Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania Przekroje stożka. Twierdzenie Dandelina

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania Przekroje stożka. Twierdzenie Dandelina"

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z9, Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 09 Przekroje stożka. Twierdzenie Dandelina Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Przekroje stożka. Twierdzenie Dandelina Rys. Z09-01: Ilustracja twierdzenia Dandelina: π s - p laszczyzna przekroju (styczna do sfery wpisanej w powierzchniȩ stożka w punkcie F - ognisku stożkowej przekroju Σ) powierzchni stożka (o k acie rozwarcia 2ϕ) nachylona do osi stożka pod k atem ψ; π o - p laszczyzna okrȩgu styczności sfery i stożka; k(= π o π s ) - kierownica stożkowej przekroju Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Niech dany bȩdzie stożek obrotowy o k acie rozwarcia 2ϕ oraz p laszczyzna π s nachylona do osi stożka pod k atem ψ, przecinaj aca powierzchniȩ stożka w krzywej Σ, któr a nazwiemy krzyw a stożkow a. Rozważmy sferȩ wpisan a w powierzchniȩ stożka, styczn a do p laszczyzny π s w punkcie F, który nazwiemy ogniskiem. Oznaczmy przez Ω okr ag styczności sfery do powierzchni stożka, a przez π o - p laszczyznȩ tego okrȩgu. Przez k oznaczmy prost a wspóln a dwu p laszczyzn π o, π s ) (k = π o π s ). Prost a tȩ nazywać bȩdziemy kierownic a (rys. Z09-01). Możemy sformu lować twierdzenie: Twierdzenie [Dandelina] 1 Jeśli krzywa stożkowa jest przekrojem stożka obrotowego, to stosunek odleg lości dowolnego punktu tej stożkowej od ogniska do odleg lości tego punktu od kierownicy jest sta ly. Rys. Z09-02: Ilustracja (w profilu) wariantów przekroju powierzchni stożkowej w ujȩciu kolineacyjnym: e) w elipsie (prosta graniczna nie przecina okrȩgu styczności); p) w paraboli (prosta graniczna ma jeden punkt z okrȩgiem styczności) Dowód. Niech X bȩdzie dowolnym punktem stożkowej Σ. Oznaczmy przez d(x, F) odleg lość punktu X od ogniska F, a przez d(x, k) odleg lość punktu X od kierownicy k. Oznaczmy przez t tworz ac a stożka, przechodz ac a przez punkt X, przez T - jej punkt przeciȩcia z okrȩgiem styczności Ω, oraz przez Q rzut prostok atny punktu X na kierownicȩ k. Mamy równości: d(x, k) = d(x, Q), d(x, F) = d(x, T). (1) Pierwsza równość wynika z przyjȩtych oznaczeń, druga wyraża równość odcinków [XF], [XT] o wspólnym końcu X, stycznych do sfery w punktach F, T. Odcinki [XT], [XQ] maj a wspólny rzut prostok atny - odcinek [X S] - na oś stożka, gdzie punkt S jest wspólnym rzutem punktów T i Q, leż acych w p laszczyźnie π o, prostopad lej do osi stożka. Mamy wiȩc dwie równości: Korzystaj ac z (1), (2) otrzymujemy d(x, S) = d(x, T)cosϕ, d(x, S) = d(x, Q)cosψ. (2) d(x, F) d(x, k) d(x, T) = d(x, Q) = d(x, S) cosϕ : d(x, S) cosψ = cosψ cosϕ = e. (3)

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 3 Otrzymana wartość e, sta la dla danego stożka obrotowego (k at ϕ) i przyjȩtego po lożenia p laszczyzny (k at ψ), nazywana jest mimośrodem stożkowej. Wartość momośrodu charak- Rys. Z09-03: Twierdzenie Dandelina: h) ilustracja (w profilu) wariantów przekroju powierzchni stożkowej w ujȩciu kolineacyjnym w hiperboli (prosta graniczna przecina okrȩgu styczności w dwóch punktach); o) ilustracja (w profilu) twierdzenia Dandelina teryzuje typ stożkowej: (e) Dla elipsy mamy ϕ < ψ, sk ad cosϕ > cosψ, czyli e < 1. (p) Dla paraboli mamy ϕ = ψ, sk ad cosϕ = cosψ, czyli e = 1. (h) Dla hiperboli mamy ϕ > ψ, sk ad cosϕ < cosψ, czyli e > 1. Twierdzenie Dandelina pozwala wprowadzić definicjȩ stożkowej w oparciu o pojȩcie odleg lości, ognisko, kierownicȩ i mimośród. Tak uczyniono w wyk ladzie 5. Definicja ta l aczy, w elegancki sposób, znane z geometrii szkolnej krzywe: elipsȩ, parabolȩ i hiperbolȩ z powierzchni a stożka obrotowego. Nie jest jednak zbyt wygodn a do rysowania stożkowych za pomoc a konstrukcji p-o, czyli za pomoc a cyrkla i linijki. Twierdzenie Dandelina zachodzi także dla walca obrotowego, przekrojem walca obrotowego jest elipsa lub okr ag. 2. Konstrukcje dyskretne stożkowych Stożkowe maj a wiele interesuj acych w lasności. Wiele z nich może być podstaw a ich definicji. Można je rysować (konstruować) bardzo prostymi metodami za pomoc a cyrkla i linijki pod warunkiem, że s a w specjalny sposób określone Konstrukcja siatkowa elipsy Konstrukcja siatkowa elipsy jest dość prost a konsekwencj a faktu, że elipsa może być traktowana jako obraz okrȩgu w powinowactwie. Konstrukcja, za pomoc a cyrkla i linijki, jest dość prosta przy za lożeniu, że elipsa jest określona (zadana) za pomoc a średnic sprzȩżonych (rys. Z09-04a).

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-04: Konstrukcja siatkowa elipsy 2.2. Konstrukcja siatkowa paraboli Rys. Z09-05: Konstrukcja siatkowa paraboli: a) dane punkt w laściwy A, styczna a w tym punkcie, punkt niew laściwy C, punkt w laściwy B; a2) przez punkty B i C prowadzimy prost a (o kierunku osi paraboli), otzrymane odcinki dzielimy na dowoln a, tȩ sam a liczbȩ czȩści (tu: cztery); a3) punkty podzia lu l aczymy odpowiednio z punktami B, C propstymi; a4) punkty przeciȩcia odpowiednich prostych leż a na paraboli; a5) parabola zosta la narysowana za pomoc a specjalnie napisanej w jȩzyku AutoLISP funkcji, zrealizowanej zreszt a na podstawie konstrukcji siatkowej Korzystaj ac z twierdzenia Pascala, którego przytaczać tu nie bȩdziemy, można zaproponować konstrukcjȩ siatkow a paraboli. Możliwe jest to przy za lożeniu, że parabola jest

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 5 określona przez cztery elementy: punkt A, prost a a styczn a w punkcie A, punkt niew laściwy C (kierunek osi symetrii paraboli) oraz punkt B (rys. Z09-05a). Prowadzimy przez punkty B i C prost a (o kierunku osi paraboli) (rys. Z09-05a2). Odcinek wyznaczony przez punkt A i tȩ prost a na stycznej a dzielimy na dowoln a ale ustalon a liczbȩ równych odcinków (rys. Z09-05a2) i podobnie postȩpujemy z odcinkiem wyznacznym przez punkt B i styczn a a na prostej przechodz acej przez punkt B. Punkty podzia lu na prostej a l aczymy z punktem C, zaś punkty podzia lu na prostej przechodz acej przez punkt B l aczymy z punktem A. Dalej postȩpujemy podobnie jak w przypadku elipsy Konstrukcja dyskretna hiperboli Hiperbola ma nastȩpu ac a w lasność: jeżeli dowolna prosta przecina hiperbolȩ w dwóch punktach w laściwych, to odcinek tej prostej zawarty pomiȩdzy jednym z tych punktów i jedn a (dowolnie wybran a) z asymptot jest równy odcinkowi zawartemu pomiȩdzy drugim z tych punktów i drug a symptot a. W oparciu o tȩ w lasność hiperbolȩ konstruujemy przez dyskretne uzupe lnianie. Punktem wyjścia s a nastȩpu ace dane: dwie asymptoty i dowolny punkt w laściwy (rys. Z09-06a). Rys. Z09-06: Konstrukcja dysktretnego uzupe lniania hiperboli: a) dane - dwie asymptoty i punkt w laściwy; a1) przez punkt poprowadzono dowoln a prost a; a2) na prostej tej wyznaczono w oparciu o przytoczon a w lasność równości odcinków na prostej miȩdzy punktami hiperboli i asymptotami, drugi punkt; a3) konstrukcjȩ powtórzono dla innej prostej; a4) hiperbola zosta la narysowana za pomoc a specjalnie napisanej w jȩzyku AutoLISP funkcji, zrealizowanej zreszt a na podstawie omawianej w lasności Przyklad 1 Wyznaczyć przekrój powierzchni stożka obrotowego p laszczyzn a, jeśli obiekty te s a odwzorowane w rzutach prostok atnych (rys. Z09-07a). W konstrukcji wykorzystać metodȩ siatkow a. Rozwi azanie. Niech dane bȩd a rzuty Monge a fragmentu stożka obrotowego i p laszczyzny w po lożeniu pionoworzutuj acym (rys. Z09-07a). Odwzorowany uk lad obiektów geometrycznych

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-07: Konstrukcja przekroju stożka obrotowego w elipsie: a) rzuty stożka i p laszczyzny pionoworzutuj acej; a1) konstrukcja rzutu poziomego jednej z osi elipsy; a2) wyznaczenie środka elipsy w celu skonstruowania drugiej osi (cdn) Rys. Z09-07: Konstrukcja przekroju stożka obrotowego w elipsie: a3) a4) wyznaczanie drugiej osi za pomoc a przekroju stożka w okrȩgu p laszczyzn a prostopad l a do osi (równoleg l a do rzutni poziomej); a5) p laszczyzna przecina powierzchniȩ stożkow a w okrȩgu, którego średnica jest równa ciȩciwie konturu (trójk ata równoramiennego) rzutu pionowego stożka, rzut poziomy tego okrȩgu jest okrȩgiem wspó lśrodkowym z konturem rzutu poziomego (cdn) ma p laszczyznȩ symetrii równoleg l a do rzutni pionowej. Z twierdzenia Dandelina i z za lożeń rysunku wynika, że przekrojem stożka jest elipsa. Konstruujemy rzut poziomy osi elipsy

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 7 Rys. Z09-07: Konstrukcja przekroju stożka obrotowego w elipsie: a6) końce drugiej osi elipsy przekroju leż a na okrȩgu przekroju poprzecznego powierzchni stożkowej, w rzucie poziomym znaleziono je w przeciȩciu odnosz acej środka pierwszej osi z rzutem okrȩgu; a7) maj ac osie elipsy (a wiȩc średnice sprzȩżone) elipsȩ skonstruwano metod a siatkow a; a8) elipsa zosta la narysowana za pomoc a specjalnie napisanej w jȩzyku AutoLISP funkcji, zrealizowanej metod a siatkow a równoleg lej do rzutni pionowej, leż acej we wspomnianej p laszczyźnie symetrii (rys. Z09-07a1). W celu skonstruowania drugiej osi w rzucie pionowym wyznaczamy środek elipsy i prowadz- Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii) rzut pionowy wyciȩtej bry ly; ii1) rozwi azanie rozpoczȩto od konstrukcji rzutu pionowego i elementów rzutu poziomego przekroju parabolicznego (znaleziono rzuty wierzcho lka paraboli, kierunek osi paraboli i dwa punkty paraboli); ii2) zastosowano metodȩ siatkow a konstrukcji paraboli

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii4 ii5) pos luguj ac siȩ pomocniczym przekrojem w okrȩgu, p laszczyzn a przechodz ac a przez końce fragmentu paraboli (określone w rzucie pionowym) wyznaczono w rzucie poziomym końce krzywoliniowego parabolicznego brzegu bry ly Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii6 ii8) konstrukcja eliptycznego brzegu bry ly (por. rys. Z09-07) imy odnosz ac a (rys. Z09-07a2), która pokrywa siȩ prost a zawieraj a oś elipsy w tym rzucie (rys. Z09-07a3). W celu wyznaczenia końców drugiej dokonujemy pomocniczego przekroju stożka p laszczyzn a równoleg l a do rzutni poziomej, przechodz ac a przez środek konstruowanej elipsy (rys. Z09-07a4). Znajdujemy okr ag przekroju w rzucie poziomym, którego średnica jest równa (przystaj aca do) ciȩciwie konturu rzutu pionowego stożka (trójk ata równoramiennego) wyznaczonej przez rzut pionowy p laszczyzny pomocniczej (rys. Z09-07a5) i dwa punkty przeciȩcia

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 9 odnosz acej z tym okrȩgiem (rys. Z09-07a6). Otrzymane osie elipsy (s a to także średnice sprzȩżone elipsy) pozwalaj a skonstruwać metod a siatkow a elipsȩ (rys. Z09-07a7). Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii9 ii11) zastosowanie metody siatkowej Rys. Z09-08: Konstrukcja rzutów prostok atnych bry ly wyciȩtej p laszczyznami ze stożka: ii12 ii14) zastosowanie metody siatkowej, konstrukcja fragmentu elipsoidalnej czȩści brzegu bry ly Zadanie 1 Wyznaczyć dwa rzuty bry ly bȩd acej fragmentem stożka obrotowego (rys. Z09-09) oraz kuli (rys. Z09-10) wyciȩtej p laszczyznami, jeśli obiekty te s a odwzorowane w rzutach prostok atnych. W konstrukcji wykorzystać metodȩ siatkow a tworzenia elipsy i paraboli.

10 10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Rys. Z09-09: Za lożenia do zadania 1. Z wyj atkiem jednego odcinka (rys. ii) we wszystkich przypadkach odcinki konturu bry ly w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów lub równoleg le do tworz acej konturowej stożka Rys. Z09-09: Za lożenia do zadania 1. Z wyj atkiem jednego odcinka (rys. iv) we wszystkich przypadkach odcinki konturu bry ly w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów lub równoleg le do tworz acej konturowej stożka Rozwi azanie zadania 1 dla za lożeń z rysunku Z09-09ii. Jedna z p laszczyzn zawieraj aca brzeg bry ly jest równoleg la do tworz acej (konturowej) stożka. Indukuje ona paraboliczny fragment brzegu bry ly. Najpierw znadujemy rzut pionowy fragmentu paraboli wraz z wierzcho lkiem i dwoma punktami, nastȩpnie rzuty pionowe wierzcho lka, osi paraboli (uk lad - suma bry l p laszczyzna przecinaj aca w paraboli i stożek jest p laszczyznowosymetryczny) i dwóch punktów (rys. Z09-09ii1). Dane te pozwalaj a zastosować metodȩ siatkow a konstrukcji

11 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania Rys. Z09-10: Za lożenia do zadania 1. W wielu przypadkach odcinki w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów Rys. Z09-10: Za lożenia do zadania 1. W wielu przypadkach odcinki w rzucie pionowym s a prostopad le osi rzutów lub równoleg le do osi rzutów paraboli (rys. Z09-09ii2 ii3). W celu wyznaczenia końców fargmentów paraboli dokonujemy pomocniczego przekroju stożka p laszczyzn a równoleg l a do rzutni poziomej, przechodz ac a przez odcinek l acz acy czȩść paraboliczn a z czȩści a eliptyczn a (rys. Z09-08ii4). Znajdujemy okr ag przekroju w rzucie poziomym, którego średnica jest równa (przystaj aca do) ciȩciwie konturu rzutu pionowego stożka (trójk ata równoramiennego) wyznaczonej przez rzut pionowy p laszczyzny pomocniczej i dwa punkty przeciȩcia odnosz acej z tym okrȩgiem (rys. Z09-08ii4).

12 12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 09 Otrzymany okr ag umożliwia znalezienie rzutu poziomego drugiej z osi elipsy, ktoŕej fragment jest czȩści a brzegu poszukiwanej bry ly. Konstrukcja elipsy jest analogiczna jak w przyk ladzie 1. Warto zwrócić jeszcze szczególn a uwagȩ na hiperboliczny fragment brzegu bry ly, którego w przjȩtych za lożeniach nie rysujemy. Leży on bowiem w p laszczyźnie profilowej wzglȩdem uk ladu rzutni i jego kszta l jest dobrze scharakteryzowany, jak wiadomo, w zrucie bocznym. Wówczas konstrukcja hiperboli może być zrealizowana po uprzednim wyznaczeniu jej asysmptot. U w a g a! Przekrojem kuli (sfery) dowoln a p laszczyzn a jest ko lo (okr ag). Rzutem równoleg lym (prostok atnym) okrȩgu jest elipsa. Ma to ścis ly zwi azek twierdzeniem Dandelina.

Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10

Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z10, 1 12. Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10 Edwin Koźniewski Zak lad Infoemacji Przestrzennej 1. Cień sfery na p lszczyznȩ 1.1. Jeszcze o kolineacji

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A

Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z10A, 1 7. Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Twierdzenia o rozpadzie linii przenikania W

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 04

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 04 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z4, 1 3. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 04 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Punkt przebicia p laszczyzny prost a w aksonometrii

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 06

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 06 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z6, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 06 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Przenikanie siȩ figur (bry l) w rzutach Monge a

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6C, 1 8. Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa czo lowa wnȩtrza Rys. 6C-01:

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F

Geometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6F, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 01

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 01 Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z1, 1 4. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 01 Edwin Koźniewski Instytut Inżynierii Budowlanej, Politechnika Bia lostocka 1. Twierdzenie o punkcie wȩz

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02 Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z2, 1 3. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02 1. Odwzorowania w rzucie równoleg lym. Przekroje cd. Konstrukcje p laskie 1.1. Przekszat lcenia na p

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich cienie w rzucie środkowym 06D

Geometria odwzorowań inżynierskich cienie w rzucie środkowym 06D Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6D, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich cienie w rzucie środkowym 06D Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Cienie w perspektywie i perspektywie

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03B

Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03B Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 3B, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03B Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Cienie wzajemne w aksonometrii Przyk lad 1 Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06B

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06B Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6B, 1 17. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06B Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. K lad p laszczyzny Rys. 6B-01: Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie Wyk lad 05B

Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie Wyk lad 05B Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 5B, 1 11. Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie Wyk lad 05B Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. O powierzchniach maj acych zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03A

Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03A Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 3A, 1 17. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 03A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Elementy wspólne prostej i p laszczyzny (okrȩgu

Bardziej szczegółowo

(a) (b) (c) o1" o2" o3" o1'=o2'=o3'

(a) (b) (c) o1 o2 o3 o1'=o2'=o3' Zad.0. Odwzorowanie powierzchni stożka, walca, sfery oraz punktów leżących na tych powierzchniach. Przy odwzorowaniu powierzchni stożka, walca, sfery przyjmiemy reprezentację konturową, co oznacza, że

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa boczna wnȩtrza 06E

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa boczna wnȩtrza 06E Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6E, 1 14. Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa boczna wnȩtrza 06E Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa boczna wnȩtrza

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie 05A

Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie 05A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 5A, 1 17. Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie 05A E. Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. O krzywych i powierzchniach Dotychczas zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 z y 0 x Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 2018 1 1 Projekt trzynasty

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut cechowany 07

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut cechowany 07 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 7, 1 18. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut cechowany 07 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Definicja rzutu cechowanego Rys. 07-01: Definicja

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich dachy 04

Geometria odwzorowań inżynierskich dachy 04 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 4, 1 23. Geometria odwzorowań inżynierskich dachy 04 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Obroty i k lady Wykorzystywaliśmy już pojȩcie obrotu

Bardziej szczegółowo

MiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej

MiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej MiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej Krzysztof Che lmiński Okr egi i styczne MiNI PW, 14.10.2017 Podstawowe twierdzenia wykorzystywane w zadaniach z ćwiczeń Twierdzenie 1 (najmocniesze

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 02

Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 02 Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 2, 1 21. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 02 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzuty prostok atne na dwie rzutnie - Monge a Rys.

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 01

Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 01 Scriptionis Geometrica Volumen I (2014), No. 1, 1 21. Geometria odwzorowań inżynierskich Wyk lad 01 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. O rzutach i elementach niew laściwych w geometrii

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich w aspekcie CAD

Geometria odwzorowań inżynierskich w aspekcie CAD Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 8, 1 11. Geometria odwzorowań inżynierskich w aspekcie CAD Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Odwzorowanie obiektu geometrycznego w aspekcie

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Geometria przestrzenna. Stereometria

Geometria przestrzenna. Stereometria 1 Geometria przestrzenna. Stereometria 0.1 Graniastos lupy Graniastos lup to wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, s a przystaj cymi wielok atami leż acymi w p laszczyznach równoleg lych,

Bardziej szczegółowo

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu. y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c

Bardziej szczegółowo

Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.

Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min. Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 001 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min Liczba zadań: 30 Każde zadanie sk lada sie z trzech cześci Odpowiedź do

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza

Plan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza Plan wykładu Wykład 3 Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady 1. Rzutowanie prostokątne - geneza 2. Dwa sposoby wzajemnego położenia rzutni, obiektu i obserwatora, metoda europejska i amerykańska

Bardziej szczegółowo

Geometria. Hiperbola

Geometria. Hiperbola Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr

Bardziej szczegółowo

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Geometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Geometria wykreślna 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 5. Obroty i

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej Rozdzia l 6 Wstȩp do statystyki matematycznej 6.1 Cecha populacji generalnej W rozdziale tym zaprezentujemy metodȩ probabilistycznego opisu zaobserwowanego zjawiska. W takim razie (patrz rozdzia l 2.4)zjawiskotobȩdziemy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji

Bardziej szczegółowo

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa.

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa. Grafika inżynierska geometria wykreślna 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie,

Bardziej szczegółowo

Obroty w zadaniach geometrycznych

Obroty w zadaniach geometrycznych Obroty w zadaniach geometrycznych Piotr Grzeszczuk piotrgr@pb.bialystok.pl Wydzia l Informatyki Politechnika Bia lostocka Spotkania z matematyka SIGNUM, Centrum Popularyzacji Matematyki Bia lystok, 15

Bardziej szczegółowo

Przyk³adowe zdania. Wydawnictwo Szkolne OMEGA. Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 6. Zadanie 7. Zadanie 8. Zadanie 9.

Przyk³adowe zdania. Wydawnictwo Szkolne OMEGA. Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 6. Zadanie 7. Zadanie 8. Zadanie 9. Zadanie. Przyk³adowe zdania Napisz równanie prostej przechodz¹cej przez punkty A (, ) i B (, 4 ). Zadanie. Napisz równanie prostej, której wspó³czynnik kierunkowy równy jest, wiedz¹c, e przechodzi ona

Bardziej szczegółowo

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Geometria wykreślna. 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Geometria wykreślna 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki 2005/2006

Rok akademicki 2005/2006 GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2005/2006 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. x 1

FUNKCJE LICZBOWE. x 1 FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja 19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

FOLIACJE HADAMARDA. Maciej Czarnecki

FOLIACJE HADAMARDA. Maciej Czarnecki FOLIACJE HADAMARDA Maciej Czarnecki Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem prof. dra hab. Paw la Walczaka w Katedrze Geometrii Uniwersytetu Lódzkiego Lódź 2000 1 Typeset by AMS-TEX 2 MACIEJ CZARNECKI

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

czastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda

czastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami:   karpinw adres strony www, na której znajda Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ELEMENTARNA

GEOMETRIA ELEMENTARNA Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych

Bardziej szczegółowo

Foliacje symetralnymi w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej

Foliacje symetralnymi w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej Foliacje symetralnymi w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej Maciej Czarnecki Uniwersytet Lódzki 8 Forum Matematyków Polskich Lublin, 21 września 2017 r. Forma hermitowska na C n+1 X Y = X 1 Y 1 +...

Bardziej szczegółowo

Trigonometria. Funkcje trygonometryczne

Trigonometria. Funkcje trygonometryczne 1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna

Bardziej szczegółowo

w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok

w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011

Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA WYKREŚLNA ZADANIA TESTOWE

GEOMETRIA WYKREŚLNA ZADANIA TESTOWE Bożena Kotarska-Lewandowska GEOMETRIA WYKREŚLNA ZADANIA TESTOWE Katedra Mechaniki Budowli i Mostów Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej Gdańsk 2011 SPIS TREŚCI Spis treści...

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest parabola? Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Ryszard Rȩbowski Wydzia l Zarz adzania i Informatyki PWSZ im. Witelona w Legnicy 14 marca 2009

Ryszard Rȩbowski Wydzia l Zarz adzania i Informatyki PWSZ im. Witelona w Legnicy 14 marca 2009 3.14 czyli imieniny liczby π Ryszard Rȩbowski Wydzia l Zarz adzania i Informatyki PWSZ im. Witelona w Legnicy 14 marca 2009 Któżznasnies lysza l oπ, nawetjeśli nie zdaje sobie sprawy z tego, że litera

Bardziej szczegółowo

Stereometria (geometria przestrzenna)

Stereometria (geometria przestrzenna) Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag

Bardziej szczegółowo

na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0

na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0 Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA - LICEUM

PODSTAWA PROGRAMOWA - LICEUM PODSTAWA PROGRAMOWA - LICEUM omówiona na sposób jak by lo a teraz nie bȩdzie (Marzec 24, Rok 12, godzina zwyk la) Edward Tutaj Deklaracja wstȩpna W tej czȩści kontrprzyk lady zaczerpniȩte bȩd a z dwu źróde

Bardziej szczegółowo

I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.

I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna

Bardziej szczegółowo

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży

Bardziej szczegółowo