Jan Korous. Modelování konstitutivních vztahů v termodynamice tekutin a jejich relevance k matematické analýze

Transkrypt

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jan Korous Modelování konstitutivních vztahů v termodynamice tekutin a jejich relevance k matematické analýze Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Miroslav Bulíček, Ph.D. Studijní program: Fyzika, Obecná fyzika 2008

2 Děkuji Mgr. Miroslavovi Bulíčkovi, Ph.D. za ochotu, vstřícnost a velkou trpělivost při vedení této práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Jan Korous 2

3 Obsah 1 Matematický aparát mechaniky kontinua Prostor a vztažná soustava Změna vztažné soustavy Objektivita Těleso Poloha Pole Diferenciální operace Konkrétní veličiny Konstitutivní teorie Konstitutivní vztahy Klasifikace modelů Axiomatická konstrukce Rozbor axiomů Navier-Stokesův model Implicitní konstitutivní teorie Maximalizace produkce entropie Srovnání různých přístupů Monotonie tenzoru napětí Úvod Podmínky monotonie I Podmínky monotonie II Závěr 37 A Bilance veličin 38 A.1 Bilance hmoty A.2 Bilance hybnosti A.3 Bilance momentu hybnosti A.4 Bilance energie A.5 II. věta termodynamická

4 Název práce: Modelování konstitutivních vztahů v termodynamice tekutin a jejich relevance k matematické analýze Autor: Jan Korous Katedra (ústav): Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Miroslav Bulíček, Ph.D. vedoucího: Miroslav.Bulicek@mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci prezentujeme vybrané přístupy k modelování konstitutivních vztahů v rámci termodynamiky kontinua. Výchozím bodem je klasický přístup spočívající v aplikaci axiomů konstitutivní teorie. Uvádíme dvě možné podoby souboru axiomů, diskutujeme jejich odlišnosti a načrtneme odvození Navier-Stokesova vztahu pro homogenní nestlačitelnou tekutinu. Na konkrétním příkladu zobecnění nestlačitelné Navier-Stokesovy tekutiny s viskozitou závislou na tlaku předvedeme omezení klasického přístupu a zmíníme řešení v podobě implicitního konstitutivního vztahu. První část práce uzavírá metoda maximalizace entropie. Aplikaci této metody předvedeme na příkladu implicitního vztahu odvozeného od Navier-Stokesova modelu. Druhou část práce tvoří odvození postačujících podmínek pro monotonii tenzoru napětí vzhledem k symetrické části gradientu rychlosti. Klíčová slova: konstitutivní vztah, implicitní teorie, produkce entropie, monotonie tenzoru napětí Title: Modeling of Constitutive Relationships in Fluid Thermodynamics and Their Relevance to Mathematical Analysis Author: Jan Korous Department: Mathematical Institute, Charles University Supervisor: Mgr. Miroslav Bulíček, Ph.D. Supervisor s address: Miroslav.Bulicek@mff.cuni.cz Abstract: In the present work we show several approaches to modelling of constitutive relations in continuum thermodynamics. In brief introduction we explain mathematical apparatus of continuum physics and basic concepts. Starting point of the first part is classical approach based on axioms of constitutive theory. We present two common sets of axioms and discuss their differences. We show application of this approach to derivation of constitutive relation for homogeneous incompressible Navier-Stokes fluid. Impossibility to derive certain model of generalized incompressible Navier-Stokes fluid with pressure-dependent viscosity demonstrates limitations of this classical approach. Next we present generalization of classical theory based on implicit constitutive relations and show that we are able to derive pressure-dependent viscosity within this theory. In the closing section of the first part we describe method of entropy production maximization. In the second part of this work we derive sufficient conditions for monotonicity of stress tensor which is dependent on symmetric part of velocity gradient. Keywords: constitutive relation, implicit theory, entropy production, monotonicity of stress tensor 4

5 Typografická poznámka Níže je uveden stručný přehled typografických konvencí používaných v této práci. Materiálové body jsou odlišeny obrysovým řezem písma. (např. X) Tímto řezem písma jsou v souladu s obecnými zvyklostmi značeny také množiny, z kontextu je však vždy jasné o jaký objekt se jedná. Pro snazší orientaci v zápisu budou veličiny vektorového a tenzorového charakteru (vzhledem k určitým vektorovým prostorům) psány písmem s tučným řezem. Složky vektorů a tenzorů vzhledem k nějaké bázi budou označovány pomocí hranatých závorek. Pro tenzor T tedy bude [T ] označovat matici jeho složek vzhledem k nějaké bázi. Báze bude případně specifikována v doprovodném textu. Ohledně zápisu polohových vektorů budeme dodržovat konvenci velkých písmen pro body referenčního tvaru (např. X) a malých písmen pro body aktuálního tvaru (např. x). Konvenci však nebudeme dodržovat v případě, kdy používáme nějaký obecný tvar jako referenční. Duální vektorové prostory budou značeny apostrofem. (např. V ) Funkcionály definované na prostoročasu E 3 T a případně historii vybraných polních veličin budeme značit symbolemˆnebo tildou nad znakem funkcionálu. (např. ˆT) Budeme používat zápisu diferenciálních operací pomocí symbolu nabla. Gradient a divergence pole T tak například budou T a T. 5

6 Kapitola 1 Matematický aparát mechaniky kontinua V této úvodní kapitole si zavedeme formalismus a značení dále používané. Většina značení je konzistentní s obvyklou praxí v oboru (pokud existuje). Matematický formalismus je z větší části inspirovaný knihou [2]. 1.1 Prostor a vztažná soustava Prostor V klasické fyzice bez rozpaků popisujeme makroskopický prostor okolo nás pomocí třírozměrného reálného metrického prostoru {R 3, ρ} s metrikou indukovanou Euklidovskou normou: ρ(x, y) := x y ε := 3 (x i y i ) 2. (1.1) Tento prostor budeme označovat jako E 3. Vztažná soustava V popisu geometrie prostoru pomocí výše uvedeného metrického prostoru E 3 existuje obecně značná volnost. Musíme určit jisté referenční umístění v prostoru, kterému je přiřazen vybraný bod z E 3 (obvykle počátek). Ztotožňujeme tři nezávislé směry v E 3 se třemi různými směry v prostoru. Stejně tak musíme vyřešit škálování: jakou vzdálenost v reálném prostoru mají objekty jejichž reprezentace v E 3 jsou v (např.) jednotkové vzdálenosti. Konkrétní realizaci popisu potom označujeme jako vztažnou soustavu (resp. její prostorovou část) Čas Podobně se popisuje čas pomocí metrického prostoru reálných čísel T := {R, ρ} s metrikou opět indukovanou Euklidovskou normou. Také v popisu času existuje určitá volnost a z ní plynoucí nutnost určit některé podrobnosti. Jediným rozdílem je odlišnost dimenzí obou prostorů. i=1 6

7 Dohromady budujeme kinematiku v prostoročasu E 3 T, a to prostřednictvím vybrané vztažné soustavy. 1.2 Změna vztažné soustavy Pro popis prostoročasu lze použít libovolné vztažné soustavy. Pokud již ale máme zavedenou vztažnou soustavu (čímž je efektivně dáno škálování délkové a časové jednotky), musí být všechny další použité vztažné soustavy s touto kompatibilní - požadujeme, aby měla každá dvojice bodů vzhledem ke každé vztažné soustavě stejnou vzdálenost; totéž požadujeme pro každou dvojici časových okamžiků. Mějme dvě vztažné soustavy. V první z nich budeme souřadnice označovat jako (x, t) a ve druhé (x, t ). Aby byl splněn požadavek zachování vzdáleností a časových intervalů, musí existovat transformace z jedné soustavy do druhé ve tvaru (viz. [1]): t =t a x =Q(t)x + b(t), (1.2) kde Q(t) : T E 3 E 3 je časově závislý ortonormální tenzor typu (1, 1) způsobující rotaci a/nebo zrcadlení polohových vektorů. b : T E 3 je vektorová funkce času určující vzájemnou translaci pevných bodů v obou soustavách. a T určuje konstantní rozdíl času událostí v obou soustavách. 1 Jinou, často uváděnou transformací je (viz. [2]) t =t + a x =Q(t)(x x 0 ) + c(t). (1.3) Jde však pouze o jiné značení téhož, vektoru Q(t)x 0 + c(t) odpovídá b(t) a posun času má pouze opačný směr. Zjevně jsme při splnění výše uvedených požadavků ještě mohli zrcadlit časový vektor. Nicméně doposud se zdá, že čas plyne pouze jedním směrem a tudíž takovou transformaci vyloučíme z fyzikálních důvodů. 1.3 Objektivita V Newtonovské fyzice pevných těles jsou určité veličiny považovány za objektivní neboli nezávislé na použité vztažné soustavě ve třídě soustav spojených Galileovou transformací, což je speciální případ (1.2) bez závislosti na čase. Pojem objektivity pro naše potřeby zobecníme za pomoci vybraných modelových veličin, které jsou intuitivně považovány za objektivní. Budeme odděleně posuzovat objektivitu veličin vzhledem k popisu času a prostoru. Předpokládá se, že všechny veličiny jsou vzhledem k popisu času objektivní. 1 V některých pracích bývá navíc kladena podmínka det(q(t)) = 1, viz. [3]. φ (t ) = φ(t) (1.4) 7

8 Prostorovou objektivitu si zavedeme zvlášt pro pole různých algebraických objektů Skalární pole Skalární pole φ : E 3 R je objektivní, právě když při změně vztažné soustavy (1.2) je nová hodnota pole vzhledem k nové soustavě stejná jako stará hodnota v odpovídajícím bodě vzhledem ke staré soustavě, krátce: φ (x ) = φ(x). (1.5) Vektorové pole Řekneme, že vektorové pole v : E 3 E 3 je objektivní, právě když je skalární pole každé jeho směrové projekce objektivní. Necht y, z E 3 jsou pevné polohové vektory v jednotkové vzdálenosti. Jejich rozdíl určuje nezávisle na vztažné soustavě geometrický směr. v (x ) (y z ) = v (x ) [{Q(t)y + b(t)} {Q(t)z + b(t)}] = v (x ) Q(t)(y z) = v(x) (y z) Objektivní vektorové pole se tedy při změně vztažné soustavy (1.2) transformuje takto: Tenzorové pole v (x ) = Q(t)v(x). (1.6) Tenzorové pole T : E 3 E 3 E 3 je objektivní, právě když je jeho zúžení s vektorem udávajícím směr objektivní vektorové pole. Necht v(x) je objektivní vektorové pole. Necht je také objektivní vektorové pole, tedy se transformují takto: u(x) := T (x)v(x) (1.7) u (x ) = Q(t)u(x) v (x ) = Q(t)v(x). (1.8) Za těchto předpokladů platí u (x ) = T (x )v (x ) Q(t)u(x) = T (x )Q(t)v(x) Q(t)T(x)v(x) = T (x )Q(t)v(x), (1.9) což znamená, že se objektivní pole T transformuje při změně vztažné soustavy (1.2) takto: T (x ) = Q(t)T (x)q 1 (t) = Q(t)T(x)Q T (t). (1.10) 1.4 Těleso Těleso definujeme jako množinu, která je homeomorfní s uzavřenou oblastí v E 3 s po částech hladkou hranicí. Prvky tělesa nazýváme materiálové body. 8

9 1.5 Poloha Polohou materiálních bodů tělesa rozumíme homeomorfismus tělesa β a uzavřené oblasti v E 3 s po částech hladkou hranicí. ω :β E 3 ω :X ω(x) (1.11) Množinu ω(β) pro libovolnou polohu ω nazýváme tvarem tělesa β. Předpokládáme, že v každém čase se každý bod tělesa nachází v jednoznačně určené poloze. Kinematiku tělesa tedy založíme na časově závislé funkci, která pro každý čas udává polohu všech bodů tělesa: χ :β T E 3 χ :(X, t) χ(x, t). (1.12) Navíc se obvykle předpokládá, že χ je vzhledem k času alespoň dvakrát diferencovatelná, viz. [2]. Množinu {χ(x, t), t (t 1 ; t 2 ) T} pro pevný materiálový bod X nazýváme trajektorií bodu X v časovém intervalu (t 1 ; t 2 ). Jelikož je poloha materiálových bodů zavedená jako homeomorfismus, existuje ke každé poloze funkce inverzní. Uvažujeme-li polohu navíc závisející na čase, pak již striktně řečeno o inverzní funkci nejde. Nicméně podobnou funkci si zavedeme předpisem χ 1 (x, t) : Ω [E 3 T] β [x, t] Ω : χ 1 := χ 1 (, t). (1.13) Ω je, vágně řečeno, množina bodů uvažované části prostoročasu, kde se v daný čas nacházejí materiálové body tělesa β. Nebudeme se pokoušet Ω přesně vymezit, funkci χ 1 budeme uvažovat definovanou na celém prostoročasu E 3 T a tuto bezstarostnost eliminujeme opatrností při jejím používání. 1.6 Pole Polní fyzikální veličiny lze zařadit do jedné ze dvou níže diskutovaných kategorií Funkce tělesa Funkce tělesa jsou veličiny asociovatelné přímo s materiálovými body. ϕ :β S ϕ :X ϕ(x), (1.14) kde S je bud to R, E 3 nebo E 3 E 3. Typickými zástupci jsou poloha a rychlost materiálového bodu. Funkci tělesa lze vyjádřit vzhledem k libovolnému tvaru ω(β) s využitím polohy materiálových bodů: ϕ ω : ω(β) S ϕ ω (X) :=ϕ(ω 1 (X)). (1.15) 9

10 1.6.2 Funkce tvaru Funkce tvaru jsou veličiny, které mají význam pouze vzhledem ke konkrétnímu tvaru tělesa. α ω : ω(β) S α ω : X α ω (X) (1.16) Typickými zástupci budou deformační gradient a (jak z názvu plyne) prostorová hustota libovolné veličiny. S tělesem β je však v každém časovém okamžiku jednoznačně asociován jeho aktuální tvar a tedy lze funkce tvaru rozšířit na funkce tělesa (a daného procesu): α : β T S α : (X, t) α(x, t) α(x, t) :=α χ (χ(x, t), t). (1.17) Pro popis stavů a procesů, kterými těleso prochází, se v mechanice kontinua obvykle využívá jeden ze tří následujících přístupů. (Rozdělení a pojmenování bylo převzato z [2]) Materiálový popis Nejjednodušší avšak nejméně zajímavá je možnost používat veličiny definované pro jednotlivé materiálové body abstraktního tělesa. Příkladem budiž poloha materiálového bodu pro pevný čas t: χ(, t) :β E 3 χ(, t) :X χ(x, t). (1.18) Referenční popis Materiálovému popisu je velmi podobný popis referenční. Spočívá ve výběru jednoho tvaru tělesa jako referenčního a vztahování všech veličin k tomuto tvaru. Materiálové body jsou v podstatě nahrazeny jejich polohou v referenčním tvaru. 2 Referenční tvar označujeme jednoduše jako κ(β). Funkce referenčního tvaru budeme označovat pomocí dolního indexu označujícího referenční polohu. Například poloha materiálových bodů tělesa v pevném čase t vzhledem k referenčnímu tvaru κ(β) tedy bude psána jako: χ κ (, t) : κ(β) E 3 χ κ (X, t) :=χ(κ 1 (X), t). (1.19) Jelikož tedy existuje 1:1 korespondence mezi materiálovým bodem a jeho polohou v referenčním tvaru, dovolíme si někdy tyto věci při slovním popisu zaměňovat. 2 Referenční popis (s počátečním tvarem tělesa coby referenčním) byl údajně zaveden L. Eulerem. Obvykle se však nazývá Lagrangeovským popisem, viz. [2]. 10

11 1.6.5 Prostorový popis V prostorovém popisu uvažujeme jako nezávislé proměnné body prostoru E 3 (namísto materiálových bodů nebo jejich referenční polohy). Komplikací tohoto přístupu ovšem je, že ne všude v prostoru se nutně musí nalézat materiálové body tělesa. Definiční obor prostorových polí se proto obvykle zúží na aktuální tvar tělesa. 3 Prostorová pole (neboli pole vyjádřená vzhledem k aktuální poloze) budeme označovat indexem aktuální polohy a pro alespoň částečnou kompatibilitu se standardní notací budeme používat malá písmena pro prostorový parametr. Například polohu v čase t tedy budeme označovat: χ χ (, t) : E 3 E 3 χ χ (x, t) :=χ(χ 1 (x, t), t) = x. (1.20) Naprosto analogicky k zavedení inverze polohy v materiálovém popisu zavedeme inverzi polohy vzhledem k obecnému tvaru ω(β). χ 1 ω (X, t) : Ω [E 3 T] E 3 [X, t] Ω : χ 1 ω :=χ 1 ω (, t) (1.21) 1.7 Diferenciální operace Před zmínkou o diferenciálních operacích na používaných polích bychom měli obhájit jejich smysluplnost. Uchýlíme se proto k matematicky významnému avšak ve fyzice naprosto běžnému předpokladu o existenci všech derivací, které budeme potřebovat Prostorová změna Mějme pole ϕ vyjádřené vzhledem k obecné poloze, ϕ ω : ω(β) T S. S je zástupný symbol za jeden z prostorů R, E 3, E 3 E Časová změna ϕ ω := ϕ ω (X, t) (1.22) X Necht ϕ : β T S je funkcí tělesa. Pro jednotlivé popisy zavedeme časovou derivaci a nalezneme vztahy mezi nimi. 1. pro pevný materiálový bod ϕ(x, t) := 2. pro materiálový bod určený referenční polohou Z čehož plyne rovnost: dϕ(x, t) dt dϕ(x, t) dt ϕ κ (X, t) := dϕ κ(x, t) dt = dϕ κ(κ(x), t) dt (1.23) (1.24) = dϕ κ (κ(x), t) (1.25) dt ϕ κ (X, t) = ϕ(κ 1 (X), t). (1.26) 3 Prostorový popis byl zaveden D. Bernoullim a J. d Alembertem, nicméně dnes se o něm obvykle mluví jako o Eulerovském popisu, viz. [2]. 11

12 3. pro pevný bod v prostoru dϕ(x, t) = dϕ χ(χ(x, t), t) dt dt Dostáváme tedy vztah: ϕ χ (x, t) := dϕ χ(x, t) dt = ϕ χ dχ (χ(x, t), t) X (1.27) dt (X, t) + ϕ χ (χ(x, t), t) (1.28) t ϕ χ (x, t) = ϕ(χ 1 (x, t), t) ϕ χ dχ (x, t) x dt (χ 1 (x, t), t), (1.29) kde označuje úžení pole ϕχ x (přes část z E3 ) a vektorového pole dχ dt. Vzhledem k referenční poloze potom platí: 1.8 Konkrétní veličiny ϕ χ (x, t) = ϕ κ (χ 1 κ (x, t), t) ϕ χ (x, t) dχ κ dt (χ 1 κ (x, t), t). (1.30) Zásadním předpokladem mechaniky kontinua je spojitost matematických reprezentací reálných objektů. Tato aproximace tedy jasně řadí mechaniku kontinua mezi přibližné fenomenologické teorie. Na druhou stranu umožňuje některé jevy vůbec zkoumat, byt v jen v určité aproximaci. Tímto tedy k předpokladu o existenci derivace tam, kde je jí třeba přibývá předpoklad o spojitosti všeho Poloha Poloha je již zavedena jako funkce tělesa a času udávající polohu materiálových bodů tělesa v jednotlivých časech, viz. (1.12) Rychlost, zrychlení Rychlost materiálového bodu definujeme jako časovou derivaci polohy materiálového bodu. v : β T E 3 v(x, t) := χ(x, t) (1.31) Rychlost je tedy funkcí tělesa, není závislá na žádném konkrétním tvaru. Můžeme ji však vzhledem k různým tvarům vyjadřovat - viz. výše funkce tělesa. Vztah (1.30) mezi časovou derivací funkce tělesa vyjádřenou vzhledem k různým polohám lze s použitím (1.31) přepsat na ϕ χ (x, t) = ϕ κ (χκ 1 (x, t), t) ϕ χ(x, t) v κ (χ 1 κ (x, t), t) = ϕ κ (χκ 1 (x, t), t) ϕ χ(x, t) v χ (x, t). (1.32) Zrychlení materiálového bodu definujeme jako časovou derivaci rychlosti materiálového bodu. a : β T E 3 a(x, t) := v(x, t) (1.33) 12

13 1.8.3 Další veličiny odvozené od polohy Gradient polohy vyjádřené vzhledem k poloze ω, tzv. deformační gradient F ω : ω(β) T E 3 E 3 F ω (X, t) := χ ω (X, t) (1.34) Gradient rychlosti vzhledem k poloze ω L ω : ω(β) T E 3 E 3 L ω (X, t) := v ω (X, t) (1.35) Symetrická a antisymetrická část pole L ω jsou definovány jako: D ω : ω(β) T E 3 E 3 D ω (X, t) := 1 2 (L(X, t) + LT (X, t)), W ω : ω(β) T E 3 E 3 W ω (X, t) := 1 2 (L(X, t) LT (X, t)). (1.36) (1.37) Hustota hmotnosti Bylo by přirozené před zavedením hustoty hmotnosti definovat hmotnost samotnou. Hmotnost budeme považovat za pojem převzatý z Newtonovské fyziky a v případě potřeby nalezneme rigorózní zavedení v [2]. Hustota hmotnosti je hustota míry hmotnosti tělesa vzhledem k Lebesgueově objemové míře prostoru a tedy je vždy funkcí konkrétního tvaru. Skoro všude ve tvaru ω(β) lze vyjádřit hustotu hmotnosti vzhledem k ω(β) v limitním smyslu jako: M(ω 1 (B r (X))) ρ ω (X) = lim, (1.38) r 0 B r(x) dx3 kde B r (X) je otevřená koule o poloměru r a středu X, a kde M : β R udává hmotnost jednotlivých částí tělesa, viz. [2]. Speciálně tedy zaved me prostorovou hustotu vzhledem k aktuálnímu tvaru: M(χ 1 (B r (x), t)) ρ χ (x, t) = lim. (1.39) r 0 B r(x) dx3 Abychom mohli sledovat chování hustoty v materiálových bodech v různých časech, rozšíříme hustotu na funkci tělesa: ρ(x, t) := ρ χ (χ(x, t), t). (1.40) 13

14 Síla V mechanice kontinua je zvykem rozlišovat dva druhy sil: Povrchová síla je reprezentována tenzorovým polem napětí: T ω : ω(β) T E 3 E 3 T ω : (X, t) T ω (X, t), (1.41) které po zúžení s normálovým vektorem udává sílu působící v daném bodě na povrch normálou určený. Objemová síla je reprezentována vektorovým polem: f ω : ω(β) T E 3 f ω : (X, t) f ω (X, t). (1.42) Předpokládá se, že síly jsou objektivní. V klasické fyzice je pojem síly zaveden pomocí Newtonových pohybových zákonů a síly jsou rovněž objektivní - v rámci tzv. inerciálních soustav. Koncept objektivity je však v mechanice kontinua mírně odlišný od Newtonovské fyziky, podrobnější diskuzi lze nalézt například v díle [2]. Samozřejmě, že tímto nejsou síly definovány. Definicí síly v klasické fyzice jsou Newtonovy zákony nebo jejich obdoba - pro nás tedy bilanční vztahy, viz. Dodatek A. Termodynamické veličiny V termodynamice kontinua pokládáme jednotlivé materiálové body modelovaného tělesa za otevřené termodynamické systémy. Analogiemi diskrétních veličin známých z termodynamiky jsou níže uvedené spojité polní veličiny, jejichž definicemi jsou opět bilanční vztahy uvedené v Dodatku A. Pole teploty Hustota toku tepla Hustota vnitřní a celkové energie Hustota entropie 14

15 Kapitola 2 Konstitutivní teorie 2.1 Konstitutivní vztahy Kinematika (viz. úvodní kapitola) a termodynamika (viz. Dodatek A) kontinua jsou zavedeny obecně, bez zřetele k materiálu zkoumaných těles. S tím je spojena i skutečnost, že pokud bychom chtěli libovolnou úlohu vyřešit, zjistili bychom že je nedourčená. Logickým východiskem je proto zavedení vztahů mezi fyzikálními veličinami popisujících chování modelovaného materiálu - tzv. konstitutivních vztahů. Doposud zavedené veličiny jsou uvedené v tabulce 2.1. Tabulka 2.1: Přehled veličin veličina značení počet složek definiční vztah poloha χ 3 NE rychlost v 3 ANO zrychlení a 3 ANO def. gradient F 9 ANO grad. rychlosti L 9 ANO sym. část g. r. D 9 ANO antisym. část g. r. W 9 ANO hustota hmotnosti ρ 1 NE objemová síla f 3 NE napětí T 9 NE teplota θ 1 NE tok tepla q 3 NE vnitřní energie u 1 NE entropie s 1 NE Ve sloupci definiční vztah je uvedeno, zda je daná veličina přímo definována vztahem k jiné veličině v tabulce. Sečtením složek veličin bez přímé definice dostáváme 22 nezávislých složek polních veličin. 15

16 Vztahy mezi těmito veličinami (resp. jejich složkami) udává 8 rovnic a 1 nerovnice (viz. Dodatek A): bilance hmoty (1 rovnice) bilance celkové energie (1 rovnice) bilance hybnosti (3 rovnice) bilance momentu hybnosti (3 rovnice) II. věta termodynamická v podobě entropické nerovnosti (1 nerovnice). Zbylých 14 stupňů volnosti tedy musí být odstraněno bud to zadáním omezujících podmínek pro hodnoty daných polí v průběhu uvažovaného procesu (nestlačitelnost, izotermní proces apod.) nebo nalezením dalších nezávislých vztahů (a případným zadáním počátečních podmínek) mezi veličinami. Lze však uvažovat pouze takové hodnoty a závislosti, které nebudou v rozporu s II. větou termodynamickou. Obecnou podobou konstitutivních vztahů je 14 nezávislých vztahů v implicitním tvaru (například v referenčním popisu): Ẑ i [x κ ( ); ρ κ ( ); f κ ( ); T κ ( ); θ κ ( ); q κ ( ); u κ ( ); s κ ( )] = 0, i = 1, 2,..., 14, (2.1) kde ( ) má význam historie veličin na celém tvaru tělesa od času kdy jsou zadané počáteční podmínky t 0 do aktuálního času t (např. x κ ( ) := {x κ (X, τ), X κ(β), τ (t 0 ; t) T}). Tato podoba konstitutivních vztahů je však pro praktické použití příliš obecná - většinou jsou předpokládány jednodušší tvary závislostí. Pro plnou charakterizaci materiálu (a tedy možnost řešení úlohy) je zapotřebí celé sady konstitutivních vztahů. Předmětem zájmu této práce je však především vztah mezi polem napětí a ostatními veličinami. 2.2 Klasifikace modelů Homogenní nestlačitelné těleso je takové těleso, jehož hustota je stejná vždy v celém tvaru tělesa a s časem se nemění. Ze zákona zachování hmoty (A.1) pro takový materiál vyplývá v = 0. Častěji se tento vztah uvádí ve tvaru TrL χ (x, t) = 0 nebo s ním ekvivalentním TrD χ (x, t) = 0. Tekutina je centrálním pojmem celé této práce. S její definicí jsou ale spojeny určité problémy, viz. [4]. Přesto zde tekutinou rozumějme takový materiál, který se spojitě deformuje již při působení libovolně malého smykového napětí. Zde si uvedeme několik vybraných modelů tekutin. homogenní stlačitelná Eulerovská tekutina: T = p(ρ)1 (2.2) 16

17 homogenní nestlačitelná Eulerovská tekutina: homogenní stlačitelná Navier-Stokesova tekutina: T = p1, TrD = 0 (2.3) T = p(ρ)1 + λ(ρ)(trd)1 + 2µ(ρ)D (2.4) Objemová viskozita λ a smyková viskozita µ jsou skalárními funkcemi. homogenní nestlačitelná Navier-Stokesova tekutina: Viskozita µ je kladná konstanta. T = p1 + 2µD, TrD = 0 (2.5) Nyní si ukážeme klasický přístup k odvození konstitutivního vztahu pro pole napětí. 2.3 Axiomatická konstrukce Tento přístup spočívá v profilování obecného tvaru konstitutivních vztahů prostřednictvím určitých fyzikálních úvah. Zatímco tato filozofie se nechá označit jako standardní, konkrétní formulace jednotlivých axiomů již vykazují značnou pestrost. Proto si uvedeme dvě různá pojetí axiomů konstitutivní teorie. Tyto konstrukce byly převzaty z [1] a [2] a v případě odlišnosti konkrétního axiomu jsou různé verze uvedeny právě v tomto pořadí. Přímé srovnání malinko stěžuje fakt, že teorie v knize [2] je čistě mechanická a tedy ani neobsahuje pojem teploty. Odlišnost myšlenek a postupů však lze demonstrovat i za tohoto omezení. Po řadě zde budou uvedeny používané axiomy a jejich vliv na možnou podobu hledaného vztahu. Rozbor těchto axiomů bude uveden v další části Kauzalita, determinismus a ekvipresence Pohyb a teplota materiálových bodů jsou zjevné, pozorovatelné veličiny a všechny ostatní veličiny na nich závisí. Hodnoty konstitutivních funkcí jsou určeny historií polohy a teploty všech materiálových bodů tělesa. Předpokládáme, že všechny konstitutivní funkcionály závisí na stejných proměnných (i když později některé závislosti můžeme vyloučit). Obecný vztah mezi uvažovanými veličinami bude mít na základě těchto předpokladů tvar: T κ (X, t) = ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t], (2.6) kde symbolemˆ označujeme funkcionály definované na referenčním poloze κ, času t T a historii polí χ κ (Y, τ) a θ κ (Y, τ) pro Y κ(β) a τ T, τ < t. 17

18 2.3.2 Objektivita Konstitutivní vztahy musí mít tvar nezávislý na použité vztažné soustavě. Pro událost vyjádřenou ve dvou vztažných soustavách jako (x, t) a (x, t ) proto musí při transformaci (1.2) platit: ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = ˆT κ [χ κ(y, τ ); θ κ(y, τ ); X; t ], (2.7) kde χ κ (Y, τ ) = Q(τ)χ κ (Y, τ) + b(τ) θκ(y, τ ) = θ κ (Y, τ) τ = τ a t = t a. Speciálně tedy musí být tvar funkcionálů stejný pro tyto vybrané transformace: i. translaci prostorové souřadné soustavy, ii. posuv času, iii. rotaci prostorové souřadné soustavy. Parametry transformací a, b, Q volíme libovolně ale pro daný materiálový bod v daném čase pevně. Ad i Příkladem translace souřadné soustavy je transformace χ κ(y, τ ) = χ κ (Y, τ) χ κ (X, τ) τ = τ, t = t odpovídající těmto hodnotám parametrů: Q(τ) = 1 b(τ) = χ κ (X, τ) a = 0. (2.8) (2.9) Pro funkcionál (2.6) tedy musí podle (2.7) platit ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = ˆT κ [χ κ (Y, τ) χ κ (X, τ); θ κ (Y, τ); X; t]. (2.10) Ad ii Příkladem posuvu času je transformace x (Y, τ ) = x(y, τ) τ = τ t, t = 0 odpovídající takovýmto hodnotám parametrů: Q(τ) = 1 b(τ) = 0 a = t. Musí tedy platit ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = ˆT κ [χ κ (Y, τ t); θκ(y, τ t); X; 0]. (2.11) (2.12) 18

19 Funkcionál (2.6) zjevně nezávisí explicitně na čase t a lze proto zapsat ve tvaru ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = T κ [χ κ(y, τ t); θκ(y, τ t); X]. Dosazením do vztahu (2.10) dostáváme T κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X] = T κ [χ κ (Y, t τ) χ κ (X, t τ); θκ(y, t τ); X]. (2.13) Ad iii Příkladem rotace souřadné soustavy je transformace x (Y, τ) = Q(τ)x(Y, τ) τ = τ, t = t, (2.14) pro kterou platí: detq(τ) = 1 b(τ) = 0 a = 0. (2.15) Pro funkcionál musí podle (2.6) platit ˆT κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t] = ˆT κ [Q(τ)χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X; t]. Po dosazení do (2.13) dostáváme podmínku T κ [χ κ (Y, τ); θ κ (Y, τ); X] = T κ [Q(t τ){χ κ (Y, t τ) χ κ (X, t τ)}; θκ (Y, t τ); X]. Alternativní formulace Obsah axiomu objektivity je univerzální: tvar konstitutivního vztahu musí být nezávislý na vztažné soustavě. Rozdílná je ovšem matematická formulace tohoto požadavku spočívající v transformaci hodnot funkcionálu (2.6) při změně argumentů dané změnou vztažné soustavy: T (X, t ) = ˆT [χ (Y, τ ); θ (Y, τ ); X; t ]. (2.16) Má-li tedy být pole napětí nezávislé na vztažné soustavě, musí podle definice splňovat transformační vztah (1.10): ˆT[χ (Y, τ ); θ (Y, τ ); X; t ] = Q(t)ˆT[χ(Y, τ); θ(y, τ); X; t]q T (t). (2.17) Materiálová invariance Definice: Dva materiálové body X, Y β nazveme materiálově izomorfní, právě když existují polohy κ a ω (infinitezimálních) okolí bodů X, Y takové, že hustoty hmotnosti a konstitutivní vztahy jsou pro oba body stejné. Axiom materiálové invariance: Konstitutivní vztahy musí být invariantní vzhledem k transformacím převádějící materiálové body na materiálově izomorfní body. 19

20 2.3.4 Vliv okolí a historie Hodnoty konstitutivních funkcionálů nejsou znatelně ovlivněny nezávislými veličinami ve vzdálených bodech prostoru a minulosti. Tento axiom nemá jednoznačnou a přesnou formulaci a proto si jako ukázku uvedeme dvě z obvyklých variant prostorové závislosti a jednu závislost na historii. Hladké okolí Předpokládáme, že pole polohy a teploty lze lokálně aproximovat Taylorovým polynomem. χ κ (Y, τ) = χ κ (X, τ) + F κ (X, τ)(y X) + (2.18) θ κ (Y, τ) = θ κ (X, τ) + θ κ (X, τ)(y X) + (2.19) Po dosazení do vztahu (2.13) dostáváme T κ (X, t) = T κ [F κ (X, τ t); ; θ κ (X, τ t); θ κ (X, τ t); ; (Y X); X]. (2.20) Omezíme-li možné konstitutivní vztahy na lineární závislost na poloze, dojdeme ke vztahu T κ (X, t) = ˆT κ [F κ (X, τ t)(y X); θ κ (X, τ t); θ κ (X, τ t)(y X); X]. (2.21) Princip lokálního působení Další možnou variantou axiomu okolí je předpoklad zmíněný v knize [2]. Napětí v daném materiálovém bodě X nezávisí na historii polohy bodů, které mají v libovolném tvaru od X nenulovou vzdálenost. Necht jsou χ 1, χ 2 polohy tělesa takové, že χ 1 (Y, τ) = χ 2 (Y, τ) τ (t 0 ; t) Y U(X), (2.22) kde U(X) je nějaké okolí bodu X. Potom platí ˆT[χ 1 (Y, τ); X; t] = ˆT[χ 2 (Y, τ); X; t]. (2.23) Hladká pamět Opět předpokládáme možnost aproximace polí závislých na čase pomocí Taylorova rozvoje. V kombinaci s Taylorovým rozvojem hladkého okolí tak dostáváme závislost na aktuálních lokálních hodnotách veličin a jejich prostorových a časových derivacích. Například tedy můžeme uvažovat vztah linearizovaný vzhledem k okolí i historii: T κ (X, t) = ˆT κ [F κ (X, t)(y X); L κ (X, t)(y X)(t τ); θ κ (X, t); θ κ (X, t)(t τ); θ κ (X, t)(y X); θ κ (X, t)(y X)(t τ); X]. (2.24) Přípustnost Všechny konstitutivní vztahy musí být konzistentní s bilančními vztahy a Druhou větou termodynamickou. 20

21 2.4 Rozbor axiomů V této části jsou uvedeny poznámky k jednotlivým axiomům nebo případně k jejich různým podobám. Je zde zejména diskutována funkce jednotlivých tvrzení Objektivita Rozdíl mezi oběma verzemi axiomu objektivity spočívá v odlišné transformaci pole napětí: zatímco v podobě (2.7) zůstávalo konstantní, formulace (2.17) vyjadřuje netriviální transformační vztah. Zápis axiomu objektivity vztahem (2.7) zjevně nevyjadřuje požadavek objektivity pro pole napětí. Definice objektivity pro tenzorové pole (1.10) totiž v obecném případě neimplikuje konstantnost pole. Požadavek na objektivitu konstitutivního funkcionálu je korektně vyjádřen vztahem (2.16) Materiálové invariance Axiom materiálové invariance by byl v rámci hledání podoby konstitutivních vztahů pouze tautologií a jako takový by byl zbytečný. Jeho význam je však klasifikační - pomocí grupy transformací mezi materiálově izomorfními body lze rozlišovat různé třídy materiálů Vliv okolí a historie Axiom ohledně vlivu okolí a historie je obecnou myšlenkou bez konkrétní formulace umožňující dle potřeby použít vhodné přiblížení. Je tedy poněkud nešt astné označovat toto tvrzení jako axiom Shrnutí Na základě výše uvedených poznámek je možné získat nový pohled na axiomy konstitutivní teorie. Zřejmě ne-všechny axiomy mají stejnou důležitost, jednoznačnost a odůvodnění. Možná bychom tedy neměli nahlížet na uvedené axiomy jako na úplný souboru prvotních a univerzálních principů, ale namísto toho s jednotlivými tvrzeními zacházet jako s různými aproximacemi. V některých případech jde pouze o předpoklady zjednodušující nebo vůbec umožňující případné řešení úloh. 2.5 Navier-Stokesův model Ukázku klasického použití souboru axiomů konstitutivní teorie jsme převzali z [2]. Předvedeme si odvození Navier-Stokesova modelu pro stlačitelné i nestlačitelné tekutiny pomocí výše zmíněných axiomů. V odvození je explicitní odkaz pouze na axiom objektivity, podoba ostatních axiomů je určena výchozím předpokladem o tvaru závislosti. Předpokládejme, že konstitutivní vztah pro pole napětí lze vyjádřit pomocí funkce T χ (x, t) = ˆT χ [L χ (x, t); ρ χ (x, t); χ χ (x, t); χ χ (x, t); t]. (2.25) Díky požadavku na transformaci pole napětí plynoucímu z axiomu objektivity (2.17) budou některé možné závislosti vyloučeny. 21

22 Jelikož T závisí pouze na aktuálních lokálních hodnotách ostatních veličin, dovolíme si argument polí ve funkcionálu vynechávat. Všechna pole rovněž vyjadřujeme vzhledem k aktuální poloze χ, notaci tedy zkrátíme i o tuto podrobnost. Dále ještě budeme pro přehlednost vynechávat u objektů souvisejících s transformací souřadné soustavy zápis závislosti na čase. Pro transformaci χ = Q(t)(χ b) + c(t) t = t + a, (2.26) což je pouze jiný tvar transformace (1.2), musí platit: ˆT[L; ρ; χ; χ; t] =Q T { ˆT [L ; ρ (x, t ); χ ; χ ; t ] }Q =Q T { ˆT [D + W ; ρ(x, t); χ ; χ ; t ] }Q. (2.27) Dále použijeme vztahy χ Q χ = ċ + QQ T (χ c) (2.28) a D = QDQ T (2.29) W = QWQ T + QQ T. (2.30) Označíme si A := QQ T. Po dosazení (2.28), (2.29) do (2.27) dostaneme rovnost: ˆT[L; ρ; χ; χ, t] = Q T { ˆT[QDQ T + QWQ T + A; ρ; Q χ + ċ + A(χ c); Q(χ b) + c; t + a] }Q. (2.31) Mějme nyní dané hodnoty L, ρ, χ, χ a t. Má-li být vztah (2.31) platný pro obecnou transformaci vztažné soustavy (1.2), musí platit i pro tento speciální případ: Q(t) = 1 A(t) = Q(t) = W ċ(t) = χ A(t)(χ c(t)) c(t) = 2b χ a = t. (2.32) Po jeho dosazení dostáváme ˆT[L; ρ, χ; χ; t] = ˆT [D; ρ;0; b; 0], (2.33) kde b je libovolný vektor. Z tohoto vyplývá, že pole napětí může být závislé pouze na lokálních hodnotách symetrické části gradientu rychlosti a hustotě. T = ˆT[D; ρ] (2.34) 22

23 Axiom objektivity nyní určuje transformační vztah pro funkci napětí: ˆT[ Q(t)D(X, t)q T (t); ρ(x, t) ] = Q(t){ ˆT[ D(X, t); ρ(x, t) ] }Q T (t). (2.35) Třída funkcí závislých na tenzorovém poli D a transformujících se uvedeným způsobem se nazývá izotropní. Omezíme-li se dále na T lineárně závislé na D, lze dokázat (viz. [2]), že závislost napětí na symetrické části gradientu rychlosti má tvar T = ( p(ρ) + λ(ρ)trd) 1 + 2µ(ρ) D, (2.36) což je Navier-Stokesův vztah pro stlačitelnou tekutinu (2.4). Po dosazení podmínky nestlačitelnosti do vztahu (2.36) tak pro homogenní nestlačitelné lineárně viskózní tekutiny dostáváme Navier-Stokesův vztah (2.5): T = p 1 + 2µ D. (2.37) 23

24 2.6 Implicitní konstitutivní teorie Tento přístup k modelování konstitutivních vztahů byl původně rozpracován v článku [5]. V předchozím textu bylo předvedeno odvození Navier-Stokesova konstitutivního vztahu pro pole napětí. Prvním krokem v celém postupu byl předpoklad ohledně tvaru konstitutivního vztahu pro napětí, kdy jsme od obecné podoby (2.1) přešli ke speciálnímu tvaru (2.25). Předpoklad explicitního vztahu je důsledkem axiomů kauzality, determinismu a ekvipresence a při používání výše uvedené axiomatické konstrukce je tedy nevyhnutelný. V této části bude na konkrétním příkladu tekutiny s viskozitou závislou na tlaku předvedeno omezení explicitního tvaru konstitutivního vztahu. Dále si ukážeme, že zmíněný model spadá do kategorie implicitních konstitutivních vztahů (2.1). Na závěr poté rozebereme možnost zobecnění teorie a zahrnutí diskutovaného modelu mezi platné konstitutivní vztahy Motivace Motivací pro uvažování obecnější podoby konstitutivních vztahů nám nyní bude nestlačitelný homogenní materiál, jehož viskozita µ může být závislá na tlaku. Takovéto modely jsou běžně aplikovány ve fyzice například při studiu chování látek za vysokých tlaků. Jelikož tlak jako přímo zavedená veličina se v mechanice kontinua nevyskytuje, pokusíme se tuto závislost do konstitutivního vztahu uměle doplnit - předem prozrad me, že neúspěšně. Omezíme se na vratné izotermické děje a předpokládáme, že konstitutivní vztah pro pole napětí lze vyjádřit pomocí funkce T χ (x, t) = ˆT χ [L χ (x, t); ρ χ (x, t); χ χ (x, t); χ χ (x, t); t]. (2.38) (Stejně jako při odvození Navier-Stokesova modelu budeme i zde vynechávat argument polí ve funkcionálu a značení referenčního tvaru.) Postupem z předchozí části odvodíme z tohoto předpokladu za pomoci souboru axiomů Navier- Stokesův model (2.36): T(x, t) = p(ρ) 1 + λ(ρ)(trd) 1 + 2µ(ρ) D. (2.39) Nyní si rozebereme možnost závislosti viskozity µ na tlaku p. Necht jsme schopni vyjádřit hustotu jako funkci tlaku: ρ(x, t) = ˆρ(p(x, t)), tlak považujme za nezávislou proměnnou. Vztah pro napětí lze tedy přepsat do podoby T(x, t) = p 1 + λ(ˆρ(p))(trd) 1 + 2µ(ˆρ(p)) D (2.40) a alespoň opticky tak nechat zmizet závislost na hustotě. T(X, t) = p1 + λ(p)(trd) µ(p) D (2.41) Pro nestlačitelné homogenní tekutiny potom dostáváme konstitutivní vztah s viskozitou µ závislou na tlaku. T(x, t) = p µ(p) D (2.42) 24

25 Problém se však skrývá v přechodu k nestlačitelným homogenním tekutinám: požadavek ρ(x, t) = ρ 0 totiž implikuje p(x, t) = p 0. Původně byl totiž tlak funkcí teploty a požadovali jsme existenci inverzní funkce. Nicméně maje tuto chybu na vědomí, můžeme se pokusit zkonstruovat jakýsi pseudo-implicitní vztah dosazením stopy rovnice (2.42) znovu do (2.42) TrT(x, t) = p (2.43) T(x, t) = 1 (TrT) µ((trt)) D. (2.44) 3 Tímto jsme tedy nekorektním způsobem dospěli k zajímavému implicitnímu vztahu pro pole napětí. Je zjevné, že tento vztah nemá tvar závislosti předpokládaný v začátku postupu a v rámci použité teorie tedy není přípustný. Bylo by proto žádoucí nějakým způsobem stávající teorii rozšířit a o tento vztah ji obohatit Rozšíření Za účelem rozšíření třídy možných konstitutivních vztahů se proto vrátíme k obecnému tvaru konstitutivního vztahu (2.1). Uvažujme implicitní vztah mezi aktuální lokální hodnotou napětí a gradientu rychlosti kde levá i pravá strana je (1, 1) tenzorové pole. ˆF(T ; L) = 0, (2.45) Ukážeme, že model (2.44) náleží právě mezi implicitní vztahy ve tvaru (2.45). Omezme se na vztah mezi napětím a gradientem rychlosti lineární vzhledem k oběma proměnným spadající mezi (2.45): T + α(trt)1 + β(trt)l = 0, (2.46) kde zároveň uvažujeme nestlačitelnost materiálu: TrD = 0. Stopa této rovnice je TrT + α(trt)3 = 0 (2.47) a tedy α = 1 3. (2.48) Závislost (2.46) obsahuje (lokálně) součet dvou symetrických tenzorů a násobku obecného tenzoru L. Abychom dostali obecně platný vztah, je potřeba závislost na neznámém poli L symetrizovat: T 1 3 (TrT)1 + β(trt)(l + LT ) = 0. (2.49) Přeznačením skalární funkce β a za použití definice (1.36) lze tento vztah upravit do podoby: která je ekvivalentní s (2.44). T = 1 (TrT)1 + 2µ(TrT)D, (2.50) 3 25

26 Ukázali jsme tedy, že vztah pro pole napětí homogenního nestlačitelného materiálu s viskozitou závisející na tlaku (2.42) je právoplatný implicitní konstitutivní vztah. Obecná podoba konstitutivních vztahů (2.1) tedy dovoluje obohacení teorie o diskutovaný model. Zobecnění klasické teorie vycházející z explicitní podoby konstitutivních vztahů je však samozřejmě mnohem významnější nežli zahrnutí jednoho konkrétního modelu, umožňuje nám zabývat se konstitutivními vztahy v jejich obecné podobě. 26

27 2.7 Maximalizace produkce entropie Tato metoda byla převzata z [4]. Hlavní myšlenkou je, jak název metody napovídá, předpoklad, že hustota produkce entropie je za daných podmínek maximální možná. Fyzikální interpretací tohoto předpokladu je snaha tělesa co nejrychleji dospět do rovnovážného stavu, ten odpovídá maximum entropie, a proto by měla být její produkce maximální možná. Tato maximalizace se předpokládá pro každý materiálový bod. Z pohledu matematika tedy nahradíme odvozování podoby tenzorového pole napětí pro daný materiál zkoumáním dvou skalárních polí - hustoty produkce entropie a hustoty Helmholtzovy volné energie; tyto by již spolu s uvedeným principem měly napětí určit jednoznačně. Skalární pole je jistě algebraicky mnohem jednodušší objekt nežli pole tenzorové, nicméně požadavek experimentálního zjištění produkce entropie by mohl přivést do rozpaků nejednoho fyzika. Použití této metody si předvedeme na dalším zobecnění Navier-Stokesova konstitutivního vztahu pro nestlačitelné tekutiny. Konkrétně zkusíme odvodit model s viskozitou závislou na tlaku, hustotě a gradientu rychlosti. V celé této části operujeme výhradně s veličinami vyjádřenými vzhledem k aktuální poloze χ, pro přehlednost proto budeme vynechávat u polních veličin jak notaci polohy, tak argumenty pole. Výchozími vztahy jsou II. věta termodynamická ve tvaru a bilance celkové energie ρθṡ q + q ( θ) θ (2.51) ρ u = T v q. (2.52) Zavedeme si pole hustoty Helmholtzovy volné energie ψ := u θs. Derivací podle času a vynásobením hustotou hmotnosti dostáváme z definice vztah ρ ψ = ρ u ρ θs ρθṡ, (2.53) který nám spolu s bilancí energie (2.52) umožní přepsat II. větu termodynamickou do tvaru T L + ρ ψ ρ θs q ( θ) θ 0. (2.54) Výraz na levé straně interpretujeme a zadefinujeme jako hustotu specifické produkce entropie ξ. K dalšímu postupu si položme předpoklad, že teplota bude v celém tělese stále stejná. Tím jsou dva členy vyjádření ξ identicky nulové a dostáváme: ξ = T L + ρ ψ = T D + ρ ψ 0. (2.55) 27

28 2.7.1 Předpoklady Nyní již máme k dispozici veličiny skrze které bychom nepřímo chtěli najít konstitutivní vztah pro pole napětí: hustotu Helmholtzovy volné energie ψ a produkci entropie ξ. Na základě konstitutivních vztahů pro známé materiály nyní můžeme přibližně odhadnout jaké požadavky bychom mohli klást na ψ a ξ za účelem získání smysluplných vztahů pro složitější materiály. Hustota Helmholtzovy volné energie Jako první se zaměříme na hustotu Helmholtzovy volné energie pro stlačitelnou Eulerovskou tekutinu. Tento materiál je určen konstitutivním vztahem pro napětí (2.2). Eulerovská tekutina je ideální tekutinou: chová se elasticky a dodanou energii neproměňuje na teplo, její produkce entropie ξ zůstává nulová během libovolného procesu. Dosazením konstitutivního vztahu (2.2) do rovnice (2.55) s nulovou pravou stranou dostáváme rovnost ρ ψ = p(ρ)trl = p(ρ)trd. (2.56) Na základě tohoto vztahu proto učiníme první z předpokladů: necht je hustota Helmholtzovy volné energie funkcí hustoty hmotnosti. ψ = Ψ(ρ). (2.57) Časovou změnu hustoty Helmholtzovy volné energie lze díky uvedenému předpokladu vyjádřit jako ψ = ψ ρ. (2.58) ρ Produkce entropie Nyní se podíváme jak vypadá hustota produkce entropie pro nestlačitelnou Navier-Stokesovu tekutinu. Napětí v takovém materiálu je určeno vztahem (2.5) který po dosazení do vztahu (2.55) odhalí, že Odvození T = p1 + 2µD, (2.59) ξ = ( p1 + 2µD) D = ptrl + 2µD D = 2µD D. (2.60) Pokusíme se nyní odvodit konstitutivní vztah pro napětí v nestlačitelných tekutinách, který bude zobecněním Navier-Stokesova modelu. Výchozím bodem pro odvození obecnějšího vztahu nám bude tvar hustoty produkce entropie pro Navier-Stokesovu tekutinu (2.60). Zkusíme předpokládat, že hustota produkce entropie by mohla být funkcí závislou na TrT, ρ a D. Konkrétně předpokládejme, že analogie viskozity ve vyjádření hustoty produkce entropie by mohla být závislá právě na těchto veličinách ve tvaru ξ = 2ν(TrT,ρ, D D)D D. (2.61) 28

29 Zároveň budeme předpokládat závislost hustoty Helmholtzovy volné energie na hustotě hmotnosti stejnou jako v případě stlačitelné Eulerovy tekutiny. Díky tomu přejde (pro nestlačitelné těleso a izotermní procesy) vztah pro hustotu produkce entropie (2.55) za použití (2.58) a nestlačitelnosti na ξ = T D. (2.62) Nyní použijeme princip maximalizace produkce entropie. Necht tedy máme dané pole napětí T a zadanou funkci udávající hustotu produkce entropie (2.61) spolu s podmínkou na nestlačitelnost tekutiny a výraz pro produkci entropie (2.62). Ptáme se jaká hodnota pole gradientu rychlosti D odpovídá maximální hustotě produkce entropie ve vybraném bodě. 1 Jde tedy o úlohu ohledně hledání vázaného extrému a odpověd nalezneme za použití metody Lagrangeových multiplikátorů. Maximalizovanou funkcí je (2.61): ξ(d) = 2ν(TrT, ρ, D D)D D, vazbové podmínky jsou: G 1 (D) := TrD = 0 (2.63) G 2 (D) := T D ξ = 0. (2.64) Podle věty o Lagrangeových multiplikátorech platí pro derivaci funkce ξ(d) v extremalizující hodnotě argumentu D max : λ 1, λ 2 R : ξ D (D G 1 max) = λ 1 D (D G 2 max) + λ 2 D (D max) G 1 (D max ) = 0 G 2 (D max ) = 0. (2.65) Konkrétně tedy dosazením získáme Rovnici (2.66) upravíme na tvar ξ D = λ 11 + λ 2 (T ξ ). (2.66) D (1 + λ 2 ) ξ D = λ 11 + λ 2 T T = λ 1 λ λ 2 λ 2 (2.67) ξ D. První multiplikátor určíme po provedení derivaci zapsané v (2.67) ( ) ξ D = 4 ν(p, ρ, D D) ν(p, ρ, D D) + D D D D D. (2.68) Po aplikaci operace stopy na rovnici (2.67) je vzhledem k rovnosti (2.68) a nestlačitelnosti tekutiny příspěvek derivace ξ D nulový a výsledek tedy je TrT = λ 1 λ 2 3. (2.69) 1 Pro přiblížení bychom si mohli představovat, že na těleso zapůsobíme určitým napětím a nyní je na tělese, aby se deformovalo způsobem produkujícím nejvíce entropie. 29

30 Dosazením zpět do (2.67) jsme získali vyjádření s jedinou neznámou: T = TrT λ 2 ξ λ 2 D. (2.70) Hodnotu druhého multiplikátoru zjistíme zúžením rovnice (2.70) s polem D za současného využití obou vazebních podmínek ξ = 1 + λ ( ) 2 ξ D λ 2 D 1 + λ 2 ξ (2.71) =. λ 2 ( ξ D ) D Zpětným dosazením do vztahu (2.70) a rozepsáním derivace (2.68) T = TrT ξ 4( )D 4( )D D = = TrT ν(TrT,ρ, D D)D (2.72) tedy dostáváme konstitutivní vztah pro tenzor napětí. Můžeme si povšimnout, že předpoklad o podobnosti úlohy viskozity ve výrazu pro hustotu produkce entropie v právě odvozeném vztahu a modelu nestlačitelné Navier-Stokesovy tekutiny (2.5) byl správný. 2.8 Srovnání různých přístupů Zásadní rozdíl mezi axiomatickou a implicitní teorií konstitutivních vztahů spočívá ve tvaru uvažovaných funkcionálů. Zcela zjevně je implicitní tvar obecnější nežli explicitní tvar předpokládaný na základě axiomů kauzality, determinismu a ekvipresence, nebot tento je pouze speciálním případem z množiny implicitních vztahů. Univerzální platnost axiomů vedoucích k explicitnímu tvaru je tedy dodatečně zpochybněna protože jsou v rozporu s implicitními vztahy, které vychází z empirické zkušenosti (např. již zmíněná fyzika vysokých tlaků, geofyzika apod.). Metoda maximalizace entropie je konkrétním způsobem jak ze dvou skalárních závislostí (pro produkci entropie a Helmholtzovu volnou energii) odvodit jednu tenzorovou (vztah mezi napětím a symetrickou částí gradientu rychlosti). Musíme však tyto skalární závislosti nějakým způsobem získat. Experimentální přístup v tomto případě zcela jistě selže. Je tedy nutné teoreticky odvodit zmíněné vztahy pro každý modelovaný materiál, což by v konečném důsledku mohlo znamenat nutnost uvažovat mikroskopickou strukturu modelované látky a značný nárůst složitosti odvození. 30

31 Kapitola 3 Monotonie tenzoru napětí 3.1 Úvod Obsahem této části práce je zkoumání podmínek monotonie tenzoru napětí závislého na symetrické části gradientu rychlosti. Motivem našeho zájmu je skutečnost, že monotonie tenzoru hraje významnou úlohu v matematické analýze modelů tekutin. Ačkoliv jsme v první polovině této práce s tenzory běžně prováděli všechny potřebné operace a jejich znalost jsme u čtenáře mlčky předpokládali, zde si pro pořádek některé definice operací s tenzory a vybraná tvrzení uvedeme. Pro zjednodušení zápisu budeme opět vynechávat notaci argumentu polních veličin a tvaru vzhledem ke kterému je vyjadřujeme. Def: Stopa tenzoru Stopa (1, 1) tenzoru je zobrazení Tr : E 3 E 3 R 3 pro které platí: Tr(a b) = a a. (3.1) Def: Násobení tenzorů Necht S, T E 3 E 3. Symbolem ST označujeme takový tenzor z E 3 E 3, pro který platí v E 3 : (ST)v = S(Tv). (3.2) Zavedeme si symbol mocniny tenzoru S n := SS n 1. Pro libovolný tenzor S je nultá mocnina identickým tenzorem, S 0 := 1. Mějme v prostoru E 3 E 3 zvolenu libovolnou bázi. Pro složky násobených tenzorů vzhledem vyjádřené vzhledem k této bázi platí (viz. [3]): Def: Úžení tenzorů Necht S, T E 3 E 3. Úžení tenzorů S T definujeme jako: Úžení budeme příležitostně značit také takto: (S; T). [ST] = [S][T]. (3.3) S T := Tr(S T T ). (3.4) 31

32 Takto zavedená operace je skalárním součinem na prostoru E 3 E 3, viz. [3]. Def: Monotonie tenzorové funkce tenzorového argumentu Tenzorová funkce S : E 3 E 3 E 3 E 3 je monotónní, právě když pro libovolné dva tenzory D 0, D 1 E 3 E 3 platí (S(D 1 ) S(D 0 ); D 1 D 0 ) 0. (3.5) Pokud platí ostrá nerovnost pro všechna D 1 D 2, nazveme S striktně monotónní. Uvedeme bez důkazu dvě triviální tvrzení z lineární algebry. Lemma 1 Necht v je vlastní vektor matice A příslušející vlastnímu číslu λ. Potom v je také vlastním vektorem matice AA a přísluší vlastnímu číslu λ 2. Lemma 2 Necht A je čtvercová matice typu n n s reálnými prvky. Necht {λ 1 (A), λ n (A)} je spektrum A. Potom TrA = n i=1 λ i(a). Lemma 3 Necht D je symetrický tenzor. Zúžení dvou jeho mocnin lze vyjádřit pomocí vlastních čísel D jako: D i D j := Tr((D i ) T D j ) = Tr(D i D j ) = Tr(D i+j ) = Tr([D i+j ]) 9 9 = λ k ([D i+j ]) = (λ k ([D])) i+j. k=1 k=1 (3.6) V tomto postupu bylo po řadě využito definice úžení tenzorů, symetrie D a tedy i jeho mocnin, definice mocniny tenzoru, definice stopy tenzoru a dvou výše uvedených tvrzení z lineární algebry. 3.2 Podmínky monotonie I Problémem řešeným v této části tedy budou postačující podmínky pro monotonii tenzoru napětí. Konkrétně budeme předpokládat polynomiální závislost lokální aktuální hodnoty pole tenzoru napětí na lokální aktuální hodnotě pole tenzoru symetrické části gradientu rychlosti. Dalším předpokladem bude nulovost stopy argumentu funkce napětí, neboli naše zkoumání omezujeme na nestlačitelná tělesa. Nejprve se podíváme na funkce ve speciálním tvaru: T(D) = n α i (D)D i, (3.7) i=0 kde koeficienty α i jsou skalárními polynomiálními funkcemi stopy různých mocnin tenzoru D, tedy: α i (D) = α i (TrD, TrD 2, ). Modely si rozdělíme podle mocnin D obsažených ve výrazu pro napětí (bez ohledu na podobu koeficientů). 32