Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania Przekroje stożka. Twierdzenie Dandelina
|
|
- Grażyna Stefaniak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z9, Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 09 Przekroje stożka. Twierdzenie Dandelina Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Przekroje stożka. Twierdzenie Dandelina Rys. Z09-01: Ilustracja twierdzenia Dandelina: π s - p laszczyzna przekroju (styczna do sfery wpisanej w powierzchniȩ stożka w punkcie F - ognisku stożkowej przekroju Σ) powierzchni stożka (o k acie rozwarcia 2ϕ) nachylona do osi stożka pod k atem ψ; π o - p laszczyzna okrȩgu styczności sfery i stożka; k(= π o π s ) - kierownica stożkowej przekroju Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok
2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Niech dany bȩdzie stożek obrotowy o k acie rozwarcia 2ϕ oraz p laszczyzna π s nachylona do osi stożka pod k atem ψ, przecinaj aca powierzchniȩ stożka w krzywej Σ, któr a nazwiemy krzyw a stożkow a. Rozważmy sferȩ wpisan a w powierzchniȩ stożka, styczn a do p laszczyzny π s w punkcie F, który nazwiemy ogniskiem. Oznaczmy przez Ω okr ag styczności sfery do powierzchni stożka, a przez π o - p laszczyznȩ tego okrȩgu. Przez k oznaczmy prost a wspóln a dwu p laszczyzn π o, π s ) (k = π o π s ). Prost a tȩ nazywać bȩdziemy kierownic a (rys. Z09-01). Możemy sformu lować twierdzenie: Twierdzenie [Dandelina] 1 Jeśli krzywa stożkowa jest przekrojem stożka obrotowego, to stosunek odleg lości dowolnego punktu tej stożkowej od ogniska do odleg lości tego punktu od kierownicy jest sta ly. Rys. Z09-02: Ilustracja (w profilu) wariantów przekroju powierzchni stożkowej w ujȩciu kolineacyjnym: e) w elipsie (prosta graniczna nie przecina okrȩgu styczności); p) w paraboli (prosta graniczna ma jeden punkt z okrȩgiem styczności) Dowód. Niech X bȩdzie dowolnym punktem stożkowej Σ. Oznaczmy przez d(x, F) odleg lość punktu X od ogniska F, a przez d(x, k) odleg lość punktu X od kierownicy k. Oznaczmy przez t tworz ac a stożka, przechodz ac a przez punkt X, przez T - jej punkt przeciȩcia z okrȩgiem styczności Ω, oraz przez Q rzut prostok atny punktu X na kierownicȩ k. Mamy równości: d(x, k) = d(x, Q), d(x, F) = d(x, T). (1) Pierwsza równość wynika z przyjȩtych oznaczeń, druga wyraża równość odcinków [XF], [XT] o wspólnym końcu X, stycznych do sfery w punktach F, T. Odcinki [XT], [XQ] maj a wspólny rzut prostok atny - odcinek [X S] - na oś stożka, gdzie punkt S jest wspólnym rzutem punktów T i Q, leż acych w p laszczyźnie π o, prostopad lej do osi stożka. Mamy wiȩc dwie równości: Korzystaj ac z (1), (2) otrzymujemy d(x, S) = d(x, T)cosϕ, d(x, S) = d(x, Q)cosψ. (2) d(x, F) d(x, k) d(x, T) = d(x, Q) = d(x, S) cosϕ : d(x, S) cosψ = cosψ cosϕ = e. (3)
3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 3 Otrzymana wartość e, sta la dla danego stożka obrotowego (k at ϕ) i przyjȩtego po lożenia p laszczyzny (k at ψ), nazywana jest mimośrodem stożkowej. Wartość momośrodu charak- Rys. Z09-03: Twierdzenie Dandelina: h) ilustracja (w profilu) wariantów przekroju powierzchni stożkowej w ujȩciu kolineacyjnym w hiperboli (prosta graniczna przecina okrȩgu styczności w dwóch punktach); o) ilustracja (w profilu) twierdzenia Dandelina teryzuje typ stożkowej: (e) Dla elipsy mamy ϕ < ψ, sk ad cosϕ > cosψ, czyli e < 1. (p) Dla paraboli mamy ϕ = ψ, sk ad cosϕ = cosψ, czyli e = 1. (h) Dla hiperboli mamy ϕ > ψ, sk ad cosϕ < cosψ, czyli e > 1. Twierdzenie Dandelina pozwala wprowadzić definicjȩ stożkowej w oparciu o pojȩcie odleg lości, ognisko, kierownicȩ i mimośród. Tak uczyniono w wyk ladzie 5. Definicja ta l aczy, w elegancki sposób, znane z geometrii szkolnej krzywe: elipsȩ, parabolȩ i hiperbolȩ z powierzchni a stożka obrotowego. Nie jest jednak zbyt wygodn a do rysowania stożkowych za pomoc a konstrukcji p-o, czyli za pomoc a cyrkla i linijki. Twierdzenie Dandelina zachodzi także dla walca obrotowego, przekrojem walca obrotowego jest elipsa lub okr ag. 2. Konstrukcje dyskretne stożkowych Stożkowe maj a wiele interesuj acych w lasności. Wiele z nich może być podstaw a ich definicji. Można je rysować (konstruować) bardzo prostymi metodami za pomoc a cyrkla i linijki pod warunkiem, że s a w specjalny sposób określone Konstrukcja siatkowa elipsy Konstrukcja siatkowa elipsy jest dość prost a konsekwencj a faktu, że elipsa może być traktowana jako obraz okrȩgu w powinowactwie. Konstrukcja, za pomoc a cyrkla i linijki, jest dość prosta przy za lożeniu, że elipsa jest określona (zadana) za pomoc a średnic sprzȩżonych (rys. Z09-04a).
4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-04: Konstrukcja siatkowa elipsy 2.2. Konstrukcja siatkowa paraboli Rys. Z09-05: Konstrukcja siatkowa paraboli: a) dane punkt w laściwy A, styczna a w tym punkcie, punkt niew laściwy C, punkt w laściwy B; a2) przez punkty B i C prowadzimy prost a (o kierunku osi paraboli), otzrymane odcinki dzielimy na dowoln a, tȩ sam a liczbȩ czȩści (tu: cztery); a3) punkty podzia lu l aczymy odpowiednio z punktami B, C propstymi; a4) punkty przeciȩcia odpowiednich prostych leż a na paraboli; a5) parabola zosta la narysowana za pomoc a specjalnie napisanej w jȩzyku AutoLISP funkcji, zrealizowanej zreszt a na podstawie konstrukcji siatkowej Korzystaj ac z twierdzenia Pascala, którego przytaczać tu nie bȩdziemy, można zaproponować konstrukcjȩ siatkow a paraboli. Możliwe jest to przy za lożeniu, że parabola jest
5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 5 określona przez cztery elementy: punkt A, prost a a styczn a w punkcie A, punkt niew laściwy C (kierunek osi symetrii paraboli) oraz punkt B (rys. Z09-05a). Prowadzimy przez punkty B i C prost a (o kierunku osi paraboli) (rys. Z09-05a2). Odcinek wyznaczony przez punkt A i tȩ prost a na stycznej a dzielimy na dowoln a ale ustalon a liczbȩ równych odcinków (rys. Z09-05a2) i podobnie postȩpujemy z odcinkiem wyznacznym przez punkt B i styczn a a na prostej przechodz acej przez punkt B. Punkty podzia lu na prostej a l aczymy z punktem C, zaś punkty podzia lu na prostej przechodz acej przez punkt B l aczymy z punktem A. Dalej postȩpujemy podobnie jak w przypadku elipsy Konstrukcja dyskretna hiperboli Hiperbola ma nastȩpu ac a w lasność: jeżeli dowolna prosta przecina hiperbolȩ w dwóch punktach w laściwych, to odcinek tej prostej zawarty pomiȩdzy jednym z tych punktów i jedn a (dowolnie wybran a) z asymptot jest równy odcinkowi zawartemu pomiȩdzy drugim z tych punktów i drug a symptot a. W oparciu o tȩ w lasność hiperbolȩ konstruujemy przez dyskretne uzupe lnianie. Punktem wyjścia s a nastȩpu ace dane: dwie asymptoty i dowolny punkt w laściwy (rys. Z09-06a). Rys. Z09-06: Konstrukcja dysktretnego uzupe lniania hiperboli: a) dane - dwie asymptoty i punkt w laściwy; a1) przez punkt poprowadzono dowoln a prost a; a2) na prostej tej wyznaczono w oparciu o przytoczon a w lasność równości odcinków na prostej miȩdzy punktami hiperboli i asymptotami, drugi punkt; a3) konstrukcjȩ powtórzono dla innej prostej; a4) hiperbola zosta la narysowana za pomoc a specjalnie napisanej w jȩzyku AutoLISP funkcji, zrealizowanej zreszt a na podstawie omawianej w lasności Przyklad 1 Wyznaczyć przekrój powierzchni stożka obrotowego p laszczyzn a, jeśli obiekty te s a odwzorowane w rzutach prostok atnych (rys. Z09-07a). W konstrukcji wykorzystać metodȩ siatkow a. Rozwi azanie. Niech dane bȩd a rzuty Monge a fragmentu stożka obrotowego i p laszczyzny w po lożeniu pionoworzutuj acym (rys. Z09-07a). Odwzorowany uk lad obiektów geometrycznych
6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-07: Konstrukcja przekroju stożka obrotowego w elipsie: a) rzuty stożka i p laszczyzny pionoworzutuj acej; a1) konstrukcja rzutu poziomego jednej z osi elipsy; a2) wyznaczenie środka elipsy w celu skonstruowania drugiej osi (cdn) Rys. Z09-07: Konstrukcja przekroju stożka obrotowego w elipsie: a3) a4) wyznaczanie drugiej osi za pomoc a przekroju stożka w okrȩgu p laszczyzn a prostopad l a do osi (równoleg l a do rzutni poziomej); a5) p laszczyzna przecina powierzchniȩ stożkow a w okrȩgu, którego średnica jest równa ciȩciwie konturu (trójk ata równoramiennego) rzutu pionowego stożka, rzut poziomy tego okrȩgu jest okrȩgiem wspó lśrodkowym z konturem rzutu poziomego (cdn) ma p laszczyznȩ symetrii równoleg l a do rzutni pionowej. Z twierdzenia Dandelina i z za lożeń rysunku wynika, że przekrojem stożka jest elipsa. Konstruujemy rzut poziomy osi elipsy
7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 7 Rys. Z09-07: Konstrukcja przekroju stożka obrotowego w elipsie: a6) końce drugiej osi elipsy przekroju leż a na okrȩgu przekroju poprzecznego powierzchni stożkowej, w rzucie poziomym znaleziono je w przeciȩciu odnosz acej środka pierwszej osi z rzutem okrȩgu; a7) maj ac osie elipsy (a wiȩc średnice sprzȩżone) elipsȩ skonstruwano metod a siatkow a; a8) elipsa zosta la narysowana za pomoc a specjalnie napisanej w jȩzyku AutoLISP funkcji, zrealizowanej metod a siatkow a równoleg lej do rzutni pionowej, leż acej we wspomnianej p laszczyźnie symetrii (rys. Z09-07a1). W celu skonstruowania drugiej osi w rzucie pionowym wyznaczamy środek elipsy i prowadz- Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii) rzut pionowy wyciȩtej bry ly; ii1) rozwi azanie rozpoczȩto od konstrukcji rzutu pionowego i elementów rzutu poziomego przekroju parabolicznego (znaleziono rzuty wierzcho lka paraboli, kierunek osi paraboli i dwa punkty paraboli); ii2) zastosowano metodȩ siatkow a konstrukcji paraboli
8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii4 ii5) pos luguj ac siȩ pomocniczym przekrojem w okrȩgu, p laszczyzn a przechodz ac a przez końce fragmentu paraboli (określone w rzucie pionowym) wyznaczono w rzucie poziomym końce krzywoliniowego parabolicznego brzegu bry ly Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii6 ii8) konstrukcja eliptycznego brzegu bry ly (por. rys. Z09-07) imy odnosz ac a (rys. Z09-07a2), która pokrywa siȩ prost a zawieraj a oś elipsy w tym rzucie (rys. Z09-07a3). W celu wyznaczenia końców drugiej dokonujemy pomocniczego przekroju stożka p laszczyzn a równoleg l a do rzutni poziomej, przechodz ac a przez środek konstruowanej elipsy (rys. Z09-07a4). Znajdujemy okr ag przekroju w rzucie poziomym, którego średnica jest równa (przystaj aca do) ciȩciwie konturu rzutu pionowego stożka (trójk ata równoramiennego) wyznaczonej przez rzut pionowy p laszczyzny pomocniczej (rys. Z09-07a5) i dwa punkty przeciȩcia
9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 9 odnosz acej z tym okrȩgiem (rys. Z09-07a6). Otrzymane osie elipsy (s a to także średnice sprzȩżone elipsy) pozwalaj a skonstruwać metod a siatkow a elipsȩ (rys. Z09-07a7). Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii9 ii11) zastosowanie metody siatkowej Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii12 ii14) zastosowanie metody siatkowej, konstrukcja fragmentu elipsoidalnej czȩści brzegu bry ly Zadanie 1 Wyznaczyć dwa rzuty bry ly bȩd acej fragmentem stożka obrotowego (rys. Z09-09) oraz kuli (rys. Z09-10) wyciȩtej p laszczyznami, jeśli obiekty te s a odwzorowane w rzutach prostok atnych. W konstrukcji wykorzystać metodȩ siatkow a tworzenia elipsy i paraboli.
10 10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-09: Za lożenia do zadania 1. Z wyj atkiem jednego odcinka (rys. ii) we wszystkich przypadkach odcinki konturu bry ly w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów lub równoleg le do tworz acej konturowej stożka Rys. Z09-09: Za lożenia do zadania 1. Z wyj atkiem jednego odcinka (rys. iv) we wszystkich przypadkach odcinki konturu bry ly w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów lub równoleg le do tworz acej konturowej stożka Rozwi azanie zadania 1 dla za lożeń z rysunku Z09-09ii. Jedna z p laszczyzn zawieraj aca brzeg bry ly jest równoleg la do tworz acej (konturowej) stożka. Indukuje ona paraboliczny fragment brzegu bry ly. Najpierw znadujemy rzut pionowy fragmentu paraboli wraz z wierzcho lkiem i dwoma punktami, nastȩpnie rzuty pionowe wierzcho lka, osi paraboli (uk lad - suma bry l p laszczyzna przecinaj aca w paraboli i stożek jest p laszczyznowosymetryczny) i dwóch punktów (rys. Z09-09ii1). Dane te pozwalaj a zastosować metodȩ siatkow a konstrukcji
11 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania Rys. Z09-10: Za lożenia do zadania 1. W wielu przypadkach odcinki w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów Rys. Z09-10: Za lożenia do zadania 1. W wielu przypadkach odcinki w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów paraboli (rys. Z09-09ii2 ii3). W celu wyznaczenia końców fargmentów paraboli dokonujemy pomocniczego przekroju stożka p laszczyzn a równoleg l a do rzutni poziomej, przechodz ac a przez odcinek l acz acy czȩść paraboliczn a z czȩści a eliptyczn a (rys. Z09-08ii4). Znajdujemy okr ag przekroju w rzucie poziomym, którego średnica jest równa (przystaj aca do) ciȩciwie konturu rzutu pionowego stożka (trójk ata równoramiennego) wyznaczonej przez rzut pionowy p laszczyzny pomocniczej i dwa punkty przeciȩcia odnosz acej z tym okrȩgiem (rys. Z09-08ii4).
12 12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Otrzymany okr ag umożliwia znalezienie rzutu poziomego drugiej z osi elipsy, ktoŕej fragment jest czȩści a brzegu poszukiwanej bry ly. Konstrukcja elipsy jest analogiczna jak w przyk ladzie 1. Warto zwrócić jeszcze szczególn a uwagȩ na hiperboliczny fragment brzegu bry ly, którego w przjȩtych za lożeniach nie rysujemy. Leży on bowiem w p laszczyźnie profilowej wzglȩdem uk ladu rzutni i jego kszta l jest dobrze scharakteryzowany, jak wiadomo, w zrucie bocznym. Wówczas konstrukcja hiperboli może być zrealizowana po uprzednim wyznaczeniu jej asysmptot. U w a g a! Przekrojem kuli (sfery) dowoln a p laszczyzn a jest ko lo (okr ag). Rzutem równoleg lym (prostok atnym) okrȩgu jest elipsa. Ma to ścis ly zwi azek twierdzeniem Dandelina.
Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z10, 1 12. Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10 Edwin Koźniewski Zak lad Infoemacji Przestrzennej 1. Cień sfery na p lszczyznȩ 1.1. Jeszcze o kolineacji
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z10A, 1 7. Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Twierdzenia o rozpadzie linii przenikania W
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Zadania 04
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z4, 1 3. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 04 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Punkt przebicia p laszczyzny prost a w aksonometrii
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Zadania 06
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z6, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 06 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Przenikanie siȩ figur (bry l) w rzutach Monge a
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6C, 1 8. Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa czo lowa wnȩtrza Rys. 6C-01:
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6F, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Zadania 01
Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z1, 1 4. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 01 Edwin Koźniewski Instytut Inżynierii Budowlanej, Politechnika Bia lostocka 1. Twierdzenie o punkcie wȩz
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02
Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z2, 1 3. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02 1. Odwzorowania w rzucie równoleg lym. Przekroje cd. Konstrukcje p laskie 1.1. Przekszat lcenia na p
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich cienie w rzucie środkowym 06D
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6D, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich cienie w rzucie środkowym 06D Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Cienie w perspektywie i perspektywie
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03B
Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 3B, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03B Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Cienie wzajemne w aksonometrii Przyk lad 1 Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06B
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6B, 1 17. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06B Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. K lad p laszczyzny Rys. 6B-01: Konstrukcja
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie Wyk lad 05B
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 5B, 1 11. Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie Wyk lad 05B Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. O powierzchniach maj acych zastosowanie
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03A
Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 3A, 1 17. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Elementy wspólne prostej i p laszczyzny (okrȩgu
Bardziej szczegółowo(a) (b) (c) o1" o2" o3" o1'=o2'=o3'
Zad.0. Odwzorowanie powierzchni stożka, walca, sfery oraz punktów leżących na tych powierzchniach. Przy odwzorowaniu powierzchni stożka, walca, sfery przyjmiemy reprezentację konturową, co oznacza, że
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich perspektywa boczna wnȩtrza 06E
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6E, 1 14. Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa boczna wnȩtrza 06E Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa boczna wnȩtrza
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie 05A
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 5A, 1 17. Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie 05A E. Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. O krzywych i powierzchniach Dotychczas zajmowaliśmy
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA
SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 z y 0 x Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 2018 1 1 Projekt trzynasty
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich rzut cechowany 07
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 7, 1 18. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut cechowany 07 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Definicja rzutu cechowanego Rys. 07-01: Definicja
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich dachy 04
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 4, 1 23. Geometria odwzorowań inżynierskich dachy 04 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Obroty i k lady Wykorzystywaliśmy już pojȩcie obrotu
Bardziej szczegółowoMiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej
MiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej Krzysztof Che lmiński Okr egi i styczne MiNI PW, 14.10.2017 Podstawowe twierdzenia wykorzystywane w zadaniach z ćwiczeń Twierdzenie 1 (najmocniesze
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 02
Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 2, 1 21. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 02 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzuty prostok atne na dwie rzutnie - Monge a Rys.
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 01
Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 1, 1 21. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 01 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. O rzutach i elementach niew laściwych w geometrii
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich w aspekcie CAD
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 8, 1 11. Geometria odwzorowań inżynierskich w aspekcie CAD Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Odwzorowanie obiektu geometrycznego w aspekcie
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoGeometria przestrzenna. Stereometria
1 Geometria przestrzenna. Stereometria 0.1 Graniastos lupy Graniastos lup to wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, s a przystaj cymi wielok atami leż acymi w p laszczyznach równoleg lych,
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoTest numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.
Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 001 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min Liczba zadań: 30 Każde zadanie sk lada sie z trzech cześci Odpowiedź do
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza
Plan wykładu Wykład 3 Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady 1. Rzutowanie prostokątne - geneza 2. Dwa sposoby wzajemnego położenia rzutni, obiektu i obserwatora, metoda europejska i amerykańska
Bardziej szczegółowoGeometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoGeometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Geometria wykreślna 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 5. Obroty i
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola
Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoRozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej
Rozdzia l 6 Wstȩp do statystyki matematycznej 6.1 Cecha populacji generalnej W rozdziale tym zaprezentujemy metodȩ probabilistycznego opisu zaobserwowanego zjawiska. W takim razie (patrz rozdzia l 2.4)zjawiskotobȩdziemy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoGrafika inżynierska geometria wykreślna. 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa.
Grafika inżynierska geometria wykreślna 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie,
Bardziej szczegółowoObroty w zadaniach geometrycznych
Obroty w zadaniach geometrycznych Piotr Grzeszczuk piotrgr@pb.bialystok.pl Wydzia l Informatyki Politechnika Bia lostocka Spotkania z matematyka SIGNUM, Centrum Popularyzacji Matematyki Bia lystok, 15
Bardziej szczegółowoPrzyk³adowe zdania. Wydawnictwo Szkolne OMEGA. Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 6. Zadanie 7. Zadanie 8. Zadanie 9.
Zadanie. Przyk³adowe zdania Napisz równanie prostej przechodz¹cej przez punkty A (, ) i B (, 4 ). Zadanie. Napisz równanie prostej, której wspó³czynnik kierunkowy równy jest, wiedz¹c, e przechodzi ona
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoGeometria wykreślna. 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Geometria wykreślna 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoRok akademicki 2005/2006
GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2005/2006 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Bardziej szczegółowoFOLIACJE HADAMARDA. Maciej Czarnecki
FOLIACJE HADAMARDA Maciej Czarnecki Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem prof. dra hab. Paw la Walczaka w Katedrze Geometrii Uniwersytetu Lódzkiego Lódź 2000 1 Typeset by AMS-TEX 2 MACIEJ CZARNECKI
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoKrzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoczastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda
Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoFoliacje symetralnymi w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej
Foliacje symetralnymi w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej Maciej Czarnecki Uniwersytet Lódzki 8 Forum Matematyków Polskich Lublin, 21 września 2017 r. Forma hermitowska na C n+1 X Y = X 1 Y 1 +...
Bardziej szczegółowoTrigonometria. Funkcje trygonometryczne
1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowoCo należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu
Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna
Bardziej szczegółowow jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok
Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego
Bardziej szczegółowoSterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowo1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza
1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA WYKREŚLNA ZADANIA TESTOWE
Bożena Kotarska-Lewandowska GEOMETRIA WYKREŚLNA ZADANIA TESTOWE Katedra Mechaniki Budowli i Mostów Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej Gdańsk 2011 SPIS TREŚCI Spis treści...
Bardziej szczegółowoTomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)
Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji
Bardziej szczegółowoW poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest parabola? Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoRyszard Rȩbowski Wydzia l Zarz adzania i Informatyki PWSZ im. Witelona w Legnicy 14 marca 2009
3.14 czyli imieniny liczby π Ryszard Rȩbowski Wydzia l Zarz adzania i Informatyki PWSZ im. Witelona w Legnicy 14 marca 2009 Któżznasnies lysza l oπ, nawetjeśli nie zdaje sobie sprawy z tego, że litera
Bardziej szczegółowoStereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowona p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0
Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA - LICEUM
PODSTAWA PROGRAMOWA - LICEUM omówiona na sposób jak by lo a teraz nie bȩdzie (Marzec 24, Rok 12, godzina zwyk la) Edward Tutaj Deklaracja wstȩpna W tej czȩści kontrprzyk lady zaczerpniȩte bȩd a z dwu źróde
Bardziej szczegółowoI. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna
Bardziej szczegółowostosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv
Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży
Bardziej szczegółowo