PRZYGOTOWAWCZYCH KLASY DRUGIE
|
|
- Patryk Borkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ROZWIAZANIA ZADAŃ PRZYGOTOWAWCZYCH KLASY DRUGIE Zadanie 1. Czy liczba m = 1 } {{} }{{} 1 może być: a) kwadratem liczby naturalnej, b) sześcianem liczby naturalnej?. a) Zauważmy, że }{{} }{{} 4 < }{{} }{{} 1 < }{{} }{{} 9. Z drugiej strony }{{} }{{} 4 = n n+ = ( + 10 n+1 ), m = n n+ oraz 1 } {{} }{{} 9 = n n+ = ( n+1 ). Tak wiec ( + 10 n+1 ) < m < ( n+1 ). Stad wynika, że m nie jest kwadratem liczby naturalnej (jako liczba miedzy kwadratami dwóch kolejnych liczb naturalnych). b) Z równości (3k+r) 3 = 7k 3 +7k r+9kr +r 3 wynika, że sześcian liczby ca lkowitej przy dzieleniu przez 9 może dawać reszte 0, 1 lub 8. Jednak m = n n+ = (9 + 1) n+1 + (9 + 1) n+ = 9s + 7, dla pewnej liczby naturalnej s. Tak wiec m nie jest sześcianem liczby naturalnej. Zadanie. Ile cyfr ma najmniejsza liczba naturalna podzielna przez 75, której suma cyfr jest równa 75? Zauważmy, że 75 = Wykorzystamy nastepuj ac a ceche podzielności przez 11: Liczba N = c n c n 1... c c 1 c 0 jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba S(N) = c 0 c 1 + c + ( 1) n c n jest podzielna przez 11. Dowód powyższej cechy wynika stad, że N = c 0 + c c c n 10 n = c 0 +c 1 (11 1)+c (11 1) + +c n (11 1) n = 11k +c 0 c 1 +c +( 1) n c n, dla pewnej liczby ca lkowitej k. Oznaczmy przez S(N) sume cyfr zapisu dziesietnego liczby N. Zauważmy, że S(N)+ S(N) = (c 0 + c + c ) jest zawsze liczba parzysta. Jeżeli N jest taka liczba, że S(N) = 75, to S(N) jest liczba nieparzysta. Jeżeli dodatkowo N jest podzielna przez 11, to na podstawie powyższej cechy, S(N) 11 lub S(N) 11. Udowodnimy, że liczba spe lniajaca warunki zadania nie może mieć mniej niż 33 cyfry. Ponieważ jest ona podzielna przez 5, wiec ma ona jedna z czterech postaci: N = c n c n 1... c 00 lub N = c n c n 1... c 5 lub 1
2 N = c n c n 1... c 50 lub N = c n c n 1... c 75, gdzie c i {0, 1,,..., 9}. Za lóżmy, że n 31. Jeżeli S(N) 11, to z powyżego wynika, że c 0 + c + + c c 30 = 143 Jednak c 0 {0, 5}, wiec c + + c c Jest to niemożliwe, gdyż 15 9 = 135. W przypadku, gdy S(N) 11 rozważamy różnice S(N) S(N) = (c 1 + c 3 + c ). Podobnie jak wyżej, uwzgledniaj ac fakt, że c 1 {0,, 5, 7} otrzymujemy c 3 + c c = 136 > 15 9, co jest niemożliwe. Nie istnieje zatem mniej niż 33 cyfrowa liczba podzielna przez 75 o sumie cyfr równej 75. Z powyższej cechy podzielności przez 11 wynika, że liczba N = }.{{.. 99} dziewiatek jest podzielna przez 11 (bo S(N) = = 11) oraz oczywiście przez 5. Ponadto S(N) = = 75. Ostatecznie, najmniejsza liczba podzielna przez 75 o sumie cyfr 75 ma 33 cyfry. Zadanie 3. a) Wykazać, że liczba a = 0, , powsta la przez wypisanie po przecinku wszystkich kolejnych liczb naturalnych, jest niewymierna. b) Wykazać, że liczba b = 0, , powsta la przez wypisanie po przecinku wszystkich kolejnych pot eg dwójki, jest niewymierna. Skorzystamy z nastepuj acego twierdzenia: Liczba 0, c 1 c c 3..., gdzie c i {0, 1,,..., 8, 9}, jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy ciag {c n } jest okresowy od pewnego miejsca, tzn. istnieja liczby naturalne n 0 oraz T takie, że c m+t = c m dla m n 0. a) W ciagu kolejnych cyfr liczby a wystepuj a np. dowolnie d lugie ciagi kolejnych zer, kolejnych jedynek, itp. Ciag cyfr liczby a nie jest zatem od żadnego miejsca okresowy. Liczba a jest wobec tego niewymierna. b) Niech {b n } bedzie ciagiem kolejnych cyfr po przecinku liczby b, tzn. b 1 =, b = 4, b 3 = 8, b 4 = 1, b 5 = 6,.... Dowód oprzemy na dwóch latwych do zauważenia faktach: (1) Dla dowolnej liczby naturalnej k istnieje potega dwójki majaca w zapisie dziesietnym dok ladnie k cyfr; () Jeśli l(m) oznacza pierwsza (liczac od lewej strony) cyfre zapisu dziesietnego liczby naturalnej m, to l(m) l(m). Przypuśćmy, że ciag {b n } jest okresowy od pewnego miejsca. Niech b m+t = b m dla m n 0. Na podstawie (1) wśród poteg dwójki wypisywanych na prawo od pozycji n 0 możemy wybrać taka, której liczba cyfr w zapisie dziesietnym jest ca lkowita wielokrotnościa liczby T. Za lóżmy, że zaczynajac od k-tej pozycji (k n 0 ) wypisywana jest st cyfrowa potega r. Wtedy zgodnie z przyjetymi oznaczeniami: b k = l( r ) oraz b k+st = l( r+1 ). Ponieważ T jest okresem ciagu {b n } otrzymujemy b k = b k+st, czyli l( r ) = l( r+1 ). Przeczy to jednak ().
3 3 Zadanie 4. Dla danej liczby naturalnej n wyznaczyć maksymalna poteg e dwójki dzielac a liczbe 7 n 1. oprzemy na znanej tożsamości: a m 1 = (a 1)(a m 1 + a m + + a + 1). Przypuśćmy, że n = k s, gdzie k 0 oraz s jest liczba nieparzysta. Z powyższej tożsamości wynika, że 7 n 1 = (7 k ) s 1 = (7 k 1)(7 k (s 1) + 7 k (s ) k + 1). Drugi czynnik powyższego rozk ladu jest liczba nieparzysta (jako suma nieparzystej liczby nieparzystych sk ladników), wiec wystarczy znaleźć najwyższa poteg e dwójki dzielac a liczbe 7 k 1. Niech zatem α k bedzie takie, że 7 k 1 = α k m, gdzie m jest liczba nieparzysta. Korzystajac ze wzoru dwumiennego Newtona otrzymujemy dla k 1 ( ) ( ) k 7 k + 1 = (8 1) k + 1 = 8 k 8 k 1 k = l, 1 k 1 gdzie l jest liczba nieparzysta. Mamy wiec 7 k+1 1 = (7 k 1)(7 k + 1) = α k+1 ml, czyli α k+1 = α k + 1. Ponieważ α 1 = 3, wiec z latwościa otrzymujemy, że α k = k +, dla k 1. Ostatecznie α 0 = 1 oraz α k = k +, dla k 1. Zadanie 5. Zbiór M sk lada sie z 005 różnych liczb naturalnych. Wykazać, że można wybrać trzy różne liczby a, b, c M takie, że a(b c) dzieli si e przez 005. Możliwe sa dwa przypadki: (1) Liczby ze zbioru M daja różne reszty z dzielenia przez 005; () Istnieja dwie liczby (oznaczmy je przez b i c) dajace taka sama reszte z dzielenia przez 005. W przypadku (1) istnieje w zbiorze M liczba a podzielna przez 005. Wtedy dla dowolnych b, c M mamy podzielność a(b c) przez 005. Jeśli zaś zachodzi sytuacja (), to b c dzieli si e przez 005, a wi ec dla dowolnej liczby a M mamy 005 a(b c).
4 4 Zadanie 6. Prostokaty P 1, P,..., P n pokrywaja ca lkowicie figure F o polu 1. Wykazać, że przynajmniej jeden z tych prostokatów ma obwód nie mniejszy od 4/ n. Oszacujemy najpierw pole dowolnego prostokata wzgledem jego obwodu. Niech a, b sa d lugościami boków prostokata o obwodzie p. Stosujac nierówność miedzy średnimi arytmetyczna i geometryczna otrzymujemy: ( ) a + b ab = p /16, Wynika stad, że każdy prostokat o obwodzie mniejszym od 4/ n ma pole mniejsze od 1/n. Ponieważ prostokaty P 1, P,..., P n pokrywaja ca lkowicie figure F o polu 1, wiec wśród nich musi istnieć przynajmniej jeden o obwodzie nie mniejszym od 4/ n. Zadanie 7. Rozwiazać równania: a) (x ) 6 + (x 4) 6 = 64; b) x x + 1 x x + 9 = 0 a) Podstawiajac y = x 3 równanie przyjmuje postać (y 1) 6 + (y + 1) 6 = 64. Po przekszta lceniach otrzymujemy równanie y y y 31 = 0. Rozk ladajac lewa strone na czynniki otrzymujemy postać równoważna: (y 1)(y + 1)(y y + 31) = 0. Sdad z latwościa wnioskujemy, że y = 1 lub y = 1, czyli x = lub x = 4. b) Zauważmy, że x 0. Zapiszmy równanie w postaci: x + x + 9 = x x + 4. Podnoszac obustronnie do kwadratu, po uproszczeniach otrzymamy + x + 9x = x + 5x + 4. Podnoszac raz jeszcze ostatnie równanie obustronnie do kwadratu otrzymamy x + x + 9x = 0. Ponieważ x 0, wiec z ostatniej zależności wynika, że x = 0 jest jedynym rozwiazaniem naszego równania. Zadanie 8. a) Wielomian W (x) stopnia n + 1 ma wspó lczynniki ca lkowite. Wykazać, że jeśli istnieja różne liczby ca lkowite x 1, x,..., x n+1 takie, że W (x 1 ) = W (x ) = = W (x n+1 ) = 1, to W (x) nie jest iloczynem dwóch wielomianów dodatnich stopni o wspó lczynnikach ca lkowitych. b) Niech W (x) b edzie wielomianem stopnia 7 o wspó lczynnikach ca lkowitych. Wykazać, że jeśli istnieje pi eć różnych liczb ca lkowitych x 1, x,..., x 5 takich, że W (x 1 ) = W (x ) = = W (x 5 ) = 1, to W (x) nie jest iloczynem dwóch wielomianów dodatnich stopni o wspó lczynnikach ca lkowitych. Skorzystamy z nastepuj acej w lasności wielomianów:
5 (*) Jeżeli W (x) jest wielomianem o wspó lczynnikach rzeczywistych stopnia n oraz x 1, x,..., x k różnymi liczbami takimi, że W (x 1 ) = W (x ) = = W (x k ) = a, to k n. W lasność, ta wynika z faktu, że x 1, x,..., x k sa różnymi pierwiastkami wielomianu W (x) a, a wiec W (x) a jest podzielny przez (x x 1 )(x x )... (x x k ). a) Przypuśćmy, że W (x) = P (x)q(x) dla pewnych wielomianów P (x), Q(x) o wspó lczynnikach ca lkowitych i majacych dodatnie stopnie. Suma stopni tych wielomianów wynosi n + 1, wiec jeden z nich ma stopień nie wiekszy niż n. Niech np. stopień P (x) n. Ponieważ dla i = 1,,..., n + 1, P (x i ) Q(x i ) = 1 oraz P (x i ), Q(x i ) sa liczbami ca lkowitymi, wiec P (x i ) = 1. Oznacza to, że liczby x 1, x,..., x n+1 sa pierwiastkami wielomianu P (x) 1 stopnia n, co jest niemożliwe. b) Za lóżmy, że W (x) = P (x)q(x) dla pewnych wielomianów P (x), Q(x) o wspó lczynnikach ca lkowitych i majacych dodatnie stopnie. Podobnie jak w a) możemy za lożyć, że P (x) ma stopień 3. Wtedy dla i = 1,,..., 5, P (x i ) = 1 lub P (x i ) = 1. Z w lasności (*) wynika, że dla dok ladnie trzech różnych wartości i P (x i ) jest równe jednocześnie 1 lub 1. Bez zmniejszania ogólności możemy przyjać, że P (x 1 ) = P (x ) = P (x 3 ) = 1, x 1 < x < x 3 oraz P (x 4 ) = P (x 5 ) = 1. Wówczas P (x) + 1 = a(x x 1 )(x x )(x x 3 ), gdzie a jest liczba ca lkowita. Podstawiajac x = x 4 oraz x = x 5 i uwzgledniaj ac to, że P (x 4 ) = P (x 5 ) = 1 otrzymamy równości a(x 4 x 1 )(x 4 x )(x 4 x 3 ) = oraz a(x 5 x 1 )(x 5 x )(x 4 x 3 ) =. Zauważmy, że zgodnie z przyjetymi za lożeniami x 4 x 1 > x 4 x > x 4 x 3 oraz x 5 x 1 > x 5 x > x 5 x 3. Z drugiej strony jedynym rozk ladem liczby w postaci iloczynu trzech różnych czynników jest ( ) ( 1) 1 =, a wiec a = 1 lub a = 1 oraz x 4 x 1 = x 5 x 1. Stad x 4 = x 5, co przeczy za lożeniom zadania. Zadanie 9. Dla danej liczby naturalnej n rozwiazać uk lad równań: x = x 1 1 x 3 = x 1... x n = x n 1 1 x 1 = x n 1 Zauważmy najpierw, że jeśli x > 1, to x 1 > x. (dok ladniej, zbiorem rozwiazań nierówności x 1 > x jest (, 1 ) (1, + )). Tak wiec, jeśli x 1 > 1, to x = x 1 1 > 1 oraz x > x 1. Z tych samych powodów x 3 > x,..., x n > x n 1 oraz x 1 > x n, a wiec sprzeczność. Zatem rozważany uk lad nie ma rozwiazań takich, że x 1 > 1. Niech wobec tego x 1 1. Istnieje wtedy liczba t R taka, że x 1 = cos t. Z tożsamości cos t = cos t 1 wynika kolejno, że x = cos t, x 3 = cos t,..., x n = cos n 1 t i w końcu x 1 = cos n t. Musi wiec zachodzić równość: cos t = cos n t. Korzystajac z tożsamości cos α cos β = sin α+β sin α β otrzymujemy sin (n + 1)t sin (n 1)t = 0. 5
6 6 Stad wnosimy, że t = kπ kπ lub t = n +1 n 1 dla pewnej liczby ca lkowitej k. Ostatecznie, rozważany uk lad spe lniaja ciagi (x 1, x,..., x n ) takie, że x i = cos i kπ n +1 dla i = 1,,..., n lub x i = cos i kπ dla i = 1,,..., n. n 1 Należy jeszcze rozstrzygnać dla jakich wartości k otrzymujemy różne rozwiazania uk ladu. Podobnie jak wyżej stwierdzamy, że równość: cos kπ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (k + l)π n + 1 = cos lπ n + 1 n + 1 = sπ lub (k l)π n + 1 = sπ dla pewnej liczby ca lkowitej s. Ostatni warunek jest równoważny temu, że jedna z liczb k + l lub k l jest ca lkowita wielokrotnościa liczby n + 1. Teraz z latwościa zauważamy, że dla k = 0, 1,..., n 1 odpowiadajace wartości x 1 sa parami różne. Analogicznie otrzymujemy, że wszystkie różne wartości w ciagu {cos lπ } uzykujemy n 1 przyjmujac l = 0, 1,..., n 1 1. Zauważmy ponadto, że dla 1 k n 1 oraz 1 l n 1 1 nie może zajść równość: kπ cos n + 1 = cos lπ n 1. W przeciwnym razie mielibyśmy kπ n lπ n 1 = sπ lub kπ n + 1 lπ n 1 = sπ dla pewnej liczby ca lkowitej s, czyli k( n 1) ± l( n + 1) = s( n 1)( n + 1). Żadna z ostatnich równości nie może jednak zajść, gdyż liczby n 1 i n 1 sa wzglednie pierwsze [nie mamy podzielności n + 1 k( n 1)]. Ostatecznie uk lad ma n różnych rozwiazań: x i = cos i kπ lub x n i = cos i lπ + 1 n 1, gdzie k = 0, 1,..., n 1, l = 1,,..., n 1 1. Zadanie 10. Rozwiazać równanie x x + [x] [x] = 1 + x[x], gdzie [x] oznacza cześć ca lkowita liczby x. Niech α oznacza cześć u lamkowa liczby x, tzn. x = [x] + α oraz 0 α < 1. Po podstawieniu do równania otrzymamy: Ponieważ α α 1 = (α 1 ) 5 4 [x] + (α α 1) = ( α)[x]. jest jasne, że dla α [0, 1) mamy 5 4 α α 1 1. Zauważmy teraz, że jeśli [x] 3, to [x] +(α α 1) > [x] 3[x] > ( α)[x]. Zatem równanie nie ma rozwiazań w przedziale [3, + ). Jeśli zaś [x], to
7 ( α)[x] < 0 oraz [x] + (α α 1) > 0. Możemy wiec dalej zak ladać, że [x] { 1, 0, 1, }. W każdym z tych czterech przypadków nasze równanie sprowadza sie do równania kwadratowego wzgledem α. Przez bezpośrednie sprawdzenie stwierdzamy, że tylko dla [x] = stosowne równanie kwadratowe ma pierwiastek w przedziale [0, 1). Jest nim α = Tak wiec nasze równanie ma jedno rozwiazanie: x = = Zadanie 11. Liczby x 1, x,..., x n sa nieujemne oraz x 1 + x + + x n = 1. Jaka najwieksz a wartość może przyjać suma x 1 x + x x x n 1 x n? Niech a = x 1 + x , b = x + x oznaczaja sumy wystkich x i numerowanych odpowiednio liczbami nieparzystymi i parzystymi. Mamy a + b = 1 oraz ponieważ liczby x i sa nieujemne ( ) a + b x 1 x + x x x n 1 x n ab = 1 4. Zauważmy, że dla ciagu x 1 = x = 1/, x 3 = x 4 = = x n = 0 rozważana suma przyjmuje wartość 1/4. Tak wiec 1/4 jest najwieksz a wartościa tej sumy. Zadanie 1. Na bokach równoleg loboku zbudowano kwadraty, tak że każdy kwadrat ma jeden bok wspólny z równoleg lobokiem oraz nie ma innych punktów wspólnych. Udowodnić, że środki tak otrzymanych kwadratów tworza kwadrat. Niech ABCD bedzie rozważanym równoleg lobokiem. Oznaczmy przez K, L, M, N środki dobudowanych kwadratów (patrz rysunek obok). Zauważmy, że KBL = 360 ( ABC + KBA + LBC) = 70 ABC = ABC = 90 + BAD = KAN. Stad wnosimy, że trójkaty KAN i KBL sa przystajace. Ponieważ AKB = 90, trójkat NAK jest obrazem trójkata KBL przy obrocie o środku K o kat 90 (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Stad w szczególności wynika, że KN = KL i NKL = 90. Analogicznie pokazujemy prostopad lość i równość d lugości pozosta lych par boków czworokata KLMN. Ostatecznie KLM N jest kwadratem.
8 8 Zadanie 13. Dany jest czworokat, którego dwa przeciwleg le katy sa proste; d lugości boków przy jednym z katów prostych wynosza a i b, d lugości boków przy drugim kacie prostym sa równe. Obliczyć odleg lość miedzy wierzcho lkami przy katach prostych. Niech ABCD bedzie rozważanym czworokatem, przy czym AB = a, AD = b, BAD = BCD = 90 oraz BC = CD. Przed lużmy bok AB do punktu E takiego, że BE = AD = b. Ponieważ ADC + ABC = 180, wiec EBC = ADC. Z równości CB = CD wynika teraz przystawanie trójkatów EBC i ACD. Stad otrzymujemy ACE = 90 oraz AC = CE. Trójkat ACE jest zatem równoramiennym trójkatem prostokatnym, przy czym AE = a + b. Ostatecznie AC = a+b. Zadanie 14. Na p laszczyźnie dana jest prosta l oraz dwa punkty A, B nie należace do l. Wyznaczyć zbiór środków cieżkości wszystkich trójkatów ABP takich, że P należy do prostej l. Wprowadźmy prostokatny uk lad wspó lrzednych tak, że oś OY pokrywa sie prosta l, punkt A leży na osi OX i ma wspó lrzedne (a, 0), punkt B ma wspó lrzedne (b, c). Rozważmy dowolny punkt P leżacy na prostej l. Oczywiście P ma wspó lrzedne (0, t), przy czym t może być dowolna liczba rzeczywista. Wiadomo, że wspó lrzedne środka cieżkości S trójkata ABP sa średnimi arytmetycznymi odpowiednich wspó lrzednych wierzcho lków, a wiec S ma wspó lrzedne ( a+b, c+t). St ad 3 3 widać, że środki cieżkości trójkatów ABP sa wspó lliniowe i wyznaczaja pewna prosta l równoleg l a do prostej l. Zadanie 15. Czworościan foremny o krawedzi d lugości a przecieto p laszczyzna, otrzymujac czworokat o minimalnym obwodzie. Wyznaczyć ten obwód.
9 9 Niech KLMN bedzie czworokatem powsta lym w wyniku przeciecia p laszczyzna czworościanu foremnego o krawedzi d lugości a. Oznaczmy wierzcho lki czworościanu tak, że K, L, M, N leża odpowiednio na krawedziach AC, BC, BD, AD. Narysujmy siatke czworościanu w postaci równoleg loboku o bokach d lugości a i a (por. powyższy rysunek). Wierzcho lki czworokata wyznaczaja lamana KLMNK, o d lugości a. Oczywiście minimalna d lugościa tej lamanej jest a. Z drugiej strony środki krawedzi AC, BC, BD, AD leża oczywiście na jednej p laszczyźnie i wyznaczaja czworokat o obwodzie a. [opr. pg]
PRZYGOTOWAWCZYCH KLASY PIERWSZE.. Obliczyć sume. cyfr liczby N
ROZWIAZANIA ZADAŃ PRZYGOTOWAWCZYCH - 005 KLASY PIERWSZE Zadanie 1. Niech N = 999 }{{... 99}. Obliczyć sume cyfr liczby N 3. n dziewiatek. Zauważmy, że N = 10 n 1. Mamy wiec N 3 = 10 3n 3 10 n + 3 10 n
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoObroty w zadaniach geometrycznych
Obroty w zadaniach geometrycznych Piotr Grzeszczuk piotrgr@pb.bialystok.pl Wydzia l Informatyki Politechnika Bia lostocka Spotkania z matematyka SIGNUM, Centrum Popularyzacji Matematyki Bia lystok, 15
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 157994 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) W ciagu arytmetycznym
Bardziej szczegółowoMiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej
MiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej Krzysztof Che lmiński Okr egi i styczne MiNI PW, 14.10.2017 Podstawowe twierdzenia wykorzystywane w zadaniach z ćwiczeń Twierdzenie 1 (najmocniesze
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoNiezmienniki i pó lniezmienniki w zadaniach
Niezmienniki i pó lniezmienniki w zadaniach Krzysztof Che lmiński Wydzia l Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska MiNI-Akademia Matematyki Warszawa, 2 marca, 2013 Na czym polega metoda
Bardziej szczegółowoProponowane rozwiazania Matura 2013 MATEMATYKA Poziom rozszerzony
POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH Proponowane rozwiazania Matura 013 MATEMATYKA Poziom rozszerzony Autorzy: Kamil Kosiba Tomasz Kostrzewa Wojciech Ożański Agnieszka Piliszek
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie
Bardziej szczegółowoKONKURS KLAS PIERWSZYCH
KONKURS KLAS PIERWSZYCH SZKÓ L PONADGIMNAZJALNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE ROZWIAZNIA opracowa l Piotr Grzeszczuk Oddzia l Bia lostocki Polskiego Towarzystwa Matematycznego Bia lystok 003 1 3 1. KOMBINATORYKA
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 3 KWIETNIA 016 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 3 7 48 jest równa
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 24 MARCA 202 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczba 3 3 3 jest równa A)
Bardziej szczegółowoSuma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI CIAGI ARYTMETYCZNE ZADANIE 1 Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 183264 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dziedzina funkcji
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 14968 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) W trójkacie prostokatnym
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 0 MARCA 010 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Kwiatek z doniczka kosztował
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoLVII Olimpiada Matematyczna
Zadanie 1. LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 5 kwietnia 2006 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d, e układ równań
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 155104 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Objętość stożka o
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoTest numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.
Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 001 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min Liczba zadań: 30 Każde zadanie sk lada sie z trzech cześci Odpowiedź do
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 187857 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dane sa dwie
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 19 MARCA 2016 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 54 3 24 2 18
Bardziej szczegółowoLXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 142033 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Pole trójkata
Bardziej szczegółowoKonkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r.
Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 01 r. W pustych kratkach obok liter A) B) C) D) nale zy wpisać s owo TAK lub NIE. Zadanie zostanie uznane za rozwiazane, jeśli wszystkie cztery odpowiedzi sa poprawne.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 15 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 43256232a2 jest
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 18 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej liczby
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków?
PLANIMETRIA 2 ZADANIE 1 W rombie jedna z przekatnych jest dłuższa od drugiej o 3 cm. Dla jakich długości przekatnych pole rombu jest większe od 5cm 2? 1 ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 4 MARCA 201 CZAS PRACY: 10 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych liczb
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoPOZIOM ROZSZERZONY 4 CZERWCA (x 3) 2. Sposób I. x 6.
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI (TERMIN DODATKOWY) POZIOM ROZSZERZONY 4 ZERWA 01 ZAS PRAY: 180 MINUT ZADANIE 1 (5 PKT) Rozwiaż nierówność x + 4x+4 11 x 6x+9 Łatwo zauważyć, że pod każdym z pierwiastków
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 198602 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma odległości punktu
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 80866 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przekrój osiowy
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 49988 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Odległość punktu A =
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 8 KWIETNIA 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Funkcja f określona
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 17 KWIETNIA 2010 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Jeżeli liczba 3b
Bardziej szczegółowoI) Reszta z dzielenia
Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 17 KWIETNIA 2010 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Jeżeli liczba 3b
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 5 LUTEGO 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba x jest przybliżeniem
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY (TECHNIKUM) 4 MARCA 205 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Liczba 3 25 2 : 5
Bardziej szczegółowoMatura próbna matematyka poziom rozszerzony
Matura próbna matematyka poziom rozszerzony Zadanie 1 (1pkt) Jaki jest zbiór wartości funkcji f(x) = 5 cos x 1, jeśli x π, π? 4 (a) 0, + //gdy pominie przedział na x i policzy dla x R (b) 0, 7 + //prawidłowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3
ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 142395 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Które z podanych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 155364 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla jakiej wartości
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowo