Twierdzenie geometryzacyjne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Twierdzenie geometryzacyjne"

Transkrypt

1 Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLV Szkole Matematyki Poglądowej, Co mi się podoba, Jachranka, sierpień Twierdzenie geometryzacyjne Zdzisław POGODA, Kraków Pod koniec lat siedemdziesiątych XX stulecia William Thurston postawił hipotezę nazwaną hipotezą geometryzacyjną, którą z dużym uproszczeniem można sformułować na przykład tak: Każda trójwymiarowa rozmaitość zamknięta może być kanonicznie rozłożona na prostsze cegiełki podrozmaitości, z których każda jest wyposażona w jedną z ośmiu kanonicznych geometrii. Postawienie tej hipotezy oraz wkład Thurstona w próby jej udowodnienia zostały uznane przez świat matematyczny za istotny przełom w rozwiązaniu problemu klasyfikacji trójwymiarowych rozmaitości (nazywanych w specjalistycznym żargonie 3 rozmaitościami) w szczególności w podejściu do słynnej już hipotezy Poincarégo. W latach 2002 i 2003 Grisha Perelman umieścił w Internecie preprinty trzech artykułów, w których między innymi przedstawił dowód hipotezy geometryzacyjnej. Teksty napisane są bardzo hermetycznym językiem z pominięciem wielu szczegółów, a autor nie chciał odpowiadać na pytania specjalistów próbujących przebrnąć przez labirynt jego technicznych rozumowań. W końcu jednak po ponad czterech latach pracy stwierdzono, że wyniki Perelmana są poprawne i hipoteza geometryzacyjna stała się twierdzeniem. Tym samym również rozstrzygnięta została klasyczna hipoteza Poincargo. Spróbujmy wyjaśnić, na czym polega problem rozważany przez Thurstona i jakie jest jego znaczenie. Obiektami, których dotyczy hipoteza geometryzacyjna, są rozmaitości, a dokładniej rozmaitości trójwymiarowe. Pojęcie rozmaitości nie raz pojawiało się już w Zeszytach MSN 1. Przypomnijmy więc krótko, że rozmaitość topologiczna wymiaru n jest to obiekt (przestrzeń topologiczna), który lokalnie wygląda jak przestrzeń R n. A zatem rozmaitość trójwymiarowa, dokładniej rozmaitość bez brzegu, lokalnie przypomina przestrzeń trójwymiarową. Gdy dopuścimy brzeg (taka przecież jest na przykład kula domknięta B 3 ), to jego punkty mają otoczenia wyglądające lokalnie jak półprzestrzeń domknięta. Idea zapoczątkowana przez Riemanna, zyskała sobie prawo obywatelstwa w matematyce, choć nie stało się to od razu. Rozwijana i uściślana przez wielu matematyków znalazła zastosowania nie tylko w różnych działach matematyki, lecz także w fizyce. Szczególnie powstanie Ogólnej Teorii Względności i jej zastosowanie w kosmologii pokazało wielką przydatność pojęcia rozmaitości. Jednym z najważniejszych problemów od samego początku był problem klasyfikacji. Matematykom udało się sklasyfikować rozmaitości dwuwymiarowe, czyli powierzchnie. Zrobili to w pełni, wykorzystując wcześniejsze wyniki Möbiusa, Jordana i Dycka, w 1907 roku Max Dehn i Poul Heegaard. Po tym sukcesie kolej przyszła na trójwymiarowe. Wydawało się, że odpowiednio uogólniając i rozszerzając metody, które doskonale sprawdziły się w przypadku dwuwymiarowym, uda się opisać przestrzenie trójwymiarowe, jak wtedy często nazywano 3 rozmaitości. Naturalnie matematycy mieli świadomość, że nie będzie to tylko proste uogólnienie. Nie spodziewali się jednak, że trudności okażą się aż tak ogromne. Świat rozmaitości trójwymiarowych jest niezwykle bogaty. Pojawiły się też nowe zaskakujące, trudne do uchwycenia efekty. Już sama sfera trójwymiarowa sprawiała ogromne kłopoty. Potrzebna była jej prosta charakteryzacja jako obiektu odgrywającego, jak słusznie przypuszczano, kluczową rolę w klasyfikacji. Chcąc, między innymi, uchwycić istotne cechy topologiczne sfery Poinacaré zdefiniował bardzo użyteczne narzędzie pozwalające badać obiekty topologiczne. Jest to grupa podstawowa albo inaczej grupa fundamentalna. Używa się też określenia pierwsza grupa homotopii. Opisana jest za pomocą pętli na 1 Z. Pogoda, Problemy z 3 rozmaitościami, Zeszyty MSN 40 (I 2008) 39

2 rozmaitości zaczepionych w pewnym punkcie. Przy czym zakłada się, że pętle nie różnią się istotnie, gdy jedna da się w sposób ciągły zdeformować do drugiej z zachowaniem punktu zaczepienia mówimy wtedy o pętlach homotopijnych. Na sferze wszystkie pętle są homotopijne i dają się ściągnąć do punktu obiekty o tej własności nazywamy jednospójnymi. Na torusie jest już inaczej, południka nie da się zdeformować do równoleżnika i żadnej z tych wzorcowych pętli nie można ściągnąć do punktu. Rys. 1. Pętle na rozmaitościach W przypadku rozmaitości wybór punktu zaczepienia pętli jest nieistotny. Wprowadza się w dość naturalne działanie na pętlach (niezależne od deformacji) i mamy grupę, zawierającą istotne informacje o rozmaitości. Ważna jest własność, że jeśli rozmaitości są homeomorficzne, to ich grupy podstawowe są izomorficzne. Niestety stwierdzenie odwrotne nie zachodzi. Grupa podstawowa znakomicie się spisała przy klasyfikacji powierzchni. Poincaré miał nadzieję, że również w przypadku trójwymiarowym przyda się bardzo. Nie pomylił się, choć sprawa nie przedstawiała się już tak prosto, co ujawniło się właśnie przy charakteryzacji sfery trójwymiarowej. Jest to słynna hipoteza Poincarégo, którą w języku grupy podstawowej można sformułować następująco: Trójwymiarowa rozmaitość zamknięta, z trywialną grupą podstawową jest homeomorficzna z S 3. Propozycja przedstawiona przez Poincarégo okazała się wyjątkowo trudną hipotezą, nierozstrzygniętą przez prawie sto lat, chociaż jej sformułowanie było stosunkowo bardzo proste: trójwymiarowa rozmaitość spójna 2, zwarta i bez brzegu (te cechy określa się krótko: rozmaitość zamknięta) oraz jednospójna jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową. Hipoteza po pewnych koniecznych modyfikacjach została uogólniona na n wymiarów i dla n > 3 z ogromnym wysiłkiem rozstrzygnięta pozytywnie. Klasyczny przypadek bronił się jednak bardzo skutecznie mimo usilnych ataków. Niezależnie matematycy próbowali opisać konstrukcje 3 rozmaitości i sklasyfikować pewne wybrane ich rodziny. Do takich należą przestrzenie soczewkowe (soczewki) pierwszy raz opisane przez Tietzego. Jest to pierwsza rodzina 3 rozmaitości całkowicie opisanych i sklasyfikowanych. Soczewki można opisać na wiele sposobów, jeden z nich wygląda tak: wybieramy dwie liczby naturalne względnie pierwsze p i q. Na powierzchni kuli (czyli oczywiście na sferze) zaznaczamy równik. Teraz każdy punkt górnej półsfery obracamy o kąt 2πq/p i odbijamy symetrycznie względem równika, a następnie tak otrzymany sklejamy z wyjściowym. Powstaje właśnie przestrzeń soczewkowa oznaczana L(p, q). Udało się w pełni scharakteryzować soczewki w zależności od p i q. 2 Często założenie spójności jest pomijane, gdyż na wstępie zakłada się, że jeśli nie zaznaczono inaczej, to rozważa się tylko rozmaitości spójne. 40

