Analiza Matematyczna. Pochodna funkcji jednej zmiennej

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna. Pochodna funkcji Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk 5 kwietnia / 14

2 Pochodna funkcji Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»Ù Ö ºÔ Û Ø º ÙºÔл Ò Ù» 2 / 14

3 Pojęcie pochodnej Niech dana będzie funkcjay = f(x), określona w otoczeniu(a,b) punktux. Definicja Liczba, taka że x + (a, b) nazywa się przyrostem zmiennej niezależnejx. 2. Liczba y = f(x+) f(x) nazywa się przyrostem funkcjif w punkciex. Lemat 2. Funkcjay = f(x) jest ciagła w punkciexwtedy i tylko wtedy, gdy przyrost funkcji w tym punkcie, y = o(1) przy 0. Definicja Iloraz y 2. Granica (o ile istnieje)f (x) = lim nazywa się ilorazem różniczkowym 0 y = lim nazywa się pochodna funkcjif w punkciex Alternatywne oznaczenia:f (x) = df dx,y (t) = ẏ(t). f(x+) 3 / 14

4 Przykłady Przykład f(x) = const= f (x) = f(x) = x = f (x) = Funkcjaf(x) = x nie ma pochodnej w punkcie0. 4 / 14

5 Sens geometryczny pochodnej funkcji w punkcie P ϕ() f(x+) f(x) ϕ 0 M ϕ() x N x+ 5 / 14

6 Komentarze do rysunku Definicja 5. Prosta, przechodzaca przez punktym ip nazywa się sieczna Kat pochylenia stycznejmp jest funkcja od, oznaczmy jego przezϕ(). Z trójkatampn widać, żetgϕ() = y. W taki sposób, przy 0 (P M) istnieje położenie graniczne stycznej wtedy i tylko wtedy, gdy istniejef (x). Definicja 6. Prostay = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) jest styczna do wykresu funkcjiy = f(x) w punkciex 0. Uwaga 7. f (x) zgadza się z tangensem kata pochylenia stycznej. Uwaga 8. Funkcjay = f(x), która ma pochodna nazywa się również gładka. 6 / 14

7 Funkcje różniczkowalne Definicja 9. Funkcja y = f(x) nazywa się różniczkowalna w punkciex, jeżeli A R, takie że y = A +o() przy 0. Twierdzenie 10. Funkcjay = f(x) jest różniczkowalna w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istniejef (x 0 ). Dowód. : lim 0 : lim 0 y = lim 0 y f (x 0 ) ( A+o(1) ) = A. = 0 = y = f (x 0 )+o(). Wniosek 11. LiczbaAwdefinicji 9 równa jestf (x 0 ). Twierdzenie 12. Funkcja różniczkowalna w punkcie jest ciagł a w tym punkcie. 7 / 14

8 Różniczkowalnie funkcji złożónej Twierdzenie 13. Niech funkcja x = ϕ(t) będzie różniczkowalna w punkciet 0, zaś funkcjay = f(x) będzie różniczkowalna w punkciex 0 = ϕ(t 0 ). Wtedy funkcja złożonaf(ϕ(t)) będzie różniczkowalna w punkciet 0, przy czym [ f ( ϕ(t0 ) )] = f ( ϕ(t 0 ) ) ϕ (t 0 ) Dowód. = φ (t 0 ) t+o( t). y = f (x 0 )+o() = f ( ϕ(t 0 ) )[ ϕ (t 0 ) t+ o( t) ] +o( t) = f ( ϕ(t 0 ) ) ϕ (t 0 ) t+o( t). 8 / 14

9 Różniczkowalnie funkcji odwrotnej Twierdzenie 14. Niech f(x) będzie funkcja rosnac a (malejac a) i ciagl a w otoczeniu punktux 0, oraz różniczkowalna w punkciex 0 if (x) 0. Wtedy w otoczeniu punktuy 0 = f(x 0 ) określona jest funkcja odwrotnax = f 1 (y), która jest rosnac a (malejac a) i ciagł a w otoczeniuy 0 oraz różniczkowalna w punkciey 0 i [ f 1 (y 0 ) ] = 1 f (x 0 ). Dowód. y = 1 y. Za moca ciagłości y 0 0. Więc lim. y 0 y = 1 lim 0 y 9 / 14

10 Sens geometryczny pochodnej funkcji odwrotnej y β α x tgα = 1 tgβ, gdyα+β = π 2 10 / 14

11 Różniczkowanie sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji Twierdzenie 15. Niech funkcjeu(x) orazv(x) będa różniczkowalne w punkciex. Wtedy suma, różnica, iloczyn i iloraz (iloraz w przypadkuv(x) 0) sa różniczkowalne w punkciex, przy czym [ ] u(x)±v(x) = u (x)±v (x), [ ] u(x) v(x) = u (x) v(x)+u(x) v (x), [ ] u(x) v(x) = u (x) v(x) u(x) v (x) v 2. (x) 11 / 14

12 Pochodne funkcji elementarnych Twierdzenie (log a x) = 1 x log ae, 2. (ln a x) = 1 x, 3. (a x ) = a x lna, 4. (e x ) = e x, 5. (x a ) = a x a 1, 6. (sinx) = cosx, 7. (cosx) = sinx, 8. (tgx) = 1 cos 2 x, 9. (ctgx) = 1 sin 2 x, 10. (arcsinx) = 1 1 x 2, 11. (arccosx) = 1 1 x 2, 12. (arctgx) = 1 1+x 2, 13. (arcctgx) = 1 1+x 2, 14. (sinhx) = coshx, 15. (coshx) = sinhx, 16. (tghx) = 1 cosh 2 x, 17. (ctghx) = 1 sinh 2 x. 12 / 14

13 Dwód twierdzenia 16 Dowód. 1 log a x 1 x log a [ (1+ x 3(a x ) 1 = = log a (x+) log a (x) = 1 x ) x ] 0 (log a y) = 1 = y 1 y log a e 1 x log ae. x log a(1+ x ) = log a e = ax lna. 5(x a ) = (e alnx ) = e alnx (alnx) = x a a 1 x = axa 1. ( ) 6 sinx = sin(x+) sinx = 2cos x+ sin 2 2 = cos ( x+ ) sin 2 2 cosx (cosx) = ( sin( π 2 x)) = cos( π 2 x) (π 2 x) = sinx. ( ) 8(tgx) = sinx cosx = (sinx) cosx sinx(cosx) = cos 2 x cos 2 x+sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x. verte 13 / 14

14 Dwód twierdzenia 16, cd Dowód. cd. 10(arcsinx) = 1 (siny) = 1 cosy = 1 cosarcsinx = 1. 1 x 2 12(arctgx) = 1 (tgy) = cos 2 y = cos 2 (arctgx) = 1 ( ) 14(sinhx) = e x e x 2 = e x +e x 2 = coshx. 1+x / 14