O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ"

Transkrypt

1 O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, IX 2009 r.

2 WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n

3 WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n Model statystyczny: X i = µ + ε i, i = 1, 2,..., n

4 WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n Model statystyczny: X i = µ + ε i, i = 1, 2,..., n µ

5 UŚREDNIENIE X = 1 n X j n j=1

6 UŚREDNIENIE X = 1 n X j n j= X. µ

7 UZASADNIENIE średnia X minimalizuje względem µ funkcję n j=1 (X i µ) 2

8 p 2. p p 1... q p i p i q 2 min 2... p 5

9 astronomia, metrologia, geodezja,... ROZKŁAD NORMALNY N(µ, σ 2 ) ϕ(x) = 1 σ 2π exp { 1 2 ( ) x µ 2 } σ

10 n= n=4 0.2 n= µ = 2.

11 Jak to się dzieje? Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego N(µ, σ): φ X (t) = exp{iµt 1 2 σ2 t 2 }

12 FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA (przypomnienie) zmiennej losowej X o rozkładzie z gęstością z dystrybuantą F : φ X (t) = e itx df (x) (Transformata Fouriera rozkładu F ) Dla stałej λ: φ λx (t) = φ X (λt) Jeżeli X i Y są niezależne, to φ X +Y (t) = φ X (t) φ Y (t)

13 Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego N(µ, σ): φ X (t) = exp{iµt 1 2 σ2 t 2 } Funkcja charakterystyczna średniej X = n j=1 X j /n: φ X (t) = exp{iµt 1 ( ) σ 2 t 2 } 2 n

14 Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego N(µ, σ): φ X (t) = exp{iµt 1 2 σ2 t 2 } Funkcja charakterystyczna średniej X = n j=1 X j /n: φ X (t) = exp{iµt 1 ( ) σ 2 t 2 } 2 n Inne rozkłady?

15 Rozkłady o trochę tłuściejszych ogonach:

16 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy

17 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy - wielkość plików przesyłanych w internecie

18 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy - wielkość plików przesyłanych w internecie - pojemność złóż ropy naftowej

19 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy - wielkość plików przesyłanych w internecie - pojemność złóż ropy naftowej - rozmiary osiedli ludzkich

20 TŁUSTE OGONY - rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy - wielkość plików przesyłanych w internecie - pojemność złóż ropy naftowej - rozmiary osiedli ludzkich - tzw. zwroty w operacjach giełdowych

21 ROZKŁAD CAUCHY EGO (Lorenza, Breita-Wignera) Ca(µ, λ) g(y) = 1 π Funkcja charakterystyczna: λ λ 2 + (y µ) 2, G(y) = π arctg y µ λ φ Y (t) = exp{iµt λt }

22 ROZKŁAD CAUCHY EGO (Lorenza, Breita-Wignera) Ca(µ, λ) g(y) = 1 π Funkcja charakterystyczna: λ λ 2 + (y µ) 2, G(y) = π arctg y µ λ φ Y (t) = exp{iµt λt } Funkcja charakterystyczna średniej Y = n j=1 Y j /n:

23 ROZKŁAD CAUCHY EGO (Lorenza, Breita-Wignera) Ca(µ, λ) g(y) = 1 π Funkcja charakterystyczna: λ λ 2 + (y µ) 2, G(y) = π arctg y µ λ φ Y (t) = exp{iµt λt } Funkcja charakterystyczna średniej Y = n j=1 Y j /n: φ Y (t) = exp{iµt λt }

24 ROZKŁAD CAUCHY EGO ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY JEST TAKI SAM JAK ROZKŁAD POJEDYNCZEJ OBSERWACJI

25 Ogólniej: SYMETRYCZNE ROZKŁADY α-stabilne exp{iµt λt α }

26 Ogólniej: SYMETRYCZNE ROZKŁADY α-stabilne exp{iµt λt α } ( exp{iµ t n λ t n α }) n = exp{iµt n 1/α 1 λt α } α=2 rozkład normalny; α=1 rozkład Cauchy ego

27 rozk lad pojedynczej obserwacji rozk lad średniej

28 MEDIANA Mediana M minimalizuje względem µ funkcję n j=1 X i µ

29 p 2. p p 1... q p i p i q 1 min... p 5

30 MEDIANA Próba: X 1, X 2,..., X n Statystyki pozycyjne: X 1:n, X 2:n,..., X n:n X 1:n X 2:n... X n:n

31 MEDIANA Wyniki obserwacji: X 1, X 2,..., X 2n+1 Mediana z próby: X n:2n+1 (2n + 1)! ( nf (n!) 2 F (x)[1 F (x)]) (x)

32 n= n=5 0.2 n= µ = 2.

33 Mediana z próby X 1, X 2,..., X n M n = 1 2 ( X n 2 :n + X n 2 +1:n ), jeżeli n jest parzyste, X [ n+1 2 ]:n, jeżeli n jest nieparzyste

34 Efektywność mediany w rozkładzie N(0, 1) e(n) = Var(X n) Var(M n ) n e(n)

35 Efektywność mediany w rozkładzie U(0, 1) n e(n)

36 Obciążenie estymatora?

37 Mediana z próby parzystej jest najczęściej definiowana jako średnia arytmetyczna dwóch środkowych obserwacji

38 Mediana z próby parzystej jest najczęściej definiowana jako średnia arytmetyczna dwóch środkowych obserwacji Ogólniej: liniowy estymator kwantyla rzędu q (L-statystyka) c 1 X 1:n + c 2 X 2:n c n X n:n

39 Mediana z próby parzystej jest najczęściej definiowana jako średnia arytmetyczna dwóch środkowych obserwacji Ogólniej: liniowy estymator kwantyla rzędu q (L-statystyka) c 1 X 1:n + c 2 X 2:n c n X n:n Efektywne konstrukcje w modelach z parametrem położenia

40 Mediana z próby parzystej jest najczęściej definiowana jako średnia arytmetyczna dwóch środkowych obserwacji Ogólniej: liniowy estymator kwantyla rzędu q (L-statystyka) c 1 X 1:n + c 2 X 2:n c n X n:n Efektywne konstrukcje w modelach z parametrem położenia Modele statystyczne z parametrem położenia: X = µ + ε, µ nieznane, ε F, F znane

41 Mediana z próby parzystej jest najczęściej definiowana jako średnia arytmetyczna dwóch środkowych obserwacji Ogólniej: liniowy estymator kwantyla rzędu q (L-statystyka) c 1 X 1:n + c 2 X 2:n c n X n:n Efektywne konstrukcje w modelach z parametrem położenia Modele statystyczne z parametrem położenia: X = µ + ε, µ nieznane, ε F, F znane Estymacja kwantyla?

42 Mediana z próby parzystej jest najczęściej definiowana jako średnia arytmetyczna dwóch środkowych obserwacji Ogólniej: liniowy estymator kwantyla rzędu q (L-statystyka) c 1 X 1:n + c 2 X 2:n c n X n:n Efektywne konstrukcje w modelach z parametrem położenia Modele statystyczne z parametrem położenia: X = µ + ε, µ nieznane, ε F, F znane Estymacja kwantyla? Niesymetryczne F,

43 Mediana z próby parzystej jest najczęściej definiowana jako średnia arytmetyczna dwóch środkowych obserwacji Ogólniej: liniowy estymator kwantyla rzędu q (L-statystyka) c 1 X 1:n + c 2 X 2:n c n X n:n Efektywne konstrukcje w modelach z parametrem położenia Modele statystyczne z parametrem położenia: X = µ + ε, µ nieznane, ε F, F znane Estymacja kwantyla? Niesymetryczne F,

44 Liniowy estymator nieobciążony o minimalnej wariancji: C = M 1 R ( ) ( ) 1 R T M 1 F R 1 (q) 1 E F X 1:n 1 R =......, M i,j = Cov F (X i:n, X j:n ) E F X n:n 1

45 Liniowy estymator nieobciążony o minimalnej wariancji: C = M 1 R ( ) ( ) 1 R T M 1 F R 1 (q) 1 E F X 1:n 1 R =......, M i,j = Cov F (X i:n, X j:n ) E F X n:n 1 Minimalna wariancja: Var L (q, n) = ( ) F 1 T ( ) (q) ( ) 1 R T M 1 F R 1 (q) 1 1

46 Liniowy estymator nieobciążony o minimalnej wariancji: C = M 1 R ( ) ( ) 1 R T M 1 F R 1 (q) 1 E F X 1:n 1 R =......, M i,j = Cov F (X i:n, X j:n ) E F X n:n 1 Minimalna wariancja: Var L (q, n) = ( ) F 1 T ( ) (q) ( ) 1 R T M 1 F R 1 (q) 1 1 Var L (q, n + 1) < Var L (q, n)???

47 Przykład: Estymacja kwantyla rzędu q rozkładu normalnego: (Var UMVU (q, 5),Var L (q, 5)) = , , , = dla q = , , ,

48 Przykład: Estymacja mediany rozkładu Cauchy ego: c 3 X 3:n + c 4 X 4:n c n 2 X n 2:n Liniowy estymator nieobciążony o minimalnej wariancji: C = M 1 R ( ) ( ) 1 R T M 1 0 R 1 E F X 3:n 1 R = M i,j = Cov F (X i:n, X j:n ) E F X n 2:n 1

49 Duży model nieparametryczny : rodzina F wszystkich rozkładów o ciągłych i ściśle rosnących dystrybuantach na prostej

50 Duży model nieparametryczny : rodzina F wszystkich rozkładów o ciągłych i ściśle rosnących dystrybuantach na prostej Mediana z próby pochodzącej z rozkładu F jako estymator mediany m(f ) tego rozkładu

51 Duży model nieparametryczny : rodzina F wszystkich rozkładów o ciągłych i ściśle rosnących dystrybuantach na prostej Mediana z próby pochodzącej z rozkładu F jako estymator mediany m(f ) tego rozkładu Twierdzenie. Dla każdego C > 0 istnieje taki rozkład F F, że Med F ( ) X n 2 :n + X n 2 +1:n 2 m(f ) > C

52 Duży model nieparametryczny : rodzina F wszystkich rozkładów o ciągłych i ściśle rosnących dystrybuantach na prostej Mediana z próby pochodzącej z rozkładu F jako estymator mediany m(f ) tego rozkładu Twierdzenie. Dla każdego C > 0 istnieje taki rozkład F F, że Med F ( ) X n 2 :n + X n 2 +1:n 2 m(f ) > C TWIERDZENIE JEST PRAWDZIWE DLA WSZYSTKICH NIETRYWIALNYCH L-STATYSTYK!

53 Duży model nieparametryczny F Rodzina wszystkich rozkładów o ciągłych i ściśle rosnących dystrybuantach Jeżeli X ma rozkład F z rodziny F i jeżeli g : R 1 R 1 jest przekształceniem monotonicznym, to zmienna losowa g(x ) też ma rozkład z rodziny F

54 Duży model nieparametryczny F Rodzina wszystkich rozkładów o ciągłych i ściśle rosnących dystrybuantach Jeżeli X ma rozkład F z rodziny F i jeżeli g : R 1 R 1 jest przekształceniem monotonicznym, to zmienna losowa g(x ) też ma rozkład z rodziny F Jeżeli X ma rozkład F F z medianą m(f ) i jeżeli g : R 1 R 1 jest przekształceniem monotonicznym, to zmienna losowa g(x ) ma rozkład z medianą g(m(f )).

55 Duży model nieparametryczny F Rodzina wszystkich rozkładów o ciągłych i ściśle rosnących dystrybuantach Jeżeli X ma rozkład F z rodziny F i jeżeli g : R 1 R 1 jest przekształceniem monotonicznym, to zmienna losowa g(x ) też ma rozkład z rodziny F Jeżeli X ma rozkład F F z medianą m(f ) i jeżeli g : R 1 R 1 jest przekształceniem monotonicznym, to zmienna losowa g(x ) ma rozkład z medianą g(m(f )). Jeżeli X ma rozkład F F z kwantylem x q (F ) rzędu q i jeżeli g : R 1 R 1 jest przekształceniem monotonicznym, to zmienna losowa g(x ) rozkład z kwantylem rzędu q równym g(x q (F )).

56 Postulat pod adresem estymatora mediany (kwantyla): Jeżeli T jest nieobciążonym estymatorem mediany (kwantyla rzędu q) zmiennej losowej X, to g(t ) jest nieobciążonym estymatorem mediany (kwantyla rzędu q) zmiennej losowej g(x )

57 Postulat pod adresem estymatora mediany (kwantyla): Jeżeli T jest nieobciążonym estymatorem mediany (kwantyla rzędu q) zmiennej losowej X, to g(t ) jest nieobciążonym estymatorem mediany (kwantyla rzędu q) zmiennej losowej g(x ) Nieobciążony?

58 Estymacja kwantyla x q (F ) rzędu q rozkładu F. Konstrukcja medianowo nieobciążonego estymatora o maksymalnej koncentracji:

59 P {T x} x q. x

60 Definiujemy π k (q) = P F {X k:n x q (F )} = n j=k Wybieramy k takie, że π k (q) 1 2 > π k+1(q) Obliczamy λ k = 1 2 π k+1(q) π k (q) π k+1 (q) ( ) n q j (1 q) n j j Medianowo nieobciążony estymator o maksymalnej koncentracji ma postać T = X J :n, P{J =k}=λ k, P{J =k +1}=1 λ k

61 Estymacja mediany (q = 1/2) π k ( 1 2 ) = 1 2 n n ( n ) j j=k 1 ( ), n = 2m + 1, 1 2 π m+1 = ( 2m ), n = 2m 2 2m m X m+1, n = 2m + 1 Estymator = 1 (0,0.5] (R)X m + 1 (0.5,1) (R)X m+1, n = 2m R U(0, 1)

62 WNIOSKI:

63 WNIOSKI: W modelu statystycznym {F µ ( ) = F ( µ)}, na podstawie obserwacji X 1, X 2,..., X n, estymuj µ za pomocą:

64 WNIOSKI: W modelu statystycznym {F µ ( ) = F ( µ)}, na podstawie obserwacji X 1, X 2,..., X n, estymuj µ za pomocą: Gdy F = N(0, σ 2 ) średniej arytmetycznej z próby

65 WNIOSKI: W modelu statystycznym {F µ ( ) = F ( µ)}, na podstawie obserwacji X 1, X 2,..., X n, estymuj µ za pomocą: Gdy F = N(0, σ 2 ) średniej arytmetycznej z próby Gdy F N(0, σ 2 ), ale F znane pomyśl np o L-statystykach

66 WNIOSKI: W modelu statystycznym {F µ ( ) = F ( µ)}, na podstawie obserwacji X 1, X 2,..., X n, estymuj µ za pomocą: Gdy F = N(0, σ 2 ) średniej arytmetycznej z próby Gdy F N(0, σ 2 ), ale F znane pomyśl np o L-statystykach Gdy F nie jest znane, pomyśl o medianowo nieobciążonym estymatorze o maksymalnej koncentracji wokół µ

67 WNIOSKI: W modelu statystycznym {F µ ( ) = F ( µ)}, na podstawie obserwacji X 1, X 2,..., X n, estymuj µ za pomocą: Gdy F = N(0, σ 2 ) średniej arytmetycznej z próby Gdy F N(0, σ 2 ), ale F znane pomyśl np o L-statystykach Gdy F nie jest znane, pomyśl o medianowo nieobciążonym estymatorze o maksymalnej koncentracji wokół µ ZAWSZE PRZED WYBOREM ESTYMATORA STARANNIE PRZEMYŚL WSZYSTKO CO WIESZ O ROZKŁADZIE. ZBYT POCHOPNE UŚREDNIANIE OBSERWACJI MOŻE POPSUĆ WNIOSKOWANIE

68 WNIOSKI: W modelu statystycznym {F µ ( ) = F ( µ)}, na podstawie obserwacji X 1, X 2,..., X n, estymuj µ za pomocą: Gdy F = N(0, σ 2 ) średniej arytmetycznej z próby Gdy F N(0, σ 2 ), ale F znane pomyśl np o L-statystykach Gdy F nie jest znane, pomyśl o medianowo nieobciążonym estymatorze o maksymalnej koncentracji wokół µ ZAWSZE PRZED WYBOREM ESTYMATORA STARANNIE PRZEMYŚL WSZYSTKO CO WIESZ O ROZKŁADZIE. ZBYT POCHOPNE UŚREDNIANIE OBSERWACJI MOŻE POPSUĆ WNIOSKOWANIE ;)

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru

Bardziej szczegółowo

O średniej arytmetycznej i medianie

O średniej arytmetycznej i medianie MATEMATYKA STOSOWANA TOM 11/5 010 Ryszard Zieliński Warszawa) O średniej arytmetycznej i medianie Streszczenie. Mierząc pewną wielkość μ długość, ciężar, temperaturę...) otrzymujemy wynik X, zwykle różniący

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

Pozyskiwanie wiedzy z danych

Pozyskiwanie wiedzy z danych Pozyskiwanie wiedzy z danych dr Agnieszka Goroncy Wydział Matematyki i Informatyki UMK PROJEKT WSPÓŁFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIEJ W RAMACH EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Pozyskiwanie wiedzy

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład I, 22.02.2016 STATYSTYKA OPISOWA, cz. I Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: strona z materiałami z przedmiotu: wne.uw.edu.pl/azylicz akson.sgh.waw.pl/~aborata

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski. Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info 2 Na dziś Sprawy bieżące Przypominam, że 14.11.2015 pierwszy sprawdzian Konsultacje Sobota 9:00 10:00 pok.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 0,KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w przykładach

Statystyka w przykładach w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Metoda reprezentacyjna

Metoda reprezentacyjna Metoda reprezentacyjna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Populacja, cecha, parametr, próba Metoda reprezentacyjna Przedmiotem rozważań metody reprezentacyjnej są metody

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja)

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) PODSTAWY STATYSTYKI. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne (na

Bardziej szczegółowo

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:

Bardziej szczegółowo

MIARY KLASYCZNE Miary opisujące rozkład badanej cechy w zbiorowości, które obliczamy na podstawie wszystkich zaobserwowanych wartości cechy

MIARY KLASYCZNE Miary opisujące rozkład badanej cechy w zbiorowości, które obliczamy na podstawie wszystkich zaobserwowanych wartości cechy MIARY POŁOŻENIA Opisują średni lub typowy poziom wartości cechy. Określają tą wartość cechy, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy. Wśród nich można wyróżnić miary tendencji

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Testowanie hipotez statystycznych Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/23 Testowanie hipotez średniej w R Test istotności dla wartości

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 8 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Próbkowanie. Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe. Populacja a próba. Błędy w póbkowaniu, cd, Przykład 1 (Ochotnicy)

Próbkowanie. Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe. Populacja a próba. Błędy w póbkowaniu, cd, Przykład 1 (Ochotnicy) Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe µ = średnia w populacji, µ=ey, wartość oczekiwana zmiennej Y σ= odchylenie standardowe w populacji, σ =(Var Y) 1/2, pierwiastek kwadratowy wariancji zmiennej Y,

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej cechy. Średnia arytmetyczna suma wartości zmiennej wszystkich

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez dla frakcji. Wrocław, 29 marca 2017

Testowanie hipotez dla frakcji. Wrocław, 29 marca 2017 Testowanie hipotez dla frakcji Wrocław, 29 marca 2017 Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu o średniej µ i skończonej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE. Studia stacjonarne, semestr zimowy 2017/2018. Motto III: In God we trust. All others must bring data (z internetu)

METODY STATYSTYCZNE. Studia stacjonarne, semestr zimowy 2017/2018. Motto III: In God we trust. All others must bring data (z internetu) METODY STATYSTYCZNE Studia stacjonarne, semestr zimowy 017/018 Motto I: Prawie każdy jest statystykiem ale niewielu o tym wie (inspiratorzy: Molier i Joseph Schumpeter) Motto II: Statystyka jest bodajże

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezińska Definicje Statystyka (ang.statistics) - to nauka zajmująca się zbieraniem, prezentowaniem i analizowaniem

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota Pekasiewicz Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A.

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Estymatory kwantylowe i estymacja kwantyli

Estymatory kwantylowe i estymacja kwantyli Tomasz Rychlik Instytut Matematyczny PAN Chopina 12, 87 100 Toruń e-mail: trychlik@impan.gov.pl XXXVIII Konferencja Statystyka Matematyczna Sesja poświȩcona pamiȩci prof. Ryszarda Zielińskiego Wisła, 3

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Magdalena Alama-Bućko. 27 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

Statystyka. Wykład 2. Magdalena Alama-Bućko. 27 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39 Statystyka Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 27 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego 2017 1 / 39 Banki danych: Bank danych lokalnych : Główny urzad statystyczny: https://bdl.stat.gov.pl/

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Plan wykładu Statystyka opisowa Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Statystyka matematyczna Podstawy estymacji Testowanie hipotez statystycznych Żródła Korzystałam z ksiażek:

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego.... 11 Przedmowa do wydania drugiego.... 15 Wykaz symboli.... 17 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku.... 17 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo