Metody stochastyczne w zarz dzaniu ryzykiem

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody stochastyczne w zarz dzaniu ryzykiem"

Transkrypt

1 O niegaussowskiej naturze danych Instytut Matematyczny Politechnika Krakowska Kraków Kraków,8 grudnia 2012

2 Plan referatu I 1 Uj cie stochastyczne Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? 2 3 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka 4 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli

3 Plan referatu II Zastosowanie do estymacji VaR 5 Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego 6 7

4 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Denicje Niech X = {X (t); t Z} szereg czasowy (np. cena aktywa). Wtedy zwrot arytmetyczny to R t = Xt X t 1 X t 1 zwrot geometryczny to R t = log( Xt X t 1 ) Zwrot geometryczny stosowany jest w przypadku zwi kszonej i zmiennej wariancji X = {X (t); t Z}.

5 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Przykªady IPC - indice des precios y cotizaciones (Meksyk) TAURON

6 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Niech F - dowolna dystrybuanta. Kwantylem q α rz du α z F nazywamy: q α = inf{s R : F (s) α}, gdzie 0 < α < 1. Podobnie, dystrybuanta odwrotna F 1 do F to F 1 (v) = inf{s R : F (s) v} for v (0, 1).

7 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Obliczamy kwantyle zwroty z IPC zwroty z TAURON

8 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Podej±cie gaussowskie - wariancja! Szereg czasowy {X (t) ; t R} nazywany jest gaussowskim je±li dla ka»dego k i ka»dego t 1,..., t k R mamy (X (t 1 ),..., X (t k )) d = N k (µ(t 1,..., t k ), Σ(t 1,..., t k ))

9 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? FAKT Je±li X ma rozkªad N (µ, σ) to q α = µ + σ z α gdzie z α to α - kwantyl z N(0,1). Wniosek: ryzyko uto»samiane jest z badaniem macierzy wariancjikowariancji je±li szereg jest gaussowski.

10 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Niegaussowska natura obserwacji Niestety, w praktyce bardzo rzadko speªnione jest zaªo»enie gaussowsko±ci szeregu czasowego Gaussowsko± - trudna do sprawdzenia dla danych wielowymiarowych i skorelowanych

11 Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak estymowa kwantyl? Podej±cie nieparametryczne :) Od lat 1970 w rachunku prawdopodobie«stwa i statystyce znane sa rezultaty o metodach estymacji kwantyla bez zal. normalno±ci :( Rezultaty niezbyt dobrze dziaªaja dla danych skorelowanych.

12 Opowie± o chi«skiej latarni Zgubili±my po drodze w nocy klucze Szukamy ich pod latarnia Bo ja±niej

13 Macierz wariancji-kowariancji W modelu gaussowskim zagadnieniem estymacji ryzyka sprowadza sie do estymacji macierzy Σ(t 1,..., t k ). Dlatego wielka popularno± modeli stacjonarnych (ARMA, GARCH).

14 Momenty i rozkªady Rozkªady gaussowskie sa caªkowicie charakteryzowane poprzez ich warto± oczekiwana i macierz wariancji kowariancji Znajomo± charakterystyk pierwszego i drugiego rzedu daje peªny opis rozkªadu danego zjawiska Pod latarnia ja±niej... :)

15 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Przedziaª ufno±ci Niech X 1,..., X n - n.z.l z rozkªadu F. Niech θ parametr F. Wnioskowanie statystyczne ma trzy zasadniczeg cele: Konstrukcja optymalnych estymatorów ˆθ of θ Konstrukcja przedziaªów ufno±ci dla nieznanego parametru θ Konstrukcja testów dla parametru θ

16 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Rozkªad próbkowy estymatora Niech X 1,..., X n - n.z.l z dystrybuanty F. Cel: konstrukcja przedziaªów ufno±ci dla µ = E F X. Zamiast (CTG) ˆµ n ± z α/2 SE(ˆµ n ) mo»na zastosowa metode nieparametrycznego bootstrapu. Krok 1: Losujemy ze zwracaniem X1 1,..., X n 1 z X 1,..., X n. Krok 2: Obliczamy µ 1 n = 1 n n j=1 X j 1. Krok 3: Powtarzamy Krok 1 i 2 B razy aby otrzyma replikacje µ 1 n,..., µ B n. Krok 4: Obliczamy przedziaªy ufno±ci z na podstawie Kroku 3.

17 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Przykªady przedziaªy ufno±ci dla wsp. korelacji przedziaªy ufno±ci dla parametru ϕ modelu AR(1): X t = ϕ X t 1 + ɛ t przedziaªy ufno±ci dla kwantyla

18 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Metoda MBB Tworzymy bloki B i = (X i,..., X i+b 1 ) dlug. b z szeregu czasowego {X 1,..., X n }. Dla wygody, zakl. n = kb. Losujemy z zestawu bloków B 1,..., B n b+1 k razy. Wylosowane bloki zestawiamy tworzac nowa próbke Ponownie obliczamy warto±ci estymatora na tak utworzonej próbce i otrzymujemy przybli»ony rozkªad estymatora Uwaga:Metoda MBB dziaªa dobrze tylko dla stacjonarnych szeregóww czasowych. O lekkich ogonach.

19 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Metoda subsamplingu Tworzymy bloki B i = (X i,..., X i+b 1 ) dlug. b z szeregu czasowego {X 1,..., X n } Obliczamy warto± estymatora na ka»dej z takich podpróbek Otrzymujemy przybli»ony rozkªad estymatora Metoda subsamplingu dziaªa w bardzo du»ej klasie stacjonarnych i niestacjonarnych szer. czasowych, równie» dla cie»kich ogonów.

20 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Metoda GSBB Dziaªanie tej metody wyja±nimy w szczeg. przypadku niestacjonarnego szeregu czasowego: chodzi o szereg czasowy okresowo skorelowany. Niech P - okres ±redniej badanego szeregu. Niech T dªugo± próbki. Dla prostoty, zaªó»my»e T = wp, gdzie w caªkowite. Niech b dlug bloku, b ale b 0. Dla T prostoty zakl. T = lb, gdzie l jest caªkowite.

21 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Krok 1 Dla t = 1, b + 1, 2b + 1,..., (l 1)b + 1 deniujemy ( X t, X t+1,..., X t+b 1) def = (X kt, X kt+1,..., X kt+b 1) W tym kroku tworzymy l bloków o dlug. b ropoczynajaych sie w t. Indeks k t ma jednostajny dyskretny rozkl. na {t, t + 1P, t + 2P,..., t + (w 1)P}. Krok 2 Šaczymy bloki otrzymane w bloku 1 aby otrzyma próbke bootstrapowa {X1 1,..., X T 1 }. Na tej próbce obliczamy ponownie warto± estymatora (np ±redniej albo kowariancji). Krok 3 Powtarzamy krok 2 B razy celem otrzymania przybli»onego rozkªadu estymatora.

22 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Przykªad-biegacz Figure : Improved estimator ˆf IMP with GSBB condence intervals.

23 Metoda bootstrap dla danych niezale»nych Metody resamplingowe dla szeregów czasowych Podej±cie nieparametryczne w analizie ryzyka Estymacja warto±ci nara»onej na ryzyko Przykªad IPC Przykªad TAURON

24 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Przykªad: Niech H(x 1, x 2 ) bedzie rozkªadem dwuwymiarowym i niech F 1 (x 1 ) and F 2 (x 2 ) rozkªady brzegowe zwiazane z H. Mo»emy wybra taka funkcje C»e x 1, x 2 R, H(x 1, x 2 ) = C(F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 )). (1) Podobnie w przypadku sko«czenie wymiarowym.

25 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Normalne brzegowe F 1, F 2 z niegaussowskim ªacznym rozkªadem H Rozwa»my nastepujaca funkcje kopuli: C(u, v) = u + v 1 + (1 u)(1 v)e 1 2 ln(1 u)ln(1 v). 2. Kopula Archimedesa. C θ (u, v) = max(1 [(1 u) θ + (1 v) θ ] 1 θ, 0). 3. Kopula Studenta (Nelsen (1999) C ρ,ν (u, v) = t 1 ν (u) t 1 ν (v) Γ( ν+2 ν ) 2ρrs + Γ( ν 2 )νπ 1 ρ 2 (1+r2 s2 ν(1 ρ 2 ) gdzie ρ jest parametrem kopuli natomiast ν jest ilo±cia stopni swobody. ) 1 2 (ν+2) (2)

26 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Model GARCH Szereg czasowy {ε t } t Z odpowiada modelowi GARCH(p,q) model gdy ε t = h t η t, where h t = α 0 + q i=1 α iε 2 t i + p j=1 β jh t j.(3)

27 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Model APARCH Szereg czasowy {ε t } t Z ma posta APARCH(p,q), je±li dla dow. t zachodzi: gdzie σ δ t = α 0 + ε t = σ t η t, q α i ( ε t i γ i ε t i ) δ + i=1 p β j σt j. δ (4) W pow. równaniu symbol {η t } to innowacje o ±redniej zero i wariancji jeden. j=1

28 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Estymacja kopuli 1 Wybieramy wªa±ciwy model (GARCH, APARCH etc). Estymujemy funkcje wolatylno±ci {h t } oraz rozkªady warunkowe {ε i }. Dla portfela zªo»onego z dwu pozycji mamy dwa szeregi czasowe {x t } t T i {y t } t T. 2 Tworzymy {u t } t T oraz {v t } t T - niezale»ne jednostajne (0,1) pochodzace od szeregów x i y. 3 Estymujemy funkcje kopuli z wykorzystaniem szeregów u i v.

29 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR DAX i WIG Table : Parametry GARCH(1,1) dla WIG20 Estimate Std. Error t value Pr(> t ) µ 9.956e e * α e e α e e ** β e e < 2e-16 *** λ 9.801e e < 2e-16 *** ν 9.066e e *** LLF AIC

30 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR DAX i WIG Table : Parametry APARCH(1,1),δ = 2 dla DAX Estimate Std. Error t value Pr(> t ) µ 6.106e e * α e e ** α e e * γ e ** β e e <2e-16 *** λ 8.471e e < 2e-16 *** ν 1.080e e ** LLF AIC

31 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Figure : Comparison of empirical quantiles and normal distribution quantiles for the returns of Warsaw Stock Index WIG20 (on the left side) and for the standarized residuals form GARCH model(on the right side)

32 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Figure : Comparison of empirical quantiles and normal distribution quantiles for the returns of DAX (on the left side) and for the standarized residuals from APARCH model (on the right side)

33 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Figure : Return of portfolio and 95% VaR

34 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Z pomoca bootstrapu - I Figure : 95 percent condence intervals for 5 percent VaR

35 Denicja funkcji kopuli Przykªady Estymacja funkcji kopuli Zastosowanie do estymacji VaR Z pomoca bootstrapu - II Figure : 99 percent condence intervals for 1 percent VaR

36 Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Rzecz o ω W teorii modelowania stochastycznego zakªadamy,»e mamy dostep do wielu realizacji procesu (szeregu czasowego). Je±li tak nie jest, to PRZY ZAŠO ENIU ERGODYCZNO CI mo»na zamiast wielu realizacji analizowa wydlu»ajacy sie odcinek czasowy ZAŠO ENIE ERGODYCZNO CI nie jest werykowalne w praktyce!

37 Podstawy FOT (FOT 101) Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego W modelu FOT analizujemy signaªy x(t), t R jako funkcje (deterministyczne!). Dystrybuanta jest generowana przez przej±cia przez poziom generowane przez x(t). Deniujemy: Dystrybuanta empiryczna FOT F T,x,t0 (ξ) = 1 T µ{u [t 0, t 0 + T ]; x(u) ξ}. Dystrybuanta teoretyczna F x,t0 (ξ) = lim T F T,x,t0 (ξ). Dla du»ej klasy funkcji (funkcje relatywnie mierzalne) granica istnieje i nie zale»y od t 0 (Przypadek FOT stacjonarny ).

38 FOT 101-c.d. Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Deniujemy Momenty teoretyczne m k = R ξdf x(ξ). Momenty empiryczne ˆm k = R ξdf T,x(ξ) Kowariancje poprzez ªaczne rozkªady FOT Šaczne rozkªady FOT. We¹my x(t) i x(t + τ). F joint (ξ 1, ξ 2 ) = 1 lim T T µ{u [ T /2, T /2]; x(u) ξ 1, x(u + τ) ξ 2 }

39 FOT 101-c.d. Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Gdy mamy ªaczne rozkªady FOT x(t) i x(t + τ) deniujemy próbkowa autokowariancje R T t 0,x jako Rt T 0,x = ξ 1 ξ 2 df joint (ξ 1, ξ 2 ). R 2

40 Fundamentalna watpliwo± Metoda FOT w analizie sygnaªów Metoda FOT w analizie ryzyka nansowego Analizowany sygnaª x(t) - cena KGHM. Cel: predykcja VaR (horyzont 20 dniowy).

41 Prezentowane rezultaty se efektem wspólnej pracy zespoªu badawczego w skªadzie Anna Dudek (AGH), Dominique Dehay (Universite de Rennes), Soane Maiz(LASPI Roanne), Antonio Napolitano (Universita de Parthenope).

42 Dehay,Dudek, Le±kow (2012), Subsampling for continuous-time nonstationary stochastic processes, submitted Hurd (1991) Correlation theory of almost periodically correlated processes, J. Multivariate Anal Lenart,Le±kow, Synowiecki, Subampling in estimation of autocovariance for PC time series, J. Time Ser. Anal. 29 (2008) K.S. Lii, M. Rosenblatt, Spectral analysis for harmonizable processes, Ann. Statist. 30 (2002) K. Sabri, M. El Badaoui, F. Guillet, A. Belli, G. Millet, and J.B. Morin,, Cyclostationary modelling of ground reaction force signals, Sig. Proc. 90 (2010)

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej

Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej Uniwersytet Jagiello«ski 9 maja 2012 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

Mikroekonometria 4. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 4. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mikroekonometria 4 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Regresja kwantylowa W standardowej Metodzie Najmniejszych Kwadratów modelujemy warunkową średnią zmiennej objaśnianej: E( yi Xi) = μ ( Xi) Pokazaliśmy,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH ROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TEORIA ESTYMACJI Nazwa w języku angielskim ESTIMATION THEORY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH

Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH Raport 10/2015 Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu 11.5-WK-IiED-EDF-W-S14_pNadGenMOT56 Wydział Kierunek Wydział Matematyki,

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności ekstremalnych

Analiza zależności ekstremalnych Zeszyty Naukowe nr 726 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Statystyki Analiza zależności ekstremalnych. Wprowadzenie W dobie globalizacji gospodarki zarządzający ryzykiem w instytucjach finansowych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1 WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych

Bardziej szczegółowo

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015 Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Inżynierii Środowiska obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015 Kierunek studiów: Inżynieria Środowiska

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Metody opracowania obserwacji 2 Kod modułu 04-A-MOO-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA

Bardziej szczegółowo

O wyborze metody estymacji wartości zagrożonej na przykładzie portfela narażonego na ryzyko zmian kursów USD/PLN i EUR/PLN *

O wyborze metody estymacji wartości zagrożonej na przykładzie portfela narażonego na ryzyko zmian kursów USD/PLN i EUR/PLN * 393 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 2(34)/2013 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O wyborze metody estymacji wartości zagrożonej na przykładzie portfela narażonego na ryzyko zmian

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy

Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Dane: Eksploracja (mining) Problemy: Jedna zmienna 2000 najwi ększych

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

Rozprawa doktorska METODY RESAMPLINGOWE W DZIEDZINIE CZASU DLA NIESTACJONARNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH O STRUKTURZE OKRESOWEJ I PRAWIE OKRESOWEJ

Rozprawa doktorska METODY RESAMPLINGOWE W DZIEDZINIE CZASU DLA NIESTACJONARNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH O STRUKTURZE OKRESOWEJ I PRAWIE OKRESOWEJ Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Matematyki Stosowanej Katedra Analizy Matematycznej, Matematyki Obliczeniowej i Metod Probabilistycznych Rozprawa doktorska METODY RESAMPLINGOWE

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Estymacja w regresji nieparametrycznej

Estymacja w regresji nieparametrycznej Estymacja w regresji nieparametrycznej Jakub Kolecki Politechnika Gdańska 28 listopada 2011 1 Wstęp Co to jest regresja? Przykład regresji 2 Regresja nieparametryczna Założenia modelu Estymacja i jej charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog

Bardziej szczegółowo

COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si

COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si Hung Son Nguyen (UW) COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si 2007 1 / 32 COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si Hung Son Nguyen Institute of Mathematics, Warsaw University son@mimuw.edu.pl 2007 Hung Son Nguyen

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii SPIS TREŚCI Przedmowa... 11 Wykaz symboli... 15 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku... 15 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii mnogości (rachunku zbiorów)... 16 Symbole stosowane

Bardziej szczegółowo

Inteligentna analiza danych

Inteligentna analiza danych Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010 Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD Anna Barczy«ska Maciej Bieli«ski 15 czerwca 2010 1 Spis tre±ci 1 Forex 3 1.1 EUR/USD............................. 4 2 Waluty 5 2.1 Siªa

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 4

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 4 KARTA KURSU (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Nazwa Statystyka 1 Nazwa w j. ang. Statistics 1 Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, wykłady) Dr Paweł Walawender (ćwiczenia)

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 10: Symulacje a posteriori w R Andrzej Torój 1 / 23 Plan wykªadu 1 Przykªad: model ze skªadnikiem losowym o grubych ogonach 2 3 4 2 / 23 Plan prezentacji 1 Przykªad: model

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO Celina Otolińska PLAN: 1. Rynek złota-krótka informacja. 2. Wartość zagrożona i dlaczego ona. 3. Badany szereg czasowy oraz jego własności. 4. Modele

Bardziej szczegółowo

wprowadzenie do analizy szeregów czasowych

wprowadzenie do analizy szeregów czasowych 19 stycznia 2016 Wprowadzenie Prezentacja danych Dekompozycja Preprocessing Model predykcji ARIMA Dobór parametrów modelu ARIMA Podsumowanie Definicje i przykłady Definicje Szeregiem czasowym nazywamy

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego.... 11 Przedmowa do wydania drugiego.... 15 Wykaz symboli.... 17 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku.... 17 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska Wrocław University of Technology WYKŁAD 2 i 3 Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA MENEDŻERSKA W WARSZAWIE WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA W CIECHANOWIE KARTA PRZEDMIOTU - SYLABUS

WYŻSZA SZKOŁA MENEDŻERSKA W WARSZAWIE WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA W CIECHANOWIE KARTA PRZEDMIOTU - SYLABUS WYŻSZA SZKOŁA MENEDŻERSKA W WARSZAWIE WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA W CIECHANOWIE KARTA PRZEDMIOTU - SYLABUS Nazwa przedmiotu: Statystyka opisowa Profil 1 : ogólnoakademicki Cel przedmiotu: Zapoznanie studentów

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

Egzamin / zaliczenie na ocenę*

Egzamin / zaliczenie na ocenę* Zał. nr do ZW /01 WYDZIAŁ / STUDIUM KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Identyfikacja systemów Nazwa w języku angielskim System identification Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria Systemów

Bardziej szczegółowo

Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010

Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010 szeregu czasowego Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1 19 lutego 2010 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci 2 3 4 5 6 7 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci

Bardziej szczegółowo

Dominik Krężołek Akademia Ekonomiczna w Katowicach

Dominik Krężołek Akademia Ekonomiczna w Katowicach DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna w Katowicach

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia modelowania zmienności na rynkach finansowych z wykorzystaniem kopuli i procesów GARCH

Wybrane zagadnienia modelowania zmienności na rynkach finansowych z wykorzystaniem kopuli i procesów GARCH Wybrane zagadnienia modelowania zmienności na rynkach finansowych z wykorzystaniem kopuli i procesów GARCH Piotr Jaworski Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki 13 lipca 2012

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

Cz ± III. Testowanie hipotez statystycznych

Cz ± III. Testowanie hipotez statystycznych Cz ± III Testowanie hipotez statystycznych 85 Rozdziaª 7 Testy istotno±ci W tym rozdziale spróbujemy wyja±ni, na czym polega zagadnienie testowania hipotez statystycznych. Poka»emy, jak konstruuje si

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa wprowadzenie

Regresja liniowa wprowadzenie Regresja liniowa wprowadzenie a) Model regresji liniowej ma postać: gdzie jest zmienną objaśnianą (zależną); są zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi); natomiast są parametrami modelu. jest składnikiem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1

Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1 Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo