Analiza zależności ekstremalnych
|
|
- Maja Zakrzewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zeszyty Naukowe nr 726 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Statystyki Analiza zależności ekstremalnych. Wprowadzenie W dobie globalizacji gospodarki zarządzający ryzykiem w instytucjach finansowych stoją przed nowymi wyzwaniami. Kryzysy w jednych częściach świata mają negatywne i nierzadko natychmiastowe konsekwencje dla rynków w innych częściach. Załamanie kursów na giełdach w Azji może powodować spadki cen w Europie lub Ameryce. Dlatego aby zabezpieczyć się przed stratą wartości portfela, zarządzający ryzykiem nie mogą ograniczać się do wyboru instrumentów z różnych sektorów czy rynków, ale muszą również analizować, czy pomiędzy nimi nie zachodzą tzw. ekstremalne zależności, które oznaczają równoczesny ekstremalny ruch cen. W niniejszym artykule przedstawiono elementy teorii wartości ekstremalnych, które mogą być wykorzystywane w szacowaniu i analizowaniu zależności ekstremalnych. Twierdzenia przedstawione w pracy zostaną zilustrowane przykładem, w którym wykorzystano procedurę analizy ekstremalnych zależności pomiędzy indeksami giełdowymi WIG20 i Dow Jones. 2. Elementy teorii wartości ekstremalnych Teoria wartości ekstremalnych (TWE) jako gałąź statystyki opisuje graniczne własności wartości ekstremalnych. Klasyczne podejście charakteryzuje zachowanie normalizowanych maksimów zmiennych losowych i może być sformułowane w postaci niżej podanego twierdzenia [Coles 200]. Twierdzenie. Niech X,, X n będą zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie z dystrybuantą F. Oznaczmy M n := max(x,, X n ).
2 92 Niech a n, b n będą takimi ciągami, że dla pewnej dystrybuanty G zachodzi: lim n P M n b n a n x = G(x), x R. () Wtedy G jest jedną z dystrybuant typu: Frechet 0, x 0 (x) = exp x,, Weibull Gumbel ( ) x > 0 > 0 ( ( ) ) x < 0 (x) = exp x,, x 0, > 0 (2) (3) Λ(x) = exp( x x ), x R. (4) Powyższe dystrybuanty są nazywane dystrybuantami wartości ekstremalnych. Możliwe jest przedstawienie powyższych funkcji w syntetycznej postaci, zwanej dystrybuantą uogólnionego rozkładu wartości ekstremalnych (generalized extreme value distribution, GEV): H,μ, (x) = exp + x μ +, 0 x R, (5) exp exp x μ, = 0 gdzie: x + = max(x, 0). Przypadek: ξ > 0 odpowiada rozkładowi Frecheta, gdzie ξ = α, ξ < 0 odpowiada rozkładowi Weibulla, gdzie ξ = α, ξ = 0 odpowiada rozkładowi Gumbela. Modelowanie zachowania normalizowanych maksimów w praktyce realizuje się poprzez wykorzystanie maksimów zmiennych w rozłącznych przedziałach czasu (metody te są nazywane metodami blokowymi) w kolejnych miesiącach, kwartałach czy latach.
3 Analiza zależności ekstremalnych 93 Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, wielowymiarowy rozkład wartości ekstremalnych może być opisywany metodami blokowym. Niech (X, Y ), (X 2, Y 2 ), oznacza ciąg niezależnych wektorów o rozkładzie z dystrybuantą F(x, y). W wypadku opisu dystrybuanty F metodami blokowymi należy oznaczyć: M x, n = max { X i }, M y, n = max { Y i }, M n = ( M x, n, M y, n ). (6) i=,, n i=,, n Wektor M n jest wektorem, którego składowymi są maksymalne wartości zmiennych losowych X i Y. Opis wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych jest najprostszy w przypadku, gdy rozkłady brzegowe są standaryzowanymi rozkładami Frecheta. Standaryzacji tej dokonuje się dzieląc wektor M n przez n. Rozważa się zatem wektor M * n = ( M x, n n, M y, n n). Poniższe twierdzenie opisuje wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych, w przypadku gdy n. Twierdzenie 2 [Coles 200]. Niech wektor M * * * n = ( M x, n, M y, n ), gdzie (X, Y ) są i i niezależne, będzie miał składowe brzegowe opisywane standaryzowanym rozkładem Frecheta. Wtedy, jeśli: * Pr((M x, n * < x, M y, n, y) G(x, y), (7) to ( ) = exp V ( x, y) G x, y { }, x > 0, Y > 0, (8) gdzie: V(x, y) = 2 max x w, w y a H jest dystrybuantą spełniającą warunek: 0 dh (w), (9) wdh (w) = 0,5. (0) 0 Dystrybuanty spełniające warunek (8) są nazywane dwuwymiarowymi dystrybuantami wartości ekstremalnych. W odróżnieniu od przypadku jednowymiarowego, gdzie opis jednowymiarowej dystrybuanty ograniczał się do trzech typów (Frechet, Gumbel, Weibull) wielowymiarowy rozkład jest opisywany poprzez możliwe warianty dystrybuanty H. Dowolna dystrybuanta spełniająca warunek (0) (takich dystrybuant jest nieskończenie wiele) generuje kolejne typy funkcji G, zatem w przypadku wielowymiarowym nie ma skończonej liczby rodzin generujących wszystkie możliwe typy wielowymiarowych rozkładów wartości ekstremalnych. W praktyce postać dystrybuanty G jest szczególnym przypadkiem funkcji należą-
4 94 cych do jednej ze znanych rodzin dystrybuant wartości ekstremalnych. Najpopularniejszą z nich jest rodzina rozkładów logistycznych dana formułą: G(x, y) = exp x + y, x, y > 0, (0,). () Zaletą takiego opisu jest możliwość zaobserwowania i łatwej interpretacji zależności pomiędzy badaną parą zmiennych. W przypadku gdy α, badane zmienne są niezależne, gdy α 0, występuje przypadek dodatniej zależności pomiędzy zmiennymi. Innymi rodzinami opisującymi dystrybuantę G są: model bilogistyczny, model Dirichleta [Coles 200, s. 47], w których nie zakłada się symetrycznej zależności pomiędzy badanymi zmiennymi. Alternatywą do stosowania wyżej przedstawionych metod modelowania wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych jest użycie funkcji połączeń (copula function). Funkcje połączeń to dystrybuanty wielowymiarowych rozkładów jednostajnych. W wypadku gdy rozważany jest wektor (X,, X n ) o dystrybuancie F, to o ile wszystkie jednowymiarowe rozkłady brzegowe F,, F n są ciągłe, wówczas istnieje jedyna funkcja połączeń C F rozkładu F, taka że (tw. Sklara, 959) [Embrechets, Lindskog, McNeil 200]: F ( x,, x n ) = C F ( F ( x ),, F ( x n )). (2) Ponieważ funkcja połączeń nie zależy od rozkładów brzegowych, więc zawiera wszystkie informacje dotyczące zależności pomiędzy składnikami wektora (X,, X n ). Możliwość wykorzystania funkcji połączeń w analizie wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych, w przypadku gdy rozważane są maksima blokowe, przedstawia poniższe twierdzenie [Bouye 2002]. Twierdzenie 3. Niech M n = ( M x, n,, M xd, n ) = max X, k,, max X d, k k=,, n k=,, n gdzie (X, n,, X d, n ) jest wektorem losowym o rozkładzie F, dystrybuantach brzegowych F,, F d oraz funkcji połączenia C. Wówczas warunek:, lim n P M x, n b, n a, n x,, M x d, n b d, n a d, n x d = G (x,, x d ), (x,, x d ) R d, a j, n > 0 (3) Wykorzystanie funkcji połączeń w metodach progowych analizy wartości ekstremalnych zawiera np. praca [Yamai, Yoshiba 2002].
5 Analiza zależności ekstremalnych 95 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy:. Dla każdego j =,, d istnieją a j, n, b j, n i dystrybuanta graniczna G j, takie że: lim n P M x j, n b j,n a j, n x j = G j (x j ), x R. (4) 2. Istnieje funkcja połączenia C, taka że: C (u,, u d ) = lim C n (u /n,, u /n d ). (5) n Jeżeli powyższe warunki są spełnione, zachodzi równość: G (x,, x d ) = C ( G (x ),, G d (x d )). (6) Funkcja połączenia, dla której spełniony jest warunek: C(u t,, u N t ) = C t (u,, u N ), (7) nazywana jest funkcją połączenia dla wartości ekstremalnych (extreme value copula). Analogicznie jak w przypadku klasycznego modelowania wielowymiarowej dystrybuanty wartości ekstremalnych, nie istnieje skończona liczba rodzin funkcji połączeń dla wartości ekstremalnych. 3. Wybór optymalnej funkcji połączenia Wielowymiarowy rozkład zmiennej losowej może być reprezentowany przez dystrybuanty brzegowe oraz funkcję połączeń. Wybór odpowiedniej funkcji połączeń sprowadza się do wytypowania najlepszej funkcji spośród skończonego zbioru kandydatów S (który jest podzbiorem zbioru wszystkich możliwych funkcji połączeń). Optymalna, najlepsza funkcja to ta, której odległość, mierzona np. odległością opartą na normach L p od empirycznej funkcji połączeń, jest najmniejsza spośród wszystkich dystrybuant w zbiorze S. W celu rozpoczęcia procesu porównywania odległości pomiędzy funkcjami połączeń należy wyznaczyć empiryczną funkcję połączenia. Problem pojawiający się w tym miejscu polega na tym, że skończona próba wyznacza empiryczne dystrybuanty brzegowe będące funkcjami skokowymi, z czego wynika, że funkcja połączenia opisująca zależności pomiędzy zmiennymi brzegowymi nie jest określona w sposób jednoznaczny (tw. Sklara). Może się wiec zdarzyć, że różne funkcje połączeń brane ze zbioru kandydatów są najbliższe różnym empirycznym
6 96 funkcjom połączeń. Aby ominąć tę niejednoznaczność, P. Deheuveles w 979 r. zaproponował następującą definicję [Durrleman 2000]. Definicja. Niech X = x t T t {(, x 2 )} będzie próbą pochodzącą z wektora losowego (X t=, X 2 ) o dystrybuantach brzegowych odpowiednio F, F 2 i funkcją połączenia C. Dwuwymiarową empiryczną funkcją połączenia na kracie L, gdzie: nazywa się funkcję postaci: L = t Ĉ (T ) T, t 2 T t T, t 2 T : t n = 0,, T (8) = T T t = x t x ( t ), x 2 t x 2 (t ), (9) (t gdzie x ) i jest t-tą kolejną obserwacją w ciągu x () i, x (2) (n) (k ( i,, x i ), gdzie x ) i jest elementem próby, dla którego x () i x (2) (n) ( i x i ), i {, 2}. Tak zdefiniowana funkcja połączenia nie zależy od rozkładów brzegowych i jest zbieżna do dystrybuanty C ( Ĉ(T ) C ). 4. Szacowanie asymptotycznej zależności W celu określenia zależności w ogonie rozkładu dwuwymiarowej zmiennej losowej analizuje się tzw. współczynnik zależności górnego ogona (analogicznie bada się zależność dolnego ogona) dany jako: lub w alternatywnej postaci: = lim u χ = lim Pr { F (X) > u F 2 (Y ) > u} (20) u ( ) 2 log Pr F X (X) < u, F Y (Y ) < u log u. (2) Współczynnik ten mierzy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia ekstremalnego jednej zmiennej pod warunkiem wystąpienia zdarzenia ekstremalnego dla drugiej. Definicja 2. Zmienne losowe są asymptotycznie niezależne, gdy współczynnik zależności górnego ogona jest równy zeru. Zmienne losowe są asymptotycznie zależne, gdy χ > 0, a wzrost natężenia zależności jest tożsamy ze wzrostem wartości χ.
