MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Transkrypt

1 MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Materiały pomocnicze do wykładu (Inżynieria Środowiska) PWSZ w Elblągu dr hab. inż. Cezary Orlikowski Instytut Politechniczny

2 MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW MECHANIKA (ciała nieodkształcalne / punkty materialne) WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW (ciała odkształcalne) STATYKA (analiza sił) KINEMATYKA (analiza ruchu) DYNAMIKA (analiza ruchu pod wpływem sił)

3 Wielkości fizyczne: y Przemieszczenie (droga) jest wektorem Skalary: czas t, ciśnienie p, temperatura T, B OA + AB + BC = OC = l Wektory: przemieszczenie l, prędkość v, przyspieszenie a, siła F, A C 0 x v = l & t a) = v t F) = ma)

4 Prawa dynamiki NEWTONA: 1. F) = 0 a) = 0 M G m G = k M R 5 m G = gm 2. F) = ma) 3. akcja = reakcja R g = k M kg m = 9,81 R5 s 5 r G G 4. Nm5 k = 6,67 : 10 =>> kg 5 m > m 5

5 ZASADY STATYKI: 1. ZASADA RÓWNOLEGŁOBOKU F & > + F 5 = W& y F 5 F & > + F 5 = W& W& y F & > 0 α F & > x 0 F 5 α W& x W = F > 5 + F F > F 5 cos α

6 ZASADA RÓWNOLEGŁOBOKU F M & + F N & = F) y F N & F) F M = F cos α F N = F sin α 0 F M & x

7 F) = wartość F [N], linia działania, zwrot F) F) F

8 2. RÓWNOWAGA 2 SIŁ F) A F) F) A F) F) A > A 5 F) F) A > A 5 F)

9 3. DODAWANIE ZEROWEGO UKŁADU SIŁ F F = F = F F

10 4. ZASADA OSWOBODZANIA Z WIĘZÓW WIĘZY elementy ograniczające swobodę ruchów ciała Równowaga ciała się nie zmieni jeżeli usuniemy więzy, a ich oddziaływanie zastąpimy odpowiednimi siłami - REAKCJAMI

11 WIĘZY I ICH REAKCJE PODPORA PRZEGUBOWA STAŁA WIOTKA LINA PRĘT PODPORA PRZEGUBOWA PRZESUWNA UTWIERDZENIE GŁADKIE POWIERZCHNIE

12 5. ZASADA AKCJI I REAKCJI = 3. zasada dynamiki Newtona G G G R R R = -G

13 WYPADKOWA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ ZBIEŻNYCH y F & > + F 5 + F Q = W & W& F >N y F 5 F & > F Q F 5N F Q W& 0 F 5 F & > x F QN 0 α x F QM F 5M F >M V W M = T F UM W = W M 5 + W N 5 UW> V W M = F >M +F 5M + F QM W = W M 5 + W N 5 W N = T F UN UW> tan α = W N W M W N = F >N +F 5N + F QN tan α = W N W M

14 WARUNKI RÓWNOWAGI PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ ZBIEŻNYCH W& = T F& U = 0) V T F UM = W M = 0 UW> V T F UN = W N = 0 UW> W = W M 5 + W N 5 = 0

15 TWIERDZENIE O 3. SIŁACH F 5 W > F & > F Q Linie działania 3. sił będących w równowadze przecinają się w 1. punkcie

16 TOK ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ ZE STATYKI - Narysować schemat geometryczny układu - Na schemacie nanieść siły zewnętrzne - Usunąć więzy i zastąpić je odpowiednimi reakcjami - Wyodrębnić z układu podukłady znajdujące się w równowadze - Dla każdego podukładu napisać równania równowagi

17 sin x = a c x c b a cos x = b c

18 x c b a tan x = a b

19 x c b a cot x = b a

20

21 TARCIE a = F T \]M m G G G G G T = F F T = F F T \]M F T \]M F N = G N = G N = G N = G N = G równowaga 0 T T \]M = μn

22 WYPADKOWA SIŁ RÓWNOLEGŁYCH S r > r 5 S r > r 5 F > W > F > x W 5 F 5 F 5 F > S = x r > F F 5 S = x r 5 F > F 5 F > F 5 = r 5 r > F = F > + F 5

23 MOMENT SIŁY WZGLĘDEM PUNKTU F& r) M& h O M& M = Fh = 2 : pole M& = r F) + - M& = r F) M = 2 : pole

24 MOMENT PARY SIŁ M = Fh F O h > F h F h + h > Fh > = Fh = M

25 RÓWNOWAŻNOŚĆ DWÓCH PAR SIŁ F > F > h > F 5 h 5 F 5 M > = F > h > = F 5 h 5 = M 5

26 REDUKCJA UKŁADU PAR SIŁ DO WYPADKOWEJ PARY SIŁ F > F 5 wybieramy h F Q j h > F > F Q F 5 h Q h 5 F Q = M = Fh F 5 j F > j h F > j F 5 j M > = F > h > = F > j h M 5 = F 5 h 5 = F 5 j h M Q = F Q h Q = F Q j h M = T M U = T F U h U = T F U j h F Q j M = Fh F = T F U j F U j = F U h U h

27 REDUKCJA SIŁY DO INNEGO PUNKTU F M = Fh = = F F F F h

28 REDUKCJA SIŁ DO JEDNEGO PUNKTU F> M >k F 5 O = F > M 5k M Qk O = M k O F Q F 5 F) F Q M k = T M Uk F) = T F) U

29 y h V T F UM = W M = 0 UW> F F V T F UN = W N = 0 UW> M = F h 0 x

30 WARUNKI RÓWNOWAGI DOWOLNEGO PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ ZBIEŻNYCH W& = T F& U = 0) M = T M Uk = 0 V T F UM = W M = 0 UW> V T F UN = W N = 0 UW> V T M Uk = M = 0 UW>

31 F = qa (pole prostokąta) OBCIĄŻENIE ROZŁOŻONE q N m 0 x > x 5 a/2 a q M u F = s q x dx M v q(x) (pole pod krzywą) F = 1 2 qa (pole trójkąta) 0 x > x 5 x w x 0 q x > x 5 x x w = M u xq x dx M v M u q x dx M v a/3 a

32 KRATOWNICE PŁASKIE.. KRATOWNICA RAMY p = 2w 3 MECHANIZM

33 KRATOWNICE PŁASKIE KRATOWNICA statycznie wyznaczalna KRATOWNICA statycznie niewyznaczalna (przesztywniona) MECHANIZM p = 2w 3 p > 2w 3 p < 2w 3

34 KRATOWNICE PŁASKIE R }N A R 4 }M F 5 F > D 7 E F > R ~ B 2 C F 5

35 KRATOWNICE PŁASKIE F 5 F > C 2 D 6 E 10 F 14 G R }M A 4 H 8 I 12 K 16 B R }N R ~

36 SIŁA W PRZESTRZENI F M = F cos α F N = F cos β z F = F cos γ F F MN = F M 5 + F N 5 γ F α β y F) = F) M + F) N + F) F M F MN F = F M 5 + F N 5 + F 5 x

37 WYPADKOWA W& PEWNELICZBY SIŁ F) U ZBIEŻNYCH W PRZESTRZENI W M = T F UM W& = W& M + W& N + W& W N = T F UN W = W M 5 + W N 5 + W 5 W = T F U

38 WARUNKI RÓWNOWAGI PRZESTRZENNEGO UKŁADU SIŁ ZBIEŻNYCH W M = T F UM = 0 W N = T F UN = 0 W = T F U = 0

39 MOMENT SIŁY F WZGLĘDEM OSI z z π z F j rzut F na π F M& M = 2 : pole

40 WARUNKI RÓWNOWAGI DOWOLNEGO PRZESTRZENNEGO UKŁADU SIŁ T F UM = 0 T M UM = 0 T F UN = 0 T M UN = 0 T F U = 0 T M U = 0 momenty sił względem osi

41 ŚRODKI CIĘŻKOŚCI x y y w C C x w G 0 G x y 0 x w y w

42 ŚRODKI CIĘŻKOŚCI x y G Q x Q y w y Q C G Q C G 5 x 5 x w y > G > G x > y 5 G G 5 0 x > x 5 x x Q x w y y Q G > y > y 5 0 y w G = G > + G 5 + G Q G > x > + G 5 x 5 + G Q x Q = G x w x w = G >x > + G 5 x 5 + G Q x Q G > + G 5 + G Q wyznaczanie wypadkowej sił równoległych G = G > + G 5 + G Q G > y > + G 5 y 5 + G Q y Q = G y w y w = G >y > + G 5 y 5 + G Q y Q G > + G 5 + G Q

43 ŚRODKI CIĘŻKOŚCI x w = G >x > + G 5 x 5 + G Q x Q G > + G 5 + G Q y w = G >y > + G 5 y 5 + G Q y Q G > + G 5 + G Q z w = G >z > + G 5 z 5 + G Q z Q G > + G 5 + G Q x w = G Ux U G y w = G Uy U G z w = G Uz U G x w = x dg G y w = y dg G z w = z dg G 3 elementy i elementów nieskończenie wiele nieskończenie małych elementów

44 ŚRODKI CIĘŻKOŚCI G U = γv U V U x w = V Ux U V y w = V Uy U V z w = V Uz U V x w = x dv V y w = y dv V z w = z dv V

45 ŚRODKI CIĘŻKOŚCI A U δ G U = γ δa U x w = A Ux U A y w = A Uy U A z w = A Uz U A x w = x da } A y w = y da } A z w = z da } A

46 ŚRODKI CIĘŻKOŚCI l U a G U = γ al U x w = l Ux U l y w = l Uy U l z w = l Uz U l x w = x dl l y w = y dl l z w = z dl l

47 MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW MECHANIKA (ciała nieodkształcalne / punkty materialne) WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW (ciała odkształcalne) STATYKA (analiza sił) KINEMATYKA (analiza ruchu) DYNAMIKA (analiza ruchu pod wpływem sił)

48 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WIADOMOŚCI WSTĘPNE

49 ODKSZTAŁCENIA: - Sprężyste - Plastyczne ELEMENTY KONSTRUKCYJNE: (w schemacie obliczeniowym) pręty SCHEMAT OBLICZENIOWY idealizacja (uproszczenie) rzeczywistego problemu płyty bryły

50 ZASADA ZESZTYWNIENIA schemat obliczeniowy P SCHEMAT OBLICZENIOWY idealizacja (uproszczenie) rzeczywistego problemu P układ rzeczywisty

51 PRAWO HOOKE a ZASADA SUPERPOZYCJI f = f 1 + f 2 obciążenie P 1 f P 2 P 2 f 2 odkształcenie P 1 f 1

52 ZASADA DE SAINT-VENANTA P SCHEMAT OBLICZENIOWY 1,5 d idealizacja (uproszczenie) rzeczywistego problemu s = P/F

53 Układy są statycznie równoważne R 1 =P R 2 =P R 3 =P (R 1 =R 2 =R 3 ) s 2 = P/A A 1 s 1 = P/A s 4 = P/A 1 P ale o wytrzymałości P decydują siły wewnętrzne i naprężenia s 1 = s 2 s 3 s 4 A s 3 = 0 A P A 1 > A

54 RODZAJE OBCIĄŻEŃ obciążenie statyczne udarowe zmienne obciążenie obciążenie t t t

55 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW = mechanika ciał odkształcalnych Analiza odkształceń Wyznaczanie sił wewnętrznych (naprężeń) A P Dl P R P Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych R N R 1 P R 2 P siła czynna R siła bierna (reakcja) siły zewnętrzne P R 2 N siła wewnętrzna Dl s = N/A (naprężenie)

56 Analiza odkształceń Dl P

57 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW = mechanika ciał odkształcalnych Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych R 1 P R 2 P R 2 Dl

58 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW = mechanika ciał odkształcalnych Wyznaczanie sił wewnętrznych (naprężeń) A P P siła czynna R siła bierna (reakcja) siły zewnętrzne R P N siła wewnętrzna s = N/A (naprężenie) R N

59 KRYTERIA OCENY KONSTRUKCJI - wytrzymałość (naprężenia) - sztywność (odkształcenia) - stateczność - koszty wytrzymałość (naprężenia) stateczność koszty sztywność (odkształcenia)

60 PROSTE PRZYPADKI OBCIĄŻENIA ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) SKRĘCANIE ŚCINANIE ZGINANIE ZGINANIE

61 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE

62 Prawo Hooke a Dl = š} R sp R e R m σ = } [Pa] R u e = s š R H α tan α = E [Pa] ε = Δl l e = D l s = } R e

63 Prawo Hooke a Dl = š} R sp R e R m σ = } [Pa] R u e = s š R H ε = Δl l e = D l s = } R e rejon sprężysty rejon płynięcia rejon umocnienia rejon przewężenia

64 σ = } [Pa] Dl = š} R m e = s š α ε = Δl l e = D l s = } R c tan α = E [Pa]

65 Współczynnik bezpieczeństwa n: s s dop = s nieb / n n 1 s nieb = R e, R m, R c

66 Guma: E = 0,01 0,1 Stal: E = Aluminium : E = 70 [GPa] Stal konstrukcyjna St3: R m = , R e =220 Stal sprężynowa 45 S: R m =1200, R e =1000 Żeliwo Zl 150: R m =150 Aluminium: R m =1000 [MPa]

67 P P P P? σ = P A σ œk σ = P A σ œk

68 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych l l/3 P E, A równanie statyki P = R 1 + R 2?=R 1 P R 2 =? równanie odkształceń P R 2 Dl Dl = ž 5 = Ÿ( ) š} š}

69 Obliczanie naprężeń termicznych l DT E, A, l Dl = ž š} = l l T = Dl R R=? prawo Hooke a odkształcenie termiczne R Dl

70 Wyznaczyć: A, f a a a a a l, E l, E l y S 1 S 2 x P P f Dl Δl f sin α S > cos α + S 5 cos α = 0 S > sin α + S 5 sin α P = 0 σ = P/2 A σ œk = σ VU n = R n Δl = P 2 sin α l EA S > =S 5 = Ÿ 5 A P n 2R f = Δl sin α = P 2 sin α l EA sin α

71 R=P P P -P N -P/2A s l E, 2A 2P 2P N=P 2P - - l l l E, A N=P + + P P 2l x P 2l x P/A

72 Zbiornik kulisty s p d s s s s œ u p = π d δ σ σ = œ

73 l d p = 2 l δ σ 1 σ > = œ u p = π d δ σ 5 σ 5 = œ 5 œ s 1 s 2 s 2 s 1 Rura p s 1 s 1 s 2 s 1 l s 2 d p d s 2 p

74

75 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW ANALIZA STANU NAPRĘŻEŃ

76 Dane s 2 t Wyznaczanie naprężeń w dowolnym przekroju s 1 s 1 t a s 2 s 2 2a s a s 1 s Wyniki: τ, σ s 2 n a s a t a s 1 a σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α s 2 τ = σ > σ 5 2 sin2α

77 t s 2 t a -t a s a+90 a s a s 2 2a s a s 1 s s 1 t a t a s 1 -t a s a+180 s a-90 s 2 σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α τ = σ > σ 5 2 sin2α

78 Sprawdzić naprężenia w połączeniu σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α s 1 a s 1 = 50 : 10 ± Pa t τ = σ > σ 5 2 sin2α t a Klej loctite stal: σ dop = 15 : 10 ± N/m 5 τ dop = 25 : 10 ± N/m 5 a =67,5 o s 2 =0 s a 2a s 1 s σ α = 7,3 : 10 ± N/m 5 τ α = 17,7 : 10 ± N/m 5

79 d D P P s 2 n b s 1 a a s 1 =0 b b s 2 a = 90 o - b

80 σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α τ = σ > σ 5 2 sin2α t s 2 n t a s 1 t a a s 1 =0 2a s 2 s a s 1 =0 s a s 2

81 P = - 3 : 10 ² N d = 0,006 m A = π d δ = 0,00565 m 2 σ 5 = 53,1 : 10 ± Pa t t a d= 0,3 m a = 65 o s 2 s a 2a s 1 =0 s σ œk = 50 MPa τ œk = 30 MPa σ α = 48,12 : 10 ± Pa σ œk τ α = 20,34 : 10 ± Pa σ œk σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α τ = σ > σ 5 2 sin2α

82 Wewnątrz rury (takiej jak w poprzednim zadaniu) panuje ciśnienie p. Obliczyć naprężenia w spoinie. p s 2 n s 1 t a a s 1 s a s 2

83 σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α s 2 n τ = σ > σ 5 2 sin2α s a s 1 t a a s 1 t t a s 2 0 2a s s 2 s a s 1

84 p= 3 : 10 ± Pa A = π d δ = 0,00565 m 2 d = 0,006 m d= 0,3 m a = 65 o σ œk = 50 MPa τ œk = 30 MPa σ > = 75 : 10 ± Pa σ 5 = 37,5 : 10 ± Pa σ > = σ 5 = œ 5 œ σ α = 44,2 : 10 ± Pa σ œk τ α = 14,2 : 10 ± Pa σ œk σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α τ = σ > σ 5 2 sin2α

85 Dane t s y t Wyznaczanie naprężeń głównych t s x s x t t s y t s 2 s y -t 2a s x s 1 s Wyniki s 2 s 1 a s 1 tan 2α = 2τ σ M σ N s 2 σ >,5 = ³ µ³ 5 ± ³ =³ τ 5

86 a = 45 o Is 1 I= Is 2 I t t a s 2 s 1 a = 45 o t a s 1 s 2 2a s a =0 s 1 s s 2 σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α s a =0 It a I= Is 1 I= Is 2 I τ = σ > σ 5 2 sin2α

87 a = 45 o Is 1 I= Is 2 I t t a s 2 s 1 t t a t s 1 s 2 2a s a =0 s 1 s t t 2(a+90 o ) s 2 σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α ItI= Is 1 I= Is 2 I τ = σ > σ 5 2 sin2α

88 t y y It x I= It y I=t t t x t x x s x = s y =0 t x 2a s t y s 2 s x = s y =0 s 1 y s 2 s 1 45 o x s 1 = -s 2 = t x t y tan 2α = 2τ σ M σ N s 2 s 1 a = 45 o σ >,5 = ³ µ³ 5 ± ³ =³ τ 5

89 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW ANALIZA STANU ODKSZTAŁCEŃ

90 P P τ ε M = σ M E ε N = ν σ M E γ 0 ν 0,5 ε M = σ M E ν σ N E ν σ E γ = τ G ε N = σ N E ν σ M E ν σ E ε = σ E ν σ M E ν σ N E G = E 2(1 + ν)

91 P P ε M = σ M E ε N = ν σ M E 0 ν 0,5 Liczba Poissona ν Guma 0,5 Aluminium 0,33 Miedź 0,33 Stal 0,3 Żeliwo 0,24 Korek 0

92 σ M = Ÿ º» u ¼ = 159 MPa ε M = ³ š = 0,0008 P d l P ε N = ε = ν ³ š = - 0, P = 0,5 : 10 ² N d= 0,02 m Dl = l ε M = 0,0016 m = 1,6 mm Dd = d ε = - 0, m = - 0,0045 mm = - 4,5 μm ε M = σ M E ν σ N E ν σ E ε N = σ N E ν σ M E ν σ E ε = σ E ν σ M E ν σ N E l= 2 m E = 200 : 10 ¹ Pa ν = 0,3 σ œk = 170 MPa Dl =? Dd =?

93 s d s s s s p d σ = œ d=2 m d=0,01 m p=2: 10 ± Pa E=200: 10 ¹ Pa n=0,3 d=? δ=? ε M = σ M E ν σ N E ν σ E ε N = σ N E ν σ M E ν σ E ε = σ E ν σ M E ν σ N E

94 s s s s s p d d σ = œ σ = 0 d=2 m d=0,01 m p=2: 10 ± Pa E=200: 10 ¹ Pa n=0,3 d=? δ=? s x z s y =s s y s x =s ε M = σ M ε N = σ E ν σ N N E ν σ E M E ε = ν σ M E ν σ N E

95 s s s s s p d d σ = œ ε M = ε N = ε d=2 m d=0,01 m p=2: 10 ± Pa E=200: 10 ¹ Pa n=0,3 d= ε d=0,07 mm δ=ε δ = 0,3 μm s x s y =s s y s x =s ε M = σ M ε N = σ E ν σ N N E ν σ E M E ε = ν σ M E ν σ N E

96 s α = 45 o τ α = σ σ α = 0 t 45 o s t t s -s 2a s s t t s τ = σ τ = σ

97 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW SKRĘCANIE

98 PROSTE PRZYPADKI OBCIĄŻENIA ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) SKRĘCANIE ŚCINANIE ZGINANIE ZGINANIE

99 τ max R τ max τ τ max = M J R = M W ρ τ = M J r J = s ρ 5 df Á W = J R J = πr 2 = πd 32 W = πrq 2 = πdq 16 φ = M l G J

100 R τ max τ τ max = M J R = M W r τ = M J r J = s ρ 5 df Á W = J R J = π(d d 4 ) 32 W = π(d d 4 ) 16D φ = M l G J

101 l γ = τ max G M s γ τ max R φ M s τ max = M J R φr l = γ φ = M l G J

102 τ > \]M τ max = M α h b 5 τ > \]M = c τ max τ max h h/b 1 1, b a 0,208 0,231 0,246 0,267 0,299 0,333 b 0,141 0,196 0,229 0,263 0,298 0,333 φ = M l G β h b Q c 1,000 0,858 0,796 0,753 0,743 0,743

103 2l l M s G, J M φ M τ max = M J R M A M M B M=M A +M B M φ B φ B = Ä 5 Å = Ä ~ Q Å φ B M B

104 2l M=M A +M B M A G, J M φ M M B l Ä 5 Å = Ä ~ Q Å M s M A = > Q M > Q M M B = 5 Q M 0 + 2l - 3l x - 5 Q M

105 M A 2l l > M A = M Q G, J M φ M M B M B = 5 M Q φ B = M 2l G J M φ B φ B 0 2l 3l φ φ M φ B x φ M = φ B 1 3 φ B φ M = 4 M l 3 G J φ B M B

106 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

107 y C da y a z C z Moment bezwładności J = s y 2 da } J = J Æ + A a 2 y C da y a z C z Moment statyczny S = s y da = a A } y y C J N = s yz da Á C z C Biegunowy moment bezwładności r da J N = J NÆ Æ + A ab b a z J = s ρ 2 da } Moment odśrodkowy

108 b dy = da y J = s y 2 da } h C y dy z y y b R z r R z Ç 5 J = 2 s by 5 dy J = bhq 12 J = πr 4 = πd 64 J N = J J = π R r 4 = π D d 64

109 J = s y 2 da } y y = y w + a da y c J = s y w + a 2 da } C y a z C z J = y w 5 da } + 2a y w da + a 5 da } } J Æ S Æ = 0 A a 2 J = J Æ + A a 2 Twierdzenie Steinera

110 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW ZGINANIE

111 PROSTE PRZYPADKI OBCIĄŻENIA ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) SKRĘCANIE ŚCINANIE ZGINANIE ZGINANIE

112 y y Zginanie czyste M g z Zginanie z udziałem sił poprzecznych M g z T x x M x x P M M g =M M g =Px P T=P

113 y y σ \]M z σ \]M y \]M M g x x σ \]M σ \]M s da σ y y = M Ê } σ max = ³ ÈÉ = ³(N) N ÈÉ N M Ê J y \]M = M Ê W σ(y) = M Ê J y J = s y 5 da } W = J y \]M

114 E, J l-x M x 0 l M g =M M M g M σ max = M Ê J y \]M = M Ê W 0 + l x T x

115 E, J l-x l x 0 P P l x = M g M g T = -P P σ max = M Ê J y \]M = M Ê W 0 + l x 0 T -P - l x

116 q l-x x T = dm Ê dx 0 E, J l -0,5q(l-x) 2 =M g T= q(l-x) q(l-x) M T = s q dx M g 0 - l x q = dt dx T 0 + l x σ max = M Ê J y \]M = M Ê W

117 y A N N ÈÉ y t = 0 t(y) C y c y max y t max t max t h y z b τ(y) = T S N ÈÉ N b N J S N N ÈÉ = A N N ÈÉ y w

118 t max t max τ \]M = 3 T 2 A τ \]M = 4 T 3 A

119 h y z x σ \]M = M h 2 J l l = σ \]M E l ρ α l/2 h/2 1 ρ = yjj α ρ = l/2 α l h = α 1 ρ = y jj 1 + y j 5 Q/5 EJ y jj (x) = M(x)

120 0 E, J l-x l M x y jj = Ä šå Ì y j = Ä x + c šå > Ì M g =M M y = Ä šå Ì M u 5 + c >x + c 5 y M Ê (x)=m=const. x = 0: y = 0, y j =0 c > = c 5 = 0 0 φ l x x y = Ä M u šå Ì 5 x = Ä šå Ì u 5 φ = Ä šå Ì l y j = φ= Ä šå Ì x

121 E, J l-x l x y jj = > šå Ì Pl Px 0 P y j = > šå Ì Plx P Mu 5 + c > P l x = M g P y = > šå Ì Pl Mu 5 P M ± + c >x + c 5 T = -P x = 0: y = 0, y j =0 y c > = c 5 = 0 0 φ l x x y = > šå Ì Pl Mu 5 P M ± x = Ÿ šå Ì Q φ = Ÿ šå Ì u 5 y j = φ = > šå Ì Plx P Mu 5

122 q l-x x y jj = => šå Ì 0,5q(l x)2 0 E, J l y j = =,²Î šå Ì l 5 x lx 5 + M Q + c > -0,5q(l-x) 2 =M g q(l-x) T= q(l-x) y = =,²Î šå Ì l 5 Mu 5 l M Q + M¼ >5 + xc > + c 5 x = 0: y = 0, y j =0 y 0 l x y = =,²Î šå Ì c > = c 5 = 0 l 5 Mu 5 l M Q + M¼ >5 y j = =,²Î l 5 x lx 5 + M šå Ì Q

123 T = dm Ê dx q = dt dx œ EJ u N(M) = M x = M œm u M EJ d 5 y(x) dx 5 EJ d y(x) dx = d5 M Ï dx 5 = d M Ï dx EJ y = M Ï + Cx + D + C Zakładamy: M M = q Ï C = D = 0 q Ï = dt Ï dx = d5 M Ï dx 5 y = M Ï EJ EJ d 5 y(x) dx 5 = M M = q Ï = dt Ï dx = d5 M Ï dx 5 φ = T Ï EJ

124 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

125 s 2 t s 1 s 3 s 3 s 2 s 1 s s max = s 1 > s 2 > s 3 = s min τ \]M = ³ v=³ 5 = ³ ÐÑÒ =³ ÈÓÔ 5 s max = s 1

126 s 2 σ > = σ 5 = σ Q = σ >5Q s 2 s 1 s 1 s 3 s 3 1) τ \]M = 0 t 2) odkształcenie objętościowe t σ >5Q s σ >5Q s

127 s 2 t s 1 s 3 s 3 s 2 s 1 s s max = s 1 > s 2 > s 3 = s min τ \]M = ³ v=³ 5 = ³ ÐÑÒ =³ ÈÓÔ 5 s max = s 1

128 σ = σ > cos 2 α + σ 5 sin 2 α s 1 45 o t max s 1 τ = σ > σ 5 2 sin2α 1D: τ \]M = σ > 2 t a = t max t 3D: τ \]M = ³ ÐÑÒ =³ ÈÓÔ 5 s 2 =0 2a s 1 s Ö σ Õ œ = σ ØÙ σ \UV

129 3D: 1D: L k Û = V 6E 1 + ν σ > σ σ 5 σ Q 5 + σ > σ Q 5 L k Û = ±š 1 + ν 2σ > 5 Ü σ Õ œ = 1 2 σ > σ σ 5 σ 5 Q + σ > σ 5 Q

130 Ö σ Õ œ = σ > σ Q Ü σ Õ œ = 1 2 σ > σ σ 5 σ 5 Q + σ > σ 5 Q s max = s 1 > s 2 > s 3 = s min 0 E, A, W l M P σ Õ = P A σ > = σ Õ + σ Ê σ Ê = M W σ 5 = σ Q = 0 Ö σ Õ œ = σ ØÙ 0 = σ Õ + σ Ê σ > Ö σ Õ œ =σ Õ + σ Ê σ > Ü σ Õ œ = 1 2 σ > σ > 0 5 Ü σ Õ œ = σ Õ + σ Ê σ Õ + σ Ê = σ >

131 a b l, d P Ö a: σ Õ œ = σ \]M Ü σ Õ œ = σ \]M P = 5000 σ \]M = Pl πd Q 32 = 815 : 10 ± l = 2 d = 0,05 τ \]M = 4P 3 πd5 4 = 3,4 : 10 ± τ max σ max pomijalne σ max Ö b: σ Õ œ = 2τ \]M τ max Ü σ Õ œ = 2 τ \]M τ max

132 p σ k = œ σ Q = 0 < σ 5 = σ k < σ > = 2σ k δ s o σ k 2s 0 2s o 2σ k Ö σ Õ œ = σ > σ Q s o Ö σ Õ œ = 2σ k d Ü σ Õ œ = 1 2 σ > σ σ 5 σ 5 Q + σ > σ 5 Q Ü σ Õ œ = 3 σ k

133 M s τ σ k σ >,5 = 5³ æµ³ æ 5 σ Q = 0 ± 5³ æ =³ æ τ 5 τ 2σ k Ö σ Õ œ = σ ØÙ σ \UV = σ > d, δ, p, M s d śõ = d A śõ = πd śõ 5 4 σ k = τ = œ Ä ã 5 } śå Ü σ Õ œ = 1 2 σ > σ σ σ > 0 5

134 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW STATRCZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH (WYBOCZENIE)

135 KRYTERIA OCENY KONSTRUKCJI - wytrzymałość (naprężenia) - sztywność (odkształcenia) - stateczność - koszty wytrzymałość (naprężenia) stateczność koszty sztywność (odkształcenia)

136 P P P P? σ = P A σ œk σ = P A σ œk

137 x P EJy jj = Py y jj + P EJ y = 0 y jj + k 5 y = 0 k 5 = P EJ P çõnû = EJ π5 l 5 y y = A sin kx + B cos kx P çõnû = P \UV (n = 1) y j = Ak cos kx Bk sin kx x = 0 x = l y = 0 y = 0 B = 0 A sin kl = 0 sin kl = 0 A 0 kl = nπ k = nπ l

138 P P P çõnû = EJ π5 l 5 l 2l P çõnû = EJ π5 4l 5

139 P P P P P P l è = 1l l è = 2l l è = 2l l è = 0, 5l l è = 1l l è = 0, 7l P çõnû = EJ π5 l 5 P çõnû = EJ π5 4l 5 P çõnû = EJ π5 4l 5 π 5 P çõnû = EJ 0,25l 5 P çõnû = EJ π5 l 5 π 5 P çõnû = EJ 0, 5l 5 P çõnû = EJ π5 l è 5 J = J \UV l è = αl

140 P çõnû = EJ \UV π 5 l è 5 σ çõnû J \UV = r 5 A r = J \UV A σ Ö=Å çõnû = R R R Ü π R Ü E λ λ = l è r R Ü σ çõnû = P çõnû A σ çõnû = Eπ5 λ 5 σ çõnû = Eπ5 λ 5 0 λ ÊÕ λ σ çõnû = R Ü λ = λ ÊÕ λ < λ ÊÕ λ > λ ÊÕ λ ÊÕ = π E R Ü Ö=Å P çõnû = Aσ çõnû P çõnû = EJ \UV π 5 l è 5 σ Ö=Å çõnû = R R R Ü π R Ü E λ

141 P P P P < A σ œk P i P < A σ œk P < P çõnû

142 y P h = 0,06 m z J = Ç >5 = 5,4 : 10=ñ m l = 1 m b = 0,03 m J N = J \UV = Ç >5 = 1,35 : 10=ñ m α = 2 l è = 2 m l = 1 m R Ü = 200 MPa R = 215 MPa R w = 195 MPa E = MPa A = hb = 1,8 : 10 =Q m 5 r = J \UV A = 8,66 : 10=Q λ ÊÕ = π E R Ü = 100,6 λ = l è r = 231 > λ ÊÕ = 100,6 P çõnû = EJ π5 l è 5 = 68,3 kn < AR w = 351 kn P çõnû =?

143 y P h = 0,06 m z J = Ç >5 = 5,4 : 10=ñ m l = 1 m b = 0,03 m J N = J \UV = Ç >5 = 1,35 : 10=ñ m α = 1 l è = 1 m l = 1 m R Ü = 200 MPa R = 215 MPa R w = 195 MPa E = MPa A = hb = 1,8 : 10 =Q m 5 r = J \UV A = 8,66 : 10=Q λ ÊÕ = π E R Ü = 100,6 λ = l è r = 115,5 > λ ÊÕ = 100,6 P çõnû = EJ π5 l è 5 = 273 kn < AR w = 351 kn P çõnû =?

144 y P h = 0,06 m b = 0,03 m z J = Ç >5 = 5,4 : 10=ñ m J N = J \UV = Ç >5 = 1,35 : 10=ñ m l = 1 m α = 0,5 l è = 0,5 m l = 1 m A = hb = 1,8 : 10 =Q m 5 R Ü = 200 MPa R = 215 MPa r = J \UV A = 8,66 : 10=Q λ = l è r = 57,8 < λ ÊÕ = 100,6 R w = 195 MPa E = MPa λ ÊÕ = π E R Ü = 100,6 σ Ö=Å çõnû = R R R Ü π R Ü E λ = 206,4 MPa P çõnû =? P Ö=Å çõnû = Aσ Ö=Å çõnû = 371,5 kn > AR w = 351 kn

145 OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE

146 Powodem, dla którego wykonuje się obliczenia wytrzymałościowe, jest konieczność uzyskania odpowiedzi na następujące pytania: Jaki jest stopień pewności, że konstrukcja o określonej strukturze i wymiarach, zbudowana z materiałów o znanych własnościach mechanicznych, poddana określonym obciążeniom nie ulegnie zniszczeniu? Pytanie jest takie samo jak poprzednie, z tą różnicą, że nie są znane wymiary elementów. Tego typu obliczenia wykonywane są w trakcie projektowania konstrukcji, gdzie dobiera się wymiary konstrukcji tak, aby spełnić wymagane warunki wytrzymałościowe. Obok obliczeń wytrzymałościowych wykonuje się obliczenia sztywnościowe, oraz badanie stateczności

147 Aby konstrukcja nie uległa zniszczeniu, w najbardziej zagrożonym punkcie jej materiału musi być spełniony warunek s < s nieb.

148 Współczynniki bezpieczeństwa Obliczenia wytrzymałościowe (podobnie zresztą jak i obliczenia sztywnościowe i statecznościowe) muszą być wykonywane z pewnym zapasem bezpieczeństwa, ponieważ prawie wszystkie wartości danych wejściowych do obliczeń są obarczone błędami, inaczej mówiąc, wartości te nigdy nie są całkowicie pewne.

149 Brakiem pełnej pewności (czyli mające charakter losowy) są obarczone poniższe wielkości. Dane o obciążeniach konstrukcji Dane o mechanicznych własnościach materiałów zastosowanych w konstrukcji Dane o wymiarach konstrukcji Dane o zużyciu elementów konstrukcji

150 W celu zapewnienia odpowiedniego stopnia bezpieczeństwa konstrukcji stosuje się tzw. współczynniki bezpieczeństwa n w odniesieniu do mierników wytężenia materiału. Wprowadza się tzw. dopuszczalne wartości naprężeńw następujący sposób:

151

152 σ R m ε R c

153

154 n 1 n = n 1 n 2 n 3 n 4. n 2 n 3 n 4

155 n 1 n = n 1 n 2 n 3 n 4. n 2 1,10 = 1,1 x 1,0 x 1,0 x 1,0 1,33 = 1,1 x 1,1 x 1,05 x 1,05 2,40 = 1,4 x 1,2 x 1,3 x 1,1 n 3 6,12 = 2,0 x 1,5 x 1,7 x 1,2 n 4