Rachunek prawdopodobieństwa II. Zadania
|
|
- Grażyna Kołodziej
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Leszek Słomiński Rachuek prawdopodobieństwa II. Zadaia Materiały dydaktycze dla studetów matematyki przygotowae w ramach projektu IKS - Iwestycja w Kieruki Strategicze a Wydziale Matematyki i Iformatyki UMK" Wydział Matematyki i Iformatyki Uiwersytet Mikołaja Koperika Toruń 20 Projekt współfiasoway ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego
2
3 Spis treści Wstęp 5. Zmiee losowe i wektory losowe 7.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zadaia dodatkowe Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zadaia dodatkowe Ciągi iezależych zmieych losowych Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zadaia dodatkowe Zbieżość według rozkładu zmieych losowych Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zadaia dodatkowe Bibliografia 35 3
4
5 Wstęp Materiały Rachuek prawdopodobieństwa II. Zadaia zawierają komplete rozwiązaia zadań ze skryptu Rachuek prawdopodobieństwa II. Poadto zaleźć w ich moża szereg dodatkowych zadań przezaczoych do samodzielego rozwiązaia. Podobie jak w skrypcie stosujemy astępujace stadardowe ozaczeia: N ozacza zbiór liczb aturalych, R zbiór liczb rzeczywistych, R d d-kroty produkt liczb rzeczywistych, a A T ozacza macierz traspoowaą do macierzy A. 5
6
7 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zad... Niech X będzie zmieą losową o rozkładzie absolutie ciągłym z gęstością p(x). Jaki rozkład ma zmiea losowa Y = cx + d dla c, d R, c 0. Rozwiązaie. Wystarczy zastosować twierdzeie.5 dla fukcji f(x) = cx + d. W tym przypadku f (y) = (y d)/c i stąd gęstość rozkładu Y jest postaci g(y) = p(f (y)) (f ) (y) = p( y d ) c c, y R. Zad..2. Pokazać, że jeżeli X jest zmieą losową o rozkładzie ormalym N (0, ), to Y = X 2 ma rozkład o gęstości g(y) = 2πy exp( y 2 ) (0, )(y), y R +. Rozwiązaie, W tym przypadku ie możemy skorzystać z twierdzeia.5. Zauważmy, że dla y 0 mamy F Y (y) =. Z kolei dla y > 0 F Y (y) = P (X 2 y) = P ( y X y) = Φ( y) Φ( y) = 2Φ( y), gdzie Φ(y) = y 2π e 2 x2 dx jest dystrybuatą stadardowego rozkładu ormalego. W kosekwecji g(y) = F Y (y) = Φ ( y) = exp( y ), y > 0. y 2πy 2 Zad..3. Podaj przykład zmieych losowych ieskorelowamych, ale zależych. Rozwiązaie. Weźmy Ω = {ω, ω 2, ω 3, ω 4 } z prawdopodobieństwem klasyczym P ({ω i }) = /4. Niech ω = ω, X = ω = ω 2, 0 w przeciwym razie, 7
8 8 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe oraz ω = ω 3, Y = ω = ω 4, 0 w przeciwym razie. Poieważ 0 = EXY = EX = EY, więc X, Y są ieskorelowae. Z drugiej stroy P (X = 0, Y = 0) = 0 4 = 2 = P (X = 0)P (Y = 0), 2 co pociąga, iż X, Y ie są iezależe. Zad..4. Niech X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie dwupuktowym takim, że dla ustaloego p (0, ) P (X i = ) = p, P (X i = 0) = p, i =,...,. Zmiea losowa S = i= X i ma rozkład Beroullego z parametrami oraz p tz. ( ) P (S = k) = p k ( p) k, k = 0,,...,. k Rozwiązaie. Zauważmy, że korzystając z iezależości ciągu X,..., X dla każdego k = 0,,..., P (S = k) = P ( {X i =,..., X ik =, X j = 0,..., X j k = 0}) = = = i <...<i k i <...<i k i <...<i k i <...<i k P (X i =,..., X ik =, X j = 0,..., X j k = 0) P (X i = )...P (X ik = )P (X j = 0)...P (X j k = 0) p k ( p) k gdzie {j,..., j k } = {,..., } \ {i,..., i k }. Ostatecza kokluzja wyika z faktu, że liczba składików w ostatiej sumie jest rówa liczbie podzbiorów k elemetowych zbioru elemetowego, a więc ( k). Zad..5. Rozkład łączy zmieych losowych X, Y day jest wzorem c P ((X, Y ) = (m, )) =, m, N {0} 3 m+ 2 dla pewego c > 0. (a) Wyzacz c. Zajdź rozkłady brzegowe X i Y. Czy są to zmiee losowe iezależe? Czy są oe ieskorelowae? (b)wyzacz P (X = Y ), wartość oczekiwaą i macierz kowariacji wektora (X, Y ) T. (c) Wyzacz rozkład zmieej Z = X + Y. Rozwiązaie. Ad. (a) Zauważmy, że c = c 3 m+ 2 m=0 =0 m=0 3 m+ = c 2 2 = c, =0 2
9 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe 9 co implikuje, iż c =. Poadto dla każdego m N {0} oraz dla każdego N {0} P (X = m) = P (Y = ) = =0 m=0 3 m+ 2 = 2 3 ( 3 )m 3 m+ 2 = 2 ( 2 ), a więc X, Y mają przesuięte rozkłady geometrycze odpowiedio z parametrami. Poadto są oe iezależe, gdyż dla wszystkich m, N {0} 2 3 i 2 P (X = m, Y = ) = 3 m+ 2 = 3 = P (X = m)p (Y = ) m+ 2 i jako iezależe są też oczywiście ieskorelowae. Ad. (b) Korzystając z wiadomości dotyczących przesuiętego rozkładu geometryczego z części teoretyczej E(X, Y ) T = (EX, EY ) T = ( 2, )T oraz korzystając z ieskorelowaia X, Y Cov((X, Y ) T ) 2 = Cov((X, Y ) T ) 2 = 0. Wykorzystując poowie część teoretyczą Cov((X, Y ) T ) = D 2 (X) = 3 4 i Cov((X, Y ) T ) 22 = D 2 (Y ) = 2. Poadto P (X = Y ) = m=0 3 m+ 2 m = 2 5. Ad. (c) Zmiea losowa Z przyjmuje wartości w zbiorze N {0}. Dla każdego k N {0} P (Z = k) = P (X + Y = k) = P ( = k {X = i, Y = k i}) i=0 k P (X = i, Y = k i) = i=0 = ( 2 3 )k+ 2 k. k P (X = i)p (Y = k i) Zad..6. Przedmiot moża zaliczyć do pierwszego gatuku z prawdopodobieństwem p, do drugiego gatuku z prawdopodobieństwem p 2 lub uzać za wadliwy z prawdopodobieństwem p 3 = p p 2. Przetestowao przedmiotów. Wyzaczyć rozkład i=0
10 0 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe prawdopodobieństwa różych liczb przedmiotów pierwszego i drugiego gatuku, ich wartości oczekiwae i kowariację. Rozwiązaie. Niech zmiea losowa X opisuje ilość przedmiotów pierwszego gatuku, a Y ilość przedmiotów drugiego gatuku. Z treści zadaia wyika, że ( )( ) k P ((X, Y ) = (k, l)) = p k k l p l 2p k 3, dla wszystkich k = 0,,..., oraz l = 0,,..., k, gdzie p 3 = p p 2. Moża zauważyć, że dla wszystkich k = 0,..., k ( P (X = k) = k l=0 )( k l ) p k p l 2p k 3 = ( ) p k k ( p ) k, a więc X ma rozkład Beroullego z parametrami i p. Stąd EX = p. Podobie pokazujemy, że dla wszystkich l =,..., ( ) P (Y = l) = p k l 2( p 2 ) l, co pociąga, iż Y ma rozkład Beroullego z parametrami i p 2 i implikuje, że EY = p 2. Aby wyzaczeć kowariację cov(x, Y ) musimy jeszcze wyliczyć EXY. W tym celu zauważmy, że W kosekwecji EXY = k ( )( ) k kl p k k l p l 2p3 k = p p 2 ( ). k=0 l=0 cov(x, Y ) = EXY EXEY = p p 2 ( ) p p 2 = p p 2. X, Y są przykładem ujemie skorelowaych zależych zmieych losowych. Zad..7. Daa jest fukcja p(x, y) = { cxy x 2, 2 y 4 0 w przeciwym razie. Wyzacz stała c tak, aby fukcja ta była gęstością rozkładu. Wyzacz w tym przypadku gęstości rozkładów brzegowych. Rozwiązaie. Poieważ cxy [,2] (x) [2,4] (y)dxdy = a więc c =. Wtedy 9 p (x) = R R R 2 ( 4 2 cxydy)dx = 9c, 9 xy [,2](x) [2,4] (y)dy = 2 3 x [,2](x)
11 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe oraz p 2 (y) = R 9 xy [,2](x) [2,4] (y)dx = 6 y [2,4](y) są gęstościami rozkładów brzegowych. Poieważ p(x, y) = p (x)p 2 (y) dla wszystkich x, y R, więc rozważay rozkład jest produktem rozkładów brzegowych. Zad..8. Wektor (X, Y ) T ma rozkład o gęstości p(x, y) = 5 2 (0,2x](y) (0, ) (x)e x 2y. Zajdź gęstości brzegowe zmieych X i Y oraz sprawdź, czy zmiee te są iezależe. Rozwiązaie. Wystarczy zauważyć, że 5 p X (x) = 2 (0,2x](y) (0, ) (x)e x 2y dy = 5 4 (e x e 5x ) (0, ) (x) oraz, że R p Y (y) = R 5 2 (0,2x](y) (0, ) (x)e x 2y dx = e 2 y (0, ) (y). Poieważ p X (x)p Y (y) p(x, y), więc X, Y ie są iezależymi zmieymi losowymi. Zad..9. Zmiee losowe X i X 2 są iezależe i mają rozkłady absolutie ciągłe o gestościach odpowiedio rówych p (x ), p 2 (x 2 ). Wyzacz gęstość zmieej losowej Z = ax + bx 2. Rozwiązaie. Wykorzystamy twierdzeie.7 z części teoretyczej. Niech X = (X, X 2 ) T. Poieważ X, X 2 są iezależe X ma rozkład absolutie ciągły o gęstości p(x, x 2 ) = p (x )p 2 (x 2 ). Defiiujemy odwzorowaie T : R 2 R 2, gdzie ȳ = T ( x) jest postaci y = ax + bx 2, y 2 = x. Oczywiście T jest dyfeomorfizmem zbiorów otwartych. T = H jest postaci x = H (y, y 2 ) = y 2, x 2 = H 2 (y, y 2 ) = y ay 2. b Stąd wyzaczik macierzy Jacobiego jest postaci det DH =. W kosekwecji b gęstość rozkładu łączego zmieych losowych Y = ax +bx 2, Y 2 = X jest postaci g(y, y 2 ) = p(y 2, y ay 2 b ) b = p (y 2 )p 2 ( y ay 2 ) b b, a gęstość rozkładu zmieej losowej Z = Y = ax + bx 2 jest rówa p Z (y ) = p (y 2 )p 2 ( y ay 2 ) b b dy 2. R Zad..0. Niech X i X 2 będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie jedostajym a odciku (0, ). Zajdź gęstość zmieej losowej Z = X X 2. Rozwiązaie. Wykorzystamy poowie twierdzeie.7 z części teoretyczej. Niech X = (X, X 2 ) T. Poieważ X, X 2 są iezależe X ma rozkład absolutie ciągły o gęstości p(x, x 2 ) = p (x )p 2 (x 2 ) = (0,) (x ) (0,) (x 2 ). Defiiujemy odwzorowaie T : R 2 R 2, gdzie ȳ = T ( x) jest postaci y = x x 2, y 2 = x 2. W tym przypadku
12 2 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe T = H jest postaci x = H (y, y 2 ) = y y 2, x 2 = H 2 (y, y 2 ) = y 2. Stąd wyzaczik macierzy Jacobiego jest rówy det DH = y 2. Gęstość rozkładu łączego zmieych losowych Y = X X 2, Y 2 = X 2 jest więc daa wzorem g(y, y 2 ) = (0,) (y y 2 ) (0,) (y 2 ) y 2 = (0,) (y ) (0,/y )(y 2 )y 2, a gęstość rozkładu zmieej losowej Z = Y = X X 2 p Z (y ) = R (0,) (y ) (0,/y )(y 2 )y 2 dy 2 = W kosekwecji p Z (y ) = 2y 2 (0,) (y )..2. Zadaia dodatkowe Zad... Rozkład wektora (X, Y ) T przedstawia tabelka Y \X 0 0, 5 0, 25 0, jest dla y (0, ) rówa y 0 y 2 dy 2 = 2y 2. (a) Zajdź rozkłady brzegowe X i Y. Czy zmiea X i Y są iezależe? Czy są ieskorelowae? (b) Wyzacz P (X = Y ), wartość oczekiwaą i macierz kowariacji wektora (X, Y ) T. (c) Podaj dystrybuatę wektora (X, Y ) T i rozkład zmieej losowej Z = X + Y. Zad..2. Rozkład wektora (X, Y ) przedstawia tabelka Y \X , 25 0, , , 25 0, , (a) Zajdź rozkłady brzegowe X i Y. Czy zmiee losowe X i Y są iezależe? Czy są ieskorelowae? (b) Wyzacz P (X = Y ), wartość oczekiwaą i macierz kowariacji wektora (X, Y ). (c) Wyzacz rozkład zmieej losowej Z = X + Y. Zad..3. Pokazać, że jeżeli X, Y mają rozkłady Beroullego z odpowiedio z parametrami, p (0, ) i 2, p (0, ) i są iezależe, to X + Y też ma rozkład Beroullego z parametrami + 2, p. Zad..4. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi, przy czym X ma rozkład Poissoa z parametrem λ, a Y rozkład geometryczy z parametrem p, tz. P (Y = k) = ( p) k p dla k =, 2,.... Obliczyć E[X 2 ( ) Y ]. Zad..5. Rzucamy sześciokrotie rzetelą kostką do gry. Jaka jest wartość oczekiwaa ilości rzutów, w których liczba wyrzucoych oczek jest rówa umerowi rzutu?
13 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe 3 Zad..6. Niech X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ =. Zaleźć gęstość rozkładu zmieych Y = max i X i, Y 2 = mi i X i. Zad..7. Daa jest fukcja p(x, y) = { 8 (x2 y 2 )e x y x 0 w przeciwym razie Zbadać, czy tak określoa fukcja jest gęstością pewego wektora losowego (X, Y ) T. Wyzacz gęstości brzegowe. Zad..8. Fukcja F (x, y) jest określoa wzorem: F (x, y) = { x + y 0 0 w przeciwym razie Zbadać, czy tak określoa fukcja może być traktowaa jako dystrybuata pewego wektora losowego (X, Y ) T. Zad..9. Fukcja p(x, y) = { e y 0 x <, x y < 0 w przeciwym razie jest gęstością rozkładu wektora losowego (X, Y ). Wyzacz jego dystrybuatę oraz gęstości rozkładów brzegowych. Zad..20. Fukcja p(x, y) = { 2 xy 0 < x y 0 w przeciwym razie jest gęstością rozkładu wektora losowego (X, Y ) T. Wyzacz jego dystrybuatę oraz gęstości rozkładów brzegowych. Zad..2. Fukcja p(x, y) = { 0, 5 si(x + y) 0 x /2π, 0 y /2π 0 w przeciwym razie określa rozkład wektora losowego (X, Y ) T. Wyzacz jego dystrybuatę, wartość oczekiwaą oraz macierz kowariacji. Zad..22. Podaj przykład dwóch wektorów losowych o różych rozkładach łączych, które maja te same rozkłady brzegowe. Zad..23. Zmiee losowe X i Y są iezależe i mają rozkład ormaly N (0, ). Czy zmiee losowe 2X + Y i X + 2Y są iezależe?
14 4 Rozdział. Zmiee losowe i wektory losowe Zad..24. Zmiee losowe X i Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a odciku (0, ). Oblicz wartość oczekiwaą zmieej losowej Z = exp X Y. Zad..25. Zmiee losowe X i Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a odciku (0, 2). Oblicz P (X Y 2 ). Zad..26. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeia, że pierwiastki rówaia x 2 + 2P x + Q = 0 są rzeczywiste, przy założeiu, że P i Q są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach jedostajych, odpowiedio, a odcikach ( a, a) i ( b, b). Zad..27. Rozkład wektora (X, Y ) T przedstawia tabelka Y \X 0 0, 5 0, 25 0, Wyzacz rozkład wektora losowego (X Y, X + 2Y ) T. Zad..28. Niech X i Y będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach, odpowiedio, geometryczym z parametrem /2 i jedostajym a odciku [0, 2). Zajdź rozkład zmieej Z = [X + Y ]. Zad..29. Niech X, X 2 będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. Wyzacz gęstość rozkładu wektora losowego Ȳ = T ( X) = (X X 2, X 2 ) T.
15 5 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe 2.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zad. 2.. Niech X = A będzie zmieą losową a (Ω, F, P ), iech też B F. Ozaczmy G = σ(b). Wyzacz E(X G). Rozwiązaie. σ-algebra G jest geerowaa przez rozbicie B, B c. W kosekwecji E(X G) = E( A B) B + E( A B c ) B c = P (A B) B + P (A B c ) c B. Zad Niech rozkład wektora (X, Y ) będzie day tabelką: Jaka jest E(X Y )?. X\Y /4 /4 0 0 /4 /4 Rozwiązaie. Poieważ Y przyjmuje tylko dwie wartości możemy skorzystać z defiicji warukowej wartości oczekiwaej gdy σ-algebra geerowaa jest przez rozbicie. W aszym przypadku składa się oo z dwóch zbiorów {Y = } i {Y = }. Dlatego E(X Y ) = E(X Y = ) {Y = } + E(X Y = ) {Y =} = X dp {Y = } + P (Y = ) P (Y = ) {Y = } {Y =} X dp {Y =} = 2( ) {Y = } + 2( ) {Y =} = 2 {Y = } + {Y =}. Zad Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie, a N iech będzie zmieą losową o wartościach w N {0} iezależą od {X }. Niech też S N = X + X X N.
16 6 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe Pokazać, że jeżeli EX 2 < + oraz EN 2 < +, to D 2 (S N N) = ND 2 (X ). Rozwiązaie. W przykładzie 2. pokazaliśmy, że E(S N N) = NE(X ). Korzystając bezpośredio z defiicji warukowej wartości oczekiwaej w przypadku σ-algebry geerowaej przez rozbicie i wykorzystując fakt, iż wariacja sumy iezależych zmieych losowych rówa się sumie ich wariacji D 2 (S N N) = E((S N E(S N N)) 2 N) = = = E((S N E(X )N) 2 N = i) {N=i} i=0 E((S i E(X )i) 2 N = i) {N=i} = i=0 D 2 (S i ) {N=i} = i=0 = D 2 (X )N. id 2 (X ) {N=i} i=0 E(S i E(X )i) 2 {N=i} Zad Niech zmiea losowa Y ma rozkład Poissoa z parametrem λ > 0, a P X Y =, N {0} mają rozkłady Beroullego dla prób ze stałym prawdopodobieństwem sukcesu p (0, ). Wyliczyć rozkład zmieej losowej X oraz E(X Y ). Rozwiązaie. Zauważmy, że dla każdego k N {0} P (X = k) = = i=0 P (X = k Y = )P (Y = ) =k =k = (λp)k e λ k! = (λp)k k! ( )p k k λ ( p) k! e λ =k [λ( p)] k ( k)! e λ e λ( p) = (λp)k e λp. k! Stąd X ma rozkład Poissoa z parametrem pλ. Poadto E(X Y ) = E(X Y = ) {Y =} = =0 p {Y =} = Y, gdzie skorzystaliśmy z faktu, że wartość oczekiwaa zmieej losowej o rozkładzie Beroullego z parametrami i p (0, ) wyosi p (patrz Przykład.2). Zad Niech X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie dwupuktowym takim, że dla ustaloego p (0, ) =0 P (X i = ) = p, P (X i = 0) = p, i =,...,.
17 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe 7 Niech też S = i= X ik. Pokazać, że E(X S = k) = k, k = 0,,...,. Rozwiązaie. Z poprzedich rozważań wiemy, że S ma rozkład Beroullego z parametrami, p. Dlatego E(X S = k) = P (X = S = k) + 0 P (X = 0 S = k) = P (X =, S = k) P (S = k) = P (X = )P (X X = k ) P (S = k) = p( ) k p k ( p) (k ) ( ) pk ( p) k k = k, gdzie wykorzystaliśmy fakt, że X X ma rozkład Beroullego z parametrami i p. Zad Wektor (X, Y ) T ma rozkład absolutie ciągły z gęstością p(x, y) = (x 2 + 2y 2 ) (0,) (x) (0,) (y). Wyzacz gęstość warukową f X Y (x y) oraz E(X Y ). Rozwiązaie. Zauważmy ajpierw, że Y ma rozkład absolutie ciągły o gęstości p Y (y) = (x 2 + 2y 2 ) (0,) (x) (0,) (y)dx Stąd dla y (0, ) = R 0 (x 2 + 2y 2 ) (0,) (y)dx = ( 3 + 2y2 ) (0,) (y). p X Y (x y) = p(x, y) P Y (y) = (x2 + 2y 2 ) (0,) (x) y2 W kosekwecji dla y (0, ) E(X Y = y) = R xp X Y (x y)dx = 0 x x2 + 2y 2 dx = + 2y y2 +, 3 2y2 co pociąga, iż E(X Y ) = + 2Y Y. 3 2
18 8 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe Zad Niech gęstości rozkładu zmieej losowej X i rozkładu warukowego będą postaci p X (x) = (0,) (x), p Y X (y x) = x (0,x)(y) dla x (0, ). Wyliczyć: (a) E(Y X), (b) E(X Y ). Rozwiązaie. Ad. (a) Poieważ dla x (0, ) więc E(Y X) = X 2. E(Y X = x) = R yp Y X (y x)dy = x 0 y x dy = x 2, Ad.(b) Zauważmy, że w tym przypadku gęstość rozkładu łączego jest postaci p(x, y) = p Y X (y x)p X (x) = x (0,x)(y) (0,) (x). Stąd dla y (0, ) p Y (y) = R p(x, y)dx = y dx = l y x oraz p X Y (x y) = p(x, y) p Y (y) = x (0,x)(y) (0,) (x) l y = x (y,)(x) (0,) (y). l y W kosekwecji dla y (0, ) E(X Y = y) = co pociąga, iż E(X Y ) = Y l Y. R xp X Y (x y)dx = y x x l y dx = y l y, Zad Niech X, Y będą iezależymi całkowalymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Uzasadić, że E(X X + Y ) = E(Y X + Y ) = X + Y 2 Rozwiązaie. Niech z R. Korzystając z symetrii Poadto E(X X + Y = z) = E(Y X + Y = z). E(X X + Y = z) + E(Y X + Y = z) = E(X + Y X + Y = z) = z, co pociąga, iż E(X X + Y = z) = E(Y X + Y = z) = z 2. Teza wyika z dowolości z R..
19 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe Zadaia dodatkowe Zad Rozkład wektora (X, Y ) T przedstawia tabelka Y \X 3 0 0, 2 0, 3 2 0, 4 Wyzacz rozkład zmieej X pod warukiem Y oraz E(X Y ). Zad Wektor (X, Y ) T ma rozkład o gęstości p(x, y) = (x + y) (0,) (x) (0,) (y). Zajdź: (a) gęstości zmieych X i Y i sprawdź, czy są iezależe, (b) rozkłady warukowe P X Y =/2, P Y X=/4 oraz gęstości warukowe p X Y (x y), p Y X (y x), (c) warukowe wartości oczekiwae E(X Y ), E(X 2 Y ). Zad. 2.. Rzucamy trzy razy symetrycza moetą, iech X ozacza liczbę reszek. Zajdź warukową wartość oczekiwaą zmieej X pod warukiem, że wyrzucoo co ajwyżej orła. Zad Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech U ozacza miimum, a V maximum otrzymaych liczb. Wyzacz P (U 3 V = 4) oraz E(U V ). Zad Rzucamy 0 razy symetryczą moetą. Niech X ozacza liczbę orłów, a Y liczbę orłów w pierwszych 4 rzutach. Wyzacz E(X Y ). Zad Niech X < Y będą iezależymi zmieymi losowymi, f, g : R R fukcjami borelowskimi takimi, że f(x), g(y ) są całkowale. Uzasadić, że E(f(X)g(Y ) X) = f(x)eg(y ). Zad Gęstość rozkładu wektora (X, Y ) T daa jest wzorem p(x, y) = 4 (0,2)(x) (0,2) (x y). Wyzacz p y x (y x), P ( Y < X = ) i E(Y X). Zad Rozkład wektora losowego (X, Y ) T ma gęstość Wyzacz p X Y (x y) i p Y X (y x). p(x, y) = 4xye (x2 +y 2) (0, ) (x) (0, ) (y). Zad Wektor (X, X 2 ) T ma rozkład o gęstości { 24( x2 )x p(x, x 2 ) = gdy 0 < x x 2 <, 0 w przeciwym wypadku, Zajdź: (a) prawdopodobieństwo warukowe P (X 3 X 2 = 2 3 ), oraz gęstość warukową p X X 2 (x x 2 ), (b) warukowe wartości oczekiwae E(X X 2 ), E(X X 2 X 2 ).
20 20 Rozdział 2. Warukowa wartość oczekiwaa i rozkłady warukowe Zad Wektor (X, X 2 ) T ma rozkład absolutie ciągły o gęstości p(x, x 2 ) = 6x x 2 (2 x x 2 ) (0,) (x ) (0,) (x 2 ). Zajdź: (a) gęstość warukową p X X 2 (x x 2 ), (b) warukową wartość oczekiwaą E(X 2 X 2 X 2 ). Zad Wektor (X, X 2 ) T ma rozkład o gęstości { c(x2 x p(x, x 2 ) = )x gdy 0 < x x 2 <, 0 w przeciwym wypadku, Zajdź: (a) wartość c, gęstość warukową p X X 2 (x x 2 ), (b) warukowe wartości oczekiwae E(X 2 X 2 ), E(X 2 X 2 X 2 ). Zad Wektor (X, X 2 ) T ma rozkład o gęstości p(x, x 2 ) = { 3 x 2 x2 2 gdy x x 2 2, 0 w przeciwym wypadku, Zajdź: (a) gęstość warukową p X X 2 (x x 2 ) oraz prawdopodobieństwo warukowe P (X 9 X 2 = 2), (b) warukową wartość oczekiwaą E( X si X 2 X 2 ). Zad Niech zmiee losowe U i V mają gęstość łączą p(u, v) = e v, 0 < u < v <. Wyzacz p U V (u v), p V U (v u) oraz E(U V ). Zad Niech X, Y będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Zaleźć rozkład warukowy U = mi(x, Y ) względem V = max(x, Y ).
21 2 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych 3.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zad. 3.. Niech X będzie zmieą losową o rozkładzie P (X = 0) = e, P (X = ) = 3e, P (X = 2) = 2e, 2. Zbadaj zbieżość ciągu {X } wg prawdopodobieństwa i P -prawie wszędzie. Rozwiązaie. Przewidujemy, że możliwą graicą jest zmiea losowa X =. Poieważ { 0 jeżeli ɛ P ( X > ɛ) = 3e jeżeli 0 < ɛ <, więc P ( X > ɛ) 0 i bezpośredio z defiicji X P. W celu uzasadieia zbieżości P -p.w. zauważmy ajpierw, że dla każdego ɛ > 0 { 0 jeżeli ɛ P ( X > ɛ) = 3 =2 e jeżeli 0 < ɛ <, =2 jest szeregiem zbieżym, co pociąga w szególości, iż lim k =k W kosekwecji dla każdego ɛ > 0 P (sup k P ( X > ɛ) = 0. X > ɛ) = P ( { X > ɛ}) =k P ( X > ɛ) 0, co jest jedym z rówoważych waruków zbieżości X P -p.w. Zad Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Uzasadić, że ciąg =k Y = mi(x, X 2,..., X ), N
22 22 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych jest zbieży według prawdopodobieństwa do 0. Rozwiązaie. Niech ɛ > 0. Wykorzystując iezależość ciągu zmieych losowych mamy P (Y > ɛ) = P (X > ɛ,..., X > ɛ) = P (X > ɛ)... P (X > ɛ) = [max(0, ɛ)] 0. Zad Udowodij ierówość Czebyszewa mówiącą, że dla dowolej zmieej losowej Y o skończoej wariacji i dowolego ɛ > 0 zachodzi oszacowaie Rozwiązaie. Wystarczy zauważyć, że P ( Y EY ɛ) D 2 (Y )ɛ 2. ɛ 2 P ( Y EY ɛ) E { Y EY ɛ} (Y EY ) 2 E(Y E Y ) 2 = D 2 (Y ). Zad Udowodij lemat Borela-Catellego, który mówi, że dla dowolego ciągu zdarzeń A, A 2,... a (Ω, F, P ) = P (A ) < + P (lim sup A ) = 0. Rozwiązaie. Poieważ A = lim sup A = = k= A k, więc dla każdego N P (A) P ( A k ) P (A k ). k= Poieważ k= P (A k) 0 przy jako reszta zbieżego szeregu liczbowego, więc P (A) = 0. Zad Niech {X }, {Y } będą ciągami iezależych zmieych losowych takich, że dla każdego N zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a przedziale (0, ), a Y ma rozkład wykładiczy z parametrem. Zbadaj zbieżość prawie wszędzie szeregów (a) X =, = Y (b) X Y = przy dodatkowym założeiu wzajemej iezależości ciągów {X } i {Y }. Rozwiązaie. Ad. (a) Szereg X = o dwóch szeregach i faktu, że oraz = = E X = = D 2 ( X ) = 2 2 = k= jest zbieży P -p.w.. Wyika to z twierdzeia 2 = 2 = = < + = 4 < +. Z kolei drugi szereg = Y jest rozbieży. Wyika to z twierdzeia Kołmogorowa o trzech szeregach. Istotie, dla każdego c > 0 P ( Y > c) = P (Y > c) = e c = +. = = =
23 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych 23 Ad. (b) Z twierdzeia Kołmogorowa o dwóch szeregach wyika, że rozważay szereg jest zbieży P -p.w. W tym celu wystarczy zauważyć, że oraz = = E X Y = = EX EY = = = D 2 ( X Y ) E( X Y )2 = = = 2 = 2 = EX 2 EY 2 2 ( ) 2 = = = 2 < + 4 < +. Zad Niech Y, Y 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie dwupuktowym P (Y = ) = P (Y = ) = 2, N. Szereg = a Y jest zbieży P -p.w. wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieży szereg liczbowy = a2. Rozwiązaie. Załóżmy ajpierw zbieżość szeregu liczbowego. Poieważ EY = 0, D 2 (Y )=, więc Ea Y = 0 = oraz D 2 (a Y ) = a 2 < + = = i zbieżość szeregu zmieych losowych wyika z twierdzeia o dwóch szeregach. Z kolei, jeżeli jest zbieży szereg zmieych losowych, to wykorzystując twierdzeie Kołmogorowa o trzech szeregach istieje c > 0 takie, że P ( a Y > c) < +. = Poieważ Y = ozacza to zbieżość szeregu o składikach 0 lub P ( a > c), = która może mieć miejsce tylko w przypadku, gdy istieje N takie, że dla wszystkich N a c. Korzystając poowie z twierdzeia Kołmogorowa a 2 = =N D 2 (a Y ) < +, =N co oczywiście zapewia zbieżośc całego szeregu.
24 24 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych Zad Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie zadaym przez gęstość p(x) = 3 4x 2 (/2,3/2)(x). Wyzacz graicę prawie wszędzie ciągu zmieych losowych Rozwiązaie. Oczywiście Y = (X X 2... X ) /, N. l Y = l X l X, N. Zauważmy, że E l X < + gdyż l X jest zmieą losową ograiczoą. Poadto wykorzystując całkowaie przez części E l X = 3/2 /2 l x 3 4x dx = 3 l x 3/2 2 4 x 3/2 /2 + 3 /2 4x dx 2 = l 2 + = l 2 3. Z mocego prawa wielkich liczb Kołmogorowa wyika, że Stąd wioskujemy, że Zad Pokazać, że lim 0 0 l Y l 2 3 P -p.w. Y e l 2 3 P -p.w. x 3 + x x 3... dx dx 2...dx = 0 x + x x 2. Rozwiązaie. Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Z mocego prawa wielkich liczb Kołmogorowa Y = X3 + X X 3 X + X X = X 3 +X X3 X +X X EX3 EX = 4 2 = 2 P -p.w., gdyż EX = oraz 2 EX3 = 0 x3 dx =. Z drugiej stroy z twierdzeia o zmiaie 4 miary dla wektorów losowych dla każdego N x 3 + x x 3 x + x x dx dx 2...dx = E X3 + X X 3 X + X X = EY. Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że EY. W tym celu zastosujemy 2 twierdzeie Lebesgue a o zbieżości zmajoryzowaej. Istotie, poieważ Y 2 P -p.w. oraz dla każdego N więc EY 2. 0 < Y = X3 + X X 3 X + X X <,
25 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych Zadaia dodatkowe Zad Niech X będzie zmieą losową o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = / oraz Y = e [ 2,+ )(X ), N. Zbadaj zbieżość ciągu {Y } według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie. Zad Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie jedostajym a odciku (, ). Udowodij, że szereg si(2πx ) jest prawie wszędzie zbieży. = Zad. 3.. Zbadaj zbieżość prawie wszędzie szeregu iezależych zmieych losowych = X w przypadku, gdy (a) P (X = /) = /, P (X = / 2 ) = / (b) P (X = ) = /, P (X = / 2 ) = /. Zad Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach absolutie ciągłych z gęstościami rówymi odpowiedio p (x) = 2 2 x (0, )(x), N. Zbadaj zbieżość szeregu = X. Zad Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a odciku (0, π). Zbadaj zbieżość P -p.w. ciągu Y = k= X k k= si X k. Zad Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie N (, 4). Zajdź graicę prawie wszędzie ciągu Y = X X X X 2 Zad Niech X, X 2,..., X,.. będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach wykładiczych z parametrami odpowiedio, 2,...,,... Zbadaj zbieżość prawie wszędzie szeregu (a) = X (b) = Zad Niech X, X 2, X 3,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a przedziale ( π, π ). Zbadać zbieżość prawie wszędzie ciągów 2 2 k= Y = (X k + ) 2 k= cos X, Z = k k= (X U k + ) 2 = Z, V = Z.. X. Zad Niech {X } 2 będzie ciągiem iezależych zmieych losowych rozkładzie P (X = 4 ) = P (X = 4 = 2 ), P (X = 0) = 2 2. Udowodij, że szereg = X jest prawie wszędzie zbieży pomimo, że szereg wariacji X jest rozbieży.
26 26 Rozdział 3. Ciągi iezależych zmieych losowych Zad Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie wykładiczym z parametrem. Zbadaj zbieżość prawie wszędzie szeregu (a) = (b) = X 2 X. Zad Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach N (0, ). Oblicz graicę prawie wszędzie i według prawdopodobieństwa lim X X 2. Zad {X } jest ciągiem zmieych losowych takim, że X ma rozkład Poissoa z parametrem, N. Pokazać, że X P. Zad Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach wykładiczych z parametrem λ =. Zbadać zbieżość ciągu Y = k= e X k k= X. k Zad Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach jedostajych a przedziale (, ). Zbadać zbieżość ciągu Y = k= (X 2k X 2k ) 2 k= (X. k) Zad Niech X, X 2, X 3,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach U( π, π ). Zbadać zbieżość prawie wszędzie ciągu 2 2 Y = k= (X k + ) 2 k= cos X. k Zad Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a ( 4, 4). Zbadaj zbieżość prawie wszędzie ciągów zmieych losowych i zajdź ich graice: {Y = X2 +X X2 }, {Z = X2 +X X2 }. X 4+X X4 Zad Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach jedostajych a przedziale (0, ). Zbadać zbieżość ciągu Y = (X X 2... X ) /.
27 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych 4.. Przykładowe zadaia z rozwiązaiami Zad. 4.. Pokazać, że jeżeli X D X, Y P 0, to (a) Y X P 0, (b) Y + X D X. Rozwiązaie. Ad. (a) Niech ɛ > 0. Musimy pokazać, że P ( Y X > ɛ) 0. W tym celu zauważmy ajpierw, że ciąg rozkładów zmieych losowych X jest słabo zbieży, a więc jest jędry tz. dla każdego δ > 0 istieje K > 0 takie, że sup P ( X > K) δ. Dlatego P ( Y X > ɛ) = P ( Y X > ɛ, X K)P ( Y X > ɛ, X > K) P ( Y > ɛ K ) + P ( X > K) P ( Y > ɛ K ) + δ i w kosekwecji dla każdego δ > 0 Stąd lim P ( Y X > ɛ) = 0. lim sup P ( Y X > ɛ) δ. Ad. (b) Wykorzystamy charakteryzację zbieżości według rozkładu za pomocą fukcji charakterystyczych. Poieważ ϕ X (t) = Ee itx ϕ X (t), t R oraz z twierdzeia Lebesgue a o zbieżości zmajoryzowaej ϕ Y+X (t) ϕ X (t) = Ee it(y+x) Ee itx = Ee itx (e ity ) E e itx (e ity ) E e ity 0, więc rówieź ϕ Y+X (t) ϕ X (t), t R. 27
28 28 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych Zad Niech {a }, {b } będą ciągami liczbowymi takimi, że a a, b b. Jeżeli X D X, to a X + b D ax + b. Rozwiązaie. Wiemy z części teoretyczej, że jeżeli X D X, to dla dowolej fukcji ciągłej g : R R rówież g(x ) D g(x). Biorąc g(x) = ax+b otrzymujemy stąd, że ax + b D ax + b. Zauważmy, że a X + b = Y + ax + b, gdzie Y = (a a)x +b b, N. Korzystając z części (a) poprzediego zadaia otrzymujemy, że Y P 0. Stosując potem część (b) wioskujemy, że a X + b D ax + b Zad Zbadać zbieżość według rozkładu ciągu X, X 2,, gdzie P (X = ) = P (X = ) = 2, N. Rozwiązaie. Poieważ dla każdego K > 0 istieje takie N, że dla wszystkich N P (X ( K, K]) = 0, więc ciąg rozkładów zmieych losowych X, X 2,... ie może być jędry. Ciąg X, X 2,... ie może więc być zbieży według rozkładu. Zad Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Uzasadić, że ciąg Y = mi(x, X 2,..., X ), N jest zbieży według rozkładu do rozkładu wykładiczego z parametrem λ =. Rozwiązaie. Zmiee losowe Y przyjmują wartości dodatie, więc moża ograiczyć badaie ich dystrybuat dla dodatich argumetów. Niech a > 0. Niech też a. Zauważmy, że dzięki iezależości P (Y > a) = P (X > a,..., X > a ) = P (X > a )... P (X > a ) = ( a ) e a, co pociąga, iż F Y (a) F µ (a), a R gdzie µ jest rozkładem wykładiczym z parametrem λ =. Zad Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie jedostajym a (0, ). Uzasadić, że ciąg Y = max(x, X 2,..., X ), N jest zbieży według prawdopodobieństwa do 0. Rozwiązaie. Niech a > 0. Wtedy P (Y a) = P (X a,..., X a) = P (X a)... P (X a) = [max(a, )],
29 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych 29 co pociąga, iż F Y (a) { 0 jeżeli a < w przeciwym razie. Stąd Y D, a poieważ zbieżość według rozkładu do stałej jest rówoważa zbieżości według prawdopodobieństwa, więc rówież Y D. Zad Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie zadaym przez gęstość p(x) = 3 4x 2 (/2,3/2)(x). Wyzacz graicę według rozkładu dla ciągu Z = k= X2 k 3 4, N. Rozwiązaie. Zauważmy, że oraz EX 2 = 3/2 /2 x 2 3 4x 2 dx = 3 4 D 2 (X 2 ) = EX 4 (EX 2 ) 2 = 3/2 /2 x 4 3 4x 2 dx 9 6 = = 4. Korzystając z cetralego twierdzeia graiczego Levy ego k= X2 k 3 4 D N (0, ). 4 W kosekwecji Z = 4 k= X2 k D N (0, 4 ). Zad Załóżmy, że prawdopodobieństwo urodzeia się chłopca jest stałe i wyosi 0,52. Jak oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 0 4 oworodków będzie o poad 200 chłopców więcej iż dziewczyek? Rozwiązaie. Niech = 0 4, p = 0, 52 oraz iech dla k =, 2,..., {, gdy k - ty oworodek jest chłopcem X k = 0, gdy k - ty oworodek jest dziewczyką. Zakładamy, że są to iezależe zmiee losowe o tym samym rozkładzie dwupuktowym. S = X + + X jest liczbą urodzoych chłopców wśród oworodków,
30 30 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych a S liczbą urodzoych dziewczyek. Oczywiście S > S dokładie wtedy, gdy S > 500 oraz P (S > 500) = P (S 500) ( = P P ( S p p( p) S p p( p) 0, 4 ) , 52 0, 488 ). Na mocy twierdzeia de Moivre a Laplace a ostatie wyrażeie moża oszacować przez Φ( 0, 4), gdzie Φ(x) = x 2π e y2 2 dy, x R jest dystrybuatą stadardowego rozkładu ormalego N (0, ). Stąd otrzymujemy P (S > 500) Φ( 0, 4) = Φ(0, 4) 0, 6554, gdzie wartość Φ(0, 4) 0, 6554 odczytujemy z tablic. Zad Wektor X = [(X, X 2 ]) T ma rozkład ormaly ze średią ā = (0, ) T i macierzą kowariacji A = 2. Wyzacz rozkład wektora Ȳ = (Y, Y 2 ) T, gdzie Y = 2 2X + X 2, Y 2 = X 2X 2 oraz rozkłady jego składowych Y, Y 2. [ ] 2 Rozwiązaie. Niech C będzie macierzą postaci C =. Wtedy 2 Ȳ = C X i jego fukcja charakterystycza jest dla wszystkich t R 2 rówa ϕ Ȳ ( t) = Ee i< t,ȳ > = Ee i< t,c X> = Ee i<ct t, X> = exp (i < C T t, ā > 2 < A CT t, C T t >) = exp (i < t, Cā > 2 < C A CT t, t >), gdzie oraz C A C T = Cā = [ 2 2 ] [ 2 2 ] [ /2 /2 [ 0 ] ] = [ 2 [ 2 2 ] ] [ = 7 3/2 3/2 3 ]. Stąd w szczególości dla t R ϕ Y (t) = ϕ Ȳ (t, 0) = exp (it 7 2 t2 ) oraz ϕ Y2 (t) = ϕ Ȳ (0, t) = exp ( i2t 7 2 t2 ), co pociąga, iż Y ma rozkład N (, 7), a Y 2 N ( 2, 3).
31 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych 3 Zad Niech A = [ c c będzie macierzą kowariacji wektora ormalego (X, X 2 ) T o wartościach oczekiwaych EX = EX 2 = 0. (a) Podaj fukcję charakterystyczą tego wektora. (b) Jakie wartości może przyjmować parametr c. (c) Dla jakich c wektor ma rozkład absolutie ciągły. (d) Dla jakich c składowe X, X 2 są iezależymi zmieymi losowymi. Rozwiązaie. Ad. (a) Fukcja charakterystycza jest postaci ϕ X( t) = exp ( 2 t2 2 t2 2 ct t 2 ), t = (t, t 2 ) T. Ad. (b), (c), (d). Aby macierz była ieujemie określoa musi być c 2. Jeżeli c 2 <, to rozkład jest absolutie ciągły, a gdy c = 0, to składowe X, X 2 są iezależe. ] 4.2. Zadaia dodatkowe Zad X, X 2, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach wykładiczych z parametrem λ =. Zaleźć słabą graicę ciągu Y = max{ e X,, e X }, N. Zad. 4.. X, X 2, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach P (X = ) = 3 4, P (X = ) = 4, N. Zaleźć graicę według rozkładu ciągu zmieych losowych Y = k= (X2 k ) 6, N. Zad X, X 2, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach P (X = ) = 3, P (X = 2) = 2 3, N. Zaleźć graicę według rozkładu ciągu zmieych losowych Y = k= (X2 2k X2 2k ) 3, N. Zad Wyzacz fukcję charakterystyczą zmieej losowej 2X + Y, jeśli X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach geometryczych z parametrami /2, /4.
32 32 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych Zad X, X 2, jest ciągiem zmieych losowych o rozkładach N (0, /), N. Zbadać ich zbieżość według rozkładu. Zad {X } jest ciągiem iezależych zmieych losowych takich, że X ma rozkład ormaly N (0, 2), N. Pokazać, że ciąg zmieych losowych {Y }, gdzie Y = X + + X jest słabo zbieży oraz wskazać jego słabą graicę., N Zad Zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a przedziale ( 4, 4 + ), a zmiea losowa Y ma rozkład day wzorami P (Y = 0) = 2, P (Y = ) = 2, N, przy czym dla każdego zmiee X i Y są iezależe. Wyzaczyć fukcję charakterystyczą X + Y oraz zaleźć słabą graicę ciągu {X + Y }. Zad Zajdź graice według rozkładu ciągów zmieych losowych { (a) Y = X } + X X, (b) {Z = a + b Y } wiedząc, że a = 2 + si(/), b = 2 cos(/), a {X } jest ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a ( 3, 3). Zad Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o gęstości p(x) = cos(x) 2 [ π 2, π ](x), x R. (a) Zajdź graicę wg rozkładu ciągu 2 Z = X X. (b) Wyzacz fukcję charakterystyczą zmieej losowej Y = si(x ). Podaj rozkład zmieej losowej Y. Zad Niech {X } będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie jedostajym a ( 4, 4). Zbadaj zbieżość według rozkładu ciągów zmieych losowych i zajdź ich graice: {V = X +X X }, {W = (X +X X ) }. X 2 +X X2 Zad Niech X, X 2, X 3,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach ormalych ormalych takich, że X ma rozkład N (0, σ 2 ), N, gdzie σ 2 = σ 2 <. = Czy ciąg Y = k= X k jest zbieży według rozkładu? Zajdź rozkład jego graicy. Czy Y jest zbieży według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie?
33 Rozdział 4. Zbieżość według rozkładu zmieych losowych 33 Zad Przypuśćmy, że prawdopodobieństwo wyprodukowaia wadliwej szklaki przez automat wyosi 0,003. Korzystając z przybliżeia Poissoa oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 600 wyprodukowaych szklaek będzie ie więcej iż dwie wadliwe. Zad Przypuśćmy, że mamy 0 4 paczek z ziarem. W tych paczkach jest 5000 ziare zaczoych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewej ustaloej paczce zajduje się choćby jedo ziaro zaczoe? Zad Prawdopodobieństwo wykoaia wadliwego wyrobu jest rówe p = 0, 005. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybraych wyrobów zajduje się: (a) dokładie 50 wadliwych, (b) ie więcej iż 70 wadliwych? Zad Wydział Matematyki pragąłby przyjąć ie więcej iż 20 kadydatów. Zdających jest 250, a szasa zaliczeia testu wyosi 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Wydział będzie miał kłopot z admiarem kadydatów? Zad Niech Ȳ = (Y, Y 2 ) T będzie wektorem losowym, którego składowe są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie ormalym N (0, ), a A iech będzie macierzą postaci [ ] 0 A =. 2 Jaki jest rozkład wektora X = AȲ + (, 2)T? Podaj jego gęstość i fukcję charakterystyczą. Zad Zmiee losowe X, X 2 są iezależe i mają rozkłady ormale N (m, σ 2 ), N (m 2, σ 2 2). Wyzacz fukcje charakterystycze zmieych losowych Z = b X + b 2 X 2, Z 2 = b X b 2 X 2 oraz wektora Z = (Z, Z 2 ) T. Zidetyfikuj ich rozkłady. Zad Fukcja charakterystycza wektora losowego X = (X, X 2 ) T jest postaci ϕ (X,X 2 )(y, y 2 ) = exp(iy y 2 y y y 2 ), y, y 2 R. Wyzacz (a) EX 2, cov(x, X 2 ), D 2 (X 2 ), (b) rozkład wektora Z = (3, 3) T + 4 X. Zad Zmiee losowe X, X 2 są iezależe i mają rozkłady ormale N (0, ). Wyzacz fukcje charakterystycze zmieych losowych Z = X + X 2, Z 2 = X X 2 oraz wektora Z = (Z, Z 2 ) T. Zidetyfikuj ich rozkłady. Czy są oe absolutie ciągłe?
34
35 35 Bibliografia [] A.A. Borowkow, Rachuek prawdopodobieństwa, PWN 975. [2] P. Billigsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN 986. [3] W. Feller, Wstęp do rachuku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa 977. [4] M. Fisz, Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza, PWN, Warszawa 969. [5] J. Jakubowski, R. Sztecel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, Warszawa [6] J. Jakubowski, R. Sztecel, Rachuek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, SCRIPT, Warszawa [7] A. Kłopotowski, Teoria prawdopodobieństwa, TNOiK, Toruń 996. [8] W. Niemiro, Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza, Biblioteka Szkoły Nauk Ścisłych 999.
Analiza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?
EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowoCzas trwania obligacji (duration)
Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoWykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak
Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak Zasady zaliczenia Zajęcia są obowiązkowe, wolno opuścić 4 godziny. W semestrze 2 kolokwia po 50 punktów. Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoMatematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 1 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Granice funkcji Zadanie 1 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (1) Zadanie
Bardziej szczegółowoTest F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ
Test F- nedecora W praktyce często mamy do czynienia z kilkoma niezaleŝnymi testami, słuŝącymi do weryfikacji tej samej hipotezy, prowadzącymi do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej na róŝnych poziomach
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne
Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych
PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych
Bardziej szczegółowoMetody analizy funkcji przeżycia
Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 9. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 2017/2018 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 9 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY Dla dowolnej liczby a > 0, liczby
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.
Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowos n = a k (2) lim s n = S, to szereg (1) nazywamy zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Szeregi liczbowe Definicja Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie a n = a + a 2 + a 3 + () Liczby a n, n =, 2,... nazywamy wyrazami szeregu. Natomiast sumę n s n = a k (2) nazywamy n-tą sumą częściową
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoPodprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas
Podprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Niech W = {(x 1, x 2, x 3 ) K 3 : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 }. Czy W jest podprzestrzeni a gdy
Bardziej szczegółowoKorzystając z wzorów de Morgana zwartość można także określić w terminach zbiorów domkniętych.
Rozdział 6 Zwartość 6.1 Przestrzenie zwarte Definicja 6.1.1. Przestrzeń topologiczna (X, T ) nazywa się zwarta jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz z dowolnego pokrycia przestrzeni X zbiorami otwartymi
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoSTA T T A YSTYKA Korelacja
STATYSTYKA Korelacja Pojęcie korelacji Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi. Charakteryzując korelację dwóch cech podajemy dwa czynniki: kierunek oraz
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,
Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. Sprawdzian nr 4: (poniedziałek), godz. 10:15-10:35 (materiał zad.
Sprawdzia r 4: 4..04 (poiedziałek, godz. 0:5-0:35 (ateriał zad. -400 Kresy zbiorów. Defiicja: Zbiór Z R azyway ograiczoy z góry, jeżeli M R x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x M azyway
Bardziej szczegółowoZadania z parametrem
Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu
Bardziej szczegółowoPrzedziały ufności. dr Alina Semrau-Giłka
Przedziały ufości dr Alia Semrau-Giłka Co to jet przedział ufości? Przedział ufości loowy przedział mający tę właość, że z dużym, z góry zadaym prawdopodobieńtwem, pokrywa wartość zacowaego parametru 𝜃.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9
Bardziej szczegółowoZadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
Bardziej szczegółowo2. Generatory liczb (pseudo)losowych
http://www.kaims.pl/~robert/miss/ Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Niech X będzie zmienną losową, tj. funkcją odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω w zbiór liczb
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA cz. 5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej
Ja Nawrocki, Adrzej Wiicki MATEMATYKA cz. 5 Elemety probabilistyki i statystyki matematyczej Politechika Warszawska 00 Politechika Warszawska Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Kieruek "Edukacja techiczo
Bardziej szczegółowo'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, 24 czerwca 2013 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Rozwiąż następujące zagadnienie programowania liniowego: Zminimalizować 2x 1 x 2 +x 3 +x 4, przy ograniczeniach x 1 x 2 + 2x 3 = 2 x 2 3x 3 = 6 x 1 + x 3 + x 4 =
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoKONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań
KONKURSY MATEMATYCZNE Treść zadań Wskazówka: w każdym zadaniu należy wskazać JEDNĄ dobrą odpowiedź. Zadanie 1 Wlewamy 1000 litrów wody do rurki w najwyższym punkcie systemu rurek jak na rysunku. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoPRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 2. Działania na zbiorach
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 2. Działania na zbiorach 1 Suma zbiorów Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Definicja 2.1. (suma zbiorów) Suma zbiorów
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623
Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu
Bardziej szczegółowoKalkulacyjny układ kosztów
Kalkulacyjny układ kosztów bezpośrednie Robocizna Inne wydziałowe zarządu bezpośrednie Techniczny koszty TKW wytworzenia Zakładowy koszt wytworzenia Całkowity koszt własny sprzedaży CKW Rachunkowość zarządcza
Bardziej szczegółowoJan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia
Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowoPODSTAWY DZIAŁANIA UKŁADÓW CYFROWYCH
PODSTAWY DZIAŁANIA UKŁADÓW CYFROWYCH Podstawy działania układów cyfrowych Obecnie telekomunikacja i elektronika zostały zdominowane przez układy cyfrowe i przez cyfrowy sposób przetwarzania sygnałów. Cyfrowe
Bardziej szczegółowoCałka potrójna. Całka potrójna po prostopadłoscianie. f (x i, y i, z i ) x i y i z i. (1)
Całka potrójna Całka potrójna po prostopadłoscianie Rozważmy prostopadłościan = {(x, y, z) R 2 : a x b, c y d, p z q}, gdzie a, b, c, d, p, q R, oraz funkcję trzech zmiennych f : R ograniczoną w tym prostopadłościanie.
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO
Wrocław, 2 lutego 205 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp 2 Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań
Bardziej szczegółowoOFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój
Bardziej szczegółowoZadanie 3 - (7 punktów) Iloczyn składników Jeśli zapis liczby 22 w postaci sumy zawiera składnik 1, lepiej pogrupować go z innym składnikiem
Zadanie 1 - (7 punktów) Latające kartki Ponieważ są 64 liczby od 27 do 90 włącznie, mamy 64 strony, czyli 16 kartek (16= 64 : 4). Pod stroną 26. znajdują się strony 24., 22.,..., 4. i 2. wraz z ich nieparzystymi
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoREGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława ROZDZIAŁ I
Załącznik Nr 1 do zarządzenia Nr169/2011 Burmistrza Miasta Mława z dnia 2 listopada 2011 r. REGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława Ilekroć w niniejszym regulaminie
Bardziej szczegółowoTEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań
Poziom nauczania: Gimnazjum, klasa II Przedmiot: Matematyka Dział: Równania i układy równań Czas trwania: 45 minut Wykonała: Joanna Klimeczko TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań Liczba punktów za
Bardziej szczegółowoWykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług
Bardziej szczegółowoKonspekt lekcji otwartej
Konspekt lekcji otwartej Przedmiot: Temat lekcji: informatyka Modelowanie i symulacja komputerowa prawidłowości w świecie liczb losowych Klasa: 2 g Data zajęć: 21.12.2004. Nauczyciel: Roman Wyrwas Czas
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoOpis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi
Bardziej szczegółowoOdpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem
Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoTWIERDZENIE PITAGORASA
PODSTAWY > Figury płaskie (2) TWIERDZENIE PITAGORASA Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkąta prostokątnego, to znaczy takiego, który ma jeden kąt prosty. W trójkącie prostokątnym boki, które tworzą kąt
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna 2015/2016
Statystyka matematyczna 2015/2016 nazwa przedmiotu SYLABUS B. Informacje szczegółowe Elementy składowe Opis sylabusu Nazwa przedmiotu Statystyka matematyczna Kod przedmiotu 0600-FS2-2SM Nazwa jednostki
Bardziej szczegółowoTopologia I, Egzamin. II termin, 2013-03-05. Nr albumu: Nazwisko prowadzącego ćwiczenia: Nr grupy:
Stwierdź czy następujące zdania są prawdziwe, zakreślając właściwą odpowiedź i skreślając pozostałe. 1 Zad. 1. Jeżeli przekształcenie f : (X, T ) (R, T s ) jest ciągłe, to to samo odwzorowanie jest ciągłe
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od
Bardziej szczegółowoO ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU
Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Autor: Edward Stachowski Materiały konferencyjne
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoBADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA
BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Zad. 1: Ze zbioru Z =
Prawdopodobieństwo Zad. : Ze zbioru Z x x N i x + x > : losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby log log i tworzymy z nich liczbę dwucyfrową, w której cyfrą dziesiątek jest pierwsza z wylosowanych liczb.
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone C := R 2.
C := R 2. R 2 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a (1, 0) + b (0, 1). R C, R x (x, 0) C. i := (0, 1), 1 = (1, 0) (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi. R 2 (a, b) = z = a + bi C. a- część rzeczywista liczby zespolonej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoZagadnienia transportowe
Mieczysław Połoński Zakład Technologii i Organizacji Robót Inżynieryjnych Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW Zagadnienia transportowe Z m punktów odprawy ma być wysłany jednorodny produkt
Bardziej szczegółowoX i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.
Zadae p (X p (X ( ( π 6 6 e 6 X m ( π 6 6 e 6 ( X C e m 6 X, gdze staªa C e zale»y od statystyk X (X,, X 6, a m jest w ksze od zera Zatem p (X/p (X jest emalej c fukcj statystyk T (X 6 X ªatwo pokaza,»e
Bardziej szczegółowoMatematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoBLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f() = przy = zakładając, że przyrost zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f() w punkcie
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA dr inż.. ALEKSANDRA ŁUCZAK Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Katedra Finansów w i Rachunkowości ci Zakład Metod Ilościowych Collegium Maximum,, pokój j 617 Tel. (61) 8466091 luczak@up.poznan.pl
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoTw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych
Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl SZEREGI POTĘGOWE ( c ciąg licz zspoloych c ( z z - szrg potęgowy, gdzi ( c - ciąg współczyiów szrgu, z C - środ, ctrum (ustalo, z C - zmia. Dla
Bardziej szczegółowoAnaliza CVP koszty wolumen - zysk
Analiza CVP koszty wolumen - zysk Na podstawie: W.F. Samuelson, S.G. Marks, Ekonomia Menedżerska, PWE, Warszawa 2009 1 Próg rentowności model w ujęciu księgowym 2 Analiza koszty wolumen zysk- CVP Cost
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 5
Ad przykład: Stonoga LEKCJA 5 SPNE: każdy gracz zaakceptuje propozycje przyjęcia dowolnej sumy w każdym okresie (czyli każdy gracz wierze, że rywal skończy grę w następnym kroku) Interpretacja gry Stonoga:
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 17.09.2007 Biomatematyka
Biomatematyka Badamy wpływ dwóch czynników mutagennych na DNA. W tym celu podczas każdej replikacji nić DNA poddawana jest na przemian działaniu pierwszego i drugiego czynnika wywołującego mutacje. Wiemy,
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
TYPY GRAFÓW c.d. Graf nazywamy dwudzielnym, jeśli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory, tak że żadne dwa wierzchołki należące do tego samego podzbioru nie są sąsiednie. G
Bardziej szczegółowoOgólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
Bardziej szczegółowoOd redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.
Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.
Bardziej szczegółowo