Elementy. Elementy. Wrocław, 16 marca 2016
|
|
- Dominik Jasiński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wrocław, 16 marca 2016
2 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny
3 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce
4 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce Księgi XI XIII geometrii brył
5 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce Księgi XI XIII geometrii brył Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25% (Księga X)
6 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce Księgi XI XIII geometrii brył Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25% (Księga X) Każda z pozostałych to około 5 8% całości dzieła.
7 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny
8 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów
9 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów
10 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu
11 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)
12 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie
13 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD
14 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe
15 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe
16 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne
17 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył
18 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)
19 Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos) XIII: bryły platońskie
20 Źródła naszej wiedzy O matematyce przed Euklidesem wiemy z książki Eudemosa z Rodos (ok do -300), ucznia Arystotelesa. Napisał książkę o historii matematyki, książka zaginęła, ale pewne jej fragmenty przepisał w Komentarzach do Euklidesa Proklos, zyjący w latach (czyli 700 lat po Euklidesie). Najstarsze egzemplarze Elementów jakie znamy, pochodzą z około 880 roku, od czasów Euklidesa minęło do ich napisania więcej czasu, niż od ich napisania do chwili obecnej!
21 Co napisał Eudemos Poczatki wiedzy geometrycznej pochodzą z Egiptu, bo tam wylewy Nilu zmusiły ludzi od mierzenia np. pól powierzchni (czyli powierzchni pól). Arytmetykę rozwinęli Fenicjanie, gdyż potrzebna była do handlu i obrotu pieniężnego (wynaleźli też pieniądze i alfabet). Pitagoras przekształcił matematykę w jedną ze sztuk wyzwolonych, badając jej twierdzenia w sposób intelektualny i niematerialny. Hipokrates z Chios badał księżyce i napisał pierwsze. Platon wielce przyczynił się do rozwoju matematyki, bo uważał studiowanie jej za sprawę pierwszej wagi (napis na wejściu do akademii). Bardzo też dbał o ścisłość definicji, wprowadził pewne postulaty itp. Teajtet, Eudoksos,... (uczniowie Platona)
22 Artes liberales Siedem sztuk wyzwolonych (łac. septem artes liberales, właściwie siedem umiejętności godnych człowieka wolnego) to podstawa wykształcenia w okresie późnej starożytności oraz średniowiecza. Siedem sztuk dzielone było na dwie mniejsze grupy: trivium i quadrivium. Trivium obejmowało gramatykę, co w owym czasie oznaczało biegłość w łacinie, dialektykę, czyli logikę oraz retorykę, czyli sztukę układania mów. Trivium było na ogół wstępem do kolejnego etapu nauki. Na średniowiecznych uniwersytetach quadrivium uważane było za przygotowanie do studiów filozofii i teologii. Obejmowało ono geometrię, arytmetykę, astronomię i muzykę. T.H. Huxley: Try to learn something about everything and everything about something.
23 Matematyka Greckie słowo mathema = µαθηµα oznaczało kiedyś to, czego się uczymy, wiedza i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków. Greckie manthanein oznacza uczyć się. Inne języki: angielski mind
24 Matematyka Greckie słowo mathema = µαθηµα oznaczało kiedyś to, czego się uczymy, wiedza i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków. Greckie manthanein oznacza uczyć się. Inne języki: angielski mind sanskryt man = myśleć
25 Matematyka Greckie słowo mathema = µαθηµα oznaczało kiedyś to, czego się uczymy, wiedza i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków. Greckie manthanein oznacza uczyć się. Inne języki: angielski mind sanskryt man = myśleć łacina mens = dusza (mens sana in corpore sano)
26 Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje
27 Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje 5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii)
28 Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje 5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii) 5 pojęć ogólnych - aksjomatów dotyczących nie tylko wielkości geometrycznych
29 Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje 5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii) 5 pojęć ogólnych - aksjomatów dotyczących nie tylko wielkości geometrycznych 48 twierdzeń
30 Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części.
31 Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części. 2. Linia to długość bez szerokości.
32 Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części. 2. Linia to długość bez szerokości. 3. Końcami linii są punkty.
33 Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części. 2. Linia to długość bez szerokości. 3. Końcami linii są punkty....
34 Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części. 2. Linia to długość bez szerokości. 3. Końcami linii są punkty Figury trójkątne to te, ograniczone trzema liniami prostymi.
35 Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego.
36 Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego. 2. Przez ciągłe przedłużanie odcinka powstaje prosta.
37 Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego. 2. Przez ciągłe przedłużanie odcinka powstaje prosta. 3. Okrąg można zakreślić, przyjmując dowolny środek i promień.
38 Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego. 2. Przez ciągłe przedłużanie odcinka powstaje prosta. 3. Okrąg można zakreślić, przyjmując dowolny środek i promień. 4. Wszystkie kąty proste są równe.
39 Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego. 2. Przez ciągłe przedłużanie odcinka powstaje prosta. 3. Okrąg można zakreślić, przyjmując dowolny środek i promień. 4. Wszystkie kąty proste są równe. 5. Jeśli prosta przecina dwie inne proste tak, że dwa kąty wewnętrzne po jednej jej stronie są łącznie mniejsze od dwóch kątów prostych, to te dwie proste, przedłużane w nieskończoność, przetną się po tej stronie, po której suma kątów jest mniejsza od dwóch kątów prostych.
40 Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe.
41 Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe. 2. Jeśli równe są dodane do równych, całości są równe.
42 Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe. 2. Jeśli równe są dodane do równych, całości są równe. 3. Jeśli równe są odjęte od równych, pozostałości są równe.
43 Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe. 2. Jeśli równe są dodane do równych, całości są równe. 3. Jeśli równe są odjęte od równych, pozostałości są równe. 4. Wielkości przystające są równe.
44 Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe. 2. Jeśli równe są dodane do równych, całości są równe. 3. Jeśli równe są odjęte od równych, pozostałości są równe. 4. Wielkości przystające są równe. 5. Całość jest większa od części.
45 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB
46 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta
47 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach...
48 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach... Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.
49 Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach... Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie. Tw. 47. W trójkącie prostokątnym kwadrat boku leżącego naprzeciw kąta prostego jest równy kwadratom opartym na bokach zawierających kąt prosty.
50 Księga II Księga ta dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4
51 Księga II Księga ta dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
52 Księga II Księga ta dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklides w języku geometrii.
53 Księga II Księga ta dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklides w języku geometrii. Twierdzenie 14 mówi, że dla każdego czworokąta da się skonstruować kwadrat o takim samym polu (a co z kołem!?).
54 Księga III Księgia III poświęcona jest okręgom: kąty w okręgach, dwusieczne, cięciwy, styczne do okręgów itp.
55 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny
56 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne.
57 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r-kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r, s)=1, to umiemy skonstruować r s-kąt foremny.
58 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r-kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r, s)=1, to umiemy skonstruować r s-kąt foremny. Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, to umiemy skonstruować k-kąt foremny.
59 Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r-kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r, s)=1, to umiemy skonstruować r s-kąt foremny. Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, to umiemy skonstruować k-kąt foremny. Stąd konstrukcje wystarczy przeprowadzić dla wielokątów foremnych o p bokach, gdzie p > 2 jest liczbą pierwszą.
60 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:
61 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1.
62 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną (?)).
63 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną (?)). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną
64 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną (?)). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną Podobno konstrucja 257-kąta to 194 strony druku.
65 Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną (?)). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną Podobno konstrucja 257-kąta to 194 strony druku. W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisująca konstrukcję kąta foremnego...
66 Kolejne księgi W V mamy proporcje między wielkościami abstrakcyjnymi (porównaj: Arystoteles Etyka nikomachejska, str. 172). W tym figury podobne. W VI proporcje i pola. W VII użycie proporcji do mierzenia liczb. Algorytm Euklidesa (Twierdzenie VII.1), NWD i liczby pierwsze. Twierdzenie VII.31 Dowód używa faktu: każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy.
67 Dowód z Księgi W księdze IX Elementów znajduje się poniższe twierdzenie (tw. 20): Jest wiecej liczb pierwszych niż jakakolwiek ustalona ilość liczb pierwszych.
68 Dowód z Księgi Jest też dowód: Niech a, b, c będą liczbami pierwszymi. Twierdzę, że istnieje więcej liczb pierwszych niż a, b, c. W tym celu rozważmy liczbę d = abc + 1. Albo jest ona pierwsza albo ma czynnik pierwszy (Tw. VII.32). Jeśli jest pierwsza, to znaleźliśmy liczby pierwsze a, b, c, d, których jest więcej niż a, b, c. Jeśli nie jest pierwsza, ale ma czynnik pierwszy g, to twierdzę, iż g nie jest równa żadnej spośród a, b, c. Przypuśćmy, że jest przeciwnie (tzn. g jest jedną spośród a, b, c). Wtedy g dzieli abc, ale g dzieli abc + 1. Stąd g powinna dzielić liczbę 1, co jest absurdem. Zatem g nie jest równa żadnej spośród a, b, c, więc a, b, c, g są pierwsze.
69 Erdös i dowody z Księgi Węgierski, podróżujący całe życie matematyk Paul Erdös ( ) twierdził, że Bóg ma Księgę, w której zapisane są idealne dowody wszystkich twierdzeń. Przykładem takiego dowodu jest właśnie dowód Euklidesa o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych.
70 Piąty aksjomat Księga I Elementów jest wyjątkowa. Wszystkie pozostałe mają co najwyżej definicje, po których następują twierdzenia. Dlaczego? Może pozostałe aksjomaty (dla liczb) uważano za oczywiste? Można tylko spekulować.
71 Geometria absolutna Twierdzenia geometrii płaszczyzny, które można wyprowadzić bez piątego postulatu tworzą geometrię absolutną. Oto przykład takiego twierdzenia: Twierdzenie I. 27 Jeśli prosta przecina dwie proste tak, że kąty odpowiadające są równe, to te dwie proste są równoległe. Wariantem powyższego jest kolejne Twierdzenie I. 28 Jeśli kąty G i H są równe, to proste AB i CD są równoległe. Jeśli suma kątów H oraz przyległego do G ma 180, to AB i CD są równoległe.
72 Odwracamy Twierdzenie I.27 Twierdzenie I.29. Jeśli proste AB i CD są równoległe, to kąty α i β są równe. Wspaniałe twierdzenie: aby sprawdzić równoległość prostych, należałoby sprawdzić, czy się przecinają, więc trzeba przedłużyć je w nieskończoność! Twierdzenie mówi, że wystarczy sprawdzić lokalnie: zmierzyć kąty. Do dowodu KONIECZNY jest Piąty Postulat (o równoległych).
73 Inne konsekwencje Piątego Postulatu Suma wewnetrznych kątów trójkąta jest równa dwóm kątom prostym. (Twierdzenie I.32). Ta własność charakteryzuje trójkąt w klasie wielokątów. Immanuel Kant podał ją w Krytyce czystego rozumu jako przykład syntetycznego sądu apriori to znaczy absolutnie pewnej wiedzy, niewynikającej z naszego doświadczenia. Z tego twierdzenia wynika, że suma kątów w n-kącie jest równa (n 2)π. Jakob Steiner wyprowadził z tego ostatniego faktu wzór Eulera dla wielościanów wypukłych: W + S K = 2.
74 Próby poprawienia Piątego Postulatu G. Saccheri opublikował w 1733 roku ksiażkę Euklides od wszelkich defektów uwolniony. Badał tam czworokąt o trzech kątach prostych. Wówczas czwarty kąt może być albo ostry albo prosty albo rozwarty. Kąt prosty równoważny jest Piątemu Postulatowi. Kąt rozwarty przeczy istnieniu linii o nieskończonej długości. Z założenia, że kąt jest ostry wyprowadził wiele wniosków, o których wierzył, że przeczą innym (absolutnym) twierdzeniom Euklidesa. Ale się mylił. Starożytni próbowali zastąpić go prostszym - próby nie powiodły się. W roku 1663 John Wallis wykazał, że zdanie istnieją trójkąty podobne o różnych polach implikuje Piąty Postulat.
75 Geometria na sferze Do zrozumienia innych rodzajów geometrii potrzebne jest pojecie linii geodezyjnej: to najkrótsza linia łącząca dwa punkty. Na przykład na sferze jest to łuk koła wielkiego, wyznaczonego przez te punkty. W takiej geometrii, gdy za proste przyjmiemy koła wielkie, to dostajemy inną geometrię: w niej nie ma w ogóle prostych równoległych, bo każde dwie proste przecinają się.
76 Geometria na sferze Trójkąt w tej geometrii to figura wyznaczona przez trzy punkty i łuki kół wielkich, wyznaczonych przez pary punktów. Zauważmy, że suma kątów każdego trójkąta ma ponad 180. Jak wykazał J. H. Lambert, pole takiego trójkąta (na sferze o promieniu 1) jest równe nadmiarowi tego trójkąta tzn. sumie kątów minus π.
77 Bolyai, Łobaczewski i Gauss Około roku 1830 J. Bolyai, N. Łobaczewski i K. Gauss niezależnie zbudowali geometrie oparte na zaprzeczeniu Piątego Postulatu. Założyli, że przez dany punkt można poprowadzić więcej niż jedną prostą równoległą do zadanej. I otrzymali inną geometrię. W niej pewne twierdzenia, ale nie było zgody co do tego, czy ta teoria nie jest wewnętrznie sprzeczna. Gauss wyników nie opublikował (nie chciał krzyku Beotów ).
78 Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej),
79 Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej), prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x 2 + y 2 = 1);
80 Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej), prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x 2 + y 2 = 1); izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względem średnic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu dysku;
81 Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej), prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x 2 + y 2 = 1); izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względem średnic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu dysku; inwersje zadane są wzorem: dla a < 1 określamy I a (z) = a z 1 āz. Zauważmy, że I a(a) = 0 oraz I a (I a (z)) = z.
82 Geometria hiperboliczna Zadanie. Dane są: prosta L i punkt A. Poprowadzić przez A więcej niż jedną prostą równoległą do L. Ile jest prostych, które nie mają punktów wspólnych z L? Model Poincarego jest konforemny, to znaczy hiperboliczne kąty między prostymi są takie same jak kąty euklidesowe (liczone dla stycznych w punkcie przecięcia łuków). Łatwo obliczać odległość od (0,0): punkt leżący w euklidesowej odległości r [0, 1) od (0, 0) znajduje się w hiperbolicznej odległości 1 1+r 2 ln 1 r od (0,0). Odległości innych par punktów łatwo obliczyć, przesuwając jeden z nich do (0, 0) za pomocą izometrii. Dwie proste są równoległe, jeśli ich jedynym punktem wspólnym jest punkt graniczny (na okręgu). Dwie proste, które w ogóle nie mają punktów wspólnych (nawet granicznego) to nadrównoległe.
Elementy. Elementy. Wrocław, 24 marca 2010
Wrocław, 24 marca 2010 Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik.
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoWeronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego
Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019 Zasada trzech etapów (jeszcze raz) Trzy etapy, enaktywny, ikoniczny
Bardziej szczegółowoPYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI
Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?
Bardziej szczegółowoGeometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:
Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoPytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Bardziej szczegółowoKRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
Bardziej szczegółowoPlanimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Bardziej szczegółowoMini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoKURS MATURA PODSTAWOWA Część 2
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoNawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk
PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)
Bardziej szczegółowo7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII Uczeń na ocenę dopuszczającą: - zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim, - umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie rzymskim
Bardziej szczegółowoBank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Pitagorasa
Imię Nazwisko: Paweł Rogaliński Nr indeksu: 123456 Grupa: wtorek 7:30 Data: 10-10-2012 Twierdzenie Pitagorasa Tekst artykułu jest skrótem artykułu Twierdzenie Pitagorasa zamieszczonego w polskiej edycji
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoWielokąty foremne. (Konstrukcje platońskie)
Wielokąty foremne (Konstrukcje platońskie) 1 Definicja 1. Wielokąt wypukły nazywa się foremny, jeżeli ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe. Przykładami wielokątów foremnych są trójkąt równoboczny,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowoKlasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII
Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII Temat 1. System rzymski. 2. Własności liczb naturalnych. 3. Porównywanie
Bardziej szczegółowowymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum
wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Bardziej szczegółowoO geometrii nieeuklidesowej. Andrzej Kotański
O geometrii nieeuklidesowej Andrzej Kotański Plan 1. Rys historyczny 2. Zaprzeczenie piątego pewnika Euklidesa 3. Modele geometrii eliptycznej i hiperbolicznej 4. Modele Beltramiego i Poincarego 5. Kąt
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 7 Lang: Pole powierzchni kuli Nierówność dla objętości skorupki: (pow. małej kuli) h objętość skorupki
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6 Lang: Długość okręgu. pole pierścienia będę chciał znaleźć inne wyrażenie na pole pierścienia. oszacowanie
Bardziej szczegółowoZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoKlasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej
Bardziej szczegółowoLista działów i tematów
Lista działów i tematów Gimnazjum. Klasa 1 Liczby i działania Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Zaokrąglenia liczb. Szacowanie wyników Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich Mnożenie i dzielenie
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE
SZKOŁA PODSTAWOWA W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie 8 Szkoły Podstawowej str. 1 Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoMETODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)
Bardziej szczegółowoZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 h
Bardziej szczegółowoTest kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE
GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie II gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne
Bardziej szczegółowoWielokąty i Okręgi- zagadnienia
Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii
Matematyka klasa II kryteria oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych opracowano na podstawie programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ 1. POTĘGI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku
Bardziej szczegółowoSprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x
. Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Bardziej szczegółowoJednokładność i podobieństwo
Jednokładność i podobieństwo Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Iloczynem niezerowego wektora u przez liczbę rzeczywistą s 0 nazywamy wektor v spełniający następujące dwa warunki: 1) v =
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny szkolne
MATEMATYKA Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 8 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki kl.ii
DZIAŁ 1. POTĘGI Matematyka klasa II - wymagania programowe zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym (K) umie zapisać potęgę w postaci iloczynu (K) umie zapisać iloczyn jednakowych czynników
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie
Bardziej szczegółowoREALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM
REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY:
ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY: KLASA II GIMNAZJUM Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je zatem opanować
Bardziej szczegółowoSZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 IM. ŚW. JANA KANTEGO W ŻOŁYNI. Wymagania na poszczególne oceny klasa VIII Matematyka z kluczem
SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 IM. ŚW. JANA KANTEGO W ŻOŁYNI Wymagania na poszczególne oceny klasa VIII Matematyka z kluczem I. Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2016/2017 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2) P podstawowy - ocena dostateczna (3) R rozszerzający -
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM
Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań
Bardziej szczegółowoZadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1
Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie
Bardziej szczegółowoWymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum
Wymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum Stopień celujący może otrzymać uczeń, który spełnia kryteria na stopień bardzo dobry oraz: posiada wiadomości i umiejętności znacznie wykraczające
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, - sposób i potrzebę zaokrąglania liczb, - pojęcie wartości bezwzględnej,
Bardziej szczegółowoWymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum
Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum Opracowano na podstawie planu realizacji materiału nauczania matematyki Matematyka Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja Praca zbiorowa pod
Bardziej szczegółowo