Kaskadowa metoda sterowania standardowym pojazdem N-przyczepowym z zastosowaniem algorytmu VFO
|
|
- Tadeusz Chrzanowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kaskadowa metoda sterowania standardowym pojazdem N-przyczepowym z zastosowaniem algorytmu VFO Seminarium naukowe KSIS Poznań, kwiecień 2 Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 2-22 jako projekt badawczy nr N N Maciej Michałek Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Politechnika Poznańska M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym / 39
2 Plan Wprowadzenie 2 Model kinematyki SPNP 3 Definicja zadania sterowania 4 Kaskadowa struktura sterowania 5 Zastosowanie metody VFO 6 Weryfikacja numeryczna 7 Uwagi końcowe M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 2 / 39
3 Plan Wprowadzenie 2 Model kinematyki SPNP 3 Definicja zadania sterowania 4 Kaskadowa struktura sterowania 5 Zastosowanie metody VFO 6 Weryfikacja numeryczna 7 Uwagi końcowe M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 3 / 39
4 Dwa sposoby pasywnego mocowania segmentów pojazdu segment i- segment i- L hi i i segment i segment i L i i-ty przegub pasywny L i i-ty przegub pasywny L hi > mocowanie pozaosiowe (po) (ang. off-axle) L hi mocowanie osiowe (O) (ang. on-axle) Konfiguracje pojazdów przegubowych N-przyczepowych: Ogólny Pojazd N-Przyczepowy (OPNP): ciagnik (monocykl) + po/o po po/o Standardowy Pojazd N-Przyczepowy (SPNP): ciagnik (monocykl) + O + O O M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 4 / 39
5 Sterowanie pojazdami przegubowymi motywacja Argumenty teoretyczne SPNP i OPNP trudnymi obiektami sterowania (nieliniowe, nieholonomiczne, niestabilne w ruchu tyłem) dla SPNP większość rozwiazań wynika transformacji modelu do postaci łańcuchowej (lokalność metody, potencjalne trudności w strojeniu sterownika problem jakości sterowania w przestrzeni oryginalnej) szczególne trudności dla modelu OPNP (model nie jest linearyzowalny sprzężeniem zwrotnym dla N 2, nieminimalnofazowość w ruchu przodem) otwarte problemy (sterowanie z ograniczeniami na stan, odporność, uniwersalność sterowników, sterowanie OPNP dla N... ) 2 Argumenty praktyczne liczne zastosowania pojazdów przegubowych (w tym z przyczepami) manewry pojazdami przegubowymi częste i uciażliwe w praktyce nieintuicyjne i złożone manewry pojazdami wielosegmentowymi SPNP: Standardowy Pojazd N-Przyczepowy OPNP: Ogólny Pojazd N-Przyczepowy M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 5 / 39
6 Plan Wprowadzenie 2 Model kinematyki SPNP 3 Definicja zadania sterowania 4 Kaskadowa struktura sterowania 5 Zastosowanie metody VFO 6 Weryfikacja numeryczna 7 Uwagi końcowe M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 6 / 39
7 Standardowy pojazd N-przyczepowy: podstawowe definicje Y y tractor (segment ) v Wektor konfiguracji pojazdu q = [β... β N θ N x N y N ] T R N+3 () v 2 L Wektor konfiguracji ostatniego segmentu y y 2 trailer N (segment N+) y N P guidance point v N N N L N L 2 2 v x N x 2 x trailer 2 (segment 3) trailer (segment 2) X q = [θ N x N y N ] T R 3 (2) Wektor wejść sterujacych u = [ω v ] T R 2 (3) Punkt wyróżniony P (ang. guidance point) P = (x N, y N ) (4) x Współrzędne punktu P sa wyjściami płaskimi modelu kinematyki L i >, i =,..., N długości przyczep Wszystkie przyczepy mocowane osiowo (ang. on-axle hitching) standardowy pojazd/robot N-przyczepowy M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 7 / 39
8 Rekurencyjna (kaskadowa) postać modelu SPNP a) Y y tractor (segment ) v Równania kinematyki w postaci rekurencyjnej: ω v b) θ β θ ω = = ẋ =v c ẏ =v s tractor Eqs. (8,9) y y 2 y N v trailer N (segment N+) P guidance point β β 2 β N ẋ =v c ẏ =v s trailer v N Eqs. (8,9) N N L N β 2 L ω N- v N- 2 v 2 3 v x N x 2 x 2 2 θ N- N = N trailer 2 (segment 3) x ẋ N =v N c N ẏ N =v N s N trailer N- L trailer (segment 2) X + - Eqs. (8,9) β N ω N v N N = N ẋ N =v N c N ẏ N =v N s N trailer N standard N-trailer vehicle a) szkielet kinematyczny pojazdu/robota, b) schemat modelu w postaci kaskadowej θ N x N y N θ i = ω i, (5) ẋ i = v i cos θ i, (6) ẏ i = v i sin θ i, (7) ω i = v i sin β i, L i (8) v i = v i cos β i (9) β i = θ i θ i. () ω i, v i wirtualne sterowania i-tego segmentu M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 8 / 39
