2. Generatory liczb (pseudo)losowych

Transkrypt

1

2 Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Niech X będzie zmienną losową, tj. funkcją odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω w zbiór liczb rzeczywistych R. Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej X nazywamy funkcję daną wzorem R A Pr{X A}. Aby opisać rozkład zmiennej X, często podaje się jej dystrybuantę, czyli funkcję daną wzorem F X (x) = Pr{X x}. Inną metodą opisania rozkładu jest określenie gęstości g X, tj. funkcji danej wzorem Pr{X A} = A g X (x)dx. Nie każdy rozkład posiada gęstość. Jeżeli F X jest różniczkowalne, to F X = g X.

3 Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Rozkład Gęstość Dystrybuanta beta Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) x α 1 (1 x) β 1 f. specjalna 1 γ 1 Cauchy ego π (x x 0 ) 2 +γ 2 π arctg x x 0 γ gamma β α Γ(α) x α 1 e βx f. specjalna jednostajny 1 b a χ [a,b] x a b a χ [a,b] + χ (b, )

4 Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Rozkład Gęstość Dystrybuanta logistyczny e (x µ)/s s(1+e (x µ)/s ) e (x µ)/s (x µ)2 1 normalny e 2σ 2 2πσ 2 f. specjalna t-studenta ( Γ( v+1 2 ) vπγ( v 2 ) 1 + x2 v ) v+1 2 f. specjalna wykładniczy λe λx χ [0, ) (1 e λx )χ [0, )

5 Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Wartość średnia zmiennej X to E(X ) = Ω XdPr; wariancja dana jest wzorem Var(X ) = EX 2 (EX ) 2. Wartość średnią i wariancję można wyznaczyć, jeśli znamy dystrybuantę lub funkcję gęstości zmiennej X. X dowolne X 0 E(X ) xg X (x)dx 0 1 F X (x)dx Var(X ) (x E(X )) 2 g X (x)dx 2 0 x xf X (x)dx E(X ) 2

6 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Generowanie liczb losowych o zadanym rozkładzie to zagadnienie o wielu zastosowaniach ciągi liczb losowych są stosowane m.in. w: algorytmach metaheurystycznych takich jak symulowane wyżarzanie; metodzie Monte Carlo, stosowanej m.in. w całkowaniu numerycznym; symulacjach komputerowych; kryptografii (generowanie kluczy). W wielu zastosowaniach liczby losowe zastępuje się takimi, które tylko udają losowe. Takie liczby nazywać będziemy pseudolosowymi.

7 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Komputer będący urządzeniem deterministycznym nigdy nie będzie dobrym źródłem liczb losowych. Aby uzyskać z jego pomocą liczby prawdziwie losowe, należałoby wyposażyć go w urządzenie, które je wygeneruje. Urządzenie do generowania liczb losowych, czyli generator sprzętowy, tworzy je na podstawie obserwacji zjawisk takich jak: szum elektryczny; działalność użytkownika; zjawisko promieniotwórczości.

8 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory sprzętowe generujące liczby losowe są drogie i powolne. Rozkład generowanych przez nie liczb jest często trudny do ustalenia. W związku z powyższym w większości zastosowań stosuje się inne rozwiązanie generatory programowe. Generator programowy to program komputerowy, który generuje ciąg liczb, które są lub przynajmniej wyglądają jak losowe. Żaden z omawianych dalej generatorów nie generuje liczb prawdziwie losowych, wszystkie tworzą ciągi liczb pseudolosowych.

9 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Spotyka się dwa podejścia do zagadnienia generowania liczb (pseudo)losowych: generujemy je bezpośrednio; generujemy je bit po bicie, a następnie składamy z nich liczby o ustalonej liczbie bitów. Kolejne liczby wygenerowane przez generator X oznaczać będziemy symbolami X 1, X 2,... Jeżeli generator X generuje bity, to będziemy je oznaczać symbolami X b 1, X b 2,...

10 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Większość generatorów programowych wyznacza kolejne liczby na podstawie ustalonych wzorów. Tego typu generatory tworzą liczby pseudolosowe. Liczby te nierzadko posiadają lepsze właściwości statystyczne niż losowe, uzyskane z generatora sprzętowego. programowe są, z uwagi na zastosowane w nich proste wzory, łatwe w implementacji i szybkie w działaniu.

11 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Typowy generator liczb losowych charakteryzuje się następującymi cechami: trzeba go zainicjować początkowym zestawem parametrów, tzw. ziarnem; kolejne generowane przez niego liczby są wyznaczane na podstawie jego stanu wewnętrznego; stan wewnętrzny jest zależny od ziarna i pewnej ilości (zazwyczaj stałej) ostatnio wygenerowanych liczb. Cechą charakterystyczną tego typu generatorów jest posiadanie okresu.

12 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Okresem generatora X nazywać będziemy najmniejszą liczbę p 1 taką, że X n = X n+p dla każdego dostatecznie dużego n. Okres generatora X oznaczać będziemy symbolem p(x ). Okresem aperiodyczności generatora X nazywać będziemy najmniejszą liczbę a 0 taką, że X n = X n+p(x ) dla każdego n > a. Okres aperiodyczności generatora X oznaczać będziemy symbolem a(x ).

13 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Wiadomo, że 1 p(x ) S(X ), gdzie S(X ) jest zbiorem stanów wewnętrznych generatora X. Analogiczne nierówności zachodzą dla okresu aperiodyczności: 0 a(x ) S(X ) 1. W typowym przypadku, gdy generujemy liczby modulo m, a wewnętrzny stan generatora to k ostatnio wygenerowanych liczb, prawdziwe są nierówności p(x ) m k i a(x ) m k 1.

14 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Źle wybrane ziarno może spowodować, że generator będzie generował liczby o złych właściwościach statystycznych, np. liczby, których wartości można przewidzieć. Generator, którego ziarno może przyjąć z różnych wartości, jest w stanie wygenerować co najwyżej z różnych ciągów liczb. Dlatego też ziarno nie może mieć zbyt małego zakresu. Stosuje się dwa podejścia, umożliwiające prawidłowe zainicjowanie generatora: inicjowanie aktualnym czasem; inicjowanie wartościami zwróconymi przez inny, prostszy generator.

15 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Od dobrego generatora programowego wymagamy: generowania liczb, które mają rozkład jak najbardziej zbliżony do zadanego; tego, by podciągi generowanego ciągu były wzajemnie niezależne; długiego okresu, rzędu co najmniej n, gdzie n jest długością fragmentu ciągu, który wykorzystujemy w obliczeniach; możliwości dokonania przeskoku, tj. obliczenia X j na podstawie X i dla każdego j > i; powtarzalności, przenośności i efektywności.

16 Ciągi (pseudo)losowe Typy generatorów Metody generowania liczb Schemat typowego generatora Cechy charakteryzujące dobre generatory Jeżeli generator ma być stosowany w kryptografii, wymaga się od niego przede wszystkim: braku możliwości odgadnięcia ziarna i stanu wewnętrznego na podstawie obserwacji generowanych liczb; długiego okresu dla każdej możliwej wartości ziarna; nieprzewidywalności wyników dla osób postronnych, tj. niskiego prawdopodobieństwa tego, że na podstawie obserwacji generowanych liczb da się przewidzieć następne.

17 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU o rozkładzie równomiernym umożliwiają, przy pomocy opisanych dalej metod, uzyskiwanie liczb o dowolnych rozkładach. Generator idealny o rozkładzie równomiernym w zbiorze skończonym S generuje każdą liczbę s S z identycznym prawdopodobieństwem równym 1 S. W najbardziej interesującym nas przypadku zbiór S będzie miał postać {0, 1,..., m 1}, gdzie m jest pewną liczbą naturalną. Generator idealny charakteryzuje się w tym przypadku wartością średnią równą 1 2 (m 1) i wariancją 1 12 (m2 1).

18 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Jeżeli X jest generatorem o rozkładzie równomiernym w zbiorze {0, 1,..., m 1}, to U = X m jest generatorem o rozkładzie zbliżonym do równomiernego w przedziale [0, 1). Wartość średnia generatora U to m 1 2m (dla rozkładu równomiernego 1 2 ), a wariancja m2 1 (dla równomiernego 1 12m 2 12 ). W praktyce zamiast nieosiągalnych generatorów o rozkładzie równomiernym stosuje się generatory działające tak, jak to powyżej opisano.

19 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Załóżmy, że dysponujemy generatorem liczb losowych X o rozkładzie równomiernym, a chcemy stworzyć generator U o rozkładzie zadanym przez dystrybuantę F. Oznaczmy przez F 1 funkcję daną wzorem F 1 (u) = inf{x : F (x) u}, 0 < u < 1. (Jeśli F jest funkcją różnowartościową, to F 1 jest po prostu funkcją odwrotną do F.)

20 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Można wykazać, że jeśli przyjmiemy U = F 1 (X ), to dystrybuanta rozkładu liczb generowanych przez U będzie równa F. Ta metoda wydaje się bardzo prosta. Posiada jednak 2 poważne wady: wyznaczenie F 1 może być trudne lub wręcz niewykonalne (nie zawsze znamy postać analityczną F ); F 1 może być funkcją, której wartości nie potrafimy szybko wyznaczać za pomocą komputera.

21 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Oba te problemy można obejść, wyznaczając F 1 z przybliżeniem (metodami numerycznymi) lub zastępując ją funkcją o zbliżonych wartościach, łatwą do obliczenia. I tak, w przypadku rozkładu normalnego, żadna ze znanych postaci dystrybuanty nie pozwala na proste obliczenie odwrotności. Stosuje się wówczas jej przybliżenie dane wzorem: { F 1 g(u), gdy u 0.5, (u) g(1 u), gdy 0.5 < u < , gdzie g(u) = 2 ln u p( 2 ln u) q(, a p i q to pewne wielomiany 2 ln u) stopnia czwartego.

22 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Przykładowe wartości F 1 dla wybranych rozkładów: Rozkład Dystrybuanta F F 1 Cauchy ego 1 π arctg x x 0 γ x 0 γ ctg(πu) logistyczny 1 1+e (x µ)/s µ + s ln u 1 u wykładniczy (1 e λx )χ [0, ) 1 λ ln(1 u)

23 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Metoda eliminacji umożliwia uzyskanie generatora U o zadanej gęstości g, o ile posiadamy generator X o gęstości f i istnieje stała c taka, że g(x) cf (x) dla każdego x. Potrzebny jest także generator Y o rozkładzie jednostajnym w przedziale [0, 1). Szukany generator U działa następująco: 1 Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j = j Jeśli cy j f (X j ) g(x j ), to idź do 2. 4 U i = X j.

24 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Stała c powinna być jak najmniejsza, bo jej wielkość wpływa na liczbę kroków, które ten algorytm wykonuje. Wiadomo bowiem, że: prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia cy i f (X i ) g(x i ) jest równe 1 1 c ; średnia liczba kroków, jakie wykonuje ten algorytm, jest rzędu O(c). Optymalna wartość c to sup{ g(x) f (x) : f (x) 0}. W praktyce może ona być trudna do wyznaczenia, wówczas zastępujemy ją łatwiejszym do wyznaczenia ograniczeniem górnym.

25 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU W szczególnym przypadku, gdy gęstość g jest ograniczona z góry przez pewną stałą c i jest zerowa poza pewnym przedziałem [a, b], można metodą eliminacji wygenerować g dysponując wyłącznie generatorem o rozkładzie równomiernym w przedziale [0, 1). Ta wersja metody eliminacji korzysta z dwóch niezależnych generatorów X, Y o rozkładach równomiernych w przedziale [0, 1) i wygląda następująco: 1 Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j = j Jeśli cy j g(a + (b a)x j ), to idź do 2. 4 U i = a + (b a)x j.

26 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU W innym szczególnym przypadku, gdy g(x) = cf (x)q(x) oraz q 1, metoda eliminacji przyjmuje postać: 1 Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j = j Jeśli Y j q(x j ), to idź do 2. 4 U i = X j. Tę postać stosujemy wtedy, gdy funkcja q jest łatwiejsza w implementacji niż g i f.

27 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Jeśli sprawdzenie warunku cy i f (X i ) g(x i ) jest czasochłonne, to zastępuje się go parą warunków postaci Y i α(x i ) i Y i < β(x i ). Funkcje α i β dobiera się tak, by α g cf β i w efekcie warunek Y i < α(x i ) wymuszał cy i f (X i ) < g(x i ), a Y i β(x i ) wymuszał cy i f (X i ) g(x i ). Ta wersja metody eliminacji nazywana jest metodą eliminacji z warunkiem szybkiej eliminacji i szybkiej akceptacji.

28 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Metoda superpozycji umożliwia stworzenie generatora U o gęstości danej wzorem: f (x) = g(t, x)h(t)dt, gdzie h oraz każda z funkcji g(t, ) są gęstościami prawdopodobieństw pewnych rozkładów. Dysponując generatorem X o gęstości h oraz rodziną generatorów Y (t) o gęstości g(t, ), można wyznaczyć szukane U przy pomocy wzoru U = Y (X ).

29 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU W szczególnym przypadku, gdy h jest gęstością skupioną w k punktach t 1, t 2,..., t k, wzór opisujący gęstość U przyjmuje postać f (x) = k p i g(t i, x), i=1 gdzie p i jest prawdopodobieństwem punktu t i. Wówczas metodę superpozycji można zrealizować, stosując wzór U = Y (t min{j+1: j i=1 p i X < j+1 i=1 p i } ).

30 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Metoda synonimów umożliwia uzyskanie generatora U o gęstości skupionej w punktach u 1, u 2,..., u k, przy pomocy generatora X o rozkładzie równomiernym w [0, 1). Metoda synonimów działa dwuetapowo. W pierwszym etapie tworzone są dwie tablice pomocnicze q i y. W drugim uzyskujemy szukany generator z wzoru: { u U = kx +1, gdy kx kx < q[ kx ], y[ kx ] w pozostałych przypadkach.

31 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Niech p i będzie prawdopodobieństwem wylosowania punktu u i. Tablice q i y powstają w wyniku zastosowania poniższego algorytmu: 1 Niech s będzie tablicą par postaci (p i, i), i = 1, 2,... k, posortowaną względem pierwszej współrzędnej; n = k. 2 q[s[0][1] 1] = ks[0][0], y[s[0][1] 1] = u s[n 1][1]. 3 Niech a = (s[n 1][0] (1/k s[0][0]), s[n 1][1]). Usuń z s element pierwszy i ostatni. Następnie wstaw a tak, by tablica pozostała posortowana. 4 n = n 1. 5 Jeśli n > 0, to idź do 2.

32 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Przygotowanie tablic q i y można zrealizować w O(k log k) krokach. Gdy są gotowe, generator działa w stałym czasie. Tablice przygotowujemy raz, niezależnie od tego, ile razy korzystamy z generatora. Generator tego typu będzie dobrym wyborem, gdy musimy przygotować długą serię liczb losowych. W sytuacji, w której chcemy wygenerować tylko kilka liczb, bardziej efektywne będzie skorzystanie z wzoru: U = u min{j+1: j i=1 p i X < j+1 i=1 p i }.

33 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Metoda ROU (ang. ratio-of-uniforms method) umożliwia uzyskanie generatora U o zadanej gęstości g przy pomocy generatora Z = (X, Y ) o rozkładzie równomiernym w zbiorze { ( y ) } A = (x, y): 0 x g. x Szukany generator U dany jest wówczas wzorem U = Y /X.

34 o rozkładzie równomiernym Metoda odwracania dystrybuanty Metoda eliminacji Metoda superpozycji Metoda synonimów Metoda ROU Jeżeli A [0, a] [b, c], to można zastąpić generator Z dwoma niezależnymi generatorami X, Y o rozkładzie równomiernym w [0, 1). Szukany generator U działa wówczas następująco: 1 Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j := j Jeśli (ax j ) 2 g((cy j b)/(ax j )), to idź do 2. 4 U i = (cy j b)/(ax j ).

35 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Aby uzyskać generator U o rozkładzie beta z parametrami α, β, wystarczy dysponować dwoma niezależnymi generatorami: X o rozkładzie gamma z parametrami α, 1 i Y o rozkładzie gamma z parametrami β, 1. Szukany generator uzyskujemy korzystając z wzoru U = X X +Y.

36 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Generator U o rozkładzie Cauchy ego uzyskamy metodą odwracania dystrybuanty. Funkcja odwrotna do dystrybuanty rozkładu Cauchy ego dana jest wzorem: F 1 (u) = x 0 γ ctg(πu). Zatem U = x 0 γ ctg(πx ), gdzie X jest generatorem o rozkładzie równomiernym w [0, 1).

37 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Aby uzyskać generator U o rozkładzie gamma z parametrami α, β, korzysta się z kilku nietrywialnych własności: jeśli X ma rozkład gamma z parametrami α, 1, to X β ma rozkład gamma z parametrami α, β; jeżeli X i ma rozkład gamma z parametrami α i, 1, to k i=1 X i ma rozkład gamma z parametrami k i=1 α i, 1; jeśli X ma rozkład jednostajny w [0, 1), to ln X ma rozkład gamma z parametrami 1, 1. Wynika z nich, że szukane U można uzyskać z α niezależnych generatorów X i o rozkładzie równomiernym w [0, 1) oraz generatora Y o rozkładzie gamma z parametrami α α, 1.

38 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Aby uzyskać generator Y, wystarczy zastosować poniższą procedurę, korzystającą z trzech niezależnych generatorów A, B, C o rozkładzie równomiernym w [0, 1): 1 δ = α α. Jeśli i = 1, to j = 0. 2 j = j Jeżeli A j < e 5. e+δ 4 a = B 1/δ j, b = C j a δ 1. Idź do 6. 5 a = 1 ln B j, b = C j e a. 6 Jeżeli b > e δ 1 e a, to idź do 2. 7 Y i = a., to idź do 4; w przeciwnym przypadku idź do

39 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Generator U o rozkładzie logistycznym także można uzyskać metodą odwracania dystrybuanty. Funkcja odwrotna do dystrybuanty tego rozkładu ma postać: F 1 (u) = µ + s ln X 1 X u 1 u. Zatem U = µ + s ln, gdzie X jest generatorem o rozkładzie równomiernym w [0, 1).

40 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Metoda Box-Müllera umożliwia uzyskanie generatora, który generuje pary liczb o niezależnych rozkładach normalnych o średniej 0 i odchyleniu standardowym 1. W metodzie tej zakładamy, że dysponujemy dwoma niezależnymi generatorami X, Y o rozkładzie równomiernym w przedziale [0, 1). Szukane generatory U, V uzyskujemy przy pomocy wzoru: U = log X cos(2πy ), V = log X sin(2πy ).

41 Rozkład beta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma Rozkład logistyczny Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Generator U o rozkładzie wykładniczym uzyskamy metodą odwracania dystrybuanty. Funkcja odwrotna do dystrybuanty tego rozkładu ma postać: F 1 (u) = ln(1 u). λ Zatem U = ln(1 X ) λ, gdzie X jest generatorem o rozkładzie równomiernym w [0, 1).

42 1 Oblicz dystrybuantę: 1) rozkładu gamma z parametrami α = 1, β = 2; 2) rozkładu beta z parametrami α = 1, β = 2. 2 Wyznacz wartość średnią i wariancję dla idealnego generatora o rozkładzie równomiernym w zbiorze S = { m + 1, m + 2,..., m 2, m 1}, gdzie m 2. 3 Wyznacz wartość średnią i wariancję dla idealnego generatora o rozkładzie dwupunktowym takim, że Pr{X = 0} = p, Pr{X = 1} = 1 p i 1 > p > 0. 4 Wyznacz okres generatora danego wzorem X n+1 = (2X n + 1) mod 2 k, w zależności od k i ziarna X 0. 5 Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że generator losowy X ma okres, pod warunkiem, że istnieje taka liczba a, że 0 < Pr{X = a} < 1. 6 Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że generator losowy X wygeneruje liczbę x, znając prawdopodobieństwo Pr{X = x}. 7 Wyznacz odwrotność dystrybuanty rozkładu jednostajnego. 8 Wyznacz tablice q i y dla metody synonimów dla rozkładu dwupunktowego takiego, że Pr{X = 0} = p i Pr{X = 1} = 1 p. 9 Zastosuj metodę eliminacji do uzyskania generatora U o gęstości 3x 2 w przedziale [0, 1), korzystając z generatora X o rozkładzie jednostajnym.