Obecná orientace (obvykle. Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin )

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Obecná orientace (obvykle. Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin )"

Stanisław Owczarek
5 lat temu
Przeglądów:

1 Fyzikální zdůvodnění plasticity (1) Změny v krystalické mřížce Schmidtův zákon : τ τ τ max (1) Dosažení napětí τ max vede ke změnám v krystalické mřížce Deformace krystalické mřížky pružná deformace Změny krystalické mřížky nepružná deformace (plastická) τ 1

2 Fyzikální zdůvodnění plasticity (2) Zkosení γ v důsledku smykových napětí τ γ τ 2

3 Fyzikální zdůvodnění plasticity (3) Problémy Orientace krystalů v běžných stavebních látkách: Obecná orientace (obvykle není jeden zřejmý hlavní systém) Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin ) V praktických úlohách (stavební mechanika) nelze Schmidtův zákon přímo použít Využití jednodušších modelů na makroskopické úrovní (tuhoplastický aj.) τ τ 3

4 Modely pro plasticitu v 1D Představa: soustava různě zapojených jednoduchých prvků (jako v elektřině): Pružina (s pružnou deformací ε e ) Ideálně plastický článek (s plastickou deformací ε e ) ε e o ε p 4

5 Tuhoplastický model (1) o Ideálně tuhoplastický model (bez zpevnění): Tresca, Saint-Vénant Při napětí menším než o je deformace nulová Při napětí právě rovném o je deformace plastická (narůstá bez další změny napětí) f y = o ε p ε 5

6 Tuhoplastický model (2) Přírůstek poměrné deformace ε = ε Pro < o... ε = 0 Pro = o... ε 0 Pro > o... nemůže nastat ε o p Zápis v podobně funkce: o 0, ε 0, ( o ) 0 (2) f y = o Zřejmě směr ε a musí být shodný: ε = λ sgn(), λ 0 (3) ε kde λ... plastický násobitel. 6

7 Tuhoplastický model (3) Pojmy: Funkce plasticity: f() = o Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 Podmínka komplementarity zajišt uje, že případy f() < 0 (tuhé chování) a λ > 0 (plastické chování) nemohou nastat současně. 7

8 Ideálně pružnoplastický model (1) Ideálně pružnoplastický model (bez zpevnění) Seriové zapojení pružného článku a tuhého článku Pružný článek Hookeův zákon: ε e o ε p f = E ε (4) Při napětí menším než o je deformace pružná Při napětí právě rovném o je deformace plastická (narůstá bez další změny napětí) F u plastic elastic 8

9 Ideálně pružnoplastický model (2) Celková poměrná deformace Pokud L o... původní délka, L = L e + L p... délka po úplném odlehčení. Celková poměrná deformace Pružná část Plastická část ε = L L o L o = L L o 1 (5) ε e = L L e L e = L L e 1 (6) ε p = L L p L p = L L p 1 (7) Tedy celková poměrná deformace pružnoplastického materiálu: ε = L L o L o = L L p L p Lo 1 = (1 + ε e)(1 + ε p ) 1 = ε e + ε p + ε e ε p (8) 9

10 Ideálně pružnoplastický model (3) Pojmy: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p (člen ε e ε p zanedbáme) Funkce plasticity: f() = o Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 10

11 Tuhoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (1) Paralelní zapojení tuhého a pružného článku Při napětí menším než o je deformace nulová Při napětí větším nebo rovném o je deformace pružno plastická: H o Celkové napětí: ε = ε p (9) ε p = o + H ε p (10) H H... modul zpevnění, plastický modul Zpětné napětí (ve zpevnění): b = H ε p (11) f y = o H 11 ε

12 Tuhoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (2) H Zpětné napětí (zákon plastického zpevnění): o b = H ε p Zákon plastického přetváření: ε p = λ sgn( b ) (12) Kinematické zpevnění: zpětné napětí ovlivňuje hodnotu napětí nutného k pokračování plastické deformace ( posouvá okamžitou mez kluzu) f y = o ε H p H ε 12

13 Tuhoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (3) Pojmy: Funkce plasticity: f() = o Modul zpevnění: H Okamžitá mez kluzu: pl = o + H ε p Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn( b ), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 13

14 Pružnoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (1) Paralelní zapojení tuhého a pružného článku (H) Seriové připojení pružného článku (E) Při napětí menším než o je deformace pružná Při napětí větším nebo rovném o je deformace pružno plastická Funkce plasticity: E ε e H o ε p f(, b ) = b o, (13) f y = o H kde b = H ε Zákon plastického přetváření: ε p = λ sgn( b ) (14) E ε 14

15 Pružnoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (2) Pojmy: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p (člen ε e ε p zanedbáme) Okamžitá mez kluzu: pl = o + H ε p, a b = H ε p Funkce plasticity: f() = b o Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn( b ), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 15

16 Pružnoplastický model s izotropním zpevněním (1) Seriové připojení pružného článku (E) článku s izotropním zpevněním (odpor proti plastické deformaci postupně vzrůstá) Izotropní zpevnění: při zatěžování vzrůstá okamžitá mez kluzu v tahu i v tlaku Při napětí menším než o je deformace pružná Při napětí větším nebo rovném o je deformace pružno plastická f y = o E E ε e H H, ε p o ε 16

17 Pružnoplastický model s izotropním zpevněním (2) Kumulovaná plastická deformace κ: dκ = dε p (15) E H, o κ = d ε p (16) Celková hodnota κ: t κ = ε p dt (17) 0 Okamžitá hodnota meze kluzu: f y = o ε e H ε p Y = o + H κ (18) Funkce plasticity: f(, Y ) = = Y (19) E ε 17

18 Pružnoplastický model s izotropním zpevněním (3) Pojmy: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p (člen ε e ε p zanedbáme) Okamžitá mez kluzu: Y = o + H κ Funkce plasticity: f(, Y ) = = Y Podmínka plastické přípustnosti: f(, Y ) 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 Kumulovaná plastická deformace: κ = ε p Zpevnění: Y = o + H κ 18

19 Víceosá napjatost Pružnoplastický model s izotropním zpevněním: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p Pružné chování: = D e ε Funkce plasticity: f(, ) Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 Kumulovaná plastická deformace: κ = ε p 19

20 Varianty teorie plasticity (1) Teorie plastických deformací: popisuje vztahy mezi konečnými hodnotami složek vektorů napětí a deformace: = D EP ε řešení nezávisí na zatěžovací dráze ε 20

21 Varianty teorie plasticity (2) Teorie plastického tečení: popisuje vztahy mezi přírůstky (rychlostmi) napětí a deformace: = D ep ε výsledky řešení závisí na zatěžovací dráze řešení je možno provést jako posloupnost přírůstkových kroků ε 21

22 Teorie plastického tečení (1) Hledané veličiny přírůstky (rychlosti): napětí: = { x, y, z, τ yz, τ yz, τ xy } T poměrných deformací: ε = { ε x, ε y, ε z, γ yz, γ yz, γ xy } T posunů: u = { u, v, ẇ} 22

23 Teorie plastického tečení (2) Předpoklady: znalost napětí a poměrných deformací ε na začátku zatěžování pole jednotlivých studovaných veličin vyhovují všem okrajovým podmínkám úlohy 23

24 Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (1) Fyzikální (konstitutivní) rovnice: = D ep ε Rozklad přírůstku deformace na pružnou a plastickou část: ε = ε e + ε p Podmínka plasticity (slouží k popisu přechodu z pružného do plastického stavu): f(, k) = 0 24

25 Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (2) Podmínka konzistence materiálu v plastickém stavu: { } f T { } f T df = {d} + {dk} = 0 k Celková změna plastického potenciálu je rovna 0. 25

26 Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (3) Rychlost plastické deformace (zákon plastického přetváření): { } f ε p = dλ Vektor přírůstků (rychlostí) napětí: ( = d = D e ( ε ε p ) = D e ε dλ { }) f 26

27 Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (4) Ekvivalentní plastická deformace: dε p = ε pt ε p = dλ { f } T { } f Z podmínky konzistence: { } f T { } f T { } f D e dε dλ D e { f + dλ f } T { } f ε p = 0 27

28 Pružnoplastická matice t. m. (5) Vyjádření parametru dλ: dλ = { } f T De ε { } f T { } { } f De + f f T { } f ε p ( { }) Dosazení do vztahu pro přírůstky napětí = D e ε dλ f : = D e ε { } f T De ε { } f T { } { } f De + f f T { } f ε p { df d } 28

29 Pružnoplastická matice t. m. (6) Získaný vztah pro je možné upravit do tvaru: = D ep ε, kde pružnoplastická matice tuhosti materiálu D ep je: D ep = D e { } { D f f T e } De { f { } f T { } De f f ε p } T { } f 29

30 Podmínka plasticity a porušení 1. Počáteční podmínka plasticity 2. Následná podmínka plasticity 3 2 F 1 3. Podmínka porušení 1 u

31 Zpevnění (1) F 1 u 2 31

32 Zpevnění (2) 2 Kinematické následné podmínky plasticity mění polohu tvar a velikost se nemění Izotropní velikost se proporcionálně zvětšuje následné podmínky plasticity nemění polohu Kombinované nejvíce odpovídá skutečným látkám

33 Zpevnění (3) Kombinované zpevnění

34 Další podrobnosti Jirásek, M., Zeman, J.: Přetváření a porušování materiálů, ČVUT v Praze, 2006, 2010 Servít a kol.: Teorie pružnosti a plasticity I., SNTL, Praha, 1981 (celostátní učebnice) 34

Podobne dokumenty

Teorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu

Teorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu Teorie plasticity Varianty teorie plasticity Teorie plastického tečení Přehled základních vztahů Pružnoplastická matice tuhosti materiálu 1 Pružnoplastické chování materiálu (1) Pracovní diagram pro případ