9 Model SPNP w postaci zwartej sin β L β sin β L sin β L 2 cos β 2 β 2. (. i 2 ) ( ). β i = j= cos β j sin β L i sin β i L i cos β i i ω + v ().. (. N ) θ N j= cos β j sin β L N N ẋ N ( N ) ẏ N j= cos β j cos θ N ( N ) j= cos β j sin θ N q = g ω + g 2 (q)v = S(q)u (2) S(q) = [ g g 2 (q) ], u = [ω v ] T M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 9 / 39
10 Cechy modelu kinematyki SPNP sterowalny w krótkim czasie* (spełnia LARC) Y y tractor (segment ) v silnie nieliniowy nieholonomiczny: ẋ i sin θ i ẏ i cos θ i =, i [,N] v 2 L DOF = dim(q) (N + ) = N + 3 N = 2 y y 2 y N trailer N (segment N+) P guidance point v N N N L N L 2 2 v 2 3 x N x 2 x 2 trailer 2 (segment 3) x trailer (segment 2) X ubogi w sterowanie: dim(q) dim(u ) = n m = N = N + osobliwy**, gdy i [;N ] : β i = π/2 (zmiana stopnia nieholonomiczności) strukturalnie niestabilny dla v < (efekt składania się pojazdu oraz efekt scyzoryka ang. jacknifing phenomenon) różniczkowo płaski***: wyścia płaskie x N i y N (linearyzowalny sprzężeniem zwrotnym) *J.-P. Laumond: Controllability of a multibody mobile robot, IEEE Trans. Robotics and Automation, 9(6), 993 **F. Jean: The car with N trailers: characterization of the singular configurations, ESAIM: Control, Optim. Calc. Variations, Vol., 996 *** P. Rouchon et al.: Flatness, motion planning and trailer systems, Proc. of 32nd CDC Conf., San Antonio USA, 993 M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym / 39
11 Plan Wprowadzenie 2 Model kinematyki SPNP 3 Definicja zadania sterowania 4 Kaskadowa struktura sterowania 5 Zastosowanie metody VFO 6 Weryfikacja numeryczna 7 Uwagi końcowe M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym / 39
12 Definicje zwiazane z zadaniem sterowania Wektor konfiguracji referencyjnej: [ ] qβt q t = = [β t... β tn θ tn x tn y tn ] T R N+3 q t Wektor błędu konfiguracji: [ ] eβ e = = [e β ē... e βn e θ e x e y] T q t q (3) Wektor błędów katów w przegubach: e β [β t β... β tn β N ] T R N (4) Wektor błędu położenia (orientacji i pozycji) ostatniego segmentu: e θ θ tn θ N ē = e x qt q = x tn x N R 3 e y y tn y N (5) M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 2 / 39
13 Zadanie sterowania Śledzenie trajektorii Dane: q t (τ) C d Założenia: At. At2. At3. trajektoria q t (τ) jest dopuszczalna i ustawicznie pobudzajaca: τ ẋ 2 tn (τ) + ẏ2 tn (τ) wszystkie elementy wektora q mierzalne wartości parametrów L i dokładnie znane Sterowanie do punktu Dane: q t = const, β ti, i =,..., N Założenia: Ap. dla ostatniego segmentu: ē() Ap2. Ap3. wszystkie elementy wektora q mierzalne wartości parametrów L i dokładnie znane Zadanie sterowania polega na zaprojektowaniu reguły sterowania ze sprzężeniem zwrotnym u = u (q t, q, ), która zastosowana do kinematyki robota reprezentowanej równaniami (5)-() zapewnia zbieżność błędu (3) w takim sensie, że: Śledzenie trajektorii lim ē(τ) δ oraz lim eβi (τ) δ2, τ τ Sterowanie do punktu lim ē(τ) δ oraz lim e βi (τ) = ±kπ τ τ przy czym: δ, δ 2 to założone otoczenia zera w przestrzeni uchybu oraz k {,, 2,...}. M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 3 / 39
14 Plan Wprowadzenie 2 Model kinematyki SPNP 3 Definicja zadania sterowania 4 Kaskadowa struktura sterowania 5 Zastosowanie metody VFO 6 Weryfikacja numeryczna 7 Uwagi końcowe M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 4 / 39
15 Propagacja prędkości wzdłuż łańcucha kinematycznego SPNP Propagacja prędkości w kierunku ciagnik przyczepy (na podstawie kinematyki (5)-()): ω i = L i v i sin β i (6) oraz v i = v i cos β i (7) β i = θ i θ i (8) β i = θ i θ i = ω i ω i (9) Propagacja prędkości w kierunku przyczepy ciagnik (na podstawie (6)-(9)): v i = L i ω i sin β i + v i cos β i (2) ω i = ω i + β i (2) β i = Atan2c (L i ω i v i, v i v i ) R (22) Atan2c (, ) : R R R M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 5 / 39
16 Wyprowadzenie sterowania kaskadowego pętla zewnętrzna Eksperyment myślowy: uwalniamy ostatnia przyczepę i traktujemy ja jak pojazd typu monocykl o wejściach sterujacych ω N i v N. Zakładamy, że dane sa funkcje sterujace Φ ω(ē, ), Φ v(ē, ), które zapewniaja asymptotyczne śledzenie trajektorii lub asymptotyczna stabilizację w punkcie dla pojazdu typu monocykl: LTPT: ω N = Φ ω(ē, ), v N = Φ v(ē, ) lim ē(τ) = qt(τ) q(τ) = τ LTPS: ω N = Φ ω(ē, ), v N = Φ v(ē, ) lim ē(τ) = qt q(τ) = τ LTPT: Last-Trailer Posture Tracker, LTPS: Last-Trailer Posture Stabilizer M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 6 / 39
17 Wyprowadzenie sterowania kaskadowego pętla zewnętrzna Skoro w SPNP nie możemy bezpośrednio wymusić spełnienia równań ω N = Φ ω(ē, ) oraz v N = Φ v(ē, ), zatem proponujemy przyjać: ω dn := Φ ω(ē, ), v dn := Φ v(ē, ) (23) q t q LTPT / LTPS ω dn := Φ ω ( e,.) v dn := Φ v ( e,.)...?... ω v kinematyka SPNP q pętla zewnętrzna Jak zapewnić, aby (ω dn ω N ) oraz (v dn v N )? Realizacja (ω dn ω N ) oraz (v dn v N ) możliwa poprzez odpowiedni ruch segmentu N, który wynika z ruchu segmentu N 2..., który ostatecznie wynika z ruchu modułu czyli modułu ciagnika (aktywny segment pojazdu SPNP). M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 7 / 39
18 Wyprowadzenie sterowania kaskadowego pętle wewnętrzne Propozycja procedury projektowej K. propagacja prędkości zadanych oraz kat zadany w złaczu (na podstawie (2)-(22)): v di L i ω di sin [ β i + v di cos β i (24) ] ω di ω di + βi (25) d β di Atan2c (L i ω di v di, v di v di ) R (26) K2. konstrukcja wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego: [ βi ] d k i(β di β i ) + β di = k i e di + β di, k i > (27) ω di d/dτ ω di v di (24) v di- β di e di (26) - k i ω di- v di- SCM i Single Control Module β i M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 8 / 39
19 Wynikowy schemat układu sterowania kaskadowego SPNP Równania sterownika: v dn := Φ v(ē, ) (28) ω dn := Φ ω(ē, ) (29) v dn := L N ω dn sin β N + v dn cos β N (3) ) β dn := Atan2c (L N ω dn v dn, v dn v dn (3) ω dn := k N (β dn β N ) + β dn + ω dn (32) q wyjście (odpowiedź) obiektu sterowania β i wyjścia pomocnicze. v d := L 2 ω d2 sin β 2 + v d2 cos β 2 (33) β d2 := Atan2c (L 2 ω d2 v d, v d2 v d ) (34) ω d := k 2 (β d2 β 2 ) + β d2 + ω d2 (35) v d := L ω d sin β + v d cos β (36) β d := Atan2c (L ω d v d, v d v d ) (37) ω d := k (β d β ) + β d + ω d (38) Pozostaja do określenia jawne postaci funkcji sterujacych Φ v(ē, ) oraz Φ ω(ē, ) M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 9 / 39
20 Efekt składania się łańcucha kinematycznego pojazdu A R d 2 R D tractor (segment ) trailer (segment 2) tractor (segment ) trailer 2 (segment 3) B R 2 Q R tractor (segment ) trailer (segment 2) trailer 2 (segment 3) A: kostrukcja mechanicznie dopuszczajaca składanie się pojazdu (β, β 2 R) B: kostrukcja z mechanicznym ograniczeniem drugiego kata skręcenia (β 2 Q β R) M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 2 / 39
21 Efekt składania się łańcucha kinematycznego pojazdu Przedstawiona postać równań dopuszcza występowanie efektu składania pojazdu, ponieważ: β di Atan2c Li ω di v di, v di v di R }{{}}{{} R R Propozycja unikania efektu składania: wówczas v di σ L i ω di sin β i + v di cos β i, σ {, +} (39) β di Atan2c L i ω di v di, v di v di }{{}}{{} R R + gdy sgn(v di )=σ? Skuteczność propozycji (39) zależy od własności sterownika pętli zewnętrznej (LTPT/LTPS). Poza modyfikacja (39) pozostałe równania sterownika nie ulegaja zmianie. σ to zmienna decyzyjna, której wartość wybierana jest w odniesieniu do własności sterownika pętli zewnętrznej (LTPT/LTPS) M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 2 / 39
22 Kwestie implementacyjne algorytmu sterowania Nieciagłość algorytmu Definicja β di (τ I ) = Atan2c (A(τ I ), B(τ I )) nieokreślona, gdy A(τ I ) = B(τ I ) =. Propozycja: w chwilach τ I przyjać β di (τ I ) := β di = lim τ τ β di (τ). Alternatywnie: I IF (A 2 + B 2 ɛ) AND ( ē ɛ e) THEN β di := β di 2 Realizacja sprzężeń wyprzedzajacych β di analityczna wynikajaca z formalnego zróżniczkowania β di (wymaga pochodnych ω di oraz v di ) numeryczna z zastosowaniem dokładnych odpornych różniczkowatorów (ang. exact robust differentiators*) numeryczna aproksymacja poprzez filtrację: β di β dif = L {sβ di (s)/( + st F )} (aproksymacja zwykle pogarsza dokładność śledzenia w stanie ustalonym) 3 Zasada syntezy pętli wewnętrznych reguła heurystyczna: k i > k i+ (4) Wybór wartości k i > jako kompromis między sztywnościa pętli wewnętrznych a wrażliwościa układu zamkniętego na szumy pomiarowe oraz tolerancja ograniczeń sygnałów sterujacych (prędkości kół ciagnika). * A. Levant: Robust exact differentiation via sliding mode technique, Automatica, 34(3), 998 M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 22 / 39
23 Kwestie implementacyjne ograniczenia sterowania ω k max maksymalna dopuszczalna prędkość katowa koła ciagnika (kinematyka (2,)) przestrzeń prędkości kół ciągnika L kmax s u 2 przestrzeń prędkości platformy ciągnika u 2dop u 2max D P kinematyka u kmax kmax (2,) u max u dop u max Ω = kmax u 2max [ ] b/(2r) /r u b/(2r) /r, u = [u u 2 ] T = [ω v ] T, Ω = [ω P ω L ] T Procedura skalowania prędkości: u s = s u, { s max ; ω P ω k max ; } ω L (4) ω k max Składowe przeskalowanego sterowania u s sa już realizowalne fizycznie. M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 23 / 39
24 Plan Wprowadzenie 2 Model kinematyki SPNP 3 Definicja zadania sterowania 4 Kaskadowa struktura sterowania 5 Zastosowanie metody VFO 6 Weryfikacja numeryczna 7 Uwagi końcowe M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 24 / 39
25 Sterownik VFO jako LTPT lub LTPS - równania Równania sterownika VFO zapisane dla ostatniej (N-tej) przyczepy: Φ ω k ae a + θ a (42) Φ v h x cos θ N + h y sin θ N (43) Śledzenie trajektorii (LTPT) Sterowanie do punktu (LTPS) h x = k pe x + v x, v x = ẋ t (44) h y = k pe y + v y, v y = ẏ t (45) e a = θ a θ N (46) θ a = Atan2c (σ h y, σ h x) (47) θ a = (ḣyhx hyḣx)/(h2 x + h 2 y) (48) σ sgn(u 2t (τ)) (49) h x = k pe x + v x, v x = ησ ē cos θ tn (5) h y = k pe y + v y, v y = ησ ē sin θ tn (5) e a = θ a θ N (52) θ a = Atan2c (σ h y, σ h x) (53) θ a = (ḣyhx hyḣx)/(h2 x + h 2 y) (54) σ sgn(e x cos θ tn + e y sin θ tn ) (55) Współczynniki projektowe: k a, k p >, η (, k p) Postaci zmiennej decyzyjnej σ zdefiniowane w (49) i (55) sa wykorzystywane w ramach modyfikacji (39) algorytmu sterowania kaskadowego. M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 25 / 39
26 Sterownik VFO jako LTPT lub LTPS - interpretacje geometryczne śledzenie trajektorii k p = sterowanie do punktu k p = y tn y N y G wirtualna N-ta przyczepa referencyjna P x N e * e a q * t q * t h x tn * q * trajektoria referencyjna a N x G tn P x N h q * * ea a N e v * * y G y N 2ε * g 2t wirtualna N-ta przyczepa referencyjna tn q * t = x G przyjęte otoczenie pozycji referencyjnej dla N-tej przyczepy h = [h x h y] T, ē = [e x e y] T, v = [v x v y] T, q = [ẋ N ẏ N ] T, ḡ 2t = [cos θ tn sin θ tn ] T M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 26 / 39
27 Sterownik VFO jako LTPT lub LTPS - motywacja Gwarancja ruchu nieoscylacyjnego, prawie bez zmiany znaku prędkości postępowej (możliwa co najwyżej jedna zmiana znaku w stanie przejściowym skuteczność propozycji (39)) Efekt naprowadzania N-tej przyczepy przydatny w prostowaniu łańcucha SPNP Prostota strojenia sterownika VFO: K. k p (, 5] jako kompromis między szybkościa zbieżności a wrażliwościa na szumy pomiarowe i opóźnienia w pętli sprzężenia K2. k a := 2k p ponieważ proces orientowania jest kluczowy i istotniejszy od procesu popychania K3. η (, k p) zgodnie z żadan a intensywnościa efektu naprowadzania (tym większa intensywność im mniejsze k p η) Gwarancja asymptotycznej zbieżności błędów do zera dla zadania śledzenia oraz sterowania do punktu* *M. Michałek, K. Kozłowski: Vector-Field-Orientation feedback control method for a differentially driven vehicle, IEEE Trans. Control Sys. Techn., 8(), 2 M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 27 / 39
28 Plan Wprowadzenie 2 Model kinematyki SPNP 3 Definicja zadania sterowania 4 Kaskadowa struktura sterowania 5 Zastosowanie metody VFO 6 Weryfikacja numeryczna 7 Uwagi końcowe M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 28 / 39
29 Ilustracja wyników legenda q t.2. q() q(τ) q(): konfiguracja poczatkowa pojazdu, q t : konfiguracja referencyjna pojazdu, q(τ): bieżaca konfiguracja pojazdu M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 29 / 39
30 Sim: śledzenie trajektorii kołowej (ruch tyłem) TRAJECTORY TRACKING + VFO for LTPT Warunki symulacji.5 q() = [ π ] T q t () = [ π/2 ] T ω 3t =.5 rad/s, v 3t =.2 m/s β d := β df, T F =.5 s βd2,3 :=.5 Wartości parametrów L = L 2 = L 3 =.25 m k = 5, k 2 = 2, k 3 = 5, ɛ =. k a = 2, k p =, ɛ h =. ω k max = 8π rad/s, b =.7 m, r =.25 m y G [m].5.5 q t () Animacja: SRMPMovie.gif x G [m] e θ [rad] e x [m] e y [m] 2 β [rad] β 2 [rad] β 3 [rad] 5 ω [rad/s] v [m/s] time [s] time [s] time [s] M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 3 / 39
31 Sim2: śledzenie trajektorii złożonej (ruch tyłem) TRAJECTORY TRACKING + VFO for LTPT Warunki symulacji 2 q() = [ π/2.3] T q t () = [ π/2 ] T ω 3t =.5( + sin.5τ) rad/s, v 3t =.2 m/s β d := β df, T F =.5 s βd2,3 :=.5 Wartości parametrów L = L 2 = L 3 =.25 m k = 5, k 2 = 2, k 3 = 5, ɛ =. k a = 2, k p =, ɛ h =. ω k max = 8π rad/s, b =.7 m, r =.25 m y G [m].5.5 q t () Animacja: S2RMPMovie.gif x G [m] e θ [rad] e x [m] e y [m] 2 β [rad] β 2 [rad] β 3 [rad] 5 ω [rad/s] v [m/s] time [s] time [s] time [s] M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 3 / 39 5
32 Sim3: sterowanie do punktu (parkowanie równoległe tyłem) Warunki symulacji q() = [ π/2 ] T q t = [ π/2 ] T ω 3t = v 3t β d := β df, T F =.5 s βd2,3 :=.5 SET POINT REGULATION + VFO for LTPS Wartości parametrów L = L 2 = L 3 =.25 m k = 5, k 2 = 2, k 3 = 5, ɛ =. k a = 2, k p =, η =.8, ɛ h =. ω k max = 8π rad/s, b =.7 m, r =.25 m y G [m].5 q t.5 Animacja: S3RMPMovie.gif S3FoldRMPMovie.gif x G [m] 3 2 e θ [rad] e x [m] e y [m] time [s] 2 β [rad] β 2 [rad] β 3 [rad] time [s] 5 5 ω [rad/s] v [m/s] time [s] M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 32 / 39
33 Sim4: sterowanie do punktu (parkowanie równoległe przodem) Warunki symulacji q() = [ π/2 ] T q t = [ π/2 ] T ω 3t = v 3t β d := β df, T F =.5 s βd2,3 :=.5 SET POINT REGULATION + VFO for LTPS Wartości parametrów L = L 2 = L 3 =.25 m k = 5, k 2 = 2, k 3 = 5, ɛ =. k a = 2, k p =, η =.8, ɛ h =. ω k max = 8π rad/s, b =.7 m, r =.25 m y G [m].5 q t.5 Animacja: S4RMPMovie.gif x G [m] e θ [rad] e x [m] e y [m] 2 3 time [s] 3 2 β [rad] β 2 [rad] β 3 [rad] time [s] time [s] 5 5 ω [rad/s] v [m/s] M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 33 / 39
34 Sterowanie do punktu wpływ efektu naprowadzania SET POINT REGULATION + VFO: k p =., η=. SET POINT REGULATION + VFO: k p =., η=.3 SET POINT REGULATION + VFO: k p =., η= y G [m].5 y G [m].5 y G [m] x G [m] x G [m] x G [m] SET POINT REGULATION + VFO: k p =., η=.6 SET POINT REGULATION + VFO: k p =., η=.8 SET POINT REGULATION + VFO: k p =., η= y G [m].5 y G [m].5 y G [m] x G [m] x G [m] x G [m] Czasy trwania poszczególnych symulacji: τ h 29 s dla η =., η =.3, η =.4 oraz τ h = 4 s dla η =.6, η =.8, η =.9. M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 34 / 39
35 Plan Wprowadzenie 2 Model kinematyki SPNP 3 Definicja zadania sterowania 4 Kaskadowa struktura sterowania 5 Zastosowanie metody VFO 6 Weryfikacja numeryczna 7 Uwagi końcowe M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 35 / 39
36 Uwagi na temat stabilności układu zamkniętego Można pokazać, że dynamika układu zamkniętego daje się zapisać w następujacej postaci: gdzie: ē = f(ē, τ) + f (ē, e d, τ), ė d = Ae d + f 2 (ē, e d, τ) e d = [e d... e dn ] T = [β d β... β dn β N ] T A = diag{ k, k 2,..., k N } f (ē, e d, τ) = G( q t ē)γe ωv(ē, e d, τ), G( ) jest macierza kinematyki monocykla f 2 (ē, e d, τ) = He ωv(ē, e d, τ) e ωv = [e T ω e T v ] T, e ω = [ω d ω... ω dn ω N ] T, e v = [v d v... v dn v N ] T Γ, H sa macierzami o stałych elementach równych, lub + Dodatkowo zachodzi: f 2 (e d =, ) = oraz f (e d =, ) =, a nominalna (niezaburzona) dynamika ē = f(ē, τ) jest asymptotycznie stabilna (dla q t = const mamy ē = f(ē)). Wykazujac stosowne cechy funkcji f ( ) oraz f 2 ( ) planuje się skorzystać z twierdzeń o stabilności systemów wzajemnie połaczonych (ang. interconnected systems)*. * H. Khalil: Nonlinear systems. 3rd Edition, Prentice-Hall, 22 A. Isidori: Nonlinear control systems II, Springer 999 M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 36 / 39
37 Planowane dalsze prace Ograniczenie skutków znacznej wrażliwości układu zamkniętego w otoczeniu punktu q t 2 Badania w zakresie odporności układu zamkniętego (niepewność parametryczna: L si L i oraz L hi, szumy pomiarowe w sprzężeniu zwrotnym: q n = q + n) 3 Przeprowadzenie formalnej analizy stabilności i zbieżności 4 Eksperymentalna weryfikacja metody (stanowisko laboratoryjne RMP-SW) 5 Rozszerzenie koncepcji sterowania kaskadowego na pojazd OPNP Ad 4: Pomimo trudniejszej kinematyki OPNP propagacja prędkości jest tu prostsza (!): [ ] [ ] [ ] [ ] ωi ωi ωi = J(β v i ) = J ωi (β i v i v i ) i v i gdzie [ ] (Lhi /L J(β i ) = i ) cos β i (/L i ) sin β i, det(j(β L hi sin β i cos β i )) = (L hi /L i ) i M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 37 / 39
38 Pojazd laboratoryjny RMP (Robot Mobilny Przegubowy) M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 38 / 39
39 ... Dziękuję za uwagę! M. Michałek (KSIS-PP) Sterowanie pojazdem N-przyczepowym 39 / 39
Zastosowanie metody VFO do sterowania pojazdami N-przyczepowymi
