Metody stochastyczne w zarz dzaniu ryzykiem

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody stochastyczne w zarz dzaniu ryzykiem"

Transkrypt

1 O niegaussowskiej naturze danych Instytut Matematyczny Politechnika Krakowska Kraków Kraków,8 grudnia 2012

2 Plan referatu I 1 Uj cie stochastyczne Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? 2 3 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka 4 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli

3 Plan referatu II Zastosowanie do estymacji VaR 5 Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego 6 7

4 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Denicje Niech X = {X (t); t Z} szereg czasowy (np. cena aktywa). Wtedy zwrot arytmetyczny to R t = Xt X t 1 X t 1 zwrot geometryczny to R t = log( Xt X t 1 ) Zwrot geometryczny stosowany jest w przypadku zwi kszonej i zmiennej wariancji X = {X (t); t Z}.

5 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Przykªady IPC - indice des precios y cotizaciones (Meksyk) TAURON

6 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Niech F - dowolna dystrybuanta. Kwantylem q α rz du α z F nazywamy: q α = inf{s R : F (s) α}, gdzie 0 < α < 1. Podobnie, dystrybuanta odwrotna F 1 do F to F 1 (v) = inf{s R : F (s) v} for v (0, 1).

7 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Obliczamy kwantyle zwroty z IPC zwroty z TAURON

8 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Podej±cie gaussowskie - wariancja! Szereg czasowy {X (t) ; t R} nazywany jest gaussowskim je±li dla ka»dego k i ka»dego t 1,..., t k R mamy (X (t 1 ),..., X (t k )) d = N k (µ(t 1,..., t k ), Σ(t 1,..., t k ))

9 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? FAKT Je±li X ma rozkªad N (µ, σ) to q α = µ + σ z α gdzie z α to α - kwantyl z N(0,1). Wniosek: ryzyko uto»samiane jest z badaniem macierzy wariancjikowariancji je±li szereg jest gaussowski.

10 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Niegaussowska natura obserwacji Niestety, w praktyce bardzo rzadko speªnione jest zaªo»enie gaussowsko±ci szeregu czasowego Gaussowsko± - trudna do sprawdzenia dla danych wielowymiarowych i skorelowanych

11 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Podej±cie nieparametryczne :) Od lat 1970 w rachunku prawdopodobie«stwa i statystyce znane sa rezultaty o metodach estymacji kwantyla bez zal. normalno±ci :( Rezultaty niezbyt dobrze dziaªaja dla danych skorelowanych.

12 Opowie± o chi«skiej latarni Zgubili±my po drodze w nocy klucze Szukamy ich pod latarnia Bo ja±niej

13 Macierz wariancji-kowariancji W modelu gaussowskim zagadnieniem estymacji ryzyka sprowadza sie do estymacji macierzy Σ(t 1,..., t k ). Dlatego wielka popularno± modeli stacjonarnych (ARMA, GARCH).

14 Momenty i rozkªady Rozkªady gaussowskie sa caªkowicie charakteryzowane poprzez ich warto± oczekiwana i macierz wariancji kowariancji Znajomo± charakterystyk pierwszego i drugiego rzedu daje peªny opis rozkªadu danego zjawiska Pod latarnia ja±niej... :)

15 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Przedziaª ufno±ci Niech X 1,..., X n - n.z.l z rozkªadu F. Niech θ parametr F. Wnioskowanie statystyczne ma trzy zasadniczeg cele: Konstrukcja optymalnych estymatorów ˆθ of θ Konstrukcja przedziaªów ufno±ci dla nieznanego parametru θ Konstrukcja testów dla parametru θ

16 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Rozkªad próbkowy estymatora Niech X 1,..., X n - n.z.l z dystrybuanty F. Cel: konstrukcja przedziaªów ufno±ci dla µ = E F X. Zamiast (CTG) ˆµ n ± z α/2 SE(ˆµ n ) mo»na zastosowa metode nieparametrycznego bootstrapu. Krok 1: Losujemy ze zwracaniem X1 1,..., X n 1 z X 1,..., X n. Krok 2: Obliczamy µ 1 n = 1 n n j=1 X j 1. Krok 3: Powtarzamy Krok 1 i 2 B razy aby otrzyma replikacje µ 1 n,..., µ B n. Krok 4: Obliczamy przedziaªy ufno±ci z na podstawie Kroku 3.

17 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Przykªady przedziaªy ufno±ci dla wsp. korelacji przedziaªy ufno±ci dla parametru ϕ modelu AR(1): X t = ϕ X t 1 + ɛ t przedziaªy ufno±ci dla kwantyla

18 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Metoda MBB Tworzymy bloki B i = (X i,..., X i+b 1 ) dlug. b z szeregu czasowego {X 1,..., X n }. Dla wygody, zakl. n = kb. Losujemy z zestawu bloków B 1,..., B n b+1 k razy. Wylosowane bloki zestawiamy tworzac nowa próbke Ponownie obliczamy warto±ci estymatora na tak utworzonej próbce i otrzymujemy przybli»ony rozkªad estymatora Uwaga:Metoda MBB dziaªa dobrze tylko dla stacjonarnych szeregóww czasowych. O lekkich ogonach.

19 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Metoda subsamplingu Tworzymy bloki B i = (X i,..., X i+b 1 ) dlug. b z szeregu czasowego {X 1,..., X n } Obliczamy warto± estymatora na ka»dej z takich podpróbek Otrzymujemy przybli»ony rozkªad estymatora Metoda subsamplingu dziaªa w bardzo du»ej klasie stacjonarnych i niestacjonarnych szer. czasowych, równie» dla cie»kich ogonów.

20 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Metoda GSBB Dziaªanie tej metody wyja±nimy w szczeg. przypadku niestacjonarnego szeregu czasowego: chodzi o szereg czasowy okresowo skorelowany. Niech P - okres ±redniej badanego szeregu. Niech T dªugo± próbki. Dla prostoty, zaªó»my»e T = wp, gdzie w caªkowite. Niech b dlug bloku, b ale b 0. Dla T prostoty zakl. T = lb, gdzie l jest caªkowite.

21 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Krok 1 Dla t = 1, b + 1, 2b + 1,..., (l 1)b + 1 deniujemy ( X t, X t+1,..., X t+b 1) def = (X kt, X kt+1,..., X kt+b 1) W tym kroku tworzymy l bloków o dlug. b ropoczynajaych sie w t. Indeks k t ma jednostajny dyskretny rozkl. na {t, t + 1P, t + 2P,..., t + (w 1)P}. Krok 2 Šaczymy bloki otrzymane w bloku 1 aby otrzyma próbke bootstrapowa {X1 1,..., X T 1 }. Na tej próbce obliczamy ponownie warto± estymatora (np ±redniej albo kowariancji). Krok 3 Powtarzamy krok 2 B razy celem otrzymania przybli»onego rozkªadu estymatora.

22 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Przykªad-biegacz Figure : Improved estimator ˆf IMP with GSBB condence intervals.

23 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Estymacja warto±ci nara»onej na ryzyko Przykªad IPC Przykªad TAURON

24 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Przykªad: Niech H(x 1, x 2 ) bedzie rozkªadem dwuwymiarowym i niech F 1 (x 1 ) and F 2 (x 2 ) rozkªady brzegowe zwiazane z H. Mo»emy wybra taka funkcje C»e x 1, x 2 R, H(x 1, x 2 ) = C(F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 )). (1) Podobnie w przypadku sko«czenie wymiarowym.

25 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Normalne brzegowe F 1, F 2 z niegaussowskim ªacznym rozkªadem H Rozwa»my nastepujaca funkcje kopuli: C(u, v) = u + v 1 + (1 u)(1 v)e 1 2 ln(1 u)ln(1 v). 2. Kopula Archimedesa. C θ (u, v) = max(1 [(1 u) θ + (1 v) θ ] 1 θ, 0). 3. Kopula Studenta (Nelsen (1999) C ρ,ν (u, v) = t 1 ν (u) t 1 ν (v) Γ( ν+2 ν ) 2ρrs + Γ( ν 2 )νπ 1 ρ 2 (1+r2 s2 ν(1 ρ 2 ) gdzie ρ jest parametrem kopuli natomiast ν jest ilo±cia stopni swobody. ) 1 2 (ν+2) (2)

26 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Model GARCH Szereg czasowy {ε t } t Z odpowiada modelowi GARCH(p,q) model gdy ε t = h t η t, where h t = α 0 + q i=1 α iε 2 t i + p j=1 β jh t j.(3)

27 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Model APARCH Szereg czasowy {ε t } t Z ma posta APARCH(p,q), je±li dla dow. t zachodzi: gdzie σ δ t = α 0 + ε t = σ t η t, q α i ( ε t i γ i ε t i ) δ + i=1 p β j σt j. δ (4) W pow. równaniu symbol {η t } to innowacje o ±redniej zero i wariancji jeden. j=1

28 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Estymacja kopuli 1 Wybieramy wªa±ciwy model (GARCH, APARCH etc). Estymujemy funkcje wolatylno±ci {h t } oraz rozkªady warunkowe {ε i }. Dla portfela zªo»onego z dwu pozycji mamy dwa szeregi czasowe {x t } t T i {y t } t T. 2 Tworzymy {u t } t T oraz {v t } t T - niezale»ne jednostajne (0,1) pochodzace od szeregów x i y. 3 Estymujemy funkcje kopuli z wykorzystaniem szeregów u i v.

29 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR DAX i WIG Table : Parametry GARCH(1,1) dla WIG20 Estimate Std. Error t value Pr(> t ) µ 9.956e e * α e e α e e ** β e e < 2e-16 *** λ 9.801e e < 2e-16 *** ν 9.066e e *** LLF AIC

30 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR DAX i WIG Table : Parametry APARCH(1,1),δ = 2 dla DAX Estimate Std. Error t value Pr(> t ) µ 6.106e e * α e e ** α e e * γ e ** β e e <2e-16 *** λ 8.471e e < 2e-16 *** ν 1.080e e ** LLF AIC

31 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Figure : Comparison of empirical quantiles and normal distribution quantiles for the returns of Warsaw Stock Index WIG20 (on the left side) and for the standarized residuals form GARCH model(on the right side)

32 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Figure : Comparison of empirical quantiles and normal distribution quantiles for the returns of DAX (on the left side) and for the standarized residuals from APARCH model (on the right side)

33 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Figure : Return of portfolio and 95% VaR

34 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Z pomoca bootstrapu - I Figure : 95 percent condence intervals for 5 percent VaR

35 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Z pomoca bootstrapu - II Figure : 99 percent condence intervals for 1 percent VaR

36 Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Rzecz o ω W teorii modelowania stochastycznego zakªadamy,»e mamy dostep do wielu realizacji procesu (szeregu czasowego). Je±li tak nie jest, to PRZY ZAŠO ENIU ERGODYCZNO CI mo»na zamiast wielu realizacji analizowa wydlu»ajacy sie odcinek czasowy ZAŠO ENIE ERGODYCZNO CI nie jest werykowalne w praktyce!

37 Podstawy FOT (FOT 101) Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego W modelu FOT analizujemy signaªy x(t), t R jako funkcje (deterministyczne!). Dystrybuanta jest generowana przez przej±cia przez poziom generowane przez x(t). Deniujemy: Dystrybuanta empiryczna FOT F T,x,t0 (ξ) = 1 T µ{u [t 0, t 0 + T ]; x(u) ξ}. Dystrybuanta teoretyczna F x,t0 (ξ) = lim T F T,x,t0 (ξ). Dla du»ej klasy funkcji (funkcje relatywnie mierzalne) granica istnieje i nie zale»y od t 0 (Przypadek FOT stacjonarny ).

38 FOT 101-c.d. Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Deniujemy Momenty teoretyczne m k = R ξdf x(ξ). Momenty empiryczne ˆm k = R ξdf T,x(ξ) Kowariancje poprzez ªaczne rozkªady FOT Šaczne rozkªady FOT. We¹my x(t) i x(t + τ). F joint (ξ 1, ξ 2 ) = 1 lim T T µ{u [ T /2, T /2]; x(u) ξ 1, x(u + τ) ξ 2 }

39 FOT 101-c.d. Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Gdy mamy ªaczne rozkªady FOT x(t) i x(t + τ) deniujemy próbkowa autokowariancje R T t 0,x jako Rt T 0,x = ξ 1 ξ 2 df joint (ξ 1, ξ 2 ). R 2

40 Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Analizowany sygnaª x(t) - cena KGHM. Cel: predykcja VaR (horyzont 20 dniowy).

41 Prezentowane rezultaty se efektem wspólnej pracy zespoªu badawczego w skªadzie Anna Dudek (AGH), Dominique Dehay (Universite de Rennes), Soane Maiz(LASPI Roanne), Antonio Napolitano (Universita de Parthenope).

42 Dehay,Dudek, Le±kow (2012), Subsampling for continuous-time nonstationary stochastic processes, submitted Hurd (1991) Correlation theory of almost periodically correlated processes, J. Multivariate Anal Lenart,Le±kow, Synowiecki, Subampling in estimation of autocovariance for PC time series, J. Time Ser. Anal. 29 (2008) K.S. Lii, M. Rosenblatt, Spectral analysis for harmonizable processes, Ann. Statist. 30 (2002) K. Sabri, M. El Badaoui, F. Guillet, A. Belli, G. Millet, and J.B. Morin,, Cyclostationary modelling of ground reaction force signals, Sig. Proc. 90 (2010)

Ekonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek

Ekonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek Ekonometria Finansowa II EARF Michał Rubaszek 1 Cele - Zapoznanie z charakterystykami szeregów finansowych - Omówienie jednowymiarowych metod liczenia VaR - Omówienie wielowymiarowych metod liczenia VaR

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Statystyka w przykładach

Statystyka w przykładach w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej

Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej Uniwersytet Jagiello«ski 9 maja 2012 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

Mikroekonometria 4. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 4. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mikroekonometria 4 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Regresja kwantylowa W standardowej Metodzie Najmniejszych Kwadratów modelujemy warunkową średnią zmiennej objaśnianej: E( yi Xi) = μ ( Xi) Pokazaliśmy,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - wykªad 8

Ekonometria - wykªad 8 Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH ROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TEORIA ESTYMACJI Nazwa w języku angielskim ESTIMATION THEORY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów

Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy w ramach treści kierunkowych, moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH

Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH Raport 10/2015 Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Modele wielorównaniowe. Problem identykacji

Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Dane zbierane podczas pomiarów zawsze układają się w pewien określony sposób. To w jaki, zależy przede wszystkim od zjawiska, które jest obserwowane. Sposób, w jaki układają

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI WYDZIAŁ GEOINŻYNIERII, GÓRNICTWA I GEOLOGII KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Statystyka matematyczna Nazwa w języku angielskim: Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Górnictwo

Bardziej szczegółowo

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu 11.5-WK-IiED-EDF-W-S14_pNadGenMOT56 Wydział Kierunek Wydział Matematyki,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1 WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Dodatek 3. Wielowymiarowe modele GARCH model DCC-GARCH

Dodatek 3. Wielowymiarowe modele GARCH model DCC-GARCH Dodatek 3. Wielowymiarowe modele GARCH model DCC-GARCH MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (dodatek 3) Modele MGARCH 1 / 11 Ogólna specykacja modelu MGARCH Ogólna posta dla N-wymiarowego procesu

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności ekstremalnych

Analiza zależności ekstremalnych Zeszyty Naukowe nr 726 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Statystyki Analiza zależności ekstremalnych. Wprowadzenie W dobie globalizacji gospodarki zarządzający ryzykiem w instytucjach finansowych

Bardziej szczegółowo

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t

Bardziej szczegółowo

Model regresji wielokrotnej Wykład 14 ( ) Przykład ceny domów w Chicago

Model regresji wielokrotnej Wykład 14 ( ) Przykład ceny domów w Chicago Model regresji wielokrotnej Wykład 14 (4.06.2007) Przykład ceny domów w Chicago Poniżej są przedstawione dane dotyczące cen domów w Chicago (źródło: Sen, A., Srivastava, M., Regression Analysis, Springer,

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Sygnały stochastyczne, parametry w dziedzinie

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Rola wybranych czynników w dynamice zależności pomiędzy rynkami akcji

Rola wybranych czynników w dynamice zależności pomiędzy rynkami akcji Rola wybranych czynników w dynamice zależności pomiędzy rynkami akcji Anna Czapkiewicz Wydział Zarządzania Akademii Górniczo-Hutniczej im. St. Staszica w Krakowie. 18 listopada 2016 Plan seminarium 1.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015 Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Inżynierii Środowiska obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015 Kierunek studiów: Inżynieria Środowiska

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA

Bardziej szczegółowo

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Metody opracowania obserwacji 2 Kod modułu 04-A-MOO-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do estymacji rozkładów w SAS.

Wprowadzenie do estymacji rozkładów w SAS. Wprowadzenie do estymacji rozkładów w SAS Henryk.Maciejewski@pwr.wroc.pl 1 Plan Empiryczne modele niezawodności Estymacja parametryczna rozkładów zmiennych losowych Estymacja nieparametryczna Empiryczne

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

O wyborze metody estymacji wartości zagrożonej na przykładzie portfela narażonego na ryzyko zmian kursów USD/PLN i EUR/PLN *

O wyborze metody estymacji wartości zagrożonej na przykładzie portfela narażonego na ryzyko zmian kursów USD/PLN i EUR/PLN * 393 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 2(34)/2013 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O wyborze metody estymacji wartości zagrożonej na przykładzie portfela narażonego na ryzyko zmian

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe

Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje

Bardziej szczegółowo

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mikroekonometria 6 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Metody symulacyjne Monte Carlo Metoda Monte-Carlo Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać charakterystyki zmiennych losowych poprzez

Bardziej szczegółowo

Modele warunkowej heteroscedastyczności

Modele warunkowej heteroscedastyczności Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Racjonalne oczekiwania inwestorów P t = E(P t+1 I t ) 1 + R (1) Teoria Przykład - zwroty

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 1

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 1 KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wprowadzenie do statystyki Introduction to statistics Kod Punktacja ECTS* 1 Koordynator Prof. dr hab. Jerzy Wołek Zespół dydaktyczny Prof. dr hab. Jerzy Wołek doktoranci

Bardziej szczegółowo

Tablice wzorów z probabilistyki

Tablice wzorów z probabilistyki Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i In»ynierii Biomedycznej Kierunek: Automatyka i robotyka Tablice wzorów z probabilistyki Prowadz cy:

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Rozprawa doktorska METODY RESAMPLINGOWE W DZIEDZINIE CZASU DLA NIESTACJONARNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH O STRUKTURZE OKRESOWEJ I PRAWIE OKRESOWEJ

Rozprawa doktorska METODY RESAMPLINGOWE W DZIEDZINIE CZASU DLA NIESTACJONARNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH O STRUKTURZE OKRESOWEJ I PRAWIE OKRESOWEJ Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Matematyki Stosowanej Katedra Analizy Matematycznej, Matematyki Obliczeniowej i Metod Probabilistycznych Rozprawa doktorska METODY RESAMPLINGOWE

Bardziej szczegółowo

Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy

Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Dane: Eksploracja (mining) Problemy: Jedna zmienna 2000 najwi ększych

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa.

Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa. Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa. Paweł Strawiński Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych 16 stycznia 2006 Streszczenie W artykule analizowane są właściwości

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych

Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych Lech Jakóbczyk Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Wrocªawski 1 / 17 Spl tanie stanów czystych Formalna denicja spl tania Ukªad zªo»ony: Hilberta

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo