2. Generatory liczb (pseudo)losowych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2. Generatory liczb (pseudo)losowych"

Transkrypt

1

2 Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Niech X będzie zmienną losową, tj. funkcją odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω w zbiór liczb rzeczywistych R. Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej X nazywamy funkcję daną wzorem R A Pr{X A}. Aby opisać rozkład zmiennej X, często podaje się jej dystrybuantę, czyli funkcję daną wzorem F X (x) = Pr{X x}. Inną metodą opisania rozkładu jest określenie gęstości g X, tj. funkcji danej wzorem Pr{X A} = A g X (x)dx. Nie każdy rozkład posiada gęstość. Jeżeli F X jest różniczkowalne, to F X = g X.

3 Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Rozkład Gęstość Dystrybuanta beta Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) x α 1 (1 x) β 1 f. specjalna 1 γ 1 Cauchy ego π (x x 0 ) 2 +γ 2 π arctg x x 0 γ gamma β α Γ(α) x α 1 e βx f. specjalna jednostajny 1 b a χ [a,b] x a b a χ [a,b] + χ (b, )

4 Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Rozkład Gęstość Dystrybuanta logistyczny e (x µ)/s s(1+e (x µ)/s ) e (x µ)/s (x µ)2 1 normalny e 2σ 2 2πσ 2 f. specjalna t-studenta ( Γ( v+1 2 ) vπγ( v 2 ) 1 + x2 v ) v+1 2 f. specjalna wykładniczy λe λx χ [0, ) (1 e λx )χ [0, )

5 Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Wartość średnia zmiennej X to E(X ) = Ω XdPr; wariancja dana jest wzorem Var(X ) = EX 2 (EX ) 2. Wartość średnią i wariancję można wyznaczyć, jeśli znamy dystrybuantę lub funkcję gęstości zmiennej X. X dowolne X 0 E(X ) xg X (x)dx 0 1 F X (x)dx Var(X ) (x E(X )) 2 g X (x)dx 2 0 x xf X (x)dx E(X ) 2

6 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Generowanie liczb losowych o zadanym rozkładzie to zagadnienie o wielu zastosowaniach ciągi liczb losowych są stosowane m.in. w: algorytmach metaheurystycznych takich jak symulowane wyżarzanie; metodzie Monte Carlo, stosowanej m.in. w całkowaniu numerycznym; symulacjach komputerowych; kryptografii (generowanie kluczy). W wielu zastosowaniach liczby losowe zastępuje się takimi, które tylko udają losowe. Takie liczby nazywać będziemy pseudolosowymi.

7 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Komputer będący urządzeniem deterministycznym nigdy nie będzie dobrym źródłem liczb losowych. Aby uzyskać z jego pomocą liczby prawdziwie losowe, należałoby wyposażyć go w urządzenie, które je wygeneruje. Urządzenie do generowania liczb losowych, czyli generator sprzętowy, tworzy je na podstawie obserwacji zjawisk takich jak: szum elektryczny; działalność użytkownika; zjawisko promieniotwórczości.

8 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory sprzętowe generujące liczby losowe są drogie i powolne. Rozkład generowanych przez nie liczb jest często trudny do ustalenia. W związku z powyższym w większości zastosowań stosuje się inne rozwiązanie generatory programowe. Generator programowy to program komputerowy, który generuje ciąg liczb, które są lub przynajmniej wyglądają jak losowe. Żaden z omawianych dalej generatorów nie generuje liczb prawdziwie losowych, wszystkie tworzą ciągi liczb pseudolosowych.

9 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Spotyka się dwa podejścia do zagadnienia generowania liczb (pseudo)losowych: generujemy je bezpośrednio; generujemy je bit po bicie, a następnie składamy z nich liczby o ustalonej liczbie bitów. Kolejne liczby wygenerowane przez generator X oznaczać będziemy symbolami X 1, X 2,... Jeżeli generator X generuje bity, to będziemy je oznaczać symbolami X b 1, X b 2,...

10 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Większość generatorów programowych wyznacza kolejne liczby na podstawie ustalonych wzorów. Tego typu generatory tworzą liczby pseudolosowe. Liczby te nierzadko posiadają lepsze właściwości statystyczne niż losowe, uzyskane z generatora sprzętowego. programowe są, z uwagi na zastosowane w nich proste wzory, łatwe w implementacji i szybkie w działaniu.

11 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Typowy generator liczb losowych charakteryzuje się następującymi cechami: trzeba go zainicjować początkowym zestawem parametrów, tzw. ziarnem; kolejne generowane przez niego liczby są wyznaczane na podstawie jego stanu wewnętrznego; stan wewnętrzny jest zależny od ziarna i pewnej ilości (zazwyczaj stałej) ostatnio wygenerowanych liczb. Cechą charakterystyczną tego typu generatorów jest posiadanie okresu.

12 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Okresem generatora X nazywać będziemy najmniejszą liczbę p 1 taką, że X n = X n+p dla każdego dostatecznie dużego n. Okres generatora X oznaczać będziemy symbolem p(x ). Okresem aperiodyczności generatora X nazywać będziemy najmniejszą liczbę a 0 taką, że X n = X n+p(x ) dla każdego n > a. Okres aperiodyczności generatora X oznaczać będziemy symbolem a(x ).

13 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Wiadomo, że 1 p(x ) S(X ), gdzie S(X ) jest zbiorem stanów wewnętrznych generatora X. Analogiczne nierówności zachodzą dla okresu aperiodyczności: 0 a(x ) S(X ) 1. W typowym przypadku, gdy generujemy liczby modulo m, a wewnętrzny stan generatora to k ostatnio wygenerowanych liczb, prawdziwe są nierówności p(x ) m k i a(x ) m k 1.

14 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Źle wybrane ziarno może spowodować, że generator będzie generował liczby o złych właściwościach statystycznych, np. liczby, których wartości można przewidzieć. Generator, którego ziarno może przyjąć z różnych wartości, jest w stanie wygenerować co najwyżej z różnych ciągów liczb. Dlatego też ziarno nie może mieć zbyt małego zakresu. Stosuje się dwa podejścia, umożliwiające prawidłowe zainicjowanie generatora: inicjowanie aktualnym czasem; inicjowanie wartościami zwróconymi przez inny, prostszy generator.

15 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Od dobrego generatora programowego wymagamy: generowania liczb, które mają rozkład jak najbardziej zbliżony do zadanego; tego, by podciągi generowanego ciągu były wzajemnie niezależne; długiego okresu, rzędu co najmniej n, gdzie n jest długością fragmentu ciągu, który wykorzystujemy w obliczeniach; możliwości dokonania przeskoku, tj. obliczenia X j na podstawie X i dla każdego j > i; powtarzalności, przenośności i efektywności.

16 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Jeżeli generator ma być stosowany w kryptografii, wymaga się od niego przede wszystkim: braku możliwości odgadnięcia ziarna i stanu wewnętrznego na podstawie obserwacji generowanych liczb; długiego okresu dla każdej możliwej wartości ziarna; nieprzewidywalności wyników dla osób postronnych, tj. niskiego prawdopodobieństwa tego, że na podstawie obserwacji generowanych liczb da się przewidzieć następne.

17 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU o rozkładzie równomiernym umożliwiają, przy pomocy opisanych dalej metod, uzyskiwanie liczb o dowolnych rozkładach. Generator idealny o rozkładzie równomiernym w zbiorze skończonym S generuje każdą liczbę s S z identycznym prawdopodobieństwem równym 1 S. W najbardziej interesującym nas przypadku zbiór S będzie miał postać {0, 1,..., m 1}, gdzie m jest pewną liczbą naturalną. Generator idealny charakteryzuje się w tym przypadku wartością średnią równą 1 2 (m 1) i wariancją 1 12 (m2 1).

18 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Jeżeli X jest generatorem o rozkładzie równomiernym w zbiorze {0, 1,..., m 1}, to U = X m jest generatorem o rozkładzie zbliżonym do równomiernego w przedziale [0, 1). Wartość średnia generatora U to m 1 2m (dla rozkładu równomiernego 1 2 ), a wariancja m2 1 (dla równomiernego 1 12m 2 12 ). W praktyce zamiast nieosiągalnych generatorów o rozkładzie równomiernym stosuje się generatory działające tak, jak to powyżej opisano.

19 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Załóżmy, że dysponujemy generatorem liczb losowych X o rozkładzie równomiernym, a chcemy stworzyć generator U o rozkładzie zadanym przez dystrybuantę F. Oznaczmy przez F 1 funkcję daną wzorem F 1 (u) = inf{x : F (x) u}, 0 < u < 1. (Jeśli F jest funkcją różnowartościową, to F 1 jest po prostu funkcją odwrotną do F.)

20 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Można wykazać, że jeśli przyjmiemy U = F 1 (X ), to dystrybuanta rozkładu liczb generowanych przez U będzie równa F. Ta metoda wydaje się bardzo prosta. Posiada jednak 2 poważne wady: wyznaczenie F 1 może być trudne lub wręcz niewykonalne (nie zawsze znamy postać analityczną F ); F 1 może być funkcją, której wartości nie potrafimy szybko wyznaczać za pomocą komputera.

21 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Oba te problemy można obejść, wyznaczając F 1 z przybliżeniem (metodami numerycznymi) lub zastępując ją funkcją o zbliżonych wartościach, łatwą do obliczenia. I tak, w przypadku rozkładu normalnego, żadna ze znanych postaci dystrybuanty nie pozwala na proste obliczenie odwrotności. Stosuje się wówczas jej przybliżenie dane wzorem: { F 1 g(u), gdy u 0.5, (u) g(1 u), gdy 0.5 < u < , gdzie g(u) = 2 ln u p( 2 ln u) q(, a p i q to pewne wielomiany 2 ln u) stopnia czwartego.

22 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Przykładowe wartości F 1 dla wybranych rozkładów: Rozkład Dystrybuanta F F 1 Cauchy ego 1 π arctg x x 0 γ x 0 γ ctg(πu) logistyczny 1 1+e (x µ)/s µ + s ln u 1 u wykładniczy (1 e λx )χ [0, ) 1 λ ln(1 u)

23 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Metoda eliminacji umożliwia uzyskanie generatora U o zadanej gęstości g, o ile posiadamy generator X o gęstości f i istnieje stała c taka, że g(x) cf (x) dla każdego x. Potrzebny jest także generator Y o rozkładzie jednostajnym w przedziale [0, 1). Szukany generator U działa następująco: 1 Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j = j Jeśli cy j f (X j ) g(x j ), to idź do 2. 4 U i = X j.

24 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Stała c powinna być jak najmniejsza, bo jej wielkość wpływa na liczbę kroków, które ten algorytm wykonuje. Wiadomo bowiem, że: prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia cy i f (X i ) g(x i ) jest równe 1 1 c ; średnia liczba kroków, jakie wykonuje ten algorytm, jest rzędu O(c). Optymalna wartość c to sup{ g(x) f (x) : f (x) 0}. W praktyce może ona być trudna do wyznaczenia, wówczas zastępujemy ją łatwiejszym do wyznaczenia ograniczeniem górnym.

25 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU W szczególnym przypadku, gdy gęstość g jest ograniczona z góry przez pewną stałą c i jest zerowa poza pewnym przedziałem [a, b], można metodą eliminacji wygenerować g dysponując wyłącznie generatorem o rozkładzie równomiernym w przedziale [0, 1). Ta wersja metody eliminacji korzysta z dwóch niezależnych generatorów X, Y o rozkładach równomiernych w przedziale [0, 1) i wygląda następująco: 1 Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j = j Jeśli cy j g(a + (b a)x j ), to idź do 2. 4 U i = a + (b a)x j.

26 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU W innym szczególnym przypadku, gdy g(x) = cf (x)q(x) oraz q 1, metoda eliminacji przyjmuje postać: 1 Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j = j Jeśli Y j q(x j ), to idź do 2. 4 U i = X j. Tę postać stosujemy wtedy, gdy funkcja q jest łatwiejsza w implementacji niż g i f.

27 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Jeśli sprawdzenie warunku cy i f (X i ) g(x i ) jest czasochłonne, to zastępuje się go parą warunków postaci Y i α(x i ) i Y i < β(x i ). Funkcje α i β dobiera się tak, by α g cf β i w efekcie warunek Y i < α(x i ) wymuszał cy i f (X i ) < g(x i ), a Y i β(x i ) wymuszał cy i f (X i ) g(x i ). Ta wersja metody eliminacji nazywana jest metodą eliminacji z warunkiem szybkiej eliminacji i szybkiej akceptacji.

28 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Metoda superpozycji umożliwia stworzenie generatora U o gęstości danej wzorem: f (x) = g(t, x)h(t)dt, gdzie h oraz każda z funkcji g(t, ) są gęstościami prawdopodobieństw pewnych rozkładów. Dysponując generatorem X o gęstości h oraz rodziną generatorów Y (t) o gęstości g(t, ), można wyznaczyć szukane U przy pomocy wzoru U = Y (X ).

29 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU W szczególnym przypadku, gdy h jest gęstością skupioną w k punktach t 1, t 2,..., t k, wzór opisujący gęstość U przyjmuje postać f (x) = k p i g(t i, x), i=1 gdzie p i jest prawdopodobieństwem punktu t i. Wówczas metodę superpozycji można zrealizować, stosując wzór U = Y (t min{j+1: j i=1 p i X < j+1 i=1 p i } ).

30 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Metoda synonimów umożliwia uzyskanie generatora U o gęstości skupionej w punktach u 1, u 2,..., u k, przy pomocy generatora X o rozkładzie równomiernym w [0, 1). Metoda synonimów działa dwuetapowo. W pierwszym etapie tworzone są dwie tablice pomocnicze q i y. W drugim uzyskujemy szukany generator z wzoru: { u U = kx +1, gdy kx kx < q[ kx ], y[ kx ] w pozostałych przypadkach.

31 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Niech p i będzie prawdopodobieństwem wylosowania punktu u i. Tablice q i y powstają w wyniku zastosowania poniższego algorytmu: 1 Niech s będzie tablicą par postaci (p i, i), i = 1, 2,... k, posortowaną względem pierwszej współrzędnej; n = k. 2 q[s[0][1] 1] = ks[0][0], y[s[0][1] 1] = u s[n 1][1]. 3 Niech a = (s[n 1][0] (1/k s[0][0]), s[n 1][1]). Usuń z s element pierwszy i ostatni. Następnie wstaw a tak, by tablica pozostała posortowana. 4 n = n 1. 5 Jeśli n > 0, to idź do 2.

32 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Przygotowanie tablic q i y można zrealizować w O(k log k) krokach. Gdy są gotowe, generator działa w stałym czasie. Tablice przygotowujemy raz, niezależnie od tego, ile razy korzystamy z generatora. Generator tego typu będzie dobrym wyborem, gdy musimy przygotować długą serię liczb losowych. W sytuacji, w której chcemy wygenerować tylko kilka liczb, bardziej efektywne będzie skorzystanie z wzoru: U = u min{j+1: j i=1 p i X < j+1 i=1 p i }.

33 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Metoda ROU (ang. ratio-of-uniforms method) umożliwia uzyskanie generatora U o zadanej gęstości g przy pomocy generatora Z = (X, Y ) o rozkładzie równomiernym w zbiorze { ( y ) } A = (x, y): 0 x g. x Szukany generator U dany jest wówczas wzorem U = Y /X.

34 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Jeżeli A [0, a] [b, c], to można zastąpić generator Z dwoma niezależnymi generatorami X, Y o rozkładzie równomiernym w [0, 1). Szukany generator U działa wówczas następująco: 1 Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j := j Jeśli (ax j ) 2 g((cy j b)/(ax j )), to idź do 2. 4 U i = (cy j b)/(ax j ).

35 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Aby uzyskać generator U o rozkładzie beta z parametrami α, β, wystarczy dysponować dwoma niezależnymi generatorami: X o rozkładzie gamma z parametrami α, 1 i Y o rozkładzie gamma z parametrami β, 1. Szukany generator uzyskujemy korzystając z wzoru U = X X +Y.

36 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Generator U o rozkładzie Cauchy ego uzyskamy metodą odwracania dystrybuanty. Funkcja odwrotna do dystrybuanty rozkładu Cauchy ego dana jest wzorem: F 1 (u) = x 0 γ ctg(πu). Zatem U = x 0 γ ctg(πx ), gdzie X jest generatorem o rozkładzie równomiernym w [0, 1).

37 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Aby uzyskać generator U o rozkładzie gamma z parametrami α, β, korzysta się z kilku nietrywialnych własności: jeśli X ma rozkład gamma z parametrami α, 1, to X β ma rozkład gamma z parametrami α, β; jeżeli X i ma rozkład gamma z parametrami α i, 1, to k i=1 X i ma rozkład gamma z parametrami k i=1 α i, 1; jeśli X ma rozkład jednostajny w [0, 1), to ln X ma rozkład gamma z parametrami 1, 1. Wynika z nich, że szukane U można uzyskać z α niezależnych generatorów X i o rozkładzie równomiernym w [0, 1) oraz generatora Y o rozkładzie gamma z parametrami α α, 1.

38 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Aby uzyskać generator Y, wystarczy zastosować poniższą procedurę, korzystającą z trzech niezależnych generatorów A, B, C o rozkładzie równomiernym w [0, 1): 1 δ = α α. Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j = j Jeżeli A j < e 5. e+δ 4 a = B 1/δ j, b = C j a δ 1. Idź do 6. 5 a = 1 ln B j, b = C j e a. 6 Jeżeli b > e δ 1 e a, to idź do 2. 7 Y i = a., to idź do 4; w przeciwnym przypadku idź do

39 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Generator U o rozkładzie logistycznym także można uzyskać metodą odwracania dystrybuanty. Funkcja odwrotna do dystrybuanty tego rozkładu ma postać: F 1 (u) = µ + s ln X 1 X u 1 u. Zatem U = µ + s ln, gdzie X jest generatorem o rozkładzie równomiernym w [0, 1).

40 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Metoda Box-Müllera umożliwia uzyskanie generatora, który generuje pary liczb o niezależnych rozkładach normalnych o średniej 0 i odchyleniu standardowym 1. W metodzie tej zakładamy, że dysponujemy dwoma niezależnymi generatorami X, Y o rozkładzie równomiernym w przedziale [0, 1). Szukane generatory U, V uzyskujemy przy pomocy wzoru: U = log X cos(2πy ), V = log X sin(2πy ).

41 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Generator U o rozkładzie wykładniczym uzyskamy metodą odwracania dystrybuanty. Funkcja odwrotna do dystrybuanty tego rozkładu ma postać: F 1 (u) = ln(1 u). λ Zatem U = ln(1 X ) λ, gdzie X jest generatorem o rozkładzie równomiernym w [0, 1).

42 1 Oblicz dystrybuantę: 1) rozkładu gamma z parametrami α = 1, β = 2; 2) rozkładu beta z parametrami α = 1, β = 2. 2 Wyznacz wartość średnią i wariancję dla idealnego generatora o rozkładzie równomiernym w zbiorze S = { m + 1, m + 2,..., m 2, m 1}, gdzie m 2. 3 Wyznacz wartość średnią i wariancję dla idealnego generatora o rozkładzie dwupunktowym takim, że Pr{X = 0} = p, Pr{X = 1} = 1 p i 1 > p > 0. 4 Wyznacz okres generatora danego wzorem X n+1 = (2X n + 1) mod 2 k, w zależności od k i ziarna X 0. 5 Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że generator losowy X ma okres, pod warunkiem, że istnieje taka liczba a, że 0 < Pr{X = a} < 1. 6 Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że generator losowy X wygeneruje liczbę x, znając prawdopodobieństwo Pr{X = x}. 7 Wyznacz odwrotność dystrybuanty rozkładu jednostajnego. 8 Wyznacz tablice q i y dla metody synonimów dla rozkładu dwupunktowego takiego, że Pr{X = 0} = p i Pr{X = 1} = 1 p. 9 Zastosuj metodę eliminacji do uzyskania generatora U o gęstości 3x 2 w przedziale [0, 1), korzystając z generatora X o rozkładzie jednostajnym.

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ;

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ; 1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości

Bardziej szczegółowo

Metody analizy funkcji przeżycia

Metody analizy funkcji przeżycia Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623

Twierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu

Bardziej szczegółowo

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami. wykład 1 dr inż. Agata Klaus-Rosińska

Zarządzanie projektami. wykład 1 dr inż. Agata Klaus-Rosińska Zarządzanie projektami wykład 1 dr inż. Agata Klaus-Rosińska 1 DEFINICJA PROJEKTU Zbiór działań podejmowanych dla zrealizowania określonego celu i uzyskania konkretnego, wymiernego rezultatu produkt projektu

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15

Bazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Bazy danych Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Przechowywanie danych Wykorzystanie systemu plików, dostępu do plików za pośrednictwem systemu operacyjnego

Bardziej szczegółowo

DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15

DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 Wykonawcy ubiegający się o udzielenie zamówienia Dotyczy: postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego na Usługę druku książek, nr postępowania

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest

Bardziej szczegółowo

Gruntowy wymiennik ciepła PROVENT- GEO

Gruntowy wymiennik ciepła PROVENT- GEO Gruntowy wymiennik ciepła PROVENT- GEO Bezprzeponowy Płytowy Gruntowy Wymiennik Ciepła PROVENT-GEO to unikatowe, oryginalne rozwiązanie umożliwiające pozyskanie zawartego gruncie chłodu latem oraz ciepła

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, 2011. Anna Szymańska *

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, 2011. Anna Szymańska * A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 59, * WPŁYW TYPU ROZKŁADU WIELKOŚCI SZKÓD NA WARTOŚĆ SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC. TEORETYCZNE ZASADY KALKULACJI

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Zapytanie ofertowe dotyczące wyboru wykonawcy (biegłego rewidenta) usługi polegającej na przeprowadzeniu kompleksowego badania sprawozdań finansowych

Zapytanie ofertowe dotyczące wyboru wykonawcy (biegłego rewidenta) usługi polegającej na przeprowadzeniu kompleksowego badania sprawozdań finansowych Zapytanie ofertowe dotyczące wyboru wykonawcy (biegłego rewidenta) usługi polegającej na przeprowadzeniu kompleksowego badania sprawozdań finansowych Data publikacji 2016-04-29 Rodzaj zamówienia Tryb zamówienia

Bardziej szczegółowo

oraz nowego średniego samochodu ratowniczo-gaśniczego ze sprzętem ratowniczogaśniczym

oraz nowego średniego samochodu ratowniczo-gaśniczego ze sprzętem ratowniczogaśniczym Samorządowy Program dotyczący pomocy finansowej dla gmin/miast na zakup nowych samochodów ratowniczo - gaśniczych ze sprzętem ratowniczogaśniczym zamontowanym na stałe oraz zakup sprzętu ratowniczo-gaśniczego

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"

Ćwiczenie: Ruch harmoniczny i fale Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 2. ZATRUDNIENIE NA CZĘŚĆ ETATU LUB PRZEZ CZĘŚĆ OKRESU OCENY

ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 2. ZATRUDNIENIE NA CZĘŚĆ ETATU LUB PRZEZ CZĘŚĆ OKRESU OCENY ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 1. ZMIANA GRUPY PRACOWNIKÓW LUB AWANS W przypadku zatrudnienia w danej grupie pracowników (naukowo-dydaktyczni, dydaktyczni, naukowi) przez okres poniżej 1 roku nie dokonuje

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA NAUCZANIA PRZEDMIOTU RACHUNKOWOŚĆ SKOMPUTERYZOWANA" NA WYDZIALE ZARZĄDZANIA UNIWERSYTETU GDAŃSKIEGO

KONCEPCJA NAUCZANIA PRZEDMIOTU RACHUNKOWOŚĆ SKOMPUTERYZOWANA NA WYDZIALE ZARZĄDZANIA UNIWERSYTETU GDAŃSKIEGO KONCEPCJA NAUCZANIA PRZEDMIOTU RACHUNKOWOŚĆ SKOMPUTERYZOWANA" NA WYDZIALE ZARZĄDZANIA UNIWERSYTETU GDAŃSKIEGO Grzegorz Bucior Uniwersytet Gdański, Katedra Rachunkowości 1. Wprowadzenie Rachunkowość przedsiębiorstwa

Bardziej szczegółowo

Warunki Oferty PrOmOcyjnej usługi z ulgą

Warunki Oferty PrOmOcyjnej usługi z ulgą Warunki Oferty PrOmOcyjnej usługi z ulgą 1. 1. Opis Oferty 1.1. Oferta Usługi z ulgą (dalej Oferta ), dostępna będzie w okresie od 16.12.2015 r. do odwołania, jednak nie dłużej niż do dnia 31.03.2016 r.

Bardziej szczegółowo

Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach.

Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach. Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach. 1 PROJEKTY KOSZTOWE 2 PROJEKTY PRZYCHODOWE 3 PODZIAŁ PROJEKTÓW ZE WZGLĘDU

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia Wykład 9

Mikroekonomia Wykład 9 Mikroekonomia Wykład 9 Efekty zewnętrzne Przez długie lata ekonomiści mieli problemy z jednoznacznym zdefiniowaniem efektów zewnętrznych, które oddziaływały na inne podmioty gospodarcze przez powodowanie

Bardziej szczegółowo

Zagospodarowanie magazynu

Zagospodarowanie magazynu Zagospodarowanie magazynu Wymagania wobec projektu magazynu - 1 jak najlepsze wykorzystanie pojemności związane z szybkością rotacji i konieczną szybkością dostępu do towaru; im większa wymagana szybkość

Bardziej szczegółowo

TABELA ZGODNOŚCI. W aktualnym stanie prawnym pracodawca, który przez okres 36 miesięcy zatrudni osoby. l. Pornoc na rekompensatę dodatkowych

TABELA ZGODNOŚCI. W aktualnym stanie prawnym pracodawca, który przez okres 36 miesięcy zatrudni osoby. l. Pornoc na rekompensatę dodatkowych -...~.. TABELA ZGODNOŚCI Rozporządzenie Komisji (UE) nr 651/2014 z dnia 17 czerwca 2014 r. uznające niektóre rodzaje pomocy za zgodne z rynkiem wewnętrznym w zastosowaniu art. 107 i 108 Traktatu (Dz. Urz.

Bardziej szczegółowo

OSZACOWANIE WARTOŚCI ZAMÓWIENIA z dnia... 2004 roku Dz. U. z dnia 12 marca 2004 r. Nr 40 poz.356

OSZACOWANIE WARTOŚCI ZAMÓWIENIA z dnia... 2004 roku Dz. U. z dnia 12 marca 2004 r. Nr 40 poz.356 OSZACOWANIE WARTOŚCI ZAMÓWIENIA z dnia... 2004 roku Dz. U. z dnia 12 marca 2004 r. Nr 40 poz.356 w celu wszczęcia postępowania i zawarcia umowy opłacanej ze środków publicznych 1. Przedmiot zamówienia:

Bardziej szczegółowo

Wtedy wystarczy wybrać właściwego Taga z listy.

Wtedy wystarczy wybrać właściwego Taga z listy. Po wejściu na stronę pucharino.slask.pl musisz się zalogować (Nazwa użytkownika to Twój redakcyjny pseudonim, hasło sam sobie ustalisz podczas procedury rejestracji). Po zalogowaniu pojawi się kilka istotnych

Bardziej szczegółowo

PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów

PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów I. Postanowienia ogólne 1.Cel PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO w Urzędzie Gminy Mściwojów Przeprowadzenie oceny ryzyka zawodowego ma na celu: Załącznik A Zarządzenia oceny ryzyka zawodowego monitorowanie

Bardziej szczegółowo

Roczne zeznanie podatkowe 2015

Roczne zeznanie podatkowe 2015 skatteetaten.no Informacje dla pracowników zagranicznych Roczne zeznanie podatkowe 2015 W niniejszej broszurze znajdziesz skrócony opis tych pozycji w zeznaniu podatkowym, które dotyczą pracowników zagranicznych

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania

WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania WYKŁAD 8 Reprezentacja obrazu Elementy edycji (tworzenia) obrazu Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania Klasy obrazów Klasa 1: Obrazy o pełnej skali stopni jasności, typowe parametry:

Bardziej szczegółowo

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu

Bardziej szczegółowo

Zaproszenie. Ocena efektywności projektów inwestycyjnych. Modelowanie procesów EFI. Jerzy T. Skrzypek Kraków 2013 Jerzy T.

Zaproszenie. Ocena efektywności projektów inwestycyjnych. Modelowanie procesów EFI. Jerzy T. Skrzypek Kraków 2013 Jerzy T. 1 1 Ocena efektywności projektów inwestycyjnych Ocena efektywności projektów inwestycyjnych Jerzy T. Skrzypek Kraków 2013 Jerzy T. Skrzypek MODEL NAJLEPSZYCH PRAKTYK SYMULACJE KOMPUTEROWE Kraków 2011 Zaproszenie

Bardziej szczegółowo

API transakcyjne BitMarket.pl

API transakcyjne BitMarket.pl API transakcyjne BitMarket.pl Wersja 20140314 1. Sposób łączenia się z API... 2 1.1. Klucze API... 2 1.2. Podpisywanie wiadomości... 2 1.3. Parametr tonce... 2 1.4. Odpowiedzi serwera... 3 1.5. Przykładowy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE SPOSOBY SPRAWDZANIA POSTĘPÓW UCZNIÓW WARUNKI I TRYB UZYSKANIA WYŻSZEJ NIŻ PRZEWIDYWANA OCENY ŚRÓDROCZNEJ I ROCZNEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE SPOSOBY SPRAWDZANIA POSTĘPÓW UCZNIÓW WARUNKI I TRYB UZYSKANIA WYŻSZEJ NIŻ PRZEWIDYWANA OCENY ŚRÓDROCZNEJ I ROCZNEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE SPOSOBY SPRAWDZANIA POSTĘPÓW UCZNIÓW WARUNKI I TRYB UZYSKANIA WYŻSZEJ NIŻ PRZEWIDYWANA OCENY ŚRÓDROCZNEJ I ROCZNEJ Anna Gutt- Kołodziej ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI Podczas pracy

Bardziej szczegółowo

Komentarz technik dróg i mostów kolejowych 311[06]-01 Czerwiec 2009

Komentarz technik dróg i mostów kolejowych 311[06]-01 Czerwiec 2009 Strona 1 z 14 Strona 2 z 14 Strona 3 z 14 Strona 4 z 14 Strona 5 z 14 Strona 6 z 14 Uwagi ogólne Egzamin praktyczny w zawodzie technik dróg i mostów kolejowych zdawały wyłącznie osoby w wieku wskazującym

Bardziej szczegółowo

REJESTRATOR RES800 INSTRUKCJA OBSŁUGI

REJESTRATOR RES800 INSTRUKCJA OBSŁUGI AEK Zakład Projektowy Os. Wł. Jagiełły 7/25 60-694 POZNAŃ tel/fax (061) 4256534, kom. 601 593650 www.aek.com.pl biuro@aek.com.pl REJESTRATOR RES800 INSTRUKCJA OBSŁUGI Wersja 1 Poznań 2011 REJESTRATOR RES800

Bardziej szczegółowo

Rekrutacją do klas I w szkołach podstawowych w roku szkolnym 2015/2016 objęte są dzieci, które w roku 2015 ukończą:

Rekrutacją do klas I w szkołach podstawowych w roku szkolnym 2015/2016 objęte są dzieci, które w roku 2015 ukończą: Załącznik nr 1 do Zarządzenia nr 2/2015 Dyrektora Szkoły Podstawowej nr 1 w Radzyniu Podlaskim z dnia 27 lutego 2015 r. Regulamin rekrutacji uczniów do klasy pierwszej w Szkole Podstawowej nr 1 im. Bohaterów

Bardziej szczegółowo

Bioinformatyka Laboratorium, 30h. Michał Bereta mbereta@pk.edu.pl www.michalbereta.pl

Bioinformatyka Laboratorium, 30h. Michał Bereta mbereta@pk.edu.pl www.michalbereta.pl Bioinformatyka Laboratorium, 30h Michał Bereta mbereta@pk.edu.pl www.michalbereta.pl 1 Filogenetyka molekularna wykorzystuje informację zawartą w sekwencjach aminokwasów lub nukleotydów do kontrukcji drzew

Bardziej szczegółowo

Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07

Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07 Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07 2 Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowo-wytwórczej) Podatek przemysłowy (lokalny podatek

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Organizacja rynku dr Olga Kiuila LEKCJA 12

Uniwersytet Warszawski Organizacja rynku dr Olga Kiuila LEKCJA 12 LEKCJA 12 KOSZTY WEJŚCIA NA RYNEK Inwestując w kapitał trwały zwiększamy pojemność produkcyjną (czyli maksymalną wielkość produkcji) i tym samym możemy próbować wpływać na decyzje konkurencyjnych firm.

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji otwartej

Konspekt lekcji otwartej Konspekt lekcji otwartej Przedmiot: Temat lekcji: informatyka Modelowanie i symulacja komputerowa prawidłowości w świecie liczb losowych Klasa: 2 g Data zajęć: 21.12.2004. Nauczyciel: Roman Wyrwas Czas

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych)

ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) Zadanie 1 Zapytano 180 osób (w tym 120 mężczyzn) o to czy rozpoczynają dzień od wypicia kawy czy też może preferują herbatę.

Bardziej szczegółowo

PRZEMYSŁOWY ODTWARZACZ PLIKÓW MP3 i WAV

PRZEMYSŁOWY ODTWARZACZ PLIKÓW MP3 i WAV INDUSTRIAL MP3/WAV imp3_wav AUTOMATYKA PRZEMYSŁOWA PRZEMYSŁOWY ODTWARZACZ PLIKÓW MP3 i WAV ZASTOSOWANIE: - systemy powiadamiania głosowego w przemyśle (linie technologiczne, maszyny) - systemy ostrzegania,

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY CZASU PRACY. 1. PODSTAWOWY [art. 129 KP]

SYSTEMY CZASU PRACY. 1. PODSTAWOWY [art. 129 KP] 1. PODSTAWOWY [ 129 KP] Podstawowy system czasu w typowych (standardowych) stosunkach : do 8 godzin Standardowo: do 4 miesięcy Wyjątki: do 6 m-cy w rolnictwie i hodowli oraz przy ochronie osób lub pilnowaniu

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TECHNOLOGII NAPRAW WERYFIKACJA TULEJI CYLINDROWYCH SILNIKA SPALINOWEGO

LABORATORIUM TECHNOLOGII NAPRAW WERYFIKACJA TULEJI CYLINDROWYCH SILNIKA SPALINOWEGO LABORATORIUM TECHNOLOGII NAPRAW WERYFIKACJA TULEJI CYLINDROWYCH SILNIKA SPALINOWEGO 2 1. Cel ćwiczenia : Dokonać pomiaru zuŝycia tulei cylindrowej (cylindra) W wyniku opanowania treści ćwiczenia student

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak

Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak Zasady zaliczenia Zajęcia są obowiązkowe, wolno opuścić 4 godziny. W semestrze 2 kolokwia po 50 punktów. Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTÓW ZAWODOWYCH ODBYWAJĄCYCH SIĘ W SZKOLNYM LABORATORIUM CHEMICZNYM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTÓW ZAWODOWYCH ODBYWAJĄCYCH SIĘ W SZKOLNYM LABORATORIUM CHEMICZNYM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTÓW ZAWODOWYCH ODBYWAJĄCYCH SIĘ W SZKOLNYM LABORATORIUM CHEMICZNYM PSO jest uzupełnieniem Wewnątrzszkolnego Systemu Oceniania obowiązującego w GCE. Precyzuje zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Imię i nazwisko

Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Imię i nazwisko Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Karta pracy III.. Imię i nazwisko klasa Celem nauki jest stawianie hipotez, a następnie ich weryfikacja, która w efekcie

Bardziej szczegółowo

Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ

Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ Test F- nedecora W praktyce często mamy do czynienia z kilkoma niezaleŝnymi testami, słuŝącymi do weryfikacji tej samej hipotezy, prowadzącymi do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej na róŝnych poziomach

Bardziej szczegółowo

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca

Bardziej szczegółowo

Grupa bezpieczeństwa kotła KSG / KSG mini

Grupa bezpieczeństwa kotła KSG / KSG mini Grupa bezpieczeństwa kotła KSG / KSG mini Instrukcja obsługi i montażu 77 938: Grupa bezpieczeństwa kotła KSG 77 623: Grupa bezpieczeństwa kotła KSG mini AFRISO sp. z o.o. Szałsza, ul. Kościelna 7, 42-677

Bardziej szczegółowo

Program szkoleniowy Efektywni50+ Moduł III Standardy wymiany danych

Program szkoleniowy Efektywni50+ Moduł III Standardy wymiany danych Program szkoleniowy Efektywni50+ Moduł III 1 Wprowadzenie do zagadnienia wymiany dokumentów. Lekcja rozpoczynająca moduł poświęcony standardom wymiany danych. Wprowadzenie do zagadnień wymiany danych w

Bardziej szczegółowo

UMOWA O ŚWIADCZENIU USŁUG W PUNKCIE PRZEDSZKOLNYM TĘCZOWA KRAINA. Zawarta dnia..w Cieszynie pomiędzy

UMOWA O ŚWIADCZENIU USŁUG W PUNKCIE PRZEDSZKOLNYM TĘCZOWA KRAINA. Zawarta dnia..w Cieszynie pomiędzy UMOWA O ŚWIADCZENIU USŁUG W PUNKCIE PRZEDSZKOLNYM TĘCZOWA KRAINA Zawarta dnia..w Cieszynie pomiędzy.właścicielką Punktu Przedszkolnego Tęczowa Kraina w Cieszynie przy ulicy Hallera 145 A, a Panem/Panią......

Bardziej szczegółowo

USTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity)

USTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity) Dz.U.98.21.94 1998.09.01 zm. Dz.U.98.113.717 art. 5 1999.01.01 zm. Dz.U.98.106.668 art. 31 2000.01.01 zm. Dz.U.99.99.1152 art. 1 2000.04.06 zm. Dz.U.00.19.239 art. 2 2001.01.01 zm. Dz.U.00.43.489 art.

Bardziej szczegółowo

Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: ops-targowek.waw.pl

Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: ops-targowek.waw.pl Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: ops-targowek.waw.pl Warszawa: przeprowadzenie szkolenia realizowanego w ramach projektu Aktywny Targówek

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Udoskonalona wentylacja komory suszenia

Udoskonalona wentylacja komory suszenia Udoskonalona wentylacja komory suszenia Komora suszenia Kratka wentylacyjna Zalety: Szybkie usuwanie wilgoci z przestrzeni nad próbką Ograniczenie emisji ciepła z komory suszenia do modułu wagowego W znacznym

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów

Architektura komputerów Architektura komputerów Tydzień 6 RSC i CSC Znaczenie terminów CSC Complete nstruction Set Computer komputer o pełnej liście rozkazów. RSC Reduced nstruction Set Computer komputer o zredukowanej liście

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr

Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr I. Wyrażenia wymierne: funkcja wymierna - Dziedzina wyrażenia wymiernego. - Skarcenie

Bardziej szczegółowo

UCHWAŁA NR.../.../2015 RADY MIASTA PUŁAWY. z dnia... 2015 r.

UCHWAŁA NR.../.../2015 RADY MIASTA PUŁAWY. z dnia... 2015 r. Projekt z dnia 24 czerwca 2015 r. Zatwierdzony przez... UCHWAŁA NR.../.../2015 RADY MIASTA PUŁAWY z dnia... 2015 r. w sprawie zwolnienia od podatku od nieruchomości budynków lub ich części w ramach pomocy

Bardziej szczegółowo

Automatyka. Etymologicznie automatyka pochodzi od grec.

Automatyka. Etymologicznie automatyka pochodzi od grec. Automatyka Etymologicznie automatyka pochodzi od grec. : samoczynny. Automatyka to: dyscyplina naukowa zajmująca się podstawami teoretycznymi, dział techniki zajmujący się praktyczną realizacją urządzeń

Bardziej szczegółowo

Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem

Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem Analiza I Potrzebujesz pomocy? Wypełnij formularz Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem różnicującym oglądalność w TV meczów piłkarskich. W tym celu zastosujemy test

Bardziej szczegółowo

tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751

tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751 Zespół Placówek Kształcenia Zawodowego 33-300 Nowy Sącz ul. Zamenhoffa 1 tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 http://zpkz.nowysacz.pl e-mail biuro@ckp-ns.edu.pl NIP 7343246017 Regon 120493751 Wskazówki

Bardziej szczegółowo

POWIATOWY URZĄD PRACY

POWIATOWY URZĄD PRACY POWIATOWY URZĄD PRACY ul. Piłsudskiego 33, 33-200 Dąbrowa Tarnowska tel. (0-14 ) 642-31-78 Fax. (0-14) 642-24-78, e-mail: krda@praca.gov.pl Załącznik Nr 3 do Uchwały Nr 5/2015 Powiatowej Rady Rynku Pracy

Bardziej szczegółowo

Komputer i urządzenia z nim współpracujące

Komputer i urządzenia z nim współpracujące Temat 1. Komputer i urządzenia z nim współpracujące Realizacja podstawy programowej 1. 1) opisuje modułową budowę komputera, jego podstawowe elementy i ich funkcje, jak również budowę i działanie urządzeń

Bardziej szczegółowo

SPRZĄTACZKA pracownik gospodarczy

SPRZĄTACZKA pracownik gospodarczy Szkolenie wstępne InstruktaŜ stanowiskowy SPRZĄTACZKA pracownik gospodarczy pod red. Bogdana Rączkowskiego Zgodnie z rozporządzeniem Ministra Gospodarki i Pracy z dnia 27 lipca 2004 r. w sprawie szkolenia

Bardziej szczegółowo

SPRAWOZDANIE Z DZIAŁALNOŚCI RADY NADZORCZEJ SPÓŁKI PATENTUS S.A. ZA OKRES 01.01.2010 31.12.2010.

SPRAWOZDANIE Z DZIAŁALNOŚCI RADY NADZORCZEJ SPÓŁKI PATENTUS S.A. ZA OKRES 01.01.2010 31.12.2010. SPRAWOZDANIE Z DZIAŁALNOŚCI RADY NADZORCZEJ SPÓŁKI PATENTUS S.A. ZA OKRES 01.01.2010 31.12.2010. 1. Informacja dotycząca kadencji Rady Nadzorczej w roku 2010, skład osobowy Rady, pełnione funkcje w Radzie,

Bardziej szczegółowo

Rodzaje i metody kalkulacji

Rodzaje i metody kalkulacji Opracowały: mgr Lilla Nawrocka - nauczycielka przedmiotów ekonomicznych w Zespole Szkół Rolniczych Centrum Kształcenia Praktycznego w Miętnem mgr Maria Rybacka - nauczycielka przedmiotów ekonomicznych

Bardziej szczegółowo

Bojszowy, dnia 22.02.2010r. Znak sprawy: GZOZ/P1/2010 WYJAŚNIENIE TREŚCI SIWZ

Bojszowy, dnia 22.02.2010r. Znak sprawy: GZOZ/P1/2010 WYJAŚNIENIE TREŚCI SIWZ Bojszowy, dnia 22.02.2010r. Znak sprawy: GZOZ/P1/2010 WYJAŚNIENIE TREŚCI SIWZ Dotyczy: przetargu nieograniczonego na Zakup wraz z dostawą i instalacją aparatu USG dla potrzeb Gminnego Zakładu Opieki Zdrowotnej

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA dr inż.. ALEKSANDRA ŁUCZAK Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Katedra Finansów w i Rachunkowości ci Zakład Metod Ilościowych Collegium Maximum,, pokój j 617 Tel. (61) 8466091 luczak@up.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

Uchwała nr O- 14 - III- 2012 Krajowej Rady Izby Architektów RP z dnia 20 marca 2012 r. w sprawie wprowadzenia wzoru kontraktu menedżerskiego

Uchwała nr O- 14 - III- 2012 Krajowej Rady Izby Architektów RP z dnia 20 marca 2012 r. w sprawie wprowadzenia wzoru kontraktu menedżerskiego Uchwała nr O- 14 - III- 2012 Krajowej Rady Izby Architektów RP z dnia 20 marca 2012 r. w sprawie wprowadzenia wzoru kontraktu menedżerskiego Na podstawie art. 33 pkt 14 ustawy z dnia 15 grudnia 2000 r.

Bardziej szczegółowo

Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu

Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu 1 P/08/139 LWR 41022-1/2008 Pan Wrocław, dnia 5 5 września 2008r. Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu WYSTĄPIENIE POKONTROLNE Na podstawie art. 2 ust. 1 ustawy z

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława ROZDZIAŁ I

REGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława ROZDZIAŁ I Załącznik Nr 1 do zarządzenia Nr169/2011 Burmistrza Miasta Mława z dnia 2 listopada 2011 r. REGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława Ilekroć w niniejszym regulaminie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK 1 ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA 2 POBRAĆ Z INTERNETU Plaforma WSL on-line Nazwisko prowadzącego Maryna Kupczyk Folder z nazwą przedmiou - Analiza, prognozowanie i symulacja Plik o nazwie Baza do ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

Automatyczne przetwarzanie recenzji konsumenckich dla oceny użyteczności produktów i usług

Automatyczne przetwarzanie recenzji konsumenckich dla oceny użyteczności produktów i usług Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej Katedra Informatyki Ekonomicznej Streszczenie rozprawy doktorskiej Automatyczne przetwarzanie recenzji konsumenckich dla

Bardziej szczegółowo

Dziękujemy za zainteresowanie

Dziękujemy za zainteresowanie Dziękujemy za zainteresowanie Dlaczego wybrać wizualizacje? Wizualizacje mebli wykonywane przez wizualizacjemebli.org są tańsze, mniej czasochłonne i pozwalają ukazywać każdy zestaw mebli w całkowicie

Bardziej szczegółowo

NACZYNIE WZBIORCZE INSTRUKCJA OBSŁUGI INSTRUKCJA INSTALOWANIA

NACZYNIE WZBIORCZE INSTRUKCJA OBSŁUGI INSTRUKCJA INSTALOWANIA NACZYNIE WZBIORCZE INSTRUKCJA OBSŁUGI INSTRUKCJA INSTALOWANIA Kraków 31.01.2014 Dział Techniczny: ul. Pasternik 76, 31-354 Kraków tel. +48 12 379 37 90~91 fax +48 12 378 94 78 tel. kom. +48 665 001 613

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN FINANSOWANIA ZE ŚRODKÓW FUNDUSZU PRACY KOSZTÓW STUDIÓW PODYPLOMOWYCH

REGULAMIN FINANSOWANIA ZE ŚRODKÓW FUNDUSZU PRACY KOSZTÓW STUDIÓW PODYPLOMOWYCH REGULAMIN FINANSOWANIA ZE ŚRODKÓW FUNDUSZU PRACY KOSZTÓW STUDIÓW PODYPLOMOWYCH ROZDZIAŁ I POSTANOWIENIA OGÓLNE 1 Na podstawie art. 42 a ustawy z dnia 20 kwietnia 2004 r. o promocji zatrudnienia i instytucjach

Bardziej szczegółowo

Przygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś

Przygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś Przygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś Druk: Drukarnia VIVA Copyright by Infornext.pl ISBN: 978-83-61722-03-8 Wydane przez Infornext Sp. z o.o. ul. Okopowa 58/72 01 042 Warszawa www.wieszjak.pl Od

Bardziej szczegółowo

I B. EFEKT FOTOWOLTAICZNY. BATERIA SŁONECZNA

I B. EFEKT FOTOWOLTAICZNY. BATERIA SŁONECZNA 1 OPTOELEKTRONKA B. EFEKT FOTOWOLTACZNY. BATERA SŁONECZNA Cel ćwiczenia: 1.Zbadanie zależności otoprądu zwarcia i otonapięcia zwarcia od natężenia oświetlenia. 2. Wyznaczenie sprawności energetycznej baterii

Bardziej szczegółowo

Elementy cyfrowe i układy logiczne

Elementy cyfrowe i układy logiczne Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Zezwolenie Dekoder, koder Demultiplekser, multiplekser 2 Operacja zezwolenia Przykład: zamodelować podsystem elektroniczny samochodu do sterowania urządzeniami:

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KROŚNIE

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KROŚNIE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KROŚNIE Przedmiotowy system oceniania z matematyki jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122, Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią

Bardziej szczegółowo

Wniosek o ustalenie warunków zabudowy

Wniosek o ustalenie warunków zabudowy Wniosek o ustalenie warunków zabudowy Informacje ogólne Kiedy potrzebna jest decyzja Osoba, która składa wniosek o pozwolenie na budowę, nie musi mieć decyzji o warunkach zabudowy terenu, pod warunkiem

Bardziej szczegółowo