Zastosowanie metody VFO do sterowania pojazdami N-przyczepowymi Naukowe seminarium wyjazdowe Szklarska Poręba, 5-8 V 211 Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 21-212 jako projekt badawczy
Bardziej szczegółowoKaskadowe sterowanie przegubowym robotem mobilnym w systemie RMP-SW
Kaskadowe sterowanie przegubowym robotem mobilnym w systemie RMP-SW Maciej Michałek, Marcin Kiełczewski, Tomasz Jedwabny Streszczenie Artykuł poświęcony jest problemowi sterowania przegubowym robotem mobilnym
Bardziej szczegółowoPlanowanie przejazdu przez zbiór punktów. zadania zrobotyzowanej inspekcji
dla zadania zrobotyzowanej inspekcji Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów, Politechnika Poznańska 3 lipca 2014 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 3 4 Postawienie problemu Założenia: Rozpatrujemy kinematykę
Bardziej szczegółowoMetoda VFO i jej zastosowanie do sterowania potrójnym integratorem
Metoda VFO i jej zastosowanie do sterowania potrójnym integratorem Maciej Michałek i Krzysztof Kozłowski Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Politechnika Poznańska Piotrowo 3a, 6-965 Poznań {maciej.michalek/krzysztof.kozlowski}@put.poznan.pl
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoNumeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku. informacje dodatkowe
Numeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku informacje dodatkowe Numeryczne metody optymalizacji x F x = min x D x F(x) Problemy analityczne: 1. Nieliniowa złożona funkcja celu F i ograniczeń
Bardziej szczegółowoPlanowanie i realizacja ruchu z wykorzystaniem własności stabilizatora VFO dla robota z napędem różnicowym
Planowanie i realizacja ruchu z wykorzystaniem własności stabilizatora VFO dla robota z napędem różnicowym Maciej Michałek 1, Krzysztof Kozłowski 1 Streszczenie Artykuł prezentuje propozycję strategii
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 4
Laboratorium Podstaw Robotyki Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ĆWICZENIE 4 System sterowania robotem mobilnym MTracker Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów sterowania nieholonomicznym,
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 4
Laboratorium Podstaw Robotyki Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ĆWICZENIE 4 System sterowania robotem mobilnym MTracker 1 Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów sterowania
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości
Podstawy robotyki Wykład V Jakobian manipulatora i osobliwości Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Metoda bezpośrednia uzyskania macierzy
Bardziej szczegółowoKinematyka robotów mobilnych
Kinematyka robotów mobilnych Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Adaptacja slajdów do wykładu Autonomous mobile robots R. Siegwart (ETH Zurich Master Course:
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoStrategia śledzenia trajektorii z unikaniem kolizji dla robota mobilnego klasy (2,0)
Strategia śledzenia trajektorii z unikaniem kolizji dla robota mobilnego klasy (2,) Maciej Michałek 1, Wojciech Kowalczyk 1, Krzysztof Kozłowski 1 Streszczenie Artykuł przedstawia koncepcję sterowania
Bardziej szczegółowoHybrydowy stabilizator odporny dla robota mobilnego o kinematyce (2,0)
Hybrydowy stabilizator odporny dla robota mobilnego o kinematyce (2,) Maciej Michałek 1, Dariusz Pazderski 1 Streszczenie Artykuł przedstawia propozycję nowego algorytmu stabilizacji dla robota mobilnego
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 3 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 32 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego
Bardziej szczegółowo2.12. Zadania odwrotne kinematyki
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów str. 1 2.12. Zadania odwrotne kinematyki Określenie zadania odwrotnego kinematyki T 0 N = [ ] n s a p = r 11 r 12 r 13 p x r 21 r 22 r 23
Bardziej szczegółowoManipulatory i roboty mobilne AR S1 semestr 5
Manipulatory i roboty mobilne AR S semestr 5 Konrad Słodowicz MN: Zadanie proste kinematyki manipulatora szeregowego - DOF Położenie manipulatora opisać można dwojako w przestrzeni kartezjańskiej lub zmiennych
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 206/207
Bardziej szczegółowo2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów str. 1 2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów 2.9.1. Manipulator planarny 3DOF Notacja DH Rys. 28 Tablica 1 Parametry DH Nr ogniwa
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 4
Laboratorium Podstaw Robotyki Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ĆWICZENIE 4 System sterowania robotem mobilnym MiniTracker V3 Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów sterowania
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoMechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 5 Planowanie trajektorii ruchu efektora w przestrzeni roboczej
Katedra Robotyki i Mechatroniki Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Mechanika Robotów Wojciech Lisowski 5 Planowanie trajektorii ruchu efektora w przestrzeni roboczej Mechanika Robotów KRiM, WIMIR, AGH
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej
Bardziej szczegółowoProjektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Sterowania Procesami Ciągłych Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów. Obliczanie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo#09. Systemy o złożonej strukturze
#09 Systemy o złożonej strukturze system składa się z wielu elementów, obiekty (podsystemy) wchodzące w skład systemu są ze sobą połączone i wzajemnie od siebie zależne mogą wystąpić ograniczenia w dostępności
Bardziej szczegółowoD l. D p. Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych
ERO Elementy robotyki 1 Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych Napęd różnicowy dwa niezależnie napędzane koła jednej osi, dla zachowania równowagi dodane jest trzecie koło bierne (lub dwa bierne koła)
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoKARTA OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA
Nazwa modułu: Kierunek studiów KARTA OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA Sterowanie robotów mobilnych Profil kształcenia (ogólnoakademicki, praktyczny) Kod Rok / Semestr Automatyka i Robotyka ogólnoakademicki 1 /
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowo3.1. Jakobian geometryczny
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów str. 1 3. Kinematyki różniczkowa i statyka 3.1. Jakobian geometryczny Pozycja i orientacja x manipulatora o n stopniach swobody zależy od
Bardziej szczegółowoKompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Kompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej Kształtujemy charakterystykę układu otwartego aby uzyskać: pożądane
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoProjektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoJakobiany. Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu
Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 1 Jakobiany Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu ( t )z(t)=k(x(t)) Ponieważ funkcje w powyższym równaniu są
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laborat orium. Zaliczenie na ocenę. egzamin
Wydział Elektroniki PWr KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Metody matematyczne automatyki i robotyki Nazwa w języku angielskim: Mathematical methods of automation and robotics Kierunek studiów: Automatyka
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoModele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Badanie i synteza kaskadowego adaptacyjnego układu regulacji do sterowania obiektu o
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoMechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO
Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Dyskretyzacja
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoZ poprzedniego wykładu:
Z poprzedniego wykładu: Człon: Ciało stałe posiadające możliwość poruszania się względem innych członów Para kinematyczna: klasy I, II, III, IV i V (względem liczby stopni swobody) Niższe i wyższe pary
Bardziej szczegółowoDynamika manipulatora. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska. Podstawy robotyki wykład VI
Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu w postaci
Bardziej szczegółowoSterowanie w programie ADAMS regulator PID. Przemysław Sperzyński
Sterowanie w programie ADAMS regulator PID Przemysław Sperzyński Schemat regulatora K p e t e t = u zad t u akt (t) M = K p e t + K i e t + K d de(t) u zad uakt M K i e t K d de t Uchyb regulacji człony
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoObiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany).
SWB - Systemy wbudowane w układach sterowania - wykład 13 asz 1 Obiekt sterowania Wejście Obiekt Wyjście Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany). Fizyczny obiekt (proces, urządzenie)
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM
Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoModelowanie układów dynamicznych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian
Bardziej szczegółowoIdentyfikacja obiektów dynamicznych za pomocą sieci neuronowych
Metody Sztucznej Inteligencji w Sterowaniu Ćwiczenie 3 Identyfikacja obiektów dynamicznych za pomocą sieci neuronowych Przygotował: mgr inż. Marcin Pelic Instytut Technologii Mechanicznej Politechnika
Bardziej szczegółowoModele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoEliminacja drgań w układach o słabym tłumieniu przy zastosowaniu filtru wejściowego (Input Shaping Filter)
Eliminacja drgań w układach o słabym tłumieniu przy zastosowaniu filtru wejściowego (Input Shaping Filter) 1. WSTĘP W wielu złożonych układach mechanicznych elementy występują połączenia elastyczne (długi
Bardziej szczegółowo1. Podstawowe pojęcia
1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowox x 1. Przedmiot identyfikacji System x (1) x (2) : x (s) a 1 a 2 : a s mierzone, a = zestaw współczynników konkretyzujacych F ()
. Przedmiot identyfikacji System () x (2) x * a z y ( s ) x y = F (x,z)=f(x,z,a ),gdziex = F () znane, a nieznane x () x (2) x (s) mierzone, a = a a 2 a s zestaw współczynników konkretyzujacych F () informacja
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora
Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 3
Laboratorium Podstaw Robotyki Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ĆWICZENIE 3 Kinematyka i lokalizacja dwukołowego robota mobilnego Celem ćwiczenia jest wyprowadzenie modelu
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowoANALIZA KINEMATYCZNA PALCÓW RĘKI
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 40, s. 111-116, Gliwice 2010 ANALIZA KINEMATYCZNA PALCÓW RĘKI ANTONI JOHN, AGNIESZKA MUSIOLIK Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki, Politechnika
Bardziej szczegółowoRegulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego
Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoInformatyka I Lab 06, r.a. 2011/2012 prow. Sławomir Czarnecki. Zadania na laboratorium nr. 6
Informatyka I Lab 6, r.a. / prow. Sławomir Czarnecki Zadania na laboratorium nr. 6 Po utworzeniu nowego projektu, dołącz bibliotekę bibs.h.. Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a, b oznaczamy
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoWłaściwości dynamiczne kolektora słonecznego a efektywność instalacji grzewczej
Właściwości dynamiczne kolektora słonecznego a efektywność instalacji grzewczej mgr inż. Joanna Aleksiejuk 2016-09-19 Problemy gospodarki energią i środowiskiem w rolnictwie, leśnictwie i przemyśle spożywczym
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoPomiarowa baza badawcza na terenie PWSTE Measurement research base at the Higher School of Technology and Economics in Jarosław (PWSTE)
Konferencja naukowa Jarosław 09.03.2017 r. Współczesne metody gromadzenia i przetwarzania danych geodezyjnych i gospodarczych Pomiarowa baza badawcza na terenie PWSTE Measurement research base at the Higher
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoPodstawy automatyki. Energetyka Sem. V Wykład 1. Sem /17 Hossein Ghaemi
Podstawy automatyki Energetyka Sem. V Wykład 1 Sem. 1-2016/17 Hossein Ghaemi Hossein Ghaemi Katedra Automatyki i Energetyki Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa Politechnika Gdańska pok. 222A WOiO Tel.:
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2 KINEMATYKA PŁYNÓW CZĘŚĆ 1 1/14
WYKŁAD 2 KINEMATYKA PŁYNÓW CZĘŚĆ 1 1/14 OPISY LAGRANGE A I EULERA. PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PŁYNU. Elementem płynu nazywamy indywidualną i x 3, nieskończenie małą porcę płynu. Każdy element płynu ma przypisane
Bardziej szczegółowo6. Zagadnienie parkowania ciężarówki.
6. Zagadnienie parkowania ciężarówki. Sterowniki rozmyte Aby móc sterować przebiegiem pewnych procesów lub też pracą urządzeń niezbędne jest stworzenie odpowiedniego modelu, na podstawie którego można
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe. Wojciech Szewczuk
Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe - wstęp u x = lim x u(x + x, y) u(x, y) x u u(x, y + y) u(x, y) y = lim y y () (2) 2 u x 2 + 2xy 2 u y 2 + u = 3 u x 2 y + x 2 u + 8u = 5y
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 7 AiR III
1 Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania wyłącznie do własnych, prywatnych potrzeb i może
Bardziej szczegółowo