co należało udowodnić.

28 10) Udowodnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych zwiększony o środkową z nich jest sześcianem środkowej. Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną to n +1 i n + 2 są kolejnymi liczbami naturalnymi. Zapisujemy wyrażenie z zadania i stosujemy przekształcenia n n + 1 n n + 1 = n Wykonujemy dowód lewej strony: L = n n + 1 n n + 1 = n 2 + n n n + 1 = = n 3 + 3n 2 + 2n + n + 1 = n 3 +3n 2 +3n + 1 Wykonujemy dowód prawej strony: P = n = n + 1 n + 1 n + 1 = n 2 + 2n + 1 n + 1 = = n 3 +3n 2 +3n + 1 L = P co należało udowodnić.

29 Wykorzystano: zadania z zestawów maturalnych GWO zadania na dowodzenie Dziękuję za uwagę