Równania różniczkowe cząstkowe. Wojciech Szewczuk

Transkrypt

1 Równania różniczkowe cząstkowe

2 Równania różniczkowe cząstkowe - wstęp u x = lim x u(x + x, y) u(x, y) x u u(x, y + y) u(x, y) y = lim y y () (2) 2 u x 2 + 2xy 2 u y 2 + u = 3 u x 2 y + x 2 u + 8u = 5y y 2 ( ) 2 3 u x u x y 2 = x 2 u u + xu x2 y = x

3 Równania różniczkowe cząstkowe - klasyfikacja A 2 u x 2 + B 2 u x y + C 2 u + D =, (3) y 2 gdzie A, B, C, D są funkcjami x, y, u, u/ x i u/ y. W zależności od współczynników A, B, C równanie 3 może być różnie sklasyfikowane. Klasyfikację wykonujemy na podstawie wyróżnika. = B 2 4AC = = równanie paraboliczne > = równanie hiperboliczne < = równanie eliptyczne Nazwa Równanie A B C Typ Przewodnictwo cieplne u xx u y = paraboliczny Ruch falowy u xx u yy = - 4 hiperboliczny Laplace u xx + u yy = -4 eliptyczny

4 Równania różniczkowe cząstkowe - klasyfikacja Oznaczenia: u t = u t, uxx = 2 u x 2, uxy = 2 u x y,... Przykład (x + y)u xx + ( + x 2 )u yy = = 4(x + y)( + x 2 ) równanie jest eliptyczne dla (x + y) > paraboliczne na prostej x + y = hiperboliczne dla x + y <

5 Równania paraboliczne: metody jawne Odpowiednio wybierając jednostki wielkości fizycznych równanie przewodnictwa cieplnego (RPC) możemy zapisać: u xx + u yy + u zz = u t. (4) Oczywiście samo równanie 4 nie określa jednoznacznie rozwiązania sensownie postawionego problemu fizycznego. Niezbędne są odpowiednie warunki brzegowe. W jednowymiarowym przypadku mamy: u xx = u t (t, x ), u(x, ) = g(x) ( x ), u(, t) = a(t) (t ), u(, t) = b(t) (t ). (5)

6 Równania paraboliczne: metody jawne u xx = u t (t, x ), u(x, ) = g(x) ( x ), u(, t) = a(t) (t ), u(, t) = b(t) (t ).

7 Metoda różnic skończonych (jawna) Szukamy przybliżonych wartości funkcji u na siatce punktów (x i, t j ) o współrzędnych t j = jk (j ), x i = ih ( i n + ). Ponieważ x przebiega przedział [,], więc h = /(n + ). Pochodne w równaniu różniczkowym możemy przybliżyć za pomocą wyrażeń: f (x) [f (x + h) f (x)], (6) h f (x) [f (x + h) f (x h)], 2h (7) f (x) [f (x + h) 2f (x) + f (x h)]. h2 (8) Wstawiając wzór 6 i 8 do równania przewodnictwa cieplnego otrzymamy h 2 [v(x + h, t) 2v(x, t) + v(x h, t)] = [v(x, t + k) v(x, t)]. (9) k

8 Metoda różnic skończonych (jawna) Równanie 9 można zapisać prościej h 2 [v i+,j 2v i,j + v i,j ] = k [v i,j+ v i,j ], () gdzie v i,j = v(x i, t j ). Przekształcając powyższe równanie możemy napisać v i,j+ = k h 2 (v i+,j 2v i,j + v i,j ) + v i,j () lub v i,j+ = sv i,j + ( 2s)v i,j + sv i+,j, (2) gdzie s = k h 2.

9 Metoda różnic skończonych (jawna) algorytm input n, k, M # M -liczba dodatnich wartości zmiennej t h /(n + ); s k/h 2 for i = to n + do w i g(ih) end do t output, t, (w, w,..., w n+ ) for j = to M do t jk v a(t); for i = to n do v n+ b(t) v i sw i + ( 2s)w i + sw i+ end do output j, t, (v, v,..., v n+ ) for i = to n + do w i v i end do end do

10 RPC metoda różnic skończonych (jawna) u xx = u t (t, x ), u(x, ) = sin πx ( x ), u(, t) = (t ), u(, t) = (t ), h =., k =.525, M = 2. rozw. numer. rozw. dok. blad wzgledny t x t x

11 RPC metoda różnic skończonych (jawna) u xx = u t (t, x ), u(x, ) = sin πx ( x ), u(, t) = (t ), u(, t) = (t ), h =., k =.6, M = t x x 8x 9 6x 9 4x 9 2x 9-2x 9-4x 9-6x 9-8x 9 t x 5-5 -

12 Jawna metoda różnic skończonych analiza stabilności Wzór v i,j+ = sv i,j + ( 2s)v i,j + sv i+,j można zapisać w bardziej zwarty sposób za pomocą symboliki macierzowej. Niech V j będzie wektorem wartości rozwiązania w czasie t = jk, a więc V j = (v,j, v 2,j,..., v n,j ). Można więc zapisać V j+ = AV j. (3) A = 2s s... s 2s s... s 2s s. Twierdzenie () Warunkiem koniecznym i dostatecznym no to, żeby dla każdego wektora początkowego x () wzór x (k) = Gx (k ) + c (k ) generował ciąg zbieżny do (I G) c, jest nierówność ρ(g) <. Definicja () Promień spektralny macierzy A jest określony wzorem ρ(a) = max { λ : det(a λi ) = }, czyli jest to promień najmniejszego koła o środku w punkcie na płaszczyźnie zespolonej, zawierającego wszystkie wartości własne macierzy A.

13 Jawna metoda różnic skończonych analiza stabilności Można teraz rozumować dwojako. Interpretacja fizyczna Dla t temperatura w pręcie dąży do, bo na jego końcach jest taka. Rozwiązanie numeryczne też się powinno tak zachowywać. Z równania V j+ = AV j wynika, że V j = A j V. Na mocy Twierdzenia ciąg {A j V } dąży do dla każdego V wtedy i tylko wtedy, gdy ρ(a) <. Dlatego szukamy takiego s = k/h 2, aby ta nierówność była spełniona. Wpływ błędów zaokrągleń Przypuśćmy, że zamiast dokładnego V mamy wektor zaburzony Ṽ. Wtedy Ṽj = A j Ṽ, a błąd j tego etapu wynosi V j Ṽ j = A j (V Ṽ ). Aby mieć pewność, że ten błąd znika dla j, musimy znów założyć, że ρ(a) <.

14 Jawna metoda różnic skończonych analiza stabilności Zauważmy, że A = I sb, gdzie B = (4) Wartości własne λ j macierzy A wyrażają się przez wartości własne µ j macierzy B wzorem λ j = sµ j. Lemat (2) Wartości własne macierzy 4 stopnia n są równe 2 2 cos θ j, gdzie θ j = jπ/(n + ) ( j n). Dowód. Wartości własne macierzy B n (n oznacza stopień macierzy) są zerami jej wielomianu charakterystycznego D n(λ) = det(b n λi n). Ponieważ B n jest macierzą trójprzekątniową, więc rozwijając ten wyznacznik względem pierwszej kolumny, otrzymujemy zależność rekurencyjną D n(λ) = (2 λ)d n (λ) D n 2 (λ) (n 2), gdzie D (λ) =, D (λ) = 2 λ. Natomiast wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju U n są takie, że U (x) =, U (x) = 2x, U n(x) = 2xU n (x) U n 2 (x) (n 2). Jest więc oczywistym, że D n(λ) = U n( λ/2). Natomiast zera wielomianu U n są równe cos θ j, skąd wynika teza lematu.

15 Jawna metoda różnic skończonych analiza stabilności Z Lematu 2 wynika, że λ j = 2s( cos θ j ), gdzie θ j = jπ n + ( j n). ρ(a) < jeśli dla każdego j jest < 2s( cos θ j ) <, czyli s < ( cos θ j ). Ponieważ s jest dodatnie, więc ta nierówność tym bardziej ogranicza s, im cos θ j jest bliższe -. Dla j = n ta wielkość jest prawie równa - i żądamy spełnienia nierówności s /2. Wniosek Warunkiem koniecznym stabilności moetody opisanej wzorem v i,j+ = sv i,j + ( 2s)v i,j + sv i+,j jest nierówność s = k/h 2 /2. Warunek ten jest bardzo kłopotliwy. Elegancji i prostocie metody towarzyszy jej skrajna nieefektywność. np. h =. k 5 5. Chcąc znaleźć rozwiązanie dla t, musimy przejść przez 2 wartości zmiennej t a liczba punktów siatki przekroczy 2 milionów!

16 Równania paraboliczne: metody niejawne u xx = u t (t, x ), u(x, ) = g(x) ( x ), u(, t) = (t ), u(, t) = (t ). lub h 2 [v(x + h, t) 2v(x, t) + v(x h, t)] = [v(x, t + k) v(x, t)] k h [v(x + h, t) 2v(x, t) + v(x h, t)] = [v(x, t) v(x, t k)] (5) 2 k h 2 (v i+,j 2v i,j + v i,j ) = k (v i,j v i,j ), (6) sv i,j + ( + 2s)v i,j sv i+,j = v i,j ( i n), (7) gdzie s = k/h 2.

17 Równania paraboliczne: metody niejawne Wprowadzamy jak poprzednio wektor V j = (v,j, v 2,j,..., v n,j ) i otrzymujemy równanie AV j = V j (8) A = + 2s s... s + 2s s... s + 2s s. Wykorzystano tu zerowe warunki brzegowe.

18 Równania paraboliczne: metody niejawne Dla zadanego V j możemy więc wyznaczyć V j. Formalnie rzecz biorąc można napisać V j = A V j (9) V j = A j V (2)

19 Analiza stabilności Rozumujemy tak jak w przypadku metody jawnej. Metoda jest stabilna jeśli ρ(a ) <. B = A = I + sb Z Lematu,2 wynika, że wartości własne macierzy A wynoszą λ j = + 2s( cos θ j ), gdzie θ j = jπ n+ ( j n). Wszystkie one są większe od, czyli wartości własne λ j macierzy A leżą w przedziale (, ). Zdefiniowana powyżej metoda niejawna jest stabilna dla dowolnych k i h! Lemat 2 Wartości własne macierzy B (macierz 4) stopnia n są równe 2 2 cos θ j, gdzie θ j = jπ/(n + ) ( j n)

20 Algorytm input n, k, M h /(n + ); s k/h 2 for i= to n do v i g(ih) end do t output, t, (v, v 2,..., v n) for i= to n do c i s; a i s end do for j= to M do for i= to n do d i + 2s end do call tri(n, a, d, c, v, v) t jk output j, t, (v, v 2,..., v n) end do

21 Algorytm tri d c a d 2 c 2 a 2 d 3 c a n 2 d n c n a n d n x x 2 x 3. x n x n = b b 2 b 3. b n b n input n, (a i ), (d i ), (c i ), (b i ), (x i ) for i=2 to n do d i d i (a i /d i ) c i b i b i (a i /d i ) b i end do x n b n/d n for i = n to step - do x i (b i c i x i+ ) d i end do output (x i )

22 RPC metoda różnic skończonych (niejawna) u xx = u t (t, x ), u(x, ) = sin πx ( x ), u(, t) = (t ), u(, t) = (t ), h =., k =.. rozw. numer. rozw. dok. blad wzgledny t x t x

23 RPC metoda różnic skończonych (niejawna) gęsta siatka uxx = ut (t, x ), u(x, ) = sin πx ( x ), u(, t) = (t ), u(, t) = (t ), h =., k =.. rozw. numer. kolor rozw. dok. blad wzgledny t x t x

24 Metoda Cranka-Nicolson Metoda hybrydowa połączenie metody jawnej i niejawnej α h 2 (v i+,j 2v i,j + v i,j ) + α h 2 (v i+,j 2v i,j + v i,j ) = k (v i,j v i,j ) (2) α = metoda jawna 2 α = metoda niejawna 3 α =.5 metoda Cranka-Nicolson

25 Metoda Cranka-Nicolson Poprzednie równanie (2) możemy przekształcić do postaci, gdzie nowe punkty (z drugim wskaźnikiem j) są po lewej stronie, a wcześniejsze (z j ) po prawej: sv i,j + (2 + 2s)v i,j sv i+,j = sv i,j + (2 + 2s)v i,j + sv i+,j, (22) gdzie s = k/h 2. W symbolice macierzowej równanie przybiera postać (2I + sb)v j = (2I sb)v j, (23) gdzie V j jest wektorem o składowych v ij dla i n, a B jest znaną nam macierzą w postaci 4.

26 Metoda Cranka-Nicolson stabilność Analogicznie do wcześniejszych przypadków, możemy stwierdzić, że metoda jest stabilna, jeśli ρ ( (2I + sb) (2I sb) ) <, (24) tzn. jeśli wszystkie wartości własne µ i macierzy B spełniają nierówność (2 + sµ i ) (2 sµ i ) <. (25) Ponieważ µ i = 2( cos θ i ), więc < µ i < 4 i powyższa nierówność jest spełniona. Metoda Cranka-Nicolson jest więc stabilna dla dowolnych wartości s = k/h 2.

27 RPC metoda Cranka-Nicolson u xx = u t (t, x ), u(x, ) = sin πx ( x ), u(, t) = (t ), u(, t) = (t ), h =., k =.. rozw. numer. rozw. dok. blad wzgledny t x t x

28 RPC metoda Cranka-Nicolson gęsta siatka uxx = ut (t, x ), u(x, ) = sin πx ( x ), u(, t) = (t ), u(, t) = (t ), h =., k =.. rozw. numer. kolor rozw. dok. blad wzgledny t x t x

29 Zbieżność Sama stabilność nie jest jedynym kryterium wyboru parametrów h i k. Na ogół im są one mniejsze tym tym rozwiązanie numeryczne v(x, t) lepiej naśladuje rozwiązanie dokładne u(x, t). Widać to dobrze przy porównaniu błędów względnych rozwiązania równania przepływu ciepła uzyskanego z różnym krokiem czasowym i przestrzennym. Potrzebne jest jeszcze twierdzenie zapewniające zbieżność dla h i k, funkcji v(x, t) do u(x, t). Zbadamy to na przykładzie metody jawnej. e ij = u(x i, t j ) v(x i, t j ) = u ij v ij (26) v i,j+ = s(v i,j 2v ij + v i+,j ) + v ij (27) Korzystając z powyższego i definicji błędu możemy napisać u i,j+ e i,j+ = s(u i,j 2u ij + u i+,j ) + u ij s(e i,j 2e ij + e i+,j ) + e ij (28) Skorzystamy też ze wzorów różniczkowania numerycznego f (x) = [f (x + h) 2f (x) + f (x h)] h2 2 h2 f (4) (ξ), (29) g (t) = k [g(t + k) g(t)] 2 kg (τ). (3)

30 Zbieżność Wzory 29 i 3 wstawiamy do równania 28 i otrzymujemy e i,j+ = se i,j + ( 2s)e ij + se i+,j [ s h 2 u xx (x i, t j ) + ] 2 h4 u xxxx (ξ i, t j ) + ku t (x i, t j ) + 2 k2 u tt (x i, τ j ) (3) Ponieważ sh 2 = k i u xx = u t możemy napisać e i,j+ = se i,j + ( 2s)e ij + se i+,j [ kh 2 2 uxxxx (ξ i, t j ) ] 2 sutt (x i, τ j ). (32) Niech (x, t) należy do zbioru domkniętego S := {(x, t) : x, t T }. Zakładamy, że funkcje u xxxx i u tt są ciągłe w s i definiujemy M := 2 max S u xxxx (x, t) + 2 s max S u tt (x, t).

31 Zbieżność Wprowadźmy też wektor błędu E j := ( e j, e 2j,..., e nj ) oraz jego normę Ej := max i n e ij oraz załóżmy, że 2s. Wtedy z równanie 32 wynika, że ei,j+ s ei,j + ( 2s) ei,j + s ei+,j + kh 2 M Ej + kh 2 M (33) Ponieważ prawa strona powyższej nierówności nie zależy od i, więc E j+ E j + kh 2 M E j + 2kh 2 M E + (j + )kh 2 M. (34) Ponieważ początkowe wartości rozwiązania przybliżonego v(x, t) są dokładne, czyli E = mamy Ej jkh 2 M. (35) Niech jk = t, tak że E j jest maksymalnym błędem rozwiązania dla ustalonego t. Ponieważ t T E j Th 2 ( M = O h 2). (36) Jeśli zatem s = k/h 2 /2 a funkcje u xxxx i u tt są ciągłe, to dla h błąd rozwiązania dla dowolnego t dąży do co najmniej tak szybko jak h 2.

32 Podsumowanie Metoda Jawna Niejawna Cranka-Nicolson Równanie macierzowe V j = (I sb)v j (I + sb)v j = V j (2I + sb)v j = (2I sb)v j

33 Zadanie niezależne od czasu: różnice skończone Równanie Laplace a 2 u := u xx + u yy = (37) Zagadnienie Dirichleta Zagadnienie Dirichleta występuje w badaniach różnych zjawisk fizycznych. W wersji dwuwymiarowej jest ono opisane równaniem Laplace a w obszarze Ω i danymi wartościami funkcji u na brzegu tego obszaru: u xx + u yy = w Ω, u(x, y) = g(x, y) na Ω. (38) u ciągła w Ω, gdzie Ω = Ω Ω. Jeśli obszar Ω spełnia pewne słabe warunki, a funkcja g jest ciągła to zagadnienie Dirichleta ma jednoznaczne rozwiązanie.

34 Różnice skończone Ω := {(x, y) : < x <, < y < } Jednym ze sposobów numerycznego rozwiązania zagadnienia Dirichleta (równanie??) jest zastąpienie pochodnych wyrażeniami różnicowymi f (x) = h 2 [f (x + h) 2f (x) + f (x h)] + O ( h 2) (39) Wzór?? stosujemy w punktach siatki pokrywającej równomiernie kwadrat Ω, dla h = /(n + ). (x i, y j ) := (ih, jh) ( i, j n + )

35 Różnice skończone Różnicowy odpowiednik równania Laplace a h 2 (v i,j 2v ij + v i+,j ) + h 2 (v i,j 2v ij + v i,j+ ) =, (4) co można przekształcić do postaci 4v ij v i,j v i+,j v i,j v i,j+ = ( i, j n). (4) v ij są znane dla i lub j równego lub n + (są zadane funkcją g). Pozostałe wartości v ij są nieznane. Mamy więc układ n 2 równań. Y y 4 = y 3 y 2 y y = x = x x 2 x 3 x 4 = X

36 Różnice skończone Układ?? ma szczególną strukturę. Ustawmy składowe wektora v w naturalnej kolejności v, v 2,..., v n, v 2, v 22,..., v n2, v n, v 2n,..., v nn i tak samo (według środkowych wartości v ij ) uporządkujmy równania. Układ równań możemy wtedy zapisać następująco Av = b, (42) Macierz A w tym równaniu ma szczególna strukturę. Dla n = 3 wygląda ona następująco A = T I I T I I T, gdzie T :=

37 Algorytm każde z równań ma co najwyżej pięć niewiadomych wśród n 4 elementów macierzy tylko (5n 4)n różni się od zera układ ma więc macierz rzadką układ można rozwiązać jedną z metod iteracyjnych, np. Gaussa-Seidela Z każdym punktem wewnętrznym siatki wiąże się równanie, z którego będziemy obliczać nowe przybliżenie wartości v ij v ij = 4 (v i,j + v i+,j + v i,j + v i,j+ ). (43)

38 Algorytm for i= to n + do //obliczanie wartości brzegowych v i g (x i, ); v i,n+ g (x i, ) v i g (, y i ); v n+,i g (, y i ) end do for i= to n do for j= to n do v ij end do end do //ustalanie początkowych przybliżeń funkcji //v w punktach wewnętrznych siatki for k= to M do //M-krotne zastosowanie metody Gaussa-Seidela for j= to n do for i= to n do v ij (v i,j + v i+,j + v i,j + v i,j+ ) /4 end do end do end do

39 Dziękuję za uwagę.