7 Analiza zależności ekstremalnych 97 Asymptotyczna niezależność występuje dla bogatej klasy rozkładów. Przykładem jest dwuwymiarowy rozkład normalny, którego zmienne są skorelowane, a współczynnik korelacji zawiera się w przedziale (, ). Dla tego rozkładu niemożliwe jest wystąpienie skrajnie dużych wartości dla obu zmiennych brzegowych jednocześnie. Mimo to dla współczynnika korelacji, którego wartość bezwzględna jest bliska jedności, występowanie zależności można zaobserwować nie tylko w jądrze rozkładu, ale także na umiarkowanie ekstremalnym poziomie [Coles 200, s. 68]. Dlatego też, aby badać natężenie zależności w klasie rozkładów asymptotycznie niezależnych, wprowadza się następujący miernik: = lim u 2 log( u) log Pr(F X (X) > u, F Y (Y ) > u). (22) W przypadku gdy zmienne są asymptotycznie niezależne, χ = 0, zaś χ [, ) wskazuje na natężenie zależności ekstremalnej. Jeśli np. rozważany jest dwuwymiarowy rozkład normalny, wówczas wartość χ jest równa współczynnikowi korelacji pomiędzy zmiennymi brzegowymi. Dla zmiennych asymptotycznie zależnych miernik χ przyjmuje wartość i natężenie zależności ekstremalnych jest wskazywane przez wartość χ. Ponieważ funkcje połączeń niosą ze sobą wszystkie informacje dotyczące zależności pomiędzy zmiennymi losowymi, których rozkłady opisują, można więc przy ich użyciu badać zależności asymptotyczne. Mierniki χ i χ mogą zostać wyrażone w języku funkcji połączeń w następujący sposób: = lim u 2 C(u,u) u (23) = lim u ln( u) 2 ln( 2u + C(u,u)). (24) Analiza pary (χ i χ) daje pełny obraz formy i natężenia asymptotycznej zależności. 5. Przykład empiryczny W niniejszym przykładzie elementy TWE i analiza funkcji połączeń zostaną wykorzystane w celu określenia formy i oszacowania natężenia zależności ekstremalnych. Dane użyte w przykładzie to logarytmiczne stopy zwrotów wartości indeksów Dow Jones i WIG20 z okresu od 3 stycznia 995 r. do 28 listopada 2003 r. W celu uzyskania porównywalności dane zostały zestandaryzowane. Na rys.
8 98 a) b) c) d) Rys.. a) Wartość indeksu WIG20 na zamknięciu w badanym okresie, b) Logarytmiczne standaryzowane stopy zwrotu indeksu WIG20, c) Wartość indeksu Dow Jones na zamknięciu w badanym okresie, b) Logarytmiczne standaryzowane stopy zwrotu indeksu Dow Jones Źródło: opracowanie własne. przedstawiono wykresy wartości badanych indeksów, a także analizowane logarytmiczne standaryzowane stopy zwrotów. Parametry rozkładu ogonów zmiennych losowych opisujących ujemne zmiany wartości indeksów (oznaczone symbolem min ) oszacowano metodą największej wiarygodności przy użyciu metody blokowej. Obserwacje zostały podzielone na 07 podokresów, odpowiadających kolejnym miesiącom. Wyniki estymacji parametrów uogólnionej dystrybuanty wartości ekstremalnych (wzór (5)) przedstawia tabela. Tabela. Wyniki estymacji parametrów uogólnionej dystrybuanty wartości ekstremalnych dla badanej pary indeksów Parametr WIG20 min Dow Jones min ˆμ 2,58,549 Źródło: obliczenia własne. ˆσ,263 0,7863 ˆξ 0,397 0,4
9 Analiza zależności ekstremalnych 99 Parametr kształtu ξ uogólnionej dystrybuanty wartości ekstremalnych dla badanych spadków indeksów jest dodatni, co oznacza, że rozkłady analizowanych zmiennych mają grube ogony. 2 WIG Dow Jones Rys. 2. Diagram korelacyjny maksymalnych logarytmicznych standaryzowanych zmian indeksów Dow Jones i WIG20 Źródło: opracowanie własne. Rozkład dwuwymiarowy maksymalnych spadków badanych indeksów, które zostały przedstawione na rys. 2, zostanie opisany funkcją połączenia. Przedstawiony diagram korelacyjny wskazuje na niewielki stopień zależności, chociaż z drugiej strony, największe spadki wartości badanych indeksów występowały w tych samych okresach. W celu wybrania optymalnej funkcji połączenia stworzony został zbiór kandydatów S. Elementami zbioru S są wybrane funkcje połączeń dla wartości ekstremalnych oraz (dla porównania) funkcja połączenia normalnego (niespełniająca warunku (7)). Nazwy funkcji połączeń, których parametry będą oszacowane, są przedstawione wraz z ich dystrybuantami w tabeli 2. Oceny parametrów funkcji połączeń otrzymane metodą największej wiarygodności zostały przedstawione w tabeli 3. W celu wybrania najlepszej dystrybuanty oszacowane funkcje zostały porównane do empirycznej funkcji połączenia zdefiniowanej na następującej kracie: i L = 07, j 07 normie L 2 w dyskretnej wersji) ma następującą postać: : i, j {,, 07 }. Odległość użyta do porównania (oparta na
10 00 d(c i, Ĉ) = C i i 07, j Ĉ i , j i= j= 07 gdzie: C i funkcja połączenia należąca do zbioru S, Ĉ empiryczna funkcja połączenia., (25) Tabela 2. Dystrybuanty funkcji połączeń elementy zbioru kandydatów S Funkcja połączenia C(u, v) Gumbel exp ( u + v ) Galambos uv exp ( u + v ) bb5 exp u + v ( u + v ) C Normalna Φ β ( Φ (u), Φ (v)) Źródło: opracowanie własne. uv Tabela 3. Oceny parametrów funkcji połączeń i odległości dystrybuant od empirycznej funkcji połączeń Funkcja połączenia Parametry Odległość Gumbel,287,844 Galambos 0,559,840 bb5 (, 0,55),840 C 2,254 Normalna 0,338 2,737 Źródło: obliczenia własne. Odległość dystrybuant kandydatów od dystrybuanty empirycznej podano w tabeli 3. Wyniki przedstawione w tabeli dowodzą, że dystrybuanty Gumbela, Galambosa oraz bb5 są niemal tak samo odległe od empirycznej funkcji połączenia. Większy dystans od wzorca dzieli dystrybuantę połączenia normalnego. Zdecydowanie najdalej od porównywanej dystrybuanty znalazła się funkcja
11 Analiza zależności ekstremalnych 0 połączenia odpowiadająca za przypadek niezależności zmiennych brzegowych. W interpretacji zostanie użyta dystrybuanta Galambosa. Ponieważ oszacowany parametr β jest większy od zera, należy przyjąć, że opisywane maksymalne spadki badanych indeksów są asymptotycznie zależne. Natężenie ekstremalnej zależności oszacowane zostało zatem za pomocą wzoru (23) i wyniosło 0, Podsumowanie Określanie formy i natężenia asymptotycznej zależności pomiędzy składnikami portfela wydaje się niezbędne w bezpiecznym i skutecznym zarządzaniu ryzykiem. Metodologia przedstawiona w niniejszym artykule pozwala badać zależność w ogonach rozkładów w przypadkach występowania zależności i niezależności asymptotycznej, przez co wydaje się bardzo skuteczna w kontekście zastosowań. Literatura Bouye E. [2002], Multivariate Extremes at Work for Portfolio Risk Management, preprint. Coles S.G. [200], An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer, London. Durrleman V., Nikeghbali A., Roncalli T. [2000], Which Copula is the Right One?, preprint. Embrechets P., Lindskog F., McNeil A. [200], Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management, Report, ETHZ, Zurich. Statystyczne metody oceny ryzyka w działalności gospodarczej [998], red. A. Zeliaś, Wydawnictwo AE w Krakowie, Kraków. Yamai Y., Yoshiba T. [2002], Comparative Analyses of Expected Shortfall and Value-at-Risk under Market Stress, preprint. An Analysis of Extreme Correlations Determining the form and intensity of asymptotic correlation among portfolio components is crucial to safe and effective risk management. In this article, the author reviews extreme value theory and analyses the function of connections that enable the form and intensity of correlations in distribution tails to be estimated. The author presents indicators that afford a complete description of the correlations divided into asymptotically dependent and independent distributions. The article includes a translation of the theory used to determine the extreme correlations between the WIG20 and Dow Jones stock market indices.
Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak
Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoSzacowanie miary zagrożenia Expected Shortfall dla wybranych instrumentów polskiego rynku kapitałowego
Radosław Pietrzyk Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Szacowanie miary zagrożenia Expected Shortfall dla wybranych instrumentów polskiego rynku kapitałowego 1.
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoEkonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek
Ekonometria Finansowa II EARF Michał Rubaszek 1 Cele - Zapoznanie z charakterystykami szeregów finansowych - Omówienie jednowymiarowych metod liczenia VaR - Omówienie wielowymiarowych metod liczenia VaR
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 5 212 EWA DZIAWGO ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE Wprowadzenie Proces globalizacji rynków finansowych stwarza
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoDokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoGdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).
PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem
Bardziej szczegółowoModele długości trwania
Modele długości trwania Pierwotne zastosowania: przemysłowe (trwałość produktów) aktuarialne (długość trwania życia) Zastosowania ekonomiczne: długości bezrobocia długości czasu między zakupami dóbr trwałego
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoMIARY ZALEŻNOŚCI OPARTE NA KOPULACH
Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 246 2015 Współczesne Finanse 3 Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie Wydział Matematyczno-Przyrodniczy.
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoUogolnione modele liniowe
Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoElementy statystyki wielowymiarowej
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Elementy statystyki wielowymiarowej 1.1 Kowariancja i współczynnik korelacji 1.2 Macierz kowariancji 1.3 Dwumianowy rozkład normalny 1.4 Analiza składowych
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoDetekcja rozkładów o ciężkich ogonach
Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 7 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoZastosowanie mieszanki kopul do modelowania współzależności pomiędzy wybranymi sektorami gospodarki
Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 129 139 Piotr Gurgul*, Robert Syrek** Zastosowanie mieszanki kopul do modelowania współzależności pomiędzy wybranymi sektorami gospodarki 1. Wprowadzenie Możliwość prognozowania
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoEXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH
Radosław Pietrzyk Uniwersytet Ekonomiczny We Wrocławiu EXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH 1. Wstęp Rok 2008 zapoczątkował kryzys na rynkach finansowych. Duża niestabilność
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoEkonometria. Zajęcia
Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoWykład 10 Testy jednorodności rozkładów
Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wrocław, 16 maja 2018 Test Znaków test jednorodności rozkładów nieparametryczny odpowiednik testu t-studenta dla prób zależnych brak normalności rozkładów Test Znaków
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoModele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoPRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR. Wojciech Zieliński
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR Wojciech Zieliński Katedra Ekonometrii i Statystyki SGGW Nowoursynowska 159, PL-02-767 Warszawa wojtek.zielinski@statystyka.info
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 Metody estymacji. Estymator największej wiarygodności Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową y o rozkładzie zero-jedynkowym
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoWykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób
Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wrocław, 18 kwietnia 2018 Test rangowy Testem rangowym nazywamy test, w którym statystyka testowa jest konstruowana w oparciu o rangi współrzędnych wektora
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowo