TAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI
|
|
- Monika Leśniak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wydział Matematyki i Informatyki Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki 1. Przedstawienie się. 2. Wstęp pytania do publiczności. TAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI W tej części chcę poznać opinie i intuicje uczniów dotyczące liczebności następujących zbiorów liczbowych 1 :. Spodziewam się tu usłyszeć m. in. że liczb całkowitych jest dwa razy więcej niż liczb naturalnych, że liczb wymiernych jest zdecydowanie więcej niż liczb całkowitych, natomiast liczb rzeczywistych jeszcze więcej niż wymiernych. Być może niektórzy z nich coś słyszeli na ten temat i wbrew intuicji zgłoszą inny pomysł. Pytań tych nie będę tutaj rozstrzygać, zaznaczę tylko, że w czasie tego wykładu wszystkie wątpliwości zostaną w przystępny sposób rozwiane. 3. Paradoks Galileusza Punktem wyjścia do dalszych rozważań będą obserwacje dokonane przez Galileusza. Zanim je zaprezentuję, przedstawię krótko sylwetkę samego matematyka. Galileusz, a właściwie Galileo Galilei urodził się w 1564 roku w Pizie, a zmarł w 1642 roku koło Florencji. Był on włoskim astronomem, astrologiem, fizykiem i filozofem, twórcą nowoczesnej fizyki. Pomimo powszechnie panującego nauczania Kościoła dotyczącego teorii geocentrycznej, Galileusz wierzy w teorię heliocentryczną Kopernika. Stało się to powodem jego konfliktu z Kościołem. Uczony ten, choć nigdy się nie ożenił, miał trójkę dzieci. W 1638 roku Galileusz wydał pracę, w której przedstawił swoje rozważania dotyczące zbiorów nieskończonych. Dokonał on następującego porównania zbioru liczb naturalnych ze zbiorem kwadratów tych liczb: Galileusz zauważył, że możemy wypisać w jednym wierszu kolejne liczby naturalne, a pod nimi ich kwadraty. Obserwacja ta nasuwa wniosek, że liczb naturalnych jest tyle samo co ich kwadratów. Z drugiej zaś strony tylko nieliczne liczby naturalne są kwadratami. Widzimy także, że przerwy pomiędzy kolejnymi kwadratami są coraz 1 Uwaga! W całym dokumencie przyjmuję oznaczenie zbioru liczb całkowitych (wymiernych) jako zgodnie z konwencją nauczania w średnich. ul. Umultowska 87, Collegium Mathematicum, Poznań studmat@wmi.amu.edu.pl strona 1 z 6
2 większe. Takie spojrzenie na problem sugeruje nam, że liczb naturalnych jest zdecydowanie więcej niż liczb ich kwadratów. Zatem które stwierdzenie jest prawdziwe? 4. Równoliczność zbiorów. Formułujemy przed uczniami następujący problem: Dane mamy dwa skończone zbiory. W jaki sposób możemy ustalić czy każdy z nich ma taką samą liczbę elementów? Uczniowie prawdopodobnie w pierwszej kolejności będą proponować przeliczenie elementów w każdym ze zbiorów i porównanie otrzymanych wyników. Jeżeli nie wpadną sami na pomysł łączenia w pary, to można im to zasugerować, np. pytając jak sprawdzić czy w Azji mieszka tyle samo kobiet, co mężczyzn i podkreślając jednocześnie, że nie interesuje nas sama w sobie liczba osób poszczególnej płci, a jedynie odpowiedź na postawione pytanie. Dalej polecamy uczniom rozpatrzyć przypadek zbiorów nieskończonych i wspólnie dochodzimy do wniosku, że ręczne przeliczenie elementów tych zbiorów jest niemożliwe, natomiast dobieranie w pary tak. Wnioski z dyskusji formułujemy w postaci umowy: UMOWA! Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi, gdy ich elementy można połączyć w pary w taki sposób, że każdy element z pierwszego zbioru jest w parze z dokładnie jednym elementem drugiego zbioru oraz żaden element nie został bez pary. Proponujemy teraz uczniom zastanowienie się czy zbiory liczb całkowitych i naturalnych są równoliczne. Powinni oni bez problemu wskazać przykład połączenia w pary, który uzasadnia to stwierdzenie. 5. Ile jest liczb wymiernych dodatnich? Formułujemy przed uczniami następujący problem: Ile jest liczb wymiernych dodatnich? Warto przypomnieć uczniom jakie liczby nazywamy wymiernymi. Wydawać by się mogło, że liczb wymiernych jest znacznie więcej niż liczb całkowitych, gdyż między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi znajdziemy nieskończenie wiele liczb wymiernych, a samych liczb całkowitych jest nieskończenie wiele. Jeśli zobrazujemy tą sytuację na osi liczbowej [tablica] to przypomina wręcz morze liczb wymiernych, na którym gdzieniegdzie znajdują się odosobnione wysepki w postaci liczb całkowitych. Takie zobrazowanie nasuwa wniosek, że liczb wymiernych jest dużo więcej niż liczb całkowitych. Znak sprawy strona 2 z 6
3 Ale czy tak jest na pewno? 6. George Cantor Odpowiedzi na to pytanie poszukiwał George Cantor, niemiecki matematyk, który stworzył fundamenty współczesnej matematyki. Cantor urodził się w 1845 rok w Sankt Petersburgu. W 1856 roku jego rodzina przeniosła się do Niemiec, gdzie podjął na Uniwersytecie Berlińskim studia z matematyki, filozofii i fizyki. W 1874 roku Cantor opublikował jedną z najważniejszych prac w historii matematyki uważaną za fundament teorii mnogości. W 1917 roku zmarł w sanatorium, w którym spędził kilka ostatnich lat swojego życia. 7. Ile jest liczb wymiernych dodatnich (c. d.)? Cantor znalazł odpowiedź na postawione wcześniej pytanie pokazał, że zbiór liczb wymiernych dodatnich jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Zauważmy najpierw, że każdą liczbę wymierną możemy zapisać w postaci ułamka. Oczywiście przedstawień takich jest nieskończenie wiele, np.. Wynika stąd, że wszystkich liczb wymiernych dodatnich jest co najwyżej tyle, co wszystkich ułamków. Spróbujemy teraz pokazać połączenie w pary liczb naturalnych oraz ułamków. W tym celu skorzystamy z tablicy utworzonej w ten sposób, że na przecięciu p-tego wiersza i q-tej kolumny znajduje się ułamek. Elementy tej tablicy możemy połączyć w pary z kolejnymi liczbami naturalnymi zgodnie z kolejnością wyznaczoną przez strzałki. Wówczas otrzymamy następujące połączenie w pary: Znak sprawy strona 3 z 6
4 Pokazaliśmy zatem, że zbiór ułamków jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wcześniej zauważyliśmy, że liczb wymiernych jest co najwyżej tyle co ułamków. Jednocześnie każda liczba naturalna jest liczbą wymierną dodatnią. Dochodzimy zatem do wniosku, że liczb wymiernych dodatnich jest dokładnie tyle samo co liczb naturalnych. W podobny sposób można udowodnić, że wszystkich liczb wymiernych jest dokładnie tyle samo co liczb naturalnych. 8. Ile jest liczb rzeczywistych? W tej części zadajemy uczniom problem porównania zbioru liczb rzeczywistych i naturalnych. Dotychczasowe rozważania, które pokazały że zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych są równoliczne mogą podsunąć uczniom pomysł, że także i liczb rzeczywistych jest dokładnie tyle samo, ile jest liczb naturalnych. Polecam nie informować uczniów z góry o prawidłowej odpowiedzi na to pytanie. Zamiast tego można wykorzystać te głosy intuicji do przeprowadzenia dowodu nie wprost w sposób analogiczny do rozumowania jakie przeprowadził Cantor. Dla uproszczenia przypuśćmy najpierw, że wszystkich liczb rzeczywistych pomiędzy 0 i 1 jest dokładnie tyle samo, co liczb naturalnych. Oznacza to, że można połączyć w pary każdą liczbę naturalną z pewną liczbą rzeczywistą z przedziału (0,1) w taki sposób, aby żadna liczba rzeczywista nie została bez pary. Łączenie to możemy przedstawić w formie następującej tabeli: n Zapiszmy te liczby jedna pod drugą w formie nieskończonej tablicy ilustrującej poszczególne cyfry rozwinięcia dziesiętnego tych liczb: Znak sprawy strona 4 z 6
5 =0, =0, =0, =0, =0, =0, =0, =0, Rozpatrzmy teraz liczbę postaci 2 gdzie. Liczba ta jest większa od 0 i mniejsza od 1, jest różna od wszystkich liczb, ale jednocześnie nie występuje w żadnej parze z liczbą naturalną. Zatem przypuszczenie, że liczb rzeczywistych większych od 0 i mniejszych od 1 doprowadziło nas do sprzeczności. W szczególności oznacza to, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie może być równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Uwaga! Niektórym uczniom warunek może wydać się niejasny. Warto wówczas zilustrować rozumowanie na konkretnym przykładzie. 9. Podsumowanie zajęć QUIZ. Jako podsumowanie wykładu proponuję krótki quiz sprawdzający ile uczniowie zapamiętali z zajęć. Pytanie nr 1 Podaj dowolny rok, w którym żył Galileusz (Odpowiedź: ) 2 Milcząco umawiamy się tutaj, że zapis nie oznacza iloczynu tylko symbolizuje zapisane obok siebie kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby b. Znak sprawy strona 5 z 6
6 Pytanie nr 2 W którym roku Cantor opublikował swoją przełomową pracę, która stanowi fundamenty współczesnej matematyki? (Odpowiedź: 1874) Pytanie nr 3 Wybierz stwierdzenie prawdziwe: A. Liczb całkowitych jest mniej więcej dwa razy więcej niż liczb naturalnych. B. Liczb rzeczywistych jest dokładnie tyle samo, co liczb wymiernych. C. Zbiory liczb całkowitych i naturalnych są równoliczne. (Odpowiedź: C) Pytanie nr 4 Paradoks Galileusza polegał na tym, że: A. Kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo co liczb naturalnych. B. Zbiory liczb całkowitych i naturalnych są równoliczne. C. Zbiory liczb rzeczywistych i naturalnych nie są równoliczne. (Odpowiedź: A) Pytanie nr 5 Który matematyk udowodnił, że zbiory liczb rzeczywistych oraz naturalnych nie są równoliczne? A. Przemysław Pela B. George Cantor C. Galileusz (Odpowiedź: B) Opracowanie: Przemysław Pela, Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu. W konspekcie zajęć wykorzystano materiały dostępne w Archipelagu Matematyki ( Poznań, kwiecień 2013 rok Znak sprawy strona 6 z 6
Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
Bardziej szczegółowoMatematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej
Matematyka II - Organizacja zajęć Wykład (45 godz.): 30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarz poniedziałek godz.11.45 15 godzin - środa godz. 13.30 (tygodnie nieparzyste) s. A Egzamin w sesji letniej
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoA) 0,84; B) 8,4; C) 0,084; D) 0,0084; jest równa: ; C) 1; D) 0;
MATEMATYKA kl. VI Liczby wymierne Wersja A 1. Wynikiem dodawania ułamków i 4 jest: A) 7 ; B) 1 ; C) 1 1 ; D) 6 7 ;. Liczbę 0,1 można zapisać w postaci ułamka: A) 1,; B). Wynikiem mnożenia 0,7 0,1 jest:
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w klasie V. Temat: Przykłady potęg o wykładniku naturalnym - (2 godziny).
Scenariusz lekcji matematyki w klasie V Temat: Przykłady potęg o wykładniku naturalnym - ( godziny). Zadania lekcji: 1. Przypomnienie i usystematyzowanie podstawowych wiadomości dotyczących kwadratu i
Bardziej szczegółowoLista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz.
Lista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz. Na początek wypiszmy elementy obu zbiorów: A jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych, które podniesione
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoSkrypt 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. 3. Obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi liczbowej
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie
Bardziej szczegółowoStudenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Sprawozdanie z działalności Studenckiego Interdyscyplinarnego
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka)
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowo5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 8
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 8 Scenariusze na temat objętości Niestety scenariusze są słabe, średnia: 1,21 p./3p. Wiele osób zapomniało,
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoSkrypt 31. Powtórzenie do matury Liczby rzeczywiste
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 31 Powtórzenie do matury
Bardziej szczegółowoKlasa 6. Liczby dodatnie i liczby ujemne
Klasa 6 Liczby dodatnie i liczby ujemne gr A str 1/3 imię i nazwisko klasa data 1 Wyobraź sobie, że na osi liczbowej zaznaczono liczby: 6, 7, 1, 3, 2, 1, 0, 3, 4 Ile z nich znajduje się po lewej stronie
Bardziej szczegółowoStudenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Autor: Paweł Perekietka, V Liceum Ogólnokształcące im. Klaudyny
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoO liczbach niewymiernych
O liczbach niewymiernych Agnieszka Bier Spotkania z matematyką jakiej nie znacie ;) 8 stycznia 0 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoTemat: Pojęcie potęgi i wykładniczy zapis liczb. Część I Potęga o wykładniku naturalnym
PRZELICZANIE JEDNOSTEK MIAR Kompleks zajęć dotyczący przeliczania jednostek miar składa się z czterech odrębnych zajęć, które są jednak nierozerwalnie połączone ze sobą tematycznie w takiej sekwencji,
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 8
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 8 Scenariusze na temat objętości Pominięcie definicji poglądowej objętości kolosalny błąd (w podsumowaniu
Bardziej szczegółowoCele nauczania: a)poznawcze: Cele ogólne kształcenia: -uczeń umie odejmować ułamki dziesiętne. Aktywności matematyczne:
Konspekt lekcji matematyki: Klasa: czwarta Prowadzący: Elżbieta Kruczek, nauczyciel Samorządowej Szkoły Podstawowej w Brześciu (z wykorzystaniem podręcznika Matematyka z plusem) Temat: Odejmowanie ułamków
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach
Bardziej szczegółowoLiliana Komorowska Gimnazjum Publiczne w Taczanowie Drugim. Porównywanie liczb wymiernych Scenariusz lekcji dla klasy I gimnazjum
Liliana Komorowska Gimnazjum Publiczne w Taczanowie Drugim Porównywanie liczb wymiernych Scenariusz lekcji dla klasy I gimnazjum Cele operacyjne Uczeń : 1. wskazuje spośródzbioruliczbwartości najmniejsze
Bardziej szczegółowoMatematyka z kalkulatorem graficznym
I Wojewódzki Konkurs Matematyka z kalkulatorem graficznym ZSDiOŚ im. Jana Zamoyskiego w Zwierzyńcu Finał 206r. DATA: 28 października 206r. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 0.00 CZAS PRACY: 60 minut. LICZBA PUNKTÓW:
Bardziej szczegółowoKURS MATURA ROZSZERZONA część 1
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA 1 Liczby rzeczywiste ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 10 2 2019 684 168 2 Dane
Bardziej szczegółowoa) Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych. licznik
Scenariusz lekcji przeprowadzonej w klasie IV c Szkoły Podstawowej nr im. Ks. Stanisława Konarskiego w Jarosławiu dnia 0.0.01r. Przedmiot nauczania: Matematyka. Klasa: IV c Temat lekcji: Porównywanie niektórych
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ ZAJĘĆ KLASY IV A Z UŻYCIEM TIK
SCENARIUSZ ZAJĘĆ KLASY IV A Data: 20.04.2018r. Temat zajęć: Skracamy ułamki zwykłe Opanuję umiejętność upraszczania ułamków. Metody: pogadanka, ćwiczenia praktyczne. Pomoce dydaktyczne: komputer z dostępem
Bardziej szczegółowoAlgebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Algebra zbiorów Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria mnogości Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się
Bardziej szczegółowoKONSPEKT ZAJĘĆ KOŁA INFORMATYCZNEGO LUB MATEMATYCZNEGO W KLASIE III GIMNAZJUM LUB I LICEUM ( 2 GODZ.)
Joanna Osio asiaosio@poczta.onet.pl Nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie KONSPEKT ZAJĘĆ KOŁA INFORMATYCZNEGO LUB MATEMATYCZNEGO W KLASIE III GIMNAZJUM LUB I LICEUM ( 2 GODZ.)
Bardziej szczegółowoMateriały dla finalistów
Materiały dla finalistów Malachoviacus Informaticus 2016 11 kwietnia 2016 Wprowadzenie Poniższy dokument zawiera opisy zagadnień, które będą niezbędne do rozwiązania zadań w drugim etapie konkursu. Polecamy
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowozaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:
1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoTemat: Pole równoległoboku.
Scenariusz lekcji matematyki w klasie V Temat: Pole równoległoboku. Ogólne cele edukacyjne - rozwijanie umiejętności posługiwania się językiem matematycznym - rozwijanie wyobraźni i inwencji twórczej -
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE
GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie I gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne
Bardziej szczegółowoMatematyczna wieża Babel. 6. Nieskończoność i myślaki materiały do ćwiczeń
Matematyczna wieża Babel. 6. Nieskończoność i myślaki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 23 maja 2019 1 Nieskończoność Zbiory A i B są równoliczne (co oznaczane
Bardziej szczegółowoKlasa 6. Liczby dodatnie i liczby ujemne
Klasa 6 Liczby dodatnie i liczby ujemne gr A str 1/3 imię i nazwisko klasa data 1 Wyobraź sobie, że na osi liczbowej zaznaczono liczby: 6, 7, 1, 3, 2, 1, 0, 3, 4 Ile z nich znajduje się po lewej stronie
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoCzym jest liczba π? O liczbie π. Paweł Zwoleński. Studenckie Koło Naukowe Matematyków Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechnika Śląska
Studenckie Koło Naukowe Matematyków Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechnika Śląska 200.03.4 Motywacja wprowadzenia π Kluczowym momentem w historii liczby π było zauważenie przez starożytnych Babilończyków
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoTemat zajęć Alternatywne sposoby otrzymywania energii cieplnej
Temat zajęć Alternatywne sposoby otrzymywania energii cieplnej Klasa: I-III gimnazjum Związek z programem nauczania: fizyka-zjawiska fizyczne i procesy, pojęcia: zasoby, paliwo, energia cieplna, odnawialne/nieodnawialne
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ ZAJĘĆ SZKOLNEGO KOŁA NAUKOWEGO Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA PROWADZONEGO W RAMACH PROJEKTU AKADEMIA UCZNIOWSKA. Temat lekcji: Liczby firankowe
SCENARIUSZ ZAJĘĆ SZKOLNEGO KOŁA NAUKOWEGO Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA PROWADZONEGO W RAMACH PROJEKTU AKADEMIA UCZNIOWSKA Temat lekcji: Liczby firankowe Na podstawie pracy Joanny Jędrzejczyk oraz jej uczniów.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum
WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej oceny głównej. (Znaki + i -
Bardziej szczegółowoDo gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie
Rozmieszczenie liczb pierwszych Wprowadzamy funkcję π(x) def = p x 1, liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze
Bardziej szczegółowoJeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Bardziej szczegółowoWYNIKI BADAŃ NAD ATRAKCYJNOŚCIĄ ZAJĘĆ PROWADZONYCH PRZY ZASTOSOWANIU TABLICY INTERAKTYWNEJ
73 WYNIKI BADAŃ NAD ATRAKCYJNOŚCIĄ ZAJĘĆ PROWADZONYCH PRZY ZASTOSOWANIU TABLICY INTERAKTYWNEJ Małgorzata Nodzyńska Zakład Dydaktyki Chemii, Instytut Biologii, Akademia Pedagogiczna im. KEN, Kraków słowa
Bardziej szczegółowoLICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV
LICZBY POWTÓRKA ZADANIE (3 PKT) W tabeli zapisano cztery liczby. I (0, 2) 0 II (2, 5) 5 ( III 25 ) 2 ( 25 ) 3 IV 2 5 5 Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E)
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowoEgzamin gimnazjalny. Matematyka. Także w wersji online TRENING PRZED EGZAMINEM. Sprawdź, czy zdasz!
Egzamin gimnazjalny Matematyka TRENING PRZED EGZAMINEM Także w wersji online Sprawdź, czy zdasz! Spis treści Zestaw 1: Liczby wymierne dodatnie 5 Zestaw : Liczby wymierne 10 Zestaw 3: Potęgi 17 Zestaw
Bardziej szczegółowoW zapisie pewnej liczby w systemie rzymskim dwa znaki zastąpiono. D CC LVI Uzasadnij, że liczba ta jest mniejsza od 850.
Zadanie. Czy prawdą jest, że liczba LXV jest mniejsza od liczby XCVIII? Wybierz odpowiedź (tak) lub (nie) i jej uzasadnienie spośród zdań A- A. liczba LXV jest mniejsza od 70, a liczba XCVIII jest większa
Bardziej szczegółowoWokół Problemu Steinhausa z teorii liczb
Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Konferencja MathPAD 0 Piotr Jędrzejewicz Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatu jest przedstawienie sposobu wykorzystania
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,
Bardziej szczegółowoWŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH
Dorota Sasiuk WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH WSTĘP... WIADOMOŚCI WSTĘPNE... 3. DEFINICJA FUNKCJI:... 3. DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA FUNKCJACH:... 3.3 ZŁOŻENIE FUNKCJI:... 3.4 FUNKCJA ODWROTNA:... 4.5 FUNKCJA
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe 0 = 4 4 + 4 4, 2 = 4: 4 + 4: 4, 3 = 4 4: 4 4, 4 = 4 4 : 4 + 4, 6 = 4 + (4 + 4): 4, 7 =
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przez p, q będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną 0, gdy jest fałszywe. Oznaczmy wartość
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe Zadanie domowe Liczby naturalne (Sztuka nauczania matematyki w szkole podstawowej i gimnazjum,
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 1
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 1 https://mat.ug.edu.pl/~matpz/ matpz@mat.ug.edu.pl Ocena aktywność na ćwiczeniach (ekstra punkty 5 p.)
Bardziej szczegółowoLISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcyjny Obliczanie pierwiastków dowolnego stopnia i stosowanie praw działań na pierwiastkach. Scenariusz lekcyjny
Scenariusz lekcyjny Data: 25 wrzesień 2012 rok. Klasa: I c liceum ogólnokształcące (profil bezpieczeństwo wewnętrzne). Czas trwania zajęć: 45 minut. Nauczany przedmiot: matematyka. Program nauczania: program
Bardziej szczegółowoTemat: Liczby definicje, oznaczenia, własności. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę A n n a R a j f u r a, M a
Bardziej szczegółowoTemat 20. Techniki algorytmiczne
Realizacja podstawy programowej 5. 1) wyjaśnia pojęcie algorytmu, podaje odpowiednie przykłady algorytmów rozwiązywania różnych problemów; 2) formułuje ścisły opis prostej sytuacji problemowej, analizuje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:
WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowo