Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora"

Transkrypt

1 Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1

2 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym sprawozdaniu przedstawiono zależności pozwalające opisać ruch manipulatora o trzech stopniach swobody. Wybrano manupilator RRP w konfiguracji. Konfigurację przestrzenną przedstawiono na rys. 1 Zmiennymi konfiguracyjnymi są: q = [Θ 1 Θ d 3 ] T. Pozostałe parametry (L 1 oraz L ) przyjmują wartości stałe.

3 Rysunek : Manipulator zrealizowany w oprogramowaniu Autodesk Inventor 3

4 Rysunek 3: Rysunek techniczny zrealizowanego manipulatora 4

5 Kinematyka prosta Celem tej części sprawozdania jest określenie położenia końcówki manipulatora w układzie xyz0 na podstawie geometrii samego manipulatora oraz wartości zmiennych konfiguracyjnych. W celu zapisania macierzy przejść między poszczególnymi układami odniesienia, wykorzystano notację Denavita - Hartenberga, wyniki zestawiono w tabeli 1. L.p. Θ d α a π 1 Θ 1 l 1 0 Θ 0 π d 3 + l 0 0 Na podstawie tabeli 1, zapisano macierze przekształceń układów. Macierz przejścia z układu k do układu m oznaczono następująco: A m k. Macierze przejścia przedstawiono poniżej (wzory () - (4)). W celu uproszczenia zapisu zastosowano następujące skróty: cos(θ n ) = c n, cos(θ n + Θ m ) = c nm. Analogicznie postąpiono dla funkcji sin(x). A 1 0 = A 0 = A 3 0 = c 1 0 s 1 0 s 1 0 c l c 1 s s 1 c 1 s 0 s 1 c c 1 s 1 s 0 s 0 c l c 1 s s 1 c 1 s c 1 s (d 3 + l ) s 1 c c 1 s 1 s s 1 s (d 3 + l ) s 0 c c (d 3 + l ) + l Ostatecznie, położenie końcówki manipulatora w układzie xyz0 dane jest następującym wektorem: p x p z c 1 s (d 3 + l ) s 1 s (d 3 + l ) c (d 3 + l ) + l 1 (1) () (3) (4) (5) 5

6 Rysunek 4: Prezentacja dwóch rozwiązań dla tego samego punktu 3 Kinematyka odwrotna Celem tej części sprawozdania jest wyznaczenie zależności współrzędych konfiguracyjnych manipulatora Θ 1, Θ oraz d 3 gdy dane jest położenie końcówki manipulatora. Sprowadza się to do wykonania odpowiednich przekształceń algebraiczynych wzoru (5). Dla każdego punktu można podać rozwiązania, jedno dla Θ > 0, i drugie dla Θ < 0. Zademonstrowano to na rysunku 4. Dla Θ > 0 uzyskano następujący rezultat: Θ 1 Θ d 3 atan ( ) p x atan ( p x (p z l 1 )cos(θ 1 ) p z l 1 cos(θ ) + l ) (6) Dla każdego punktu z poza tych pokrywających się z osią Z, możliwe jest drugie rozwiązanie: 6

7 Θ 1od Θ od d 3od Θ Θ d 3 (7) Wzór (6) nie wyczerpuje jednak wszystkich możliwości określenia kinematyki odwrotnej. Konieczne okazuje się rozpatrzenie dwóch przypadków: 1. Gdy θ 1 = π ; wówczas kinematyka prosta opisana jest zależnościami: p x p z 0 s (d 3 + l ) c (d 3 + l ) + l 1 Co po przekształceniach daje zmienne konfiguracyjne (dla θ 0): Θ 1 Θ d 3 Jeśli zaś θ = 0 i jednocześnie θ 1 = π p x p z π atan ( (p z l 1 ) sinθ l ) (8) (9) to kinematyka prosta dana wektorem: 0 0 d 3 + l + l 1 (10) Skąd kinematyka odwrotna dla tego przypadku opisana jest zależnością: Θ 1 Θ d 3 π 0 p z (l 1 + l ). Gdy θ = π ; wówczas kinematyka prosta opisana jest zależnościami: p x p z c 1 (d 3 + l ) s 1 (d 3 + l ) l 1 (11) (1) Skąd przy założeniu, że θ 1 0 kinematyka odwrotna dana jest wektorem: Θ 1 Θ d 3 atan ( p x ) π sinθ 1 l (13) Jeśli θ 1 = 0 i jednocześnie θ = π, to kinematykę prostą można opisać zależnościami: p x p z (d 3 + l ) 0) l Kinematyka odwrotna dla tego przypadku dana jest wzorami: 7 (14)

8 Θ 1 Θ d 3 0 π l p x (15) 8

9 4 Jakobian W celu wyznaczenia prędkości końcówki manipulatora w układzie xyz0, gdy znana jest prędkość zmian współrzędych konfiguracyjnych q = [ Θ 1 Θ d 3 ] T konieczne jest znalezienie macierzy przejścia z układu związanego z końcówką manipulatora do układu xyz0. Jakobian przekształcenia jest macierzą o 6 wierszach oraz 3 kolumnach. Daną wzorem: J0 3 = 5 Obliczanie dynamiki s 1 s (d 3 + l ) c 1 c (d 3 + l ) c 1 s c 1 s (d 3 + l ) s 1 c (d 3 + l ) s 1 s 0 s (s 1 c 1)(d 3 + l ) c 0 s c Kolejnym etapem jest znalezienie równań dynamiki przedstawionego manipulatora, do tego celu wykorzystano równania lagrange a: (16) d δl L = τ i (17) dt δq i q i Gdzie L = K V, czyli energia kinetyczna pomniejszona o energię potencjalną, a τ i jest uogulnioną siłą wymuszającą. Wzór na energię kinetyczną danego elemenu łańcucha kinematycznego ma postać: K 1 = 1 qt [m i J T vcij vci + J T wcir i 0I 1 R i 0T Jwci ] q (18) Należy więć wyznaczyć jakobiany środków masy poszczególnych elementów ramienia robota. 5.1 Jakobiany środków masy Jakobian środka masy pierwszego elementu łańcucha kinematycznego dany jest on wzorem: [ ] ẑ0 (o J c1 = c1 o 0 ) 0 0 (19) ẑ Gdzie o c1, a o 0 jest pozycją zerowego układu współrzędnych. Po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy, że J vc1 (górna częsć jakobianu- odpowiadająca za prędkości) jest macierzą zer, natomiast jakobian prędkości kątowych jest równy: J wc1 = (0) Postępując analogicznie dla drugiego i trzeciego przegubu otrzymujemy: 9

10 J c = J c3 = Przy czym r = l + d 3 1 d max. 1s 1s l 1c 1c l 0 1c 1c l 1s 1c l 0 0 1l (s 1s c 1s ) 0 0 s c s 1 s r c 1 c r c 1 s c 1 s r s 1 c r s 1 s 0 s r(s 1 c 1) c 0 s c (1) () 5. Obliczanie energji kinetycznej Korzystając ze wzoru (9) dla wszystkich przegubów, po zsumowaniu energii K 1 +K +K 3 otrzymujemy wzór w postaci: K = 1 qt d 11 d 1 d 13 d 1 d d 3 d 31 d 3 d 33 q (3) Ze względu na objętość macierzy potrzebnej od obliczenia energii kinetycznej, zdecydowano się na skrótowy jej zapis. Poszczególne elementy przedstawiono poniżej. d 11 = I 1x +I z +I 3z +I x s I z s +I 3x s I 3z s +(l m s ) )/4+m 3 r s ) (4) d 1 = (c 1 s 1 s ( m c l 4m 3 c r +I xx c +4I zz c +I 3xx c +4I 3zz c I xx s 1 I 3xx s 1 ))/ (5) d 13 = c 1 c s (I zz c I xx s 1 ) (6) d 1 = (c 1 s 1 s ( m c l 4m 3 c r +I xx c +4I zz c +I 3xx c +4I 3zz c I xx s 1 I 3xx s 1 ))/ (7) d = I yy + I 3yy + (l m )/4 + m 3 r + I xx s 1 I xx s I xx s 5 1 I xx s I 3xx s 1 I 3xx s I 3xx s 5 1 I 3xx s 6 1 I xx s 1s + I xx s 4 1s + 4I zz s 1s 4I zz s 4 1s I 3xx s 1s + I 3xx s 4 1s + 4I 3zz s 1s 4I 3zz s 4 1s + 4I xx sin(θ /) s 3 1 4I xx sin(θ /) s 5 1 (8) + 4I 3xx sin(θ /) s 3 1 4I 3xx sin(θ /) s 5 1 l m s 1s + l m s 4 1s 4m 3 r s 1s + 4m 3 r s 4 1s 10

11 d 3 = c s 1 (I yy (c 1 1) I yy c 1 + I xx c 1(c 1 1) + I zz c 1(c 1) + I xx c 1c s 1 ) (9) d 31 = c 1 c s (I zz c I xx s 1 ) (30) d 3 = c s 1 (I yy (c 1 1) I yy c 1 + I xx c 1(c 1 1) + I zz c 1(c 1) + I xx c 1c s 1 ) (31) d 33 = m 3 + I yy c + I xx c 1c I xx c 4 1c I yy c 1c + I zz c 1c I zz c 1c 4 (3) 5.3 Obliczanie energji potencjalnej W układzie jedyną siłą zachowawczą jest oddzialywanie grawitacyjne. Wektor przyspieszenia grawitacyjnego ma kierunek równoległy a zwrot przeciwny do osi z. Z tego powodu energia potencjalna elementu równa się iloczynowi jego masy i z-towej składowej pozycji środka masy. Energia potencjalna opisana jest wzorem: V = 1 m 1l 1 + m ( 1 c l + l 1 ) + m 3 (c (l + d 3 1 d max) + l 1 ) (33) Należy następnie obliczyć pochodne cząskowe po zmiennych stanu: δv δθ 1 = 0 (34) δv δθ = m s l m 3 s (l + d 3 1 d max) (35) δv δd 3 = m 3 c (36) Co potrzebne jest do zapisania równania dynamiki (następny podrozdział). 5.4 Równanie końcowe dynamiki Równanie końcowe dynamiki zapisano w skróconej formie z wykorzystaniem symboli Christofella. τ k = δv δq k + j d kj q j + ij c ijk q i q j (37) Gdzie d kj są elementami macierzy K podanej w rozdziale XXX. Natomiast cijk dane jest wzorem: c ijk = 1 (δd kj δq i Poszczególne elementy dane są wzorami: + δd ki δq j δd ij δq k ) (38) c 111 = 0 (39) 11

12 c 11 = (sin(θ )(m l + 4m 3 r + 4I xx 4I zz + 4I 3xx 4I 3zz ))/8 (40) c 131 = 0 (41) c 11 = (sin(θ )(m l + 4m 3 r + 4I xx 4I zz + 4I 3xx 4I 3zz ))/8 (4) c 1 = (c 1 s 1 (I xx + I 3xx 6I xx s 1 6I 3xx s 1 + I xx c + 4I zz c + I 3xx c + 4I 3zz c + 10I xx s 3 1 4I xx s 6I xx s I zz s + 10I 3xx s 3 1 4I 3xx s 6I 3xx s I 3zz s + 1I xx sin(θ /) s 1 + 1I 3xx sin(θ /) s 1 + 4I xx s 1s 16I zz s 1s + 4I 3xx s 1s (43) 16I 3zz s 1s I xx c s 1 I 3xx c s 1 0I xx sin(θ /) s 3 1 0I 3xx sin(θ /) s 3 1 l m c 4m 3 r c l m s 4m 3 r s + 4l m s 1s + 16m 3 r s 1s ))/ c 31 = (c 1 (I xx c I yy c + 6I zz c I xx s 1 7I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c + 4I xx c 1c s 1 ))/ (44) c 311 = 0 (45) c 31 = (c 1 (I xx c I yy c + 6I zz c I xx s 1 7I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c + 4I xx c 1c s 1 ))/ (46) c 331 = c 1 c s 1 (I xx c 1 + I zz c I xx + I yy I zz ) (47) c 11 = (s (4I xx s 1 1I 3zz c 1I zz c + 4I 3xx s 1 + 3l m c + 1m 3 r c + 8I xx c 1c + 16I zz c 1c + 8I 3xx c 1c + 16I 3zz c 1c 1I xx c 1s 1 1I 3xx c 1s 1 4l m c 1c 16m 3 r c 1c ))/4 (48) c 1 = c 1 s 1 (I xx + I 3xx 3I xx s 1 3I 3xx s 1 + 5I xx s 3 1 I xx s 3I xx s I zz s + 5I 3xx s 3 1 I 3xx s 3I 3xx s I 3zz s + 6I xx sin(θ /) s 1 + 6I 3xx sin(θ /) s 1 + I xx s 1s 8I zz s 1s + I 3xx s 1s (49) 8I 3zz s 1s 10I xx sin(θ /) s I 3xx sin(θ /) s 3 1 l m s 4m 3 r s + l m s 1s + 8m 3 r s 1s ) c 13 = (c 1 (I xx c I yy c + 6I zz c I xx s 1 7I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c + 4I xx c 1c s 1 ))/ (50) 1

13 c 1 = c 1 s 1 (I xx + I 3xx 3I xx s 1 3I 3xx s 1 + 5I xx s 3 1 I xx s 3I xx s I zz s + 5I 3xx s 3 1 I 3xx s 3I 3xx s I 3zz s + 6I xx sin(θ /) s 1 + 6I 3xx sin(θ /) s 1 + I xx s 1s 8I zz s 1s + I 3xx s 1s 8I 3zz s 1s (51) 10I xx sin(θ /) s I 3xx sin(θ /) s 3 1 l m s 4m 3 r s + l m s 1s + 8m 3 r s 1s ) c = s 1(s 1 1)(m c s l + 4m 3 c s r + I xx c s 4I zz c s + I 3xx c s 4I 3zz c s I xx cos(θ /)sin(θ /)s 1 I 3xx cos(θ /)sin(θ /)s 1 ) (5) c 3 = 0 (53) c 31 = (c 1 (I xx c I yy c + 6I zz c I xx s 1 7I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c + 4I xx c 1c s 1 ))/ (54) c 3 = 0 (55) c 33 = c s (I yy + I xx c 1 I xx c 4 1 I yy c 1 + I zz c 1 I zz c 1c ) (56) c 113 = s (sin(θ /) 1)(I xx (s 1 1) + I xx s 1 + I zz s 1 (sin(θ /) 1)) (57) c 13 = (c 1 (I xx c I yy c + I zz c + I xx s 1 I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c 4I xx c s 1 + 4I xx c 1c s 1 ))/ (58) c 133 = c 1 c s 1 (I xx c 1 + I zz c I xx + I yy I zz ) (59) c 13 = (c 1 (I xx c I yy c + I zz c + I xx s 1 I zz c 3 + 6I zz c 1c 3 7I xx c 1c + 5I xx c 4 1c 6I zz c 1c 4I xx c s 1 + 4I xx c 1c s 1 ))/ (60) c 3 = s 1 s (I yy + I xx c 1 I xx c I zz c 1 6I zz c 1c I xx c 1c s 1 ) (61) c 33 = c s (I yy + I xx c 1 I xx c 4 1 I yy c 1 + I zz c 1 I zz c 1c ) (6) c 313 = c 1 c s 1 (I xx c 1 + I zz c I xx + I yy I zz ) (63) c 33 = c s (I yy + I xx c 1 I xx c 4 1 I yy c 1 + I zz c 1 I zz c 1c ) (64) c 333 = 0 (65) 13

14 6 Materiały pomocnicze Niniejsze sprawozdanie zostało wykonane w oparciu o następujące pomoce: 1. Własnoręczne notatki z przedmiotu Podstawy robotyki (wykłady + ćwiczenia);. demonstracyjna wersja oprogramowania Inventor. 14

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB Kocurek Łukasz, mgr inż. email: kocurek.lukasz@gmail.com Góra Marta, dr inż. email: mgora@mech.pk.edu.pl Politechnika Krakowska, Wydział Mechaniczny MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH

Bardziej szczegółowo

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 5

Laboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 5 Laboratorium Podstaw Robotyki Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ĆWICZENIE 5 Rotacje 3D, transformacje jednorodne i kinematyka manipulatorów. Celem ćwiczenia jest analiza wybranych

Bardziej szczegółowo

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Nazwa Przedmiotu: Mechanika klasyczna i relatywistyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: rok studiów,

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KINEMATYKI MANIPULATORÓW NA PRZYKŁADZIE ROBOTA LINIOWEGO O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY

ANALIZA KINEMATYKI MANIPULATORÓW NA PRZYKŁADZIE ROBOTA LINIOWEGO O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY MECHNIK 7/ Dr inż. Borys BOROWIK Politechnika Częstochowska Instytut Technologii Mechanicznych DOI:.78/mechanik..7. NLIZ KINEMTYKI MNIPULTORÓW N PRZYKŁDZIE ROBOT LINIOWEGO O CZTERECH STOPNICH SWOBODY Streszczenie:

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Praca, moc, energia 1. Klasyfikacja energii. Jeżeli ciało posiada energię, to ma również zdolnoć do wykonania pracy kosztem częci swojej energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Wewnętrzna Energia Mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe w porządku związanym z realizacją programu

Wymagania programowe w porządku związanym z realizacją programu Wymagania programowe w porządku związanym z realizacją programu Nazwa umiejętności UCZEŃ POTRAFI: Poziom wymagań Kategoria celu 1. Porównać dwie liczby całkowite. K C 2. Uporządkować liczby całkowite.

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW

Bardziej szczegółowo

Rys. 1 Schemat układu L 2 R 2 E C 1. t(0+)

Rys. 1 Schemat układu L 2 R 2 E C 1. t(0+) Autor: Piotr Fabijański Koreferent: Paweł Fabijański Zadanie Obliczyć napięcie na stykach wyłącznika S zaraz po jego otwarciu, w chwili t = (0 + ) i w stanie ustalonym, gdy t. Do obliczeń przyjąć następujące

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: KINEMATYKA I DYNAMIKA MANIPULATORÓW I ROBOTÓW Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności: Systemy sterowania Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO 4.1. Bryła sztywna W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy wszystkie otaczające nas ciała jako punkty materialne lub zbiory punktów materialnych. Jest to

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: Kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: Wykład, ćwiczenia MECHANIKA Mechanics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:

Bardziej szczegółowo

WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM

WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM 1. Wprowadzenie do zajęć. Równania Lagrange'a II rodzaju Ćwiczenie wykonywane na podstawie rozdziału 3 [1] 2. Drgania swobodne

Bardziej szczegółowo

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Opis wymagań do programu Matematyka klasa VI

Opis wymagań do programu Matematyka klasa VI Opis wymagań do programu Matematyka 2001- klasa VI Cele ogólne wytyczają kierunki pracy z uczniami, zaś cele szczegółowe są opisem osiągnięć uczniów w wyniku kształcenia na danym przedmiocie i etapie edukacji.

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZUJEMY ZADANIA Z FIZYKI

ROZWIĄZUJEMY ZADANIA Z FIZYKI ROZWIĄZUJEMY ZADANIA Z FIZYKI Rozwiązując zadnia otwarte PAMIĘTAJ o: wypisaniu danych i szukanych, zamianie jednostek na podstawowe, wypisaniu potrzebnych wzorów, w razie potrzeby przekształceniu wzorów,

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

1. Podstawowe pojęcia

1. Podstawowe pojęcia 1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI Kierunek: Specjalno± : Automatyka i Robotyka (AIR) Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Podatny manipulator planarny - budowa i sterowanie Vulnerable planar

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KINEMATYCZNA PALCÓW RĘKI

ANALIZA KINEMATYCZNA PALCÓW RĘKI MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 40, s. 111-116, Gliwice 2010 ANALIZA KINEMATYCZNA PALCÓW RĘKI ANTONI JOHN, AGNIESZKA MUSIOLIK Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej

Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej 1) Hamowanie magnetyczne I B F L m v L Poprzeczka o masie m może się przesuwać swobodnie po dwóch równoległych szynach, odległych o L od siebie.

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy przedmiot podstawowy Rodzaj zajęć: Wykład, Ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Uzyskanie przez

Bardziej szczegółowo

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

Roboty przemysłowe. Wprowadzenie

Roboty przemysłowe. Wprowadzenie Roboty przemysłowe Wprowadzenie Pojęcia podstawowe Manipulator jest to mechanizm cybernetyczny przeznaczony do realizacji niektórych funkcji kończyny górnej człowieka. Należy wyróżnić dwa rodzaje funkcji

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego

Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego 1 z 7 JM-test-MathJax Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego Korekta 24.03.2014 w Błąd maksymalny (poprawione formuły na niepewności maksymalne dla wzorów 41.1 i 41.11)

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do robotyki

Wprowadzenie do robotyki Wprowadzenie do robotyki Robotyka to nauka i technologia projektowania, budowy i zastosowania sterowanych komputerowo urządzeń mechanicznych popularnie zwanych robotami. Robot urządzenie mechaniczne, które

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA DZIAŁ I: POTĘGI I PIERWIASTKI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym (2) umie zapisać potęgę w postaci iloczynu (2)

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN PRO/ENGINEER ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN 1. Śruba walcowa o stałym skoku W programie Pro/Engineer modelowanie elementów typu sprężyny można realizować poleceniem Insert/Helical Sweep/Protrusin. Dla prawozwojnej

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca i energia Praca Najprostszy przypadek: Stała siła działa na ciało P powodując jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o. Praca jaką wykona przy tym siła W przypadku

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy matematyki

1. Podstawy matematyki 1. Podstawy matematyki 1.1. Pola Pole wiąże wielkość fizyczną z położeniem punktu w przestrzeni W przypadku, gdy pole jest zależne od czasu, możemy je zapisać jako. Najprostszym przykładem pola jest pole

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Matematyka z komputerem dla gimnazjum

Matematyka z komputerem dla gimnazjum IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA KATALOG KSI EK ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE O NOWO CIACH ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA SPIS TRE CI KATALOG ONLINE DODAJ DO KOSZYKA FRAGMENTY

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie II gimnazjum

Kryteria ocen z matematyki w klasie II gimnazjum Kryteria ocen z matematyki w klasie II gimnazjum Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego na lekcjach matematyki zna i rozumie pojęcie

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika analityczna Nazwa w języku angielskim: Analytical Mechanics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki Ćwiczenie laboratoryjne 2 Temat: Modelowanie powierzchni swobodnych 3D przy użyciu programu Autodesk Inventor Spis treści 1.

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU

KARTA PRZEDMIOTU WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika I Nazwa w języku angielskim: Mechanics I Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Stopień studiów i forma:

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum Klasa I Liczby i działania obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują liczby wymierne skracać i rozszerzać ułamki zwykłe porównywać dwa ułamki

Bardziej szczegółowo