Temat: Geometria obliczeniowa cz II. Para najmniej odległych punktów. Sprawdzenie, czy istnieje para przecinajcych si odcinków.

Transkrypt

1 Temat: Geometria obliczeniowa cz II. Para najmniej odległych punktów. Sprawdzenie, czy istnieje para przecinajcych si odcinków. 1. Para najmniej odległych punktów WP: Dany jest n - elementowy zbiór punktów na płaszczynie. Oznaczmy ten zbiór przez P = { p1, p2,..., p n }. Punkty mog si pokrywa. WK: Znale takie i oraz j, e i j, a odległo midzy punktami p i i p j jest najmniejsza. Algorytm naiwny Obliczamy odległo ( wystarczy policzy kwadrat odległoci) dla wszystkich par punktów ze zbioru P. Wybieramy najmniejsz odległo i ustalamy dla jakiej pary punktów zachodzi ten wynik. Koszt czasowy algorytmu naiwnego Liczba par punktów do sprawdzenia wynosi 2 algorytmu jest Θ ( n ) n. Std koszt 2 1

2 Algorytm oparty na zasadzie "dziel i zwyciaj" 1. Punkty zbioru P umieszczamy w dwóch tablicach X i Y. 2. Sortujemy tablic X wzgldem niemalejcej wartoci współrzdnej x. 3. Sortujemy tablic Y wzgldem niemalejcej wartoci współrzdnej y. 4. Znajdujemy pionow prost l, dzielc podzbiór P na dwa podzbiory P L i P R takie, e : P P P L = 2 i P R = 2 i wszystkie punkty podzbioru PL le na lewo od prostej l, a wszystkie punkty P R le po prawej stronie prostej l. Punkty, które le na prostej zaliczamy zarówno do PL jak i do P R. Tablica X zostaje podzielona na dwie tablice X L i X R, zawierajce odpowiednio punkty P L i P R, posortowane niemalejco wzgldem współrzdnej x. Analogicznie, tablica Y zostaje podzielona na dwie tablice Y L i Y R, zawierajce odpowiednio punkty P L i P R, posortowane niemalejco wzgldem współrzdnej y. 2

3 5. Sprawdzamy, czy P L 3. Jeeli tak, to stosujemy metod naiwn, czyli sprawdzamy wszystkie pary punktów w podzbiorze P L. S co najwyej trzy takie pary. Jeeli natomiast PL > 3to realizujemy rekurencyjne wywołanie dla danych P L, X L i Y L 6. Sprawdzamy, czy P R 3. Jeeli tak, to stosujemy metod naiwn, czyli sprawdzamy wszystkie pary punktów w podzbiorze P R. S co najwyej trzy takie pary. Jeeli natomiast PR > 3 to realizujemy rekurencyjne wywołanie dla danych P R, X R i Y R 7. Oznaczmy odległoci par najbliszych siebie punktów obliczone dla P L i P R odpowiednio przez δ L i δ R i niech δ = min( δ L, δ R ). 8. Para najmniej odległych punktów jest albo par o odległoci δ znalezion przez jedno z wywoła rekurencyjnych, albo par, w której jeden punkt naley do P L, a drugi do P R. Algorytm sprawdza, czy istnieje taka para o odległoci mniejszej ni δ. Jeeli taka para istnieje to ona włanie jest wynikiem algorytmu, jeeli natomiast taka para nie istnieje, to wynikiem jest para o odległoci δ. 3

4 II I II 7 9 X = {8, 1, 2, 6, 4, 7, 5, 10, 3, 9, 11} Y = {8, 9, 7, 5, 2, 6, 3, 11, 4, 10, 1} X L = {8, 1, 2, 6, 4} X R = {7, 5, 10, 3, 9, 11} Y L = {8, 2, 6, 4, 1} Y R = {9, 7, 5, 3, 11, 10} X LL = {8, 1, 2} X LR ={6, 4} X RL = {7, 5, 10} X RR = {3, 9, 11} Y LL = {8, 2, 1} Y LR = {6, 4} Y RL = {7, 5, 10} Y RR = {9, 3, 11}

5 Algorytm sprawdzania, czy istnieje taka para punktów e jeden z punktów pary naley do P L, a drugi do P R i odległo midzy tymi punktami jest mniejsza od δ = min( δ L, δ R ) Zauwamy, e jeli istnieje para punktów o odległoci mniejszej ni δ, to obydwa punkty nie mog by połoone dalej ni δ od prostej l. Zatem obydwa punkty musz si mieci wewntrz pionowego pasa szerokoci 2 δ wokół prostej l. P L P R 2σ σ l 5

6 W celu znalezienia takiej pary punktów, o ile istniej, które s od siebie najmniej odległe i mieszcz si w pasku o szerokoci 2σ, algorytm wykonuje nastpujce operacje: 1. Tworzy tablic Y ', otrzyman z tablicy Y przez usunicie z niej wszystkich punktów spoza pionowego paska o ' szerokoci 2σ. Tablica Y jest posortowana wzgldem współrzdnej y. 2. (*)Dla kadego punktu p z tablicy Y ' algorytm próbuje znale punkty w Y ' lece w promieniu σ od p. Tylko takie punkty mog by odległe od p o mniej ni o σ. Okazuje si, e wystarczy rozway siedem takich punktów z tablicy Y ' nastpujcych po p. Algorytm oblicza odległo od p do kadego z tych siedmiu punktów i przechowuje najmniejsz znalezion odległo σ ' midzy parami punktów w Y '. 3. Jeli σ ' < σ, to pionowy pas zawiera par punktów połoonych bliej ni te znalezione w wywołaniu rekurencyjnym. Jako wynik jest zwracana owa para i jej odległo σ '. W przeciwnym razie jest zwracana para najmniej odległych punktów znaleziona w wywołaniu rekurencyjnym i jej odległo σ. 6

7 Uzasadnienie faktu, e kroku w (*) wystarczy sprawdzi tylko siedem punktów P L P R 2σ PL P R σ p R σ σ p L σ l l a) b) Jeli pl PL i pr PR s od siebie odległe o mniej ni σ, to musz si mieci wewntrz prostokta σ 2σ, przez którego rodek przechodzi prosta l (rys. a)). Poniewa wszystkie punkty zbioru PL s od siebie odległe co najmniej o σ, wewntrz kwadratu σ σ ( "lewa" połówka prostokta σ 2σ ) mog si znajdowa co najwyej cztery punkty (rys. b)). Analogicznie, poniewa wszystkie punkty zbioru P R s od siebie odległe co najmniej o σ, wewntrz kwadratu σ σ ( "prawa" połówka prostokta σ 2σ) mog si znajdowa równie co najwyej cztery punkty. W całym prostokcie σ 2σ moe si wic znajdowa co najwyej osiem punktów. Skoro para najmniej odległych punktów to 7

8 p L i p R, to moemy bez straty ogólnoci przyj, e p L poprzedza p R w tablicy Y '. Wówczas, nawet jeli pl wystpuje najwczeniej, a p R najpóniej jak tylko mona w tablicy Y ', punkt p R jest na jednej z siedmiu pozycji nastpujcych po p L. Koszt czasowy algorytmu znajdywania najmniej odległej pary punktów Koszt sortowania wstpnego (przed pierwszym wywołaniem rekurencyjnym) tablic X i Y wynosi Θ(nlogn). Dziki temu, e tablica X jest posortowana, krok polegajcy na rozdzieleniu zbioru punktów P na podzbiory P L i P R mona łatwo zrealizowa w czasie liniowym. Dziki temu, e tablica Y jest posortowana, stał liczb porówna mona zrealizowa krok polegajcy na sprawdzeniu, czy istniej dwa punkty, lece po przeciwnych stronach prostej l, których odległo jest mniejsza od δ min(, ) = δ L δ R. Posortowane tablice zostaj przekazane jako parametry pierwszego wywołania rekurencyjnego, a potem rozdziela si je (pod warunkiem, e zawieraj co najmniej trzy punkty) na dwie, równie posortowane tablice: z tablicy X otrzymujemy tablice X L i X R, a tablicy Y otrzymujemy tablice Y L i Y R. Wszystkie cztery tablice równie musz by posortowane. Aby unikn ponownego sortowania całych tablic, podczas rozdzielania tablic X i Y stosujemy technik podobn, ale odwrotn do procedury MERGE (scalania) w algorytmie sortowania MergeSort. 8

9 Pseudokod procedury rozdzielania tablicy Y na tablice Y L i Y R (Oznaczenie: length[y] - liczba elementów w tablicy Y) length[y L ]=0; length[y R ]=0; for (i=0; i< length[y]; i++) if (Y[i] P L ) { length[y L ]= length[y L ]+1; Y[length[Y L ]]=Y[i]; } else { length[y R ]= length[y R ]+1; Y[length[Y R ]]=Y[i]; } Podobnie wyglda pseudokod tworzenia tablic X L i X R. Dziki wykorzystaniu powyszej metody rozdzielania tablic równanie rekurencyjne kosztu całego algorytmu (bez wstpnego sortowanie) jest nastpujce : 2T ( n / 2) + O( n), jeli n > 3 T ( n) = O( 1 ), jeli n 3 T n = O nlogn. Std ( ) ( ) 9

10 2. Algorytm sprawdzania, czy jakakolwiek para odcinków si przecina - metoda "zamiatania" WP: Dany jest n - elementowy zbiór S { l l,..., } = 1, 2 l n (n 3), n odcinków, z których aden odcinek nie jest pionowy i adne trzy odcinki nie przecinaj si w tym samym punkcie. WK: Trzeba sprawdzi, czy istnieje par odcinków e i j oraz odcinki l i, l j przecinaj si. l, l i j taka, Algorytm naiwny Sprawdzamy wszystkie moliwe pary odcinków. Koszt 2 algorytmu naiwnego jest równy = Θ( n ) Technika "zamiatania" n 2 Metoda polega na przesuwaniu po płaszczynie ("zamiataniu") prostej pionowej ("miotły") od strony lewej do prawej i wykonaniu oblicze dla napotkanych obiektów geometrycznych. W danym kroku oblicze kady obiekt jest albo przetworzony, albo aktywny, albo oczekujcy. Obiekty przetworzone znajduj si zawsze po lewej stronie miotły i wszystkie obliczenia z nim zwizane s ju zakoczone. Obiekty aktywne s aktualnie przetwarzane, natomiast obiekty 10

11 oczekujce znajduj si po prawej stronie miotły i obliczenia z nimi zwizane bd dopiero wykonywane. Miotła "startuje" w połoeniu obiektu o najmniejszej współrzdnej x. Realizacja metody zamiatania w algorytmie sprawdzania, czy istnieje para przecinajcych si odcinków W kadym połoeniu miotły odcinkami przetworzonymi s wszystkie odcinki, których obydwa koce znajduj si na lewo od miotły. Odcinkami aktywnymi s te, które przecinaj miotł. Do odcinków oczekujcych zaliczaj si odcinki o obu kocach połoonych na prawo od miotły. Poniewa nie ma odcinków pionowych, kady z wejciowych odcinków przechodzcych przez miotł w danym połoeniu, przecina si j w jednym punkcie. Mona wic uporzdkowa odcinki przecinajce miotł ze wzgldu na współrzdne y punktów przecicia. Jeeli dwa odcinki li i l j nie przecinaj si, to mówimy, e s one porównywalne w s, jeli miotła w połoeniu s przecina obydwa z nich. Powiemy, e l i ley powyej l j w s, co zapisujemy l i > s l j, jeli li i l j s porównywalne w s, a przecicie li z miotł w połoeniu s znajduje si wyej ni przecicie l j. a b d c r t u 11

12 a > c, a > b, b > c, a > c, b c, odcinek d nie jest r t t t > u porównywalny z adnym z pozostałych odcinków Relacja > s jest relacj porzdku liniowego dla dowolnego, ale ustalonego s, w zbiorze odcinków, które przecinaj miotł w połoeniu s. Porzdek ten moe by róny dla rónych wartoci s, poniewa jedne odcinki wchodz do owego zbioru, a inne go opuszczaj. Odcinek wchodzi do zbioru (staje si aktywny), gdy miotła przecina jego lewy koniec, a opuszcza zbiór (staje si przetworzony), gdy miotła trafia na jego prawy koniec. Co si dzieje, gdy miotła trafia na punkt przecicia odcinków? Ich pozycje w porzdku si zamieniaj. e f v w f > v e, ale e > w f Skoro zakładamy, e adne trzy odcinki nie przechodz przez ten sam punkt, to musi istnie takie połoenie s miotły, e przecinajce si odcinki s ssiednie w sensie relacji > s. 12

13 W algorytmach, w których wykorzystuje si metod zamiatania, s uywane zazwyczaj dwa zbiory danych: 1. Struktura stanu miotły (y - struktura), okrelajca relacje midzy obiektami przecinajcymi miotł, czyli obiektami aktywnymi. 2. Harmonogram zdarze (x - struktura), to cig uporzdkowany według niemalejcej współrzdnej x punktów okrelajcych pozycje połoenia dla prostej zamiatajcej. Kad tak pozycj nazwiemy zdarzeniem. Zmiany w strukturze stanu miotły mog zachodzi jedynie w takich włanie punktach. Idea algorytmu 1. Sortujemy koce odcinków niemalejco ze wzgldu na współrzdn x i przetwarzamy je od strony lewej do prawej. 2. Wstawiamy odcinek do struktury stanu miotły, kiedy napotkamy jego lewy koniec (wtedy odcinek z obiektu oczekujcego przechodzi w stan obiektu aktywnego), a usuwamy ze struktury, gdy napotkamy jego prawy koniec ( obiekt aktywny staje si wówczas przetworzony). 3. Za kadym razem, kiedy dwa odcinki staj si po raz pierwszy ssiednimi, sprawdzamy, czy si nie przecinaj. 13

14 a d e c f b a a a d d e e b c a c d d b c b c b b b Przecicie odcinków d i b zostaje wykryte przy usuwaniu odcinka c. Struktura stanu miotły to liniowo uporzdkowany zbiór T, na którym wykonuje si nastpujce operacje: insert(t, s) - wstawianie odcinka s do zbioru T, delete(t, s) - usuwanie odcinak s z T, above(t, s) - zwraca odcinek ssiedni, bezporednio powyej odcinka s w T below(t, s) - zwraca odcinek bezporednio poniej odcinka s w T. 14

15 Pytanie: Jak zaimplementowa struktur stanu miotły, aby kad z powyszych operacji mona było wykona kosztem pesymistycznym O(logn)? Pseudokod algorytmu sprawdzania przecinania si odcinków ANY_INTERSECTION(S) { T= ; "Tworzymy list L koców odcinków zbioru S, posortowan niemalejco wzgldem współrzdnej x. Przy równych współrzdnych x decyduje współrzdna y"; for ("kady punkt p L") { if ("p jest lewym kocem odcinka s") { insert(t, s); if ("above(t, s) istnieje i przecina s lub below(t, s) istnieje i przecina s") return 1; } if ("p jest prawym kocem odcinka s") { if ("obydwa odcinki above(t, s) i below(t, s) istniej i above(t, s) przecina below(t, s)") return 1; delete(t, s); } } return 0; } 15

16 Koszt czasowy algorytmu sprawdzania przecinania si odcinków Jeli S zawiera n odcinków, to algorytm działa w czasie O(nlogn). Czas tworzenia posortowanej listy L moe optymalnie wynie O(nlogn). Ptla wykonuje co najwyej 2n kroków, bo tyle co najwyej zdarze moe zaj dla n odcinków. Kady krok ptli realizuje si w czasie O(logn), pod warunkiem, e struktura stanu miotły jest realizowana optymalnie. 16