3 Rys. 2. Powstawanie przestrzeni soczewkowej Pierwszą ogólną konstrukcję dla 3 rozmaitości zaproponował wspomniany już Heegaard. Każdą rozmaitość trójwymiarową można otrzymać przez sklejenie brzegiem dwóch n krotnych pełnych torusów nazywanych torusami genusu n. Pełny torus genusu 1 jest to zwykły pełny torus, który można bardziej formalnie przedstawić jako iloczyn kartezjański koła i okręgu B 2 S 1 (przypomnijmy: klasyczny torus powierzchnia to S 1 S 1 ), czyli mamy tu do czynienia z jedną dziurą. Rys. 3. Torusy genusu 1, 2, 3,..., n W przypadku torusa genusu n mamy tych dziur właśnie n. Sklejanie torusów może odbywać się na różne sposoby; możemy żądać, żeby charakterystyczne krzywe na powierzchni (np. odpowiedniki południków) jednego sklejać z innymi na drugiej poprowadzonymi w wymyślny sposób. Często bardzo różne sklejenia prowadzą do jednej i tej samej rozmaitości trójwymiarowej. Problem klasyfikacji 3 rozmaitości można sprowadzić do klasyfikacji sklejeń, ale to wcale nie okazało się ułatwieniem zadania. Już opisanie wszystkich sklejeń prowadzących do zwykłej sfery trójwymiarowej jest poważnym problemem. Jedyny zadowalający rezultat uzyskano dla typów sklejania zwykłych torusów, co prowadzi do wspomnianych już przestrzeni soczewkowych. 41

4 Inny pomysł podsunął Max Dehn w 1910 roku proponując wycinanie ze sfery trójwymiarowej otoczek tabularnych węzłów lub splotów (czyli obiektów topologicznie identycznych z torusami lub sumami mnogościowymi torusów) i ponowne ich wklejanie, tylko w inny sposób. Takie procedury nazwano chirurgiami Dehna. W tym przypadku znów okazało się, że można tak skonstruować każdą 3 rozmaitość, lecz pozostał problem z jednoznacznością 3. Gdy przyjrzymy się bliżej klasyfikacji powierzchni, to zauważymy, że każdą można zbudować z kilku, a dokładnie trzech, prostszych cegiełek. Tymi najprostszymi powierzchniami są: sfera, torus (tym razem powierzchnia) i płaszczyzna rzutowa, a operacją łączącą jest suma spójna. Polega ona na tym, że z każdej powierzchni wycinamy kawałki homeomorficzne z kołami, a następnie sklejamy brzegiem. Rys. 4. Suma spójna Pomysł rozkładu rozmaitości trójwymiarowych na bardziej elementarne składniki podjął Hellmuth Kneser, który przedstawił w 1929 roku twierdzenie: Każda trójwymiarowa rozmaitość zamknięta może być rozłożona jednoznacznie, z dokładnością do kolejności składników, na sumę spójną rozmaitości pierwszych. Sumę spójną dla rozmaitości trójwymiarowych konstruujemy podobnie jak w przypadku powierzchni, tylko zamiast kół wycinamy kule i sklejenia dokonujemy wzdłuż sfer. Przypomnijmy jeszcze raz, że przez rozmaitości zamknięte rozumie się rozmaitości spójne, zwarte i bez brzegu. Natomiast rozmaitości pierwsze są w pewnym sensie odpowiednikiem liczb pierwszych: rozmaitość pierwsza nie da się rozłożyć na sumę spójną prostszych składników. Inaczej, jeśli rozmaitość pierwszą przedstawimy jako sumę dwóch innych rozmaitości, to jedną z nich jest sfera trójwymiarowa, która w tym działaniu (gdy sumę spójną uznamy za działanie) pełni rolę elementu neutralnego. Twierdzenie Knesera sprowadza więc problem klasyfikacji do spisania kompletnej listy rozmaitości pierwszych. Jednak inaczej niż w przypadku dwuwymiarowym tych rozmaitości jest znacznie więcej i nie znano dobrej metody ich wyszukiwania. Kneser opisał możliwość rozkładu, lecz nie pokazał jak powinny wyglądać cegiełki rozkładu. Rozmaitości: S 3, S 2 S 1, przestrzeń 3 Więcej o chirurgiach Dehna: Z. Pogoda O chirurgiach konkretnie i abstrakcyjnie, Zeszyty MSN 42 (I 2009), str

5 rzutowa RP 3, przestrzenie soczewkowe są przykładami rozmaitości pierwszych, ale istnieje jeszcze wiele innych wymyślnych konstrukcji, jak choćby poprzez odpowiednie sklejanie ścian różnych wielościanów. Tak między innymi powstaje ciekawy przypadek jedna ze sfer homologicznych, obiekt skonstruowany przez Poincarégo: sklejamy przeciwległe ściany dwunastościanu foremnego wcześniej przekręcając je nieco. Otrzymana rozmaitość ma pewne cechy sfery trójwymiarowej, choć, jak stwierdził, testując przy okazji użyteczność grupy podstawowej, sam Poincaré, ewidentnie nią nie jest. W każdym razie ostatecznie stwierdzono, że rozkład rozmaitości M na sumę spójną może wyglądać następująco M = (K 1 #... #K p )#(L 1 #... #L q )#(S 2 S 1 #... #S 2 S 1 ) Rys. 5. Idea rozkładu na rozmaitości pierwsze Kryterium wyróżnienia poszczególnych rodzin w sumie spójnej zadaje grupa podstawowa. Dla rozmaitości S 2 S 1 grupa jest cykliczna i nieskończona (wiadomo, że są to jedyne rozmaitości spełniające ten warunek). Rozmaitości z rodziny L i mają grupę podstawową skończoną, a K j nieskończoną i niecykliczną. Ponadto przedstawiciele obu tych rodzin spełniają jeszcze warunek nieredukowalności, co oznacza, że każda sfera umieszczona w rozmaitości ogranicza kulę. Może to się wydawać dziwne, bo jesteśmy przyzwyczajeni, że tak jest zawsze. Jeśli jednak przypomnimy sobie, że na torusie istnieją okręgi niebędące brzegiem koła, to zrozumiemy, iż nieredukowalność wcale nie musi być oczywista. Można udowodnić zresztą, że wszystkie rozmaitości pierwsze są nieredukowalne z jednym jedynym wyjątkiem S 2 S 1. Tu każda sfera postaci S 2 {p} nie ogranicza kuli. Obiekty typu L i zostały zbadane dość dobrze. Już w latach trzydziestych XX wieku Karl Seifert opisał i w pełni sklasyfikował rozmaitości sferyczne. Są to rozmaitości powstające w wyniku działania pewnych grup skończonych (grup izometrii) na sferze S 3. Wygląda to mniej więcej tak. Rozważmy skończoną grupę (na przykład obroty o wielokrotności kąta 2π p, gdzie p jest liczbą całkowitą) działającą na S 3. Każdy z punktów sfery jest przekształcany na kilka punktów za pomocą przekształceń tej grupy. Jeśli przekształcenia zachowują się porządnie, to sklejając punkty wraz z ich obrazami (orbity), dostaniemy właśnie rozmaitość sferyczną. Rozmaitości sferyczne mają tę sympatyczną własność, że ich grupą podstawowa jest identyczna z właśnie działającą grupą skończoną. Ze względu na fakt, iż jedynymi znanymi rozmaitościami z grupą skończoną są rozmaitości sferyczne, postawiono naturalną hipotezę, że to nie przypadek i innych rozmaitości z grupą skończoną nie ma. Gdyby hipoteza okazała się prawdziwa, to problem rozmaitości L i byłby rozwiązany. Dzielnie jednak broniła się przed wymyślnymi atakami specjalistów. A i tak pozostała ogromna rodzina rozmaitości pierwszych z nieskończoną i niecykliczną grupą podstawową czyli K j. 43

6 W latach sześćdziesiątych XX wieku zauważono 4, że do rozkładu 3 rozmaitości na mniejsze składniki można wykorzystać nie tylko sfery, lecz również inne powierzchnie. Pierwszym kandydatem naturalnie stał się torus najprostsza po sferze powierzchnia zamknięta. I odniesiono pewien sukces: analogicznie do twierdzenia Knesera prawdziwe jest twierdzenie o rozkładzie rozmaitości nieredukowalnej za pomocą torusów. Nie wchodząc w szczegóły twierdzenie to, często nazywane twierdzeniem JSJ 5, mówi, że w zamkniętej nieredukowalnej 3 rozmaitości można znaleźć skończoną rodzinę odpowiednio położonych torusów rozdzielających tę rozmaitość na zwarte 3 rozmaitości torusowo nieredukowalne i tak zwane rozmaitości włókniste Seiferta. Torusowa nieredukowalność jest odpowiednikiem zwykłej sferycznej nieredukowalności. Rozmaitości włókniste Seiferta pojawiły się w tym samym czasie co rozmaitości sferyczne. Mówiąc znów niezbyt precyzyjnie są to rozmaitości, które dadzą się przedstawić jako sumy okręgów, a każdy z tych okręgów ma otoczenie torusowe spełniające ewentualnie dodatkowe warunki. Wiele rozmaitości ma tę cechę, a wśród nich sfera S 3, znana już S 2 S 1 i przestrzenie soczewkowe. Seifert podał pełny układ niezmienników charakteryzujących rozmaitości włókniste nazwane jego imieniem. Taką sytuację zastał William Thurston pod koniec lat siedemdziesiątych. Przyjrzał się wnikliwie twierdzeniom o rozkładzie, sklasyfikowanym już rodzinom 3 rozmaitości i wykorzystał pewien stary pomysł pochodzący z czasów Poincarégo i Kleina. Mianowicie Poincaré i Klein zauważyli, że każdą z dwuwymiarowych powierzchni można jednoznacznie wyposażyć w jeden z trzech typów geometrii gwarantujący pewne porządne przedstawienie tejże powierzchni (stałą krzywiznę). Z punktu widzenia tych geometrii powierzchnia w każdym punkcie lokalnie wygląda jednakowo tak się zachowuje zwykła płaszczyzna lub sfera. Wyróżnione geometrie to: geometria lokalnie euklidesowa (paraboliczna), hiperboliczna (nawiązująca do geometrii łobaczewskiego) i sferyczna (eliptyczna). Lokalnie euklidesowo wyglądają torus i butelka Kleina (płaszczyznę pomijamy jako niezwartą), sferycznie naturalnie sfera i płaszczyzna rzutowa, a wszystkie pozostałe mogą być wyposażone w strukturę hiperboliczną. W przypadku trójwymiarowym taka sytuacja jest możliwa. Nie da się każdej 3 rozmaitości wyposażyć w tak porządne geometrie. Thurston zauważył jednak, że wiele sklasyfikowanych rozmaitości z różnych rodzin dopuszcza jedną z, tym razem, ośmiu typów wzorcowych geometrii tak, że w otoczeniu każdego punktu rozmaitość wygląda jednakowo z punktu widzenia tych wyróżnionych geometrii nazywa się to jednorodnością geometrii. Pojawił się więc pomysł, że może tylko te osiem typów wystarczy, gdy zastosujemy rozkład na sumę spójną, a następnie wzdłuż torusów. Thurston rzeczywiście udowodnił, że dla 3 rozmaitości istnieje dokładnie osiem typów geometrii spełniających warunek jednorodności. Tak narodziła się hipoteza geometryzacyjna, która, mimo oczywistych analogii do przypadku dwuwymiarowego, zaskoczyła matematyków zmagających się z problemem klasyfikacji. Nikt nie spodziewał się, że metody geometryczne mogą okazać się przydatne w problemach topologicznych. Próby klasyfikacji 3 rozmaitości sprowadzały się głównie do wyszukiwania coraz to bardziej subtelnych narzędzi (niezmienników), przede wszystkim na gruncie topologii. Hipoteza geometryzacyjna, jeśli tylko jest prawdziwa, to rozstrzyga wiele starych problemów, między innymi klasyczną hipotezę Poincarégo 6 a także pytanie o rozmaitości sferyczne. Thurstonowi udało się rozstrzygnąć hipotezę dla licznej rodziny 3 rozmaitości, wiele jednak broniło się skutecznie. W szczególności rozmaitości dopuszczające strukturę hiperboliczną (powstające między innymi przez odpowiednie sklejanie 4 Ogromne zasługi w tej dziedzinie należą do Wolfganga Hakena, znanego przede wszystkim z dowodu twierdzenia o czterech barwach. 5 Od nazwisk autorów Jaco, Shalen, Johansson 6 Z. Pogoda, Tensory, Zeszyty MSN 45 (VII 2010) 44

7 ścian wielościanów) okazały się wyjątkowo oporne. Obecnie (2012 r.) już wiemy, że hipoteza geometryzacyjna jest twierdzeniem. Dzięki oryginalnym pomysłom Richarda Hamiltona, wyjątkowo lakonicznym pracom Perelmana oraz wysiłkom wielu matematyków udało się pokonać jeden z najważniejszych problemów topologii rozmaitości trójwymiarowych. Możemy stwierdzić, że sporo wiadomo o 3 rozmaitościach, nie znaczy to jednak, że wiemy już wszystko... 45

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra. Dominika Stelmach gr. 10B2

Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra. Dominika Stelmach gr. 10B2 Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra Dominika Stelmach gr. 10B2 Teoria węzłów jest rzadkim przykładem dziedziny matematycznej, która współcześnie jest bardzo modna i intensywnie rozwijana.

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2

Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2 1 Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2 WSTĘP 2 Teoria węzłów to dziedzina matematyki, która wchodzi w skład topologii. Topologia to część matematyki, która zajmuje się badaniem kształtów. Obiektami zainteresowania

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2 Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.

Bardziej szczegółowo

TEORIA WĘZŁÓW. Natalia Grzechnik 10B2

TEORIA WĘZŁÓW. Natalia Grzechnik 10B2 TEORIA WĘZŁÓW Natalia Grzechnik 10B2 Słowem wstępu zastosowanie teorii węzłów Biologiczna rola węzłów w białkach Wyznaczanie topologii białek Kryptografia Biofizyka Opis struktur DNA, RNA, białek DNA a

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa Imię Nazwisko: Paweł Rogaliński Nr indeksu: 123456 Grupa: wtorek 7:30 Data: 10-10-2012 Twierdzenie Pitagorasa Tekst artykułu jest skrótem artykułu Twierdzenie Pitagorasa zamieszczonego w polskiej edycji

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX

Bardziej szczegółowo

Katarzyna Kukuła gr. 10 B2

Katarzyna Kukuła gr. 10 B2 Katarzyna Kukuła gr. 10 B2 Rys. 1 Węzeł. Węzeł to dowolna konformacja liny, której końce zostały złączone. Możemy go otrzymać splatając ze sobą dwa końce dowolnego sznurka. Rys. 2 Tworzenie węzła matematycznego.

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego Sumy kwadratów TWIERDZENIE LAGRANGE A Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia

Bardziej szczegółowo

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine

SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine 1. Autor: Anna Wołoszyn 2. Grupa docelowa: Klasa 2 Gimnazjum 3. Liczba godzin: 2 4. Temat zajęć: Geometria brył

Bardziej szczegółowo

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Piotr Suwara 9 czerwca 2013 Nie ma wyznaczonego progu na kwalifikację na zajęcia. Gorąco zachęcam do wysyłania rozwiązań dużo przed terminem wtedy będzie

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol) KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Geometria analityczna (GAN010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/2 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30

Bardziej szczegółowo

Wielościany gwiaździste

Wielościany gwiaździste ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 Wielościany gwiaździste Arkadiusz Biel Julia Strumińska Historia odkrywania wielościanów. Wielościany foremne były znane już w antyku;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część II Na rysunku przedstawiony jest obszar pewnego miasta wraz z zaznaczonymi szkołami podstawowymi. Wyobraźmy sobie, że mamy przydzielić

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 2 (14-19.10.2009) nalogie i różnice miedzy trójkątem

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie. Joanna Sendorek

Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie. Joanna Sendorek Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie Joanna Sendorek Spis treści Wstęp 2 2 Stosunki odcinków w czworokątach 2 3 Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie 4 4 ibliografia 5 Wstęp W swojej pracy

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH Arkadiusz Biel Kraków 2011 Wielokąty gwiaździste są ciekawym przypadkiem wielokątów, gdyż posiadają

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA OGÓLNA Nazwa w języku angielskim GENERAL TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka

Bardziej szczegółowo

Przestrzenne układy oporników

Przestrzenne układy oporników Przestrzenne układy oporników Bartosz Marchlewicz Tomasz Sokołowski Mateusz Zych Pod opieką prof. dr. hab. Janusza Kempy Liceum Ogólnokształcące im. marsz. S. Małachowskiego w Płocku 2 Wstęp Do podjęcia

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

KARTA PRACY NAUCZYCIELA

KARTA PRACY NAUCZYCIELA KARTA PRACY NAUCZYCIELA Przedmiot: Klasa: Temat: Data Uwagi: Matematyka III gimnazjum Objętość brył podobnych Nie wszystkie zadania muszą zostać wykonane. Wszystko zależy od poziomu wiadomości danej klasy.

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Tensory. Zdzisław POGODA, Kraków

Tensory. Zdzisław POGODA, Kraków Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLIV Szkole Matematyki Poglądowej Do czego to się przydaje?, Sulejów, styczeń 2010. Tensory Zdzisław POGODA, Kraków Może się to wydawać dziwne, ale nawet najbardziej

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Ułamki i działania 20 h

Ułamki i działania 20 h Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły

Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1 2 obiektów

Bardziej szczegółowo

W jakim celu to robimy? Tablica Karnaugh. Minimalizacja

W jakim celu to robimy? Tablica Karnaugh. Minimalizacja W jakim celu to robimy? W projektowaniu układów cyfrowych istotne jest aby budować je jak najmniejszym kosztem. To znaczy wykorzystanie dwóch bramek jest tańsze niż konieczność wykorzystania trzech dla

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Spis treści: 3. Geometrii innych niż euklidesowa.

Spis treści: 3. Geometrii innych niż euklidesowa. Matematyka Geometria Spis treści: 1. Co to jest geometria? 2. Kiedy powstała geometria? 3. Geometrii innych niż euklidesowa. 4. Geometrii różniczkowej. 5. Geometria. 6. Matematyka-konieckoniec Co to jest

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I. PODSTAWA PRAWNA DO OPRACOWANIA PRZEDMIOTOWEGO SYSTEMU OCENIANIA: 1. Rozporządzenie z dnia 7 września 2004 r. w sprawie warunków i sposobu oceniania, klasyfikowania

Bardziej szczegółowo

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności

Bardziej szczegółowo

1. Formy sprawdzania wiedzy i umiejętności ucznia wraz z wagami ocen

1. Formy sprawdzania wiedzy i umiejętności ucznia wraz z wagami ocen Przedmiotowy System Ocenia jest zgodny z Wewnątrzszkolnym Systemem Oceniania i jest jego integralną częścią. Zasady ogólne oceniania jak i zasady planowania prac klasowych, sprawdzianów i kartkówek znajdują

Bardziej szczegółowo

Metoda Karnaugh. B A BC A

Metoda Karnaugh. B A BC A Metoda Karnaugh. Powszechnie uważa się, iż układ o mniejszej liczbie elementów jest tańszy i bardziej niezawodny, a spośród dwóch układów o takiej samej liczbie elementów logicznych lepszy jest ten, który

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA SZKOŁY PODSTAWOWEJ IM. JÓZEFA WYBICKIEGO W GOSTKOWIE MATEMATYKA DLA KLAS IV VI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA SZKOŁY PODSTAWOWEJ IM. JÓZEFA WYBICKIEGO W GOSTKOWIE MATEMATYKA DLA KLAS IV VI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA SZKOŁY PODSTAWOWEJ IM. JÓZEFA WYBICKIEGO W GOSTKOWIE MATEMATYKA DLA KLAS IV VI SPIS TREŚCI: I. OBSZARY AKTYWNOŚCI II. NARZĘDZIA POMIARU OSIĄGNIĘĆ UCZNIÓW III. OBSZARY AKTYWNOSCI

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Idea wnioskowania statystycznego Celem analizy statystycznej nie jest zwykle tylko

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

I semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne

I semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI Wymagania na ocenę dopuszczającą I semestr Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia jednostki opisujące prędkość, drogę, czas. Rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

Matematyka 3 wymagania edukacyjne

Matematyka 3 wymagania edukacyjne Matematyka 3 wymagania edukacyjne Zakres podstawowy 1 POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski Równania miłości autor: Tomasz Grębski Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGOLNE OCENY W KLASIE IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGOLNE OCENY W KLASIE IV WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGOLNE OCENY W KLASIE IV I SEMESTR a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) Obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo