Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, zak

Transkrypt

1 Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, zak Zasady zaliczenia Zajęcia są obowiązkowe, wolno opuścić 4 godziny. W semestrze 2 kolokwia po 50 punktów. Rozwiązywanie zadań (kartkówka lub przy tablicy): 2, 0, 1 lub 2 punkty za każde. 50 punktów zalicza, tabelka ocen na mojej stronie Dokładne zasady na mojej stronie internetowej. Podstawowe pytania rachunku prawdopodobieństwa Jakie zdarzenie nazywamy losowym? Co to jest prawdopodobieństwo? Skąd znamy prawdopodobieństwa zdarzeń? Co to znaczy wybieramy losowo...? Eksperyment losowy Eksperyment (doświadczenie), którego wynikiem mogą być co najmniej dwa różne zdarzenia i z góry nie potrafimy przewidzieć, które z możliwych zdarzeń się pojawi. Przykłady (najbardziej klasyczne): Rzut monetą. Rzut kostką. z tego narodził się rachunek prawdopodobieństwa Wyciągnięcie karty z talii (lub kuli z urny). Dlaczego urny i kule Określenie losowo nie jest precyzyjne! Przy rzucie monetą, kostką, wyciąganiu karty z talii lub kuli z urny NIE MAMY wątpliwości, co to znaczy losowo. Kiedy wolno stosować rachunek prawdopodobieństwa? Doświadczenie MUSI być powtarzalne. Albo masowe: narodziny dziecka, wypadki samochodowe itp. O pojedynczym zdarzeniu zwykle możemy powiedzieć bardzo niewiele, ale przy 100 powtórzeniach już dość dużo! PYTANIA: Ile orłów otrzymamy w 100 rzutach? Ilu chłopców urodzi się we Wrocławiu w 2008 roku? 1

2 Czy potrafimy symulować losowy rzut monetą? Doświadczenie dla chętnych: rzucamy 200 razy monetą, zapisując wyniki. Wymyślamy 200 wyników rzutów monetą. Obie serie wyników przedstawiamy wykładowcy: czy zdoła odgadnąć, która seria jest wymyślona? Opis doświadczenia losowego Próbujemy opisać (co nie znaczy WYPISAĆ) wszystkie możliwe wyniki. Próbujemy przypisać każdej z tych możliwości pewną liczbę jej prawdopodobieństwo. SKĄD brać te prawdopodobieństwa? Częstość zdarzenia Jaka jest częstość pojawiania się orła w n rzutach monetą? c n = liczba orłów w n rzutach n A jaka częstość reszki? Jaka jest częstość szóstki przy rzutach kostką? Jaka jest częstość narodzin dziewczynki, a jaka chłopca? Co to jest prawdopodobieństwo? Jako pierwszy na to pytanie odpowiedział Jakub Bernoulli w swojej książce, napisanej w 1695 roku: Prawdopodobieństwo to stopień przeświadczenia i odnosi się do pewności tak, jak część do całości. UWAGA: to nie jest definicja matematyczna! Prawdopodobieństwo 1 = zdarzenie pojawia się za każdym razem Prawdopodobieństwo 0 = zdarzenie nie pojawia się nigdy Rzut jedną, symetryczną monetą Wyniki mogą być tylko dwa: Orzeł lub Reszka w skrócie O lub R. Ponieważ na pewno wypadnie albo O albo R, więc ich łączne prawdopodobieństwo jest równe 1. Z symetrii monety wnioskujemy, że prawdopodobieństwo wypadnięcia orła jest równe 1 2, tak samo prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki. Rzut dwiema monetami Jakie mogą być możliwe wyniki? Jakie przypisać im prawdopodobieństwa? Jeśli masz wątpliwości, jak to opisać, przeprowadź doświadczenia i sprawdź, czy Twój opis pasuje do rzeczywistości! 2

3 Zdarzenia złożone nieelementarne Rzucamy jeden raz symetryczną kostką do gry. Jakie są możliwe zdarzenia elementarne (czyli wyniki)? Ile ich jest? Przykłady zdarzeń bardziej złożonych: a) wypadnie parzysta liczba oczek b) wypadną co najmniej 2 oczka Ile jest wszystkich możliwych zdarzeń przy rzucie kostką? Wyniki sprzyjające danemu zdarzeniu Przykład: Rzucamy dwa razy kostką. Jakie wyniki sprzyjają zdarzeniu suma oczek będzie większa niż 8? 3+6, 4+5, 4+6, 5+4, 5+5, 5+6, 6+4, 6+5, 6+6. Jest ich 9. A ile jest wszystkich możliwych wyników przy dwóch rzutach kostką? Jak je przekonująco przedstawić graficznie? Ile jest wszystkich możliwych zdarzeń przy dwóch rzutach kostką? Zapis symboliczny Wszystkie możliwe wyniki w danym doświadczeniu, zwane też zdarzeniami elementarnymi, oznaczmy symbolem Ω. Zdarzenia to podzbiory zbioru Ω, oznaczamy je zwykle początkowymi literami alfabetu, np. A, B, C itp. P (A) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A. Zapis symboliczny - konkretny przykład Trzy rzuty monetą. Ω = {OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR}. Niech A= dokładnie 2 orły, wtedy A = {OOR, ORO, ROO}. Niech B= za drugim razem reszka, wtedy B = {ORO, ORR, RRO, RRR}. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeżeli w doświadczeniu jest tylko skończenie wiele wszystkich możliwych wyników i są one jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy ze wzoru: P (A) = A Ω, gdzie X oznacza liczbę elementów zbioru X. 3

4 Na czym polega rachunek prawdopodobieństwa? Rachunek prawdopodobieństwa uczy, jak obliczać prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, gdy znamy prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych. Ważna uwaga W przypadku klasycznej definicji prawdopodobieństwa NIE MUSIMY dokładnie opisywać zbioru Ω, musimy tylko obliczyć, ILE MA ELEMENTÓW! Kombinatoryka, czyli z ilu elementów składa się dany zbiór W obliczaniu liczebności zbiorów pomagają nam: Permutacje Kombinacje Wariacje Wszystkie one łatwo wynikają z reguły mnożenia. Reguła mnożenia Jeżeli mamy doświadczenie dwuetapowe i: Pierwszy etap można wykonać na k różnych sposobów, drugi etap można wykonać na m różnych sposobów, to całe doświadczenie (pierwszy i drugi etap) można wykonać na k m sposobów. Oczywiście taka sama reguła stosuje się do doświadczeń wieloetapowych. Przykład zastosowania reguły mnożenia Ile różnych zestawów obiadowych oferuje restauracja, jeżeli ma 6 różnych zup, 10 rodzajów drugich dań i 7 rodzajów deserów? Zakładamy, że każda potrawa pasuje do każdej. Zupę wybieramy na 6 sposobów, drugie danie na 10 różnych sposobów, a deser na 7 różnych sposobów, te wybory dają = 420 różnych zestawów. Gdyby tak jeszcze oferowali 20 gatunków win, otrzymalibyśmy = 8400 różnych obiadów. Konkretne, łatwe zadanie Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że to będzie figura (as, król, dama lub walet)? Losujemy jedną kartę spośród 52, więc Ω = 52. Niech F =wylosujemy figurę. Zdarzeniu F sprzyja 16 kart (po 4 w każdym kolorze) czyli F = 16. Wylosowanie każdej karty jest tak samo prawdopodobne, więc możemy stosować definicję klasyczną. Na mocy klasycznej defincji prawdopodobieństwa P (F ) = = Zadanie nieco trudniejsze Przy prostokątnym stole, z jednej jego strony, stoi 7 krzeseł. Za chwilę losowo (co to znaczy?) na tych krzesłach usiądzie 7 osób, wśród nich Adam i Ewa. Oblicz prawdopodobieństwo, że będą oni siedzieć obok siebie. 4

5 7 osób można posadzić na 7 krzesłach na 7! sposobów, gdyż: ustawiamy osoby alfabetycznie i liczymy sposoby: pierwszą możemy posadzić na 7 sposobów, drugą na 6, trzecią na 5,..., siódmą na 1 reguła mnożenia daje = 7! sposobów. Każdy sposób jest tak samo prawdopodobny, więc możemy stosować definicję klasyczną. Zdarzeniu Adam i Ewa siądą obok siebie sprzyja... sposobów. Jak to obliczyć??? Na mocy klasycznej definicji prawdopodobieństwa P (A i E siądą obok siebie) = 6 5! 2 7! = 2 7. A gdyby siadali przy okrągłym stole? Skąd znamy prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych? Dość rzadko możemy skorzystać z symetrii (moneta, kostka, karta w talii, kula w urnie). W wiekszości przypadków pomaga nam obserwacja i zamiast prawdopodobieństw stosujemy częstości, które zdołamy zaobserwować. Kłopoty z częstościami: mogą się różnić częstości narodzin każdej z płci różnią się nieco w różnych krajach i latach. Jeśli zbadamy np. preferencje polityczne 1000 osób, to czy na tej podstawie można wyrokować o całym 40 milionowym społeczeństwie? Ile osób należy przepytać w tym celu? Co to jest próba reprezentatywna? Jak często będziemy się mylić, wyciągając wnioski z takich badań? Co to jest statystyka? Na czym polega statystyka? Statystyka uczy, jak szacować prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, na podstawie przeprowadzonych prób lub obserwacji. 5