Teoria Decyzji Wykład 12 N-OSOBOWE GRY KOOPERACYJNE - POSTAĆ CHARAKTERYSTYCZNA GRY
|
|
- Robert Olejniczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoria Decyzji Wykład 12 N-OSOBOWE GRY KOOPERACYJNE - POSTAĆ CHARAKTERYSTYCZNA GRY Na poprzednich wykładach zajmowaliśmy się głównie takimi sytuacjami, w których gracze podejmowali decyzje jednocześnie i niezależnie, a wynik gry był wypadkową tych działań. Współdziałanie czyli kooperację w grach zwykle rozumie się jako zawarcie, jeszcze przed rozegraniem gry, pewnego porozumienia, które może być potem przestrzegane, albo nie (w teorii Nasha musi być przestrzegane). O współdziałaniu była już kilkakrotnie mowa np. przy okazji wytwórców whisky. Gracze producenci mogli wówczas porozumieć się i uzyskać znacznie większe zyski niż w przypadku działań nieskoordynowanych. Gry kooperacyjne dwuosobowe nie są specjalnie ciekawe, gdyż niewielkie są możliwości tworzenia koalicji. Jako ciekawszy przedstawimy przykład gry trzyosobowej. Opowiadanie jest następujące. Trzej muzycy: Skrzypek, Pianista i Basista wylądowali razem w dalekim kraju za oceanem. Po wyspaniu się i zjedzeniu śniadania wyszli rozejrzeć się za pracą. Gdy spotkali się wieczorem okazało się, że stoją przed nimi następujące możliwości. Mogą występować razem w pewnym klubie nocnym i za jeden występ otrzymają łącznie 200 dolarów. Okazuje się też, że gdyby w innym klubie występowali tylko Skrzypek z Pianistą, to zarobiliby 160 dolarów, natomiast Pianista i Basista mogliby zarobić we dwóch 130 dolarów. W sąsiednim klubie Basista ze Skrzypkiem mogą liczyć na zarobek w wysokości 100 dolarów, a sam Pianista dostałby za występ 60 dolarów. Jeszcze inny klub zatrudniłby Skrzypka samego i skłonny byłby zapłacić mu 40 dolarów. Tylko Perkusisty solo nikt nie chce zatrudnić. Tak opisaną grę kooperacyjną możemy przedstawić w formie przedstawionej w poniższej tabeli. Koalicja Wypłata {Skrzypek, Pianista, Basista} 200 { Pianista, Basista} 130 {Skrzypek,Basista} 100 {Skrzypek, Pianista} 160 {Skrzypek} 40 { Pianista} 60 { Basista} 0 Taka tabela to tzw. postać charakterystyczna gry kooperacyjnej.
2 Formalnie taką postać gry definiuje się opisując: zbiór wszystkich graczy G = {Pl, P2,... Pn}, zbiór wszystkich koalicji, tzn wszystkich podzbiorów zbioru graczy (całe G i zbiory złożone z jednego tylko gracza też są koalicjami) przyporządkowanie każdej koalicji K jakiejś liczby v(k), która opisuje możliwości tej koalicji. Pewnego komentarza wymaga wartość v(k) przypisana koalicji K (zwana wartością koalicji). Można wyobrażać sobie, że jest to wypłata którą jest wstanie koalicja sobie wypracować. Ale uwaga trzeba dla dalszych rozważań założyć, że tak jak w naszym przykładzie wypłata ta realizowana jest w pewnych jednostkach, które dadzą się między graczami wymieniać i tyle samo dla nich znaczą! Możliwa jest do sformułowania teoria, w której wypłaty są wyrażane w funkcjach użyteczności właściwych dla każdego z graczy z osobna i nieporównywalnych między nimi, ale byłoby to zbyt skomplikowane jak na możliwości naszego wykładu. Wróćmy zatem do naszego przykładu. Aby zadość uczynić postulatowi wymienialności wypłat zakładamy, że decydującą kwestią jest zarobek (i, co sugeruje przykład, gracze mają analogiczna funkcje użyteczności pieniądza). Świadomie w tym miejscu pomijamy sprawy związane z chęcią występowania przed publicznością, pomocy kolegom, bezinteresownością itp. Gdyby zostały one uwzględnione w wypłatach, to już pojawiłby się wspomniany przed chwilą kłopot związany z międzyosobowym transferem użyteczności. Zostawmy to teraz, wszak nie o to w tej chwili chodzi, by zbudować właściwy model konkretnej sytuacji, ale na odwrót by pewna wyimaginowana konkretna sytuacja była modelem pewnych koncepcji pojawiających się na gruncie teorii decyzji. Zatem w jaki sposób muzycy rozstrzygną kwestię swojego zatrudnienia i indywidualnego wynagrodzenia? Po pierwsze zauważmy, że nasza gra ma pewną naturalną własność, która nazywa się superaddytywnosią : każdych dwóch muzyków razem zarobi więcej niż zarobiliby łącznie, ale występując osobno. Tak samo, każdej koalicji złożonej z dwóch muzyków i pozostałemu trzeciemu artyście bardziej opłaci się wystąpić w pełnym składzie. Zatem największą masę pieniędzy dostaną w największej koalicji. W przypadku takich gier (tj. posiadających własność superaddytywności) nie ulega więc wątpliwości, że największa koalicja jest najbardziej opłacalna. Pozostaje jeszcze kwestia podziału zarobionych pieniędzy w ramach takiej koalicji. Jak to zrobić? Formalnie taki podział tworzą trzy liczby Xs, Xp oraz Xb dające w sumie 200. Można
3 się spodziewać, że żaden muzyk nie zgodzi się przyjąć wypłaty niższej, niż kwota, jaką mógłby sam zarobić. Otrzymujemy więc warunki indywidualnej racjonalności: Xs 50 Xp 60 Xb 0 Weźmy teraz pod uwagę dalsze ograniczenia nazywane warunkami koalicyjnej racjonalności. Xs+Xp 160 Xb+Xp 130 Xs+Xb 100 Warunki te mówią tyle, że żadna koalicja nie zgodzi się na podział, przy którym suma kwot przypadających członkom tej koalicji będzie niższa niż kwota, jaką taka koalicja mogłaby sama zarobić. Mówimy też w takiej sytuacji, że dana koalicja, na przykład {Skrzypek, Pianista}, dla której podział (Xs, Xp, Xb) dawałby Xs+Xp<160, kwestionowałaby taki podział mogłaby przecież oddzielić się z całości i sama wypracowałaby dla siebie Xs+Xp=160. Przekształcając wszystkie powyższe nierówności, możemy teraz scharakteryzować podziały koalicyjnie racjonalne. Ale z tych ograniczeń wynikają dalsze! Okazuje się np. że, wbrew temu co mogłoby się naiwnie wydawać, Basista może żądać dla siebie znacznie więcej niż zero! Na pewno nie otrzyma mniej niż 30! Wynika to z tego, że skrzypek nie może dla siebie żądać więcej niż 70 (bo wtedy Xb+Xp < 130) pianista nie może dla siebie żądać więcej niż 100 (bo wtedy Xs+Xb < 100) ale zatem Basista dostanie co najmniej lub (wartości kolacji dwuosobowych z perkusistą minus potencjalnie największe wymagania drugiego z muzyków) Oczywiście Basista nie może liczyć na więcej niż (tj całość pieniędzy minus gwarantowana wypłata dla duetu Pianisty ze Skrzypkiem). Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla pozostałych muzyków. Ostatecznie wszystkie podziały spełniające warunki racjonalności koalicyjnej i indywidualnej muszą spełniać następujące warunki: Suma kwot uzyskanych łącznie przez trzech muzyków wyniesie 200 dolarów.
4 Kwota Xs uzyskana przez Skrzypka nie będzie niższa od 60 dolarów, ani wyższa od 70 dolarów. Kwota Xp uzyskana przez Pianistę nie będzie niższa od 90 dolarów, ani wyższa od 100 dolarów. Łącznie Skrzypek i Pianista dostaną co najmniej 160 dolarów. Reszta przypadnie Perkusiście jak pokazaliśmy będzie to kwota Xb między 30 a 40 dolarów. Warunki te pozwalają na dosyć dokładne określenie spodziewanego podziału, dla każdego muzyka z dokładnością do 10 dolarów. W tych ramach trudno już cokolwiek graczom zaproponować na podstawie samych reguł gry. Sytuacja przypomina tę z kooperacyjnych gier dwuosobowych - pamiętamy, że gracze powinni wybrać strategie prowadzące do wypłaty ze zbioru negocjacji, ale do której z nich teoria nie mówi. Dopiero odwołanie się do pewnych poza growych argumentów - takich jak np. sprawiedliwość doprowadziło do propozycji rozwiązania arbitrażowego (rozwiązanie problemu targu w sensie Nasha). W grach n-osobowych zaproponujemy postępowanie analogiczne. Ale zanim się tym zajmiemy (na następnym wykładzie) omówimy kilka innych ważnych kwestii związanych z różnymi koncepcjami rozwiązania gry kooperacyjnej. Zbiór wszystkich koalicyjnie racjonalnych podziałów, czyli takich, których nie zakwestionuje żadna koalicja, nazywa się rdzeniem gry. Jest to pojęcie intuicyjnie bardzo oczywiste. Można by spodziewać się, że podziały należące do rdzenia będą stanowić sensowne rozwiązanie" każdej gry. Niestety tak nie jest. Okazuje się, że w wielu grach w ogóle nie ma żadnego podziału koalicyjnie racjonalnego! Co zrobić w takim wypadku? Tą sprawą zajmiemy się w następnych częściach wykładu. Zbiór stabilny W poprzedniej części mówiliśmy o grze kooperacyjnej dotyczącej muzyków szukających pracy w obcym kraju. Rozpatrzmy następny przykład związane z emigrantami niewykwalifikowanymi. Trzech kolegów, Zyga, Wiesiek i Mietek, poszukuje pracy. W okolicy jest tylko jedna oferta pracy. Praca ma polegać na przenoszeniu długich i ciężkich skrzyń i jest płatna 100 dolarów za dniówkę dla całej ekipy. Jest to robota którą może wykonać dwóch pracowników: jeden bierze jeden koniec skrzyni, drugi za drugi, i niosą. Jeden robotnik sobie z tym nie
5 poradzi, a trzeci jest po prostu niepotrzebny. Dla tej gry otrzymujemy następującą postać charakterystyczną: Koalicja Wypłata { Zyga, Wiesiek, Mietek } 100 { Wiesiek, Mietek } 100 { Zyga, Mietek } 100 { Zyga, Wiesiek } 100 { Mietek } 0 { Zyga, } 0 { Wiesiek } 0 Jak gracze podzielą między siebie 100 dolaró? Okazuje się, że warunki opisane w poprzednim rozdziale do niczego nas nie doprowadzą. Każdy koalicyjnie racjonalny podział (Xz, Xw, Xm) musiałby spełniać warunki: Xz +Xw+ Xm=100 Xz+ Xm 100 Xz+ Xw 100 Xw+ Xm 100 Xz 0, Xw 0, Xm 0 Niestety wypisane wyżej warunki są sprzeczne: w ogóle nie ma takiego układu liczb Xz, Xw, Xm, który by je spełniał, a więc każdy zaproponowany podział będzie przez jakąś koalicję zakwestionowany. Na przykład podział (40; 40; 20) zostanie zakwestionowany przez każdą koalicję dwuosobową: obaj gracze mogą zarobić więcej (czyli 100) niż suma zaproponowanych im wypłat przy takim podziale (60 lub 80). Co można więc zrobić w takiej sytuacji? Pewne rozwiązanie zaproponowali John von Neumann i Oskar Morgenstern już w 1944 roku. Rozwiązanie to opiera się o pojęcie dominacji. Mówimy, że w grze kooperacyjnej n-osobowej podział (X1, X2,..., Xn) jest zdominowany przez podział (Y1, Y2,..., Yn), gdy istnieje taka koalicja K, dla której spełnione są dwa warunki: koalicja K jest w stanie sama wypracować" podział (Y1, Y2,..., Yn), tzn. formalnie, suma wypłat graczy z koalicji K przy podziale y (czyli suma wszystkich liczb Yi takich, że i K) nie przekracza liczby v(k) opisującej możliwości tej koalicji, oraz
6 przy podziale (Y1, Y2,..., Yn) kwota przypadająca każdemu graczowi należącemu do koalicji K jest większa niż kwota przypadająca mu przy podziale (X1, X2,..., Xn), tzn. Yi>Xi dla wszystkich i takich, że i K) Na przykład podział (40; 40; 20) w naszej grze jest zdominowany przez podział (50; 50; 0), a dzieje się tak za sprawą koalicji złożonej z dwóch pierwszych graczy: Zyga i Wiesiek umawiają się, że to właśnie oni podejmą pracę, zarobią 100 złotych i podzielą się po połowie, co da im wyższe wypłaty, niż proponowane 40 złotych. Podziały koalicyjnie racjonalne, które badaliśmy w poprzednim rozdziale, to z definicji takie podziały, które nie są zdominowane przez żaden inny podział. Skoro jednak w naszej grze nie ma takich podziałów, więc spróbujemy, posługując się pojęciem dominacji, skonstruować jakieś inne pojęcie rozwiązania" gry. Nie będzie to jeden konkretny podział, ale pewien zbiór podziałów. W określonej sytuacji społecznej można się spodziewać, że konkretny podział, jaki nastąpi, będzie elementem tego zbioru. Formalnie zbiór stabilny (czasem nazywany też rozwiązaniem von Neumanna- Morgensterna) definiuje się jako dowolny zbiór podziałów S, który spełnia dwa warunki: jest wewnętrznie stabilny, to znaczy żaden podział, który należy do S nie dominuje żadnego innego podziału z S, oraz jest zewnętrznie stabilny w tym sensie, że każdy podział, który nie należy do S jest zdominowany przez jakiś podział należący do S. Zilustrujmy to pojęcie na konkretnym przykładzie w naszej grze. Weźmy pod uwagę zbiór S* złożony z trzech podziałów (50; 50; 0), (50; 0; 50), (0; 50; 50), a więc ze wszystkich takich podziałów, przy których dwaj gracze dogadują się, biorą całą wypłatę, dzielą się nią po połowie, a trzeciemu graczowi nie dają nic. Można sprawdzić, że ten zbiór jest wewnętrznie i zewnętrznie stabilny: żaden z tych trzech podziałów nie dominuje żadnego z pozostałych, natomiast każdy podział, który nie jest takiej postaci jest zdominowany przez jeden z tych trzech podziałów. Zbiór S* jest więc stabilny. Taka koncepcja rozwiązania to odpowiada pewnym znanym sytuacjom społecznym i może być interpretowana jako opis pewnej normy zachowania. Tą normą jest: postępować w sposób bezwzględny, za wszelką cenę próbować się z kimś dogadać nie licząc się z losem trzeciego gracza, który nie zostanie dopuszczony do umowy. Nie wiemy, jaki podział faktycznie nastąpi, ale na pewno będzie to jeden z trzech podziałów wyliczonych powyżej. Oczywiście wracamy znowu do naszych rozważań związanych z modelowaniem sytuacji
7 decyzyjnych problemu tego rodzaju można by uniknąć rozważając wypłaty w użytecznościach graczy, te mogłyby uwzględniać społeczne normy i, ewentualne, zachowania altruistyczne (jak w problemie architekt-kreślarz). Jednak przy rozważaniach gier n-osobowych koalicyjnych, ze względu na znaczną pojęciową i formalną komplikację problemu, z takiej interpretacji wypłat zrezygnowaliśmy zatem w tym przypadku ewentualny kłopot z akceptacją zachowań bezwzględnych pozostaje. Wracamy do naszej analizy możliwych rozwiązań. Jedna gra może mieć wiele różnych zbiorów stabilnych i każdy z nich jest interpretowany jako jakaś norma postępowania społecznego. Podobnie jest i w przypadku naszej gry. Znaleziony zbiór stabilny nie jest jedyny, tak jak opisany schemat postępowania nie jest jedyną normą. Przedstawimy jeszcze dwa przykłady zbiorów stabilnych w naszej grze. Przypuśćmy, że wszyscy gracze to ludzie porządni, którzy nikogo nie chcą skrzywdzić, ale z jakichś względów Wiesiek i Mietek uważają Zygę za nieudacznika, który nie bardzo nadaje się do pracy. W takim społeczeństwie normy postępowania może opisywać zbiór S0 wszystkich podziałów postaci (20; b; c) gdzie b i c są dowolnymi liczbami nieujemnymi dającymi w sumie 80. W tym społeczeństwie obowiązuje więc następująca norma: Zyga to jednostka słaba, która do pracy się nie nadaje", my jesteśmy porządni, więc damy mu 20 dolarów, ale pracować chcemy sami i resztą, czyli 80 złotymi podzielimy się, jak nam się będzie chciało. Gdyby to Mietek był uważany za nieudacznika, a Zyga z Wiesiekem byli trochę mniej szczodrzy niż przedtem Wiesiek i Mietek, to tej sytuacji odpowiadałby zbiór stabilny S0 złożony ze wszystkich podziałów postaci {a, b, 10) gdzie a i b są dowolnymi liczbami nieujemnymi dającymi w sumie 90. W odróżnieniu od podziałów koalicyjnie racjonalnych, których często w ogóle nie ma, zbiorów stabilnych jest zwykle wiele (w naszej grze jest ich nawet nieskończenie wiele). Przez długi czas nie wiedziano, czy są w ogóle takie gry, które nie mają żadnego zbioru stabilnego. Po wielu latach Lucas skonstruował taką grę dziesięcioosobową w 1969 roku, ale do tej pory nie znaleziono dla niej żadnej naturalnej życiowej" interpretacji. Von Neumann i Morgenstern spodziewali się, że zbiór stabilny, pojęcie w naturalny sposób oddające intuicje i odegra wielką rolę w badaniach ekonomicznych. Do dzisiaj tak się jednak nie stało. Zbiór stabilny jest pojęciem funkcjonującym raczej na obrzeżach teorii gier i jej zastosowań. Jest pojęciem ciągle słabo zbadanym, może ze względu na konieczność stosowania żmudnych i nieefektownych środków matematycznych. Wielu fachowców uważa jednak, że teraz nastąpi powrót do zbiorów stabilnych.
8
Teoria Decyzji Wykład 13 N-osobowe gry kooperacyjne - wartość Shapleya
Teoria Decyzji Wykład 13 N-osobowe gry kooperacyjne - wartość Shapleya Na poprzednim wykładzie mówiliśmy o dwóch rodzajach pojęcia rozwiązania" gry kooperacyjnej: o rdzeniu i o zbiorach stabilnych. Oba
Bardziej szczegółowo11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowo10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowo1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Bardziej szczegółowoZastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów
Zastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów dr hab. Leszek S. Zaremba 1. Postawienie problemu RozwaŜmy zagadnienie decyzyjne, jakie pojawia się w przypadku importerów pewnego
Bardziej szczegółowoTemat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Teoria gier i decyzji Theory of games and decisions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji:
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoTeoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne Wykład: Sobota/Niedziela Ćwiczenia: Sobota/Niedziela Dyżur: Czwartek 14.00-16.00
Bardziej szczegółowoTeoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.
Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoTworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowo14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier
14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier Klasyczna teoria gier zakłada że gracze tylko interesują się swoimi wypłatami, a nie wypłatami innych graczy. W dodatku, z założenia gracze maksymalizują
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne (dr Robert Kowalczyk) Wykład: Poniedziałek 16.15-.15.48 (sala A428) Ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoTeoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego
Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie: są dodatnie, ciąg jego sum
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoWartość Shapleya w grach koalicyjnych
Wartość Shapleya w grach koalicyjnych Dawid Migacz, i LO w Tarnowie 1 Wprowadzenie W zasadzie każdą sytuację występującą na świecie można wymodelować matematycznie. W przypadku sytuacji, w których kilka
Bardziej szczegółowoSkowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.
mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoOptymalizacja decyzji
Optymalizacja decyzji Dr hab. inż Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowo9 Funkcje Użyteczności
9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie binarne
Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne to technika pozwalająca na przeszukanie jakiegoś posortowanego zbioru danych w czasie logarytmicznie zależnym od jego wielkości (co to dokładnie znaczy dowiecie
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoa) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...
Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii
TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowo-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji
1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoRysunek zwykle bardziej przemawia do wyobraźni niż kolumna liczb. Dlatego tak często dane statystyczne przedstawia się graficznie.
PROCENTY I DIAGRAMY Rysunek zwykle bardziej przemawia do wyobraźni niż kolumna liczb. Dlatego tak często dane statystyczne przedstawia się graficznie. Często spotykamy się z diagramami kołowymi. Przedstawiają
Bardziej szczegółowoTomasz Rostański. Gry wieloosobowe. Wersja niedokończona (wersje dokończoną szlag trafił wraz ze śmiercią strony giaur.qs.pl)
Tomasz Rostański Gry wieloosobowe Wersja niedokończona (wersje dokończoną szlag trafił wraz ze śmiercią strony giaur.qs.pl) Wprowadzenie. Dotychczas analizowaliśmy gry, w których udział brały tylko 2 osoby.
Bardziej szczegółowoCzym jest użyteczność?
Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoCzęść 11. Rozwiązywanie problemów.
Część 11. Rozwiązywanie problemów. 3 Rozwiązywanie problemów. Czy jest jakiś problem, który trudno Ci rozwiązać? Jeżeli tak, napisz jaki to problem i czego próbowałeś, żeby go rozwiązać 4 Najlepsze metody
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoGry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej
Gry wieloosobowe Zdzisław Dzedzej 2012 2013-01-16 1 Przykład 1 Warstwa A Warstwa B K K W A B W A B A 1,1,-2-4,3,1 A 3,-2,-1-6,-6,12 B 2,-4,2-5,-5,10 B 2,2,-4-2,3,-1 2013-01-16 2 Diagram przesunięć 2013-01-16
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoJestem za, a nawet przeciw (Próba matematycznego modelowania sposobu myślenia Lecha Wałęsy)
MATEMATYKA STOSOWANA 5, 2004 Bolesław Kopociński (Wrocław) Jestem za, a nawet przeciw (Próba matematycznego modelowania sposobu myślenia Lecha Wałęsy) 1. Wprowadzenie. Przytoczone wyżej powiedzenie prezydenta
Bardziej szczegółowoTAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI
Wydział Matematyki i Informatyki Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki 1. Przedstawienie się. 2. Wstęp pytania do publiczności. TAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI W tej części chcę poznać
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.
Bardziej szczegółowoskłada się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowoKongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione
Bardziej szczegółowoDaria Sitkowska Katarzyna Urbaniak
Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowoOGÓLNE RENTY ŻYCIOWE
OGÓLNE RENTY ŻYCIOWE M. BIENIEK Rentą życiową nazywamy kontrakt między ubezpieczycielem a ubezpieczonym, w którym ubezpieczony w zamian za określoną opłatę, zwaną składką, otrzymuje ciąg z góry określonych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoProgramowanie w Baltie klasa VII
Programowanie w Baltie klasa VII Zadania z podręcznika strona 127 i 128 Zadanie 1/127 Zadanie 2/127 Zadanie 3/127 Zadanie 4/127 Zadanie 5/127 Zadanie 6/127 Ten sposób pisania programu nie ma sensu!!!.
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoOPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie
Poznań, 1.10.2016 r. Dr Grzegorz Paluszak OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie I. Informacje ogólne 1. Nazwa modułu : Teoria gier 2. Kod modułu : 1 TGw
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku.
Liczby pierwsze Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku. Liczbą pierwszą nazywany każdą taką liczbę naturalną, która posiada dokładnie dwa dzielniki naturalne, czyli jest podzielna
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowoAutostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj!
Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień Tom I: Optymalizacja Nie panikuj! Autorzy: Iwo Błądek Konrad Miazga Oświadczamy, że w trakcie produkcji tego tutoriala nie zginęły żadne zwierzęta,
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Drzewka gry, indukcja wsteczna, informacja Czym się dzisiaj zajmiemy? Rozwiązywaniem gier w postaci ekstensywnej (drzewka) Historią najnowszą Indukcją wsteczną Preferencjami
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round
Bardziej szczegółowo1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji -
Bardziej szczegółowoPodstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.
ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoPropedeutyka teorii gier
Propedeutyka teorii gier AUTORZY: KAROLINA STOLARCZYK, WIKTOR SZOPIŃSKI, KONRAD TOMASZEK, MATEUSZ ZAKRZEWSKI WYDZIAŁ MINI POLITECHNIKA WARSZAWSKA ROK AKADEMICKI 2016/2017, SEMESTR LETNI KRÓTKI KURS HISTORII
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,
Bardziej szczegółowo