Metody stochastyczne w zarz dzaniu ryzykiem

Transkrypt

1 O niegaussowskiej naturze danych Instytut Matematyczny Politechnika Krakowska Kraków Kraków,8 grudnia 2012

2 Plan referatu I 1 Uj cie stochastyczne Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? 2 3 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka 4 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli

3 Plan referatu II Zastosowanie do estymacji VaR 5 Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego 6 7

4 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Denicje Niech X = {X (t); t Z} szereg czasowy (np. cena aktywa). Wtedy zwrot arytmetyczny to R t = Xt X t 1 X t 1 zwrot geometryczny to R t = log( Xt X t 1 ) Zwrot geometryczny stosowany jest w przypadku zwi kszonej i zmiennej wariancji X = {X (t); t Z}.

5 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Przykªady IPC - indice des precios y cotizaciones (Meksyk) TAURON

6 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Niech F - dowolna dystrybuanta. Kwantylem q α rz du α z F nazywamy: q α = inf{s R : F (s) α}, gdzie 0 < α < 1. Podobnie, dystrybuanta odwrotna F 1 do F to F 1 (v) = inf{s R : F (s) v} for v (0, 1).

7 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Obliczamy kwantyle zwroty z IPC zwroty z TAURON

8 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Podej±cie gaussowskie - wariancja! Szereg czasowy {X (t) ; t R} nazywany jest gaussowskim je±li dla ka»dego k i ka»dego t 1,..., t k R mamy (X (t 1 ),..., X (t k )) d = N k (µ(t 1,..., t k ), Σ(t 1,..., t k ))

9 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? FAKT Je±li X ma rozkªad N (µ, σ) to q α = µ + σ z α gdzie z α to α - kwantyl z N(0,1). Wniosek: ryzyko uto»samiane jest z badaniem macierzy wariancjikowariancji je±li szereg jest gaussowski.

10 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Niegaussowska natura obserwacji Niestety, w praktyce bardzo rzadko speªnione jest zaªo»enie gaussowsko±ci szeregu czasowego Gaussowsko± - trudna do sprawdzenia dla danych wielowymiarowych i skorelowanych

11 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Podej±cie nieparametryczne :) Od lat 1970 w rachunku prawdopodobie«stwa i statystyce znane sa rezultaty o metodach estymacji kwantyla bez zal. normalno±ci :( Rezultaty niezbyt dobrze dziaªaja dla danych skorelowanych.

12 Opowie± o chi«skiej latarni Zgubili±my po drodze w nocy klucze Szukamy ich pod latarnia Bo ja±niej

13 Macierz wariancji-kowariancji W modelu gaussowskim zagadnieniem estymacji ryzyka sprowadza sie do estymacji macierzy Σ(t 1,..., t k ). Dlatego wielka popularno± modeli stacjonarnych (ARMA, GARCH).

14 Momenty i rozkªady Rozkªady gaussowskie sa caªkowicie charakteryzowane poprzez ich warto± oczekiwana i macierz wariancji kowariancji Znajomo± charakterystyk pierwszego i drugiego rzedu daje peªny opis rozkªadu danego zjawiska Pod latarnia ja±niej... :)

15 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Przedziaª ufno±ci Niech X 1,..., X n - n.z.l z rozkªadu F. Niech θ parametr F. Wnioskowanie statystyczne ma trzy zasadniczeg cele: Konstrukcja optymalnych estymatorów ˆθ of θ Konstrukcja przedziaªów ufno±ci dla nieznanego parametru θ Konstrukcja testów dla parametru θ

16 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Rozkªad próbkowy estymatora Niech X 1,..., X n - n.z.l z dystrybuanty F. Cel: konstrukcja przedziaªów ufno±ci dla µ = E F X. Zamiast (CTG) ˆµ n ± z α/2 SE(ˆµ n ) mo»na zastosowa metode nieparametrycznego bootstrapu. Krok 1: Losujemy ze zwracaniem X1 1,..., X n 1 z X 1,..., X n. Krok 2: Obliczamy µ 1 n = 1 n n j=1 X j 1. Krok 3: Powtarzamy Krok 1 i 2 B razy aby otrzyma replikacje µ 1 n,..., µ B n. Krok 4: Obliczamy przedziaªy ufno±ci z na podstawie Kroku 3.

17 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Przykªady przedziaªy ufno±ci dla wsp. korelacji przedziaªy ufno±ci dla parametru ϕ modelu AR(1): X t = ϕ X t 1 + ɛ t przedziaªy ufno±ci dla kwantyla

18 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Metoda MBB Tworzymy bloki B i = (X i,..., X i+b 1 ) dlug. b z szeregu czasowego {X 1,..., X n }. Dla wygody, zakl. n = kb. Losujemy z zestawu bloków B 1,..., B n b+1 k razy. Wylosowane bloki zestawiamy tworzac nowa próbke Ponownie obliczamy warto±ci estymatora na tak utworzonej próbce i otrzymujemy przybli»ony rozkªad estymatora Uwaga:Metoda MBB dziaªa dobrze tylko dla stacjonarnych szeregóww czasowych. O lekkich ogonach.

19 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Metoda subsamplingu Tworzymy bloki B i = (X i,..., X i+b 1 ) dlug. b z szeregu czasowego {X 1,..., X n } Obliczamy warto± estymatora na ka»dej z takich podpróbek Otrzymujemy przybli»ony rozkªad estymatora Metoda subsamplingu dziaªa w bardzo du»ej klasie stacjonarnych i niestacjonarnych szer. czasowych, równie» dla cie»kich ogonów.

20 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Metoda GSBB Dziaªanie tej metody wyja±nimy w szczeg. przypadku niestacjonarnego szeregu czasowego: chodzi o szereg czasowy okresowo skorelowany. Niech P - okres ±redniej badanego szeregu. Niech T dªugo± próbki. Dla prostoty, zaªó»my»e T = wp, gdzie w caªkowite. Niech b dlug bloku, b ale b 0. Dla T prostoty zakl. T = lb, gdzie l jest caªkowite.

21 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Krok 1 Dla t = 1, b + 1, 2b + 1,..., (l 1)b + 1 deniujemy ( X t, X t+1,..., X t+b 1) def = (X kt, X kt+1,..., X kt+b 1) W tym kroku tworzymy l bloków o dlug. b ropoczynajaych sie w t. Indeks k t ma jednostajny dyskretny rozkl. na {t, t + 1P, t + 2P,..., t + (w 1)P}. Krok 2 Šaczymy bloki otrzymane w bloku 1 aby otrzyma próbke bootstrapowa {X1 1,..., X T 1 }. Na tej próbce obliczamy ponownie warto± estymatora (np ±redniej albo kowariancji). Krok 3 Powtarzamy krok 2 B razy celem otrzymania przybli»onego rozkªadu estymatora.

22 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Przykªad-biegacz Figure : Improved estimator ˆf IMP with GSBB condence intervals.

23 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Estymacja warto±ci nara»onej na ryzyko Przykªad IPC Przykªad TAURON

24 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Przykªad: Niech H(x 1, x 2 ) bedzie rozkªadem dwuwymiarowym i niech F 1 (x 1 ) and F 2 (x 2 ) rozkªady brzegowe zwiazane z H. Mo»emy wybra taka funkcje C»e x 1, x 2 R, H(x 1, x 2 ) = C(F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 )). (1) Podobnie w przypadku sko«czenie wymiarowym.

25 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Normalne brzegowe F 1, F 2 z niegaussowskim ªacznym rozkªadem H Rozwa»my nastepujaca funkcje kopuli: C(u, v) = u + v 1 + (1 u)(1 v)e 1 2 ln(1 u)ln(1 v). 2. Kopula Archimedesa. C θ (u, v) = max(1 [(1 u) θ + (1 v) θ ] 1 θ, 0). 3. Kopula Studenta (Nelsen (1999) C ρ,ν (u, v) = t 1 ν (u) t 1 ν (v) Γ( ν+2 ν ) 2ρrs + Γ( ν 2 )νπ 1 ρ 2 (1+r2 s2 ν(1 ρ 2 ) gdzie ρ jest parametrem kopuli natomiast ν jest ilo±cia stopni swobody. ) 1 2 (ν+2) (2)

26 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Model GARCH Szereg czasowy {ε t } t Z odpowiada modelowi GARCH(p,q) model gdy ε t = h t η t, where h t = α 0 + q i=1 α iε 2 t i + p j=1 β jh t j.(3)

27 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Model APARCH Szereg czasowy {ε t } t Z ma posta APARCH(p,q), je±li dla dow. t zachodzi: gdzie σ δ t = α 0 + ε t = σ t η t, q α i ( ε t i γ i ε t i ) δ + i=1 p β j σt j. δ (4) W pow. równaniu symbol {η t } to innowacje o ±redniej zero i wariancji jeden. j=1

28 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Estymacja kopuli 1 Wybieramy wªa±ciwy model (GARCH, APARCH etc). Estymujemy funkcje wolatylno±ci {h t } oraz rozkªady warunkowe {ε i }. Dla portfela zªo»onego z dwu pozycji mamy dwa szeregi czasowe {x t } t T i {y t } t T. 2 Tworzymy {u t } t T oraz {v t } t T - niezale»ne jednostajne (0,1) pochodzace od szeregów x i y. 3 Estymujemy funkcje kopuli z wykorzystaniem szeregów u i v.

29 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR DAX i WIG Table : Parametry GARCH(1,1) dla WIG20 Estimate Std. Error t value Pr(> t ) µ 9.956e e * α e e α e e ** β e e < 2e-16 *** λ 9.801e e < 2e-16 *** ν 9.066e e *** LLF AIC

30 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR DAX i WIG Table : Parametry APARCH(1,1),δ = 2 dla DAX Estimate Std. Error t value Pr(> t ) µ 6.106e e * α e e ** α e e * γ e ** β e e <2e-16 *** λ 8.471e e < 2e-16 *** ν 1.080e e ** LLF AIC

31 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Figure : Comparison of empirical quantiles and normal distribution quantiles for the returns of Warsaw Stock Index WIG20 (on the left side) and for the standarized residuals form GARCH model(on the right side)

32 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Figure : Comparison of empirical quantiles and normal distribution quantiles for the returns of DAX (on the left side) and for the standarized residuals from APARCH model (on the right side)

33 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Figure : Return of portfolio and 95% VaR

34 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Z pomoca bootstrapu - I Figure : 95 percent condence intervals for 5 percent VaR

35 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Z pomoca bootstrapu - II Figure : 99 percent condence intervals for 1 percent VaR

36 Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Rzecz o ω W teorii modelowania stochastycznego zakªadamy,»e mamy dostep do wielu realizacji procesu (szeregu czasowego). Je±li tak nie jest, to PRZY ZAŠO ENIU ERGODYCZNO CI mo»na zamiast wielu realizacji analizowa wydlu»ajacy sie odcinek czasowy ZAŠO ENIE ERGODYCZNO CI nie jest werykowalne w praktyce!

37 Podstawy FOT (FOT 101) Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego W modelu FOT analizujemy signaªy x(t), t R jako funkcje (deterministyczne!). Dystrybuanta jest generowana przez przej±cia przez poziom generowane przez x(t). Deniujemy: Dystrybuanta empiryczna FOT F T,x,t0 (ξ) = 1 T µ{u [t 0, t 0 + T ]; x(u) ξ}. Dystrybuanta teoretyczna F x,t0 (ξ) = lim T F T,x,t0 (ξ). Dla du»ej klasy funkcji (funkcje relatywnie mierzalne) granica istnieje i nie zale»y od t 0 (Przypadek FOT stacjonarny ).

38 FOT 101-c.d. Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Deniujemy Momenty teoretyczne m k = R ξdf x(ξ). Momenty empiryczne ˆm k = R ξdf T,x(ξ) Kowariancje poprzez ªaczne rozkªady FOT Šaczne rozkªady FOT. We¹my x(t) i x(t + τ). F joint (ξ 1, ξ 2 ) = 1 lim T T µ{u [ T /2, T /2]; x(u) ξ 1, x(u + τ) ξ 2 }

39 FOT 101-c.d. Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Gdy mamy ªaczne rozkªady FOT x(t) i x(t + τ) deniujemy próbkowa autokowariancje R T t 0,x jako Rt T 0,x = ξ 1 ξ 2 df joint (ξ 1, ξ 2 ). R 2

40 Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Analizowany sygnaª x(t) - cena KGHM. Cel: predykcja VaR (horyzont 20 dniowy).

41 Prezentowane rezultaty se efektem wspólnej pracy zespoªu badawczego w skªadzie Anna Dudek (AGH), Dominique Dehay (Universite de Rennes), Soane Maiz(LASPI Roanne), Antonio Napolitano (Universita de Parthenope).

42 Dehay,Dudek, Le±kow (2012), Subsampling for continuous-time nonstationary stochastic processes, submitted Hurd (1991) Correlation theory of almost periodically correlated processes, J. Multivariate Anal Lenart,Le±kow, Synowiecki, Subampling in estimation of autocovariance for PC time series, J. Time Ser. Anal. 29 (2008) K.S. Lii, M. Rosenblatt, Spectral analysis for harmonizable processes, Ann. Statist. 30 (2002) K. Sabri, M. El Badaoui, F. Guillet, A. Belli, G. Millet, and J.B. Morin,, Cyclostationary modelling of ground reaction force signals, Sig. Proc. 90 (2010)