WYKORZYSTANIE FUNKCJI JEDNOSTKOWEJ PRZEWODNOŚCI MAGNETYCZNEJ SZCZELINY DO OKREŚLANIA MOMENTÓW ZACZEPOWYCH W MASZYNACH Z MAGNESAMI TRWAŁYMI

Transkrypt

1 Zeszyty Probleoe Maszyny Elektryczne Nr /3 (98 7 Toasz Drabek, Andrzej Matras, Jerzy Skarczyński AGH Akadeia Górniczo-Hutnicza, Krakó WYKORZYSTANIE FUNKCJI JEDNOSTKOWEJ PRZEWODNOŚCI MAGNETYCZNEJ SZCZELINY DO OKREŚLANIA MOMENTÓW ZACZEPOWYCH W MASZYNACH Z MAGNESAMI TRWAŁYMI THE USE OF MAGNETIC PERMEANCE FUNCTION TO DETERMINE THE COGGING TORQUE IN PERMANENT MAGNET MACHINES Streszczenie: W artykule przedstaiono fizykalny echaniz generacji sił i oentó zaczepoych, ilustroany ynikai obliczeń MES. Na podstaie obliczeń MES stierdzono, że oenty zaczepoe są yołane zianai koenergii pola agnetycznego rejonach zakończeń połokoych agnesó trałych, jakie toarzyszą obrotoi irnika, a ściślej nierónoażeniu się pochodnych tych zian przy zakończeniu zbiegający i nadbiegający agnesu. W artykule przedstaiono ożliości i ograniczenia stosoaniu funkcji jednostkoej przeodności agnetycznej szczeliny poietrznej (FJPMS do określania oentó zaczepoych aszynach z połokoyi agnesai trałyi. Zagadnienie to ziązane jest z szerszy problee stosoalności FJPMS do obliczania lokalnych artości pola agnetycznego szczelinie aszyny. Obliczenia z użycie FJPMS przeproadzono dla 4-biegunoego silnika z agnesai połokoyi. Abstract: This paper presents the physical echanis of generation of force and cogging torque, illustrated by the results of FEM calculations. Based on FEM calculations, it as found that the cogging oents are caused by changes in the agnetic field coenergy in endingareas of coating (surface ounted peranent agnets, hich are accopanied by rotation of the rotor, or ore precisely - ibalance the derivatives of these changes at the falling and using of peranent agnet. The paper presents the possibilities and liitations in the use of the pereability of the air gap to deterine the cogging torque of achines ith coating peranent agnets. This proble is related to the proble of the applicability of a ider pereability to calculate the local agnetic field in the air-gap of the achine. Calculations ere carried out using pereability for a 4-pole otor ith coating agnets. Słoa kluczoe: aszyny elektryczne z agnesai trałyi, oenty zaczepoe Keyords: peranent agnet electric achine, cogging torque. Wstęp Moent zaczepoy aszynach elektrycznych irujących jest to oent ytarzany przez pole agnetyczne agnesó trałych, stanie bezprądoy uzojeń. Moent taki oże pochodzić od toarzyszącej obrotoi irnika ziany reluktancji obodu agnetycznego dla siły agnetootorycznej agnesó trałych [], ale oże też pojaić się arunkach, których taka ziana nie ystępuje. Generalnie, oent zaczepoy jest niepożądaną składoą oentu ytarzanego przez aszynę i dąży się do jego zinializoania. Wpły oentu zaczepoego jest szczególnie zauażalny aszynach z agnesai typu połokoego i dalsze rozażania dotyczyć będą takich łaśnie konstrukcji, a szczególności aszyn z cylindryczny użłobkoany stojane oraz gładki cylindryczny irnikie, na poierzchni którego usytuoane są agnesy. Jeśli przyjąć, że oent zaczepoy π τ s Z s jest pochodzenia reluktancyjnego, udział jego torzeniu ają zęby stojana. Można stąd donieyać, że oent zaczepoy będzie inialny, jeśli rozpiętość obodoa (kąt łuku β agnesu będzie ielokrotnością podziałki zęboej stojana. Tak jednak, jak iadoo, nie jest i g [] inialny oent zaczepoy dla agnesó połokoych agnesoanych proienioo uzyskuje się arunkach: β (n+,7τ s, gdzie podziałka zę- β boa, Z s liczba zębó stojana, int(. n τ s Perspektyę uzasadnienia tej zależności starzało zastosoanie przy forułoaniu odelu ateatycznego aszyny z agnesai trałyi funkcji jednostkoej przeodności a-

2 7 Zeszyty Probleoe Maszyny Elektryczne Nr /3 (98 gnetycznej szczeliny (FJPMS, której uzględniono użłobkoanie stojana. W artykule przedstaiono rezultaty podjętych ty kierunku badań.. Pochodzenie sił i oentó zaczepoych Moenty zaczepoe są yołane zianai koenergii rejonach obodoych zakończeń agnesó trałych, jakie toarzyszą obrotoi irnika, a ściślej nierónoażeniu się pochodnych tych zian przy zakończeniu zbiegający i nadbiegający. W odelu ateatyczny aszyny zbudzanej agnesai trałyi, agnes o prostolinioej charakterystyce odagnesoania oże być reprezentoany pojedynczy zoje z yuszenie prądoy artości H C l, usytuoany zaiast agnesu szczelinie poietrznej, której przypisuje się FJPMS [,3,4]. Konsekentnie, koenergia agnetyczna stanie bezprądoy tornika, poijając koenergię rdzeniu, oże być yrażona za poocą struienia ψ ytarzanego i sprzężonego z obode reprezentujący agnesy: ψ ( i, ϕ di ( i i ψ ( i, ϕ ( H C l ψ ( ϕ Struień ψ oże być obliczony ze zoru: τ p ψ ( ϕ prl B ( α, ϕ ( Fe który B ( α, ϕ oznacza rozkład indukcji gr zdłuż obodu szczeliny, zależny od położenia irnika. Jeżeli zór ( a być ykorzystany do obliczenia oentu działającego na agnes przesuający się pod poszczególnyi otarciai żłobkó ożna zauażyć, że różna od zera będzie pochodna tylko tej części koenergii, która zgroadzona jest obrębie podziałek żłobkoych obejujących obodoe końce a- FJPMS jest odrotnością tz. szczeliny zastępczej, ponożoną przez przenikalność agnetyczną szczeliny []. Wyznaczana jest z rozkładu pola agnetycznego szczelinie arunkach stałej różnicy agnetycznego potencjału skalarnego iędzy brzegai szczeliny. Uzględnia geoetrię brzegó szczeliny. gr gnesu. Uzględniając to, prosty odel obodu agnetycznego, który postają siły zaczepoe ożna przedstaić, jak na rysunku. Rys.. Obód agnetyczny do obliczeń sił zaczepoych Obód składa się z dóch rdzeni ferroagnetycznych oddzielonych szczeliną poietrzną, której usytuoane są agnesy trałe PM. Magnesy PM i PM3 są nieruchoe, agnes PM oże się przeieszczać, a jego położenie zględe osi leego ycięcia ( żłobka opisuje spółrzędna x. Długość agnesu PM jest róna odstępoi poiędzy osiai ycięć. Siła działająca na agnes F jest pochodną zględe spółrzędnej x koenergii agnetycznej zgroadzonej obodzie. Łato ożna przeidzieć, że ziany koenergii koncentroać się będą okół końcó agnesu, dlatego siła działająca na agnes oże być traktoana jako sua sił działających na końce agnesu ley F K i pray F K : F F + F (3 K K K przy czy: K K FK ; FK (4 Sybolai K, K e zorach (4 oznaczono koenergię zagazynoaną prostopadłościanach, których ślady płaszczyźnie rysunku zaznaczono konturai odpoiednio K oraz K. Położenie i yiary konturó dobrano taki sposób, aby ziany koenergii toarzyszące przeieszczaniu agnesu PM, obszarze poza konturai były poijalnie ałe porónaniu ze zianai obszarze objęty przez każdy z konturó. Oczyiście, efekt postaania siły zaczepoej odelu g rys. ystępuje przedziale przesunięć x ograniczony zanikie róno-

3 Zeszyty Probleoe Maszyny Elektryczne Nr /3 (98 73 czesnych obustronnych zian koenergii okół otarcia żłobkó. Wykorzystując do obliczenia siły działającej na agnes PM obodoą reprezentację agnesu trałego i zór ( należy yznaczyć struień sprzężony z obode reprezentujący agnes. Jeśli cele obliczeń a być yznaczenie pochodnej koenergii W zględe spółrzędnej x, struień oże być ynikie całkoania indukcji jedynie po poierzchniach, których ślady płaszczyźnie rysunku oznaczono odcinkai linii przeryanej S i S, ponieaż struień przechodzący przez poierzchnię zaartą poiędzy S i S nie ulega ziano przy przeieszczaniu agnesu. Podobnie jak yżej, otrzya się ten sposób siłę działającą na ley i pray koniec agnesu PM. Oznaczając je dla odróżnienia odpoiednio F S i F S siła działająca na agnes F yniesie : F S S S FS + FS + ψ S( x ψ S ( x ( H C l + (5 Ten sposób obliczania siły, porónaniu z zastosoanie FJPMS i reprezentacji s agnesu pojedynczy zoje, będzie oparty na lepszy odzoroaniu gęstości struienia rejonie końcó agnesu. Dlatego ykorzystując FJPMS należy się spodzieać dodatkoych błędó, ynikających z noszonych uproszczeń. Obliczenia artości struieni i sił dla obodu z rysunku ykonano MES korzystając z pakietu FEMM. Rezultaty obliczeń przedstaiono na rysunkach i 3. Wartości dotyczą grubości rdzenia staloego l Fe,. Siły F K oraz F S, yznaczone jako suy sił działających na końce agnesu g (3 i (5, porónano z artością F, obliczaną przez progra FEMM jako Force via Weighted Stress Tensor, działającą na agnes PM (rys.3. Przedstaione rezultaty obliczeń ykazały popraność obliczeń siły działającej na końce agnesu jako pochodnej koenergii obszaru i błąd etody obliczeń koenergii ze struienia sprzężonego z obode reprezentujący agnes. Siła działająca na agnes ynika przede szystki z przesunięcia ekstreó sił F K i F K, przedstaionych na rysunku, a także, niejszy stopniu, z odiennego kształtu krzyych. Natoiast siły ( F S i F S praktycznie się pokryają, co skutkuje zeroanie suy. [N] x [] Rys.. Siły działające na końce agnesu F k, F s (na koniec ley ze znakie przeciny [N] x [] F F K F S Rys. 3. Porónanie yznaczonych różnyi etodai sił działających na agnes PM jako funkcji położenia agnesu x (obliczone prograe FEMM Zraca przy ty uagę fakt, że bezzględne artości sił działających na końce agnesu są praie dudziestokrotnie iększe od różnicy tych sił. Natoiast artości sił odpoiadających sobie parach: F K i F S oraz F K i F S są zbliżone. Względna artość błędó nie przekracza rozpatryany przedziale 7%. Mając śiadoość ograniczonego zakresu zastosoań FJPMS, próboano ykorzystać tę funkcję do yznaczenia konkretnej aszynie z połokoyi agnesai trałyi przebiegó oentu zaczepoego funkcji kąta W badanej aszynie producent zastosoał agnesy o rozpiętości obodoej 6,6, a ięc 6,6τ s. F k F k F s F s

4 74 Zeszyty Probleoe Maszyny Elektryczne Nr /3 (98 położenia irnika φ, dla różnych rozpiętości kątoych agnesu β (przy zachoaniu niezienionych szystkich pozostałych yiaró aszyny i ysokości agnesó. Moent elektroagnetyczny liczono jako pochodną koenergii pola agnetycznego, zgroadzonej zaróno agnesach, jak i szczelinie poietrznej, g yrażeń: gdzie: ( + Wo Te ϕ ( ϕ + ϕ + ( ϕ ϕ o (6 koenergia zgroadzona agnesach aszyny, o koenergia zgroadzona szczelinie poietrznej aszyny. φ ziana kąta położenia irnika, φ,5deg. Vz,5 B H Vz B B dh dv R dv (7 gdzie: B zastępcza indukcja agnetyczna panująca zastępczej objętości agnesu, róna faktycznej indukcji na przyszczelinoej poierzchni agnesu połokoego, a zaraze zastępcza indukcja zastępczej szczelinie poietrznej aszyny, B R indukcja reanentu agnesu, H natężenie pola agnetycznego agnesie g charakterystyki odagnesoania, odpoiadające artości B, przenikalność agnetyczna agnesu na linioej części charakterystyki odagnesoania, B R / H c, H c natężenie koercji agnesu, V z zastępcza objętość agnesó aszyny, zależna od rzeczyistej rozpiętości kątoej agnesó β, rzeczyistej długości pakietu blach aszyny l Fe i zastępczej ysokości agnesó l ( α ϕ ; z dv R l l ( α ϕ, Fe z α...36deg. B o,5 dv V z (8 gdzie: V z objętość zastępczej szczeliny poietrznej, dv R l δ ( α ϕ, Fe z α...36deg, R [] proień, na który yznaczono FJPMS Λ ( α ϕ l Fe, długość pakietu blach aszyny, l o z ( α ϕ δ z ( α ϕ Λ( α ϕ r zastępcza szczelina poietrzna aszyny. Uzyskane yