#09. Systemy o złożonej strukturze

Transkrypt

1 #09 Systemy o złożonej strukturze

2 system składa się z wielu elementów, obiekty (podsystemy) wchodzące w skład systemu są ze sobą połączone i wzajemnie od siebie zależne mogą wystąpić ograniczenia w dostępności pomiarowej sygnałów identyfikowalność pojedynczych obiektów prostych wchodzących w skład systemu nie implikuje identyfikowalności całego systemu (w szczególności, że identyfikowalność parametrów systemu złożonego w warunkach deterministycznych zależy m.in. od wartości parametrów poszczególnych obiektów (podsystemów), których nie znamy oraz od struktury połączeniowej systemu) ewentualne sprzężenia zwrotne przenoszą zakłócenia wyjściowe na wejścia

3 Obiekt identyfikacji c 1 c i c n δ 1 u 1 B 1 A 1 δ i u i ξ 1 B i A i δ n ξ i B n A n ξ n y 1 y i y n u n H = ( n ) 1,..., u= ( u un ) 1,..., c = ( c 1,..., c ) y y y n Opis formalny systemu A= diag( A1,..., A n ) B = diag( B1,..., B n ) H = ( H Hn ) 1,..., δ = ( δ1,..., δn ) ξ = ( ξ 1,..., ξn ) y = Au + Bc + ξ u = H y + δ

4 Założenia Z1: macierz połączeń H (struktura systemu) jest znana; Z2: system jest dobrze określony, tzn. dla każdej wartości pobudzenia c i każdej wartości zakłóceń (δ, ξ) istnieje dokładnie jedna wartość wyjścia y; Z3: wartości c i y w dowolnym momencie mogą być zmierzone; Z4: system przy braku zakłóceń byłby identyfikowalny; Z5: zakłócenia ξ i δ mają zerowe wartości oczekiwane i są niezależne od siebie oraz od pobudzeń c; Z6: wartości c, δ i ξ są takie, że uogólniona macierz pobudzeń N [ ] E = e 1,..., e N gdzie e = (c, θ ) oraz θ = Aδ + ξ jest zagregowanym zakłóceniem przeniesionym na wyjście systemu, jest - dla N dim e - pełnego rzędu z prawdopodobieństwem 1, tj. rank E N = dim e. Cel odkrycie prawdziwych wartości współczynników w liniowych opisach każdego obiektu wchodzącego w skład systemu (zawartych w macierzach A i B) na podstawie pomiarów c k i y k (k=1..n) uzyskanych w eksperymencie. Opis kompaktowy (równania pomiarów) gdzie 1 G = ( I AH ) y = K c + G θ K = GB

5 gdzie wi k ui k ci k = Estymacja metodą najmniejszych kwadratów V ( A, B ) W Θ 1 N gdzie Θ in = ( θ i,..., θ i ) = + in i i in in (, ) in = in +Θ in ViNW Ai Bi WiNW inw ( A in, B in ) = V in W in ( W N W in i ) 1 = [ 1,..., ] [ 1 W w w ] in = i,..., i N V v v in i i N ~, ~ u H v i k i k = v k jest wynikiem pomiaru wyjścia y k Przypadek 1) brak zakłóceń pomiarowych: v k =y k, Przypadek 2) obecność zakłóceń pomiarowych: v k =y k +η k. Zasadnicza wada estymatora asymptotycznie obciążony ( ) lim E A, B ( A, B ) N in in i i przyczyna: występowanie strukturalnego sprzężenia zwrotnego w systemie, a co za tym idzie skorelowanie zachodzące pomiędzy zakłóceniami (zagregowanymi) θ i, działającymi na wyjścia podsystemów, a wejściami interakcyjnymi u i, które zależą od wyjść systemu.

6 Metoda zmiennych instrumentalnych (Instrumental Variables) ( AiN IV, BiN IV ) = ViN ΨiN ( WiN ΨiN ) W1: wymiarowość Ψ in jest identyczna jak wymiarowość macierzy W in : gdzie [ ] 1 1 N Ψ in = ψ i,..., ψ i ψi k ψi k ψi k =, 1,,2 dimψ i, 1 = dimui dimψ = dimc i,2 W2: macierz W in Ψ in jest odwracalna (nieosobliwa); W3: elementy ψ 1 i,1,...,ψ N i,1 i ψ 1 i,2,...,ψ N i,2 macierzy Ψ in są asymptotycznie silnie skorelowane z wejściami zewnętrznymi c 1,..., c N ; W4: elementy ψ 1 i,1,...,ψ N i,1 i ψ 1 i,2,...,ψ N i,2 macierzy Ψ in są asymptotycznie nieskorelowane z zakłóceniami θ 1,..., θ N działającymi na wyjścia podsystemów. Konstrukcja zmiennych pomocniczych Oznaczmy przez L i macierz formującą Ψ in z macierzy pobudzeń zewnętrznych systemu E N Ψ in = LE i N Postulat (względu na warunki W3 i W4 oraz niedostępność pomiarową wektora θ ) i Li = Γ 0 I i 0 i

7 Γ i jest macierzą o wymiarze dim u i dim c, o której zakładamy, że jest pełnego rzędu I i jest macierzą blokową o wymiarach dim c i dim c, z jednostkowym i-tym blokiem kolumnowym: Ii = [ 0,..., 0, I, 0,..., 0 ] Własności asymptotyczne (przypadek braku zakłóceń pomiarowych) błąd estymacji ( ) ViN = Ai, Bi WiN +Θ in / Ψ ( A IV, B IV ) ( A, B ) ( W ) 1 in in i i = Θ in Ψ in in Ψ ( ) in 1 N ΘiNΨiN 1 in ΨiN in = 1 zapiszmy HK i HG i WiN = Fi EN,gdzie Fi = Ii 0 na podstawie warunków W1 W4 oraz mocnego prawa wielkich liczb otrzymujemy: 1 N Θ in Ψ in p. 1 [ 0 : 0 ] i i Σ N W in in p u~ Σuc Ψ, ψ ~,. i i Σc Σ, ψ cc, 2 gdzie Σ i x,y oznacza macierz korelacji wzajemnej pomiędzy wektorami losowymi x i i y i Wniosek ( A IV, IV in BiN ) p.1 ( Ai, Bi) N N W

8 Optymalna generacja zmiennych instrumentalnych E{ N N } 2 min Uwaga: macierz K jest nieznana ψ ψ ( ) i k *, 1 = Ε i k = k = i i k *, 2 = c i k u c c H Kc k k=1..n (9)

9 Wyniki eksperymentów Porównanie błędów estymacji metodami NK i IV dla elementów macierzy A. R A,NK R A,IV Liczba pomiarów 1000 Zależność średniego błędu identyfikacji od wyboru zmiennych instrumentalnych. 100 S A,IV 10 S B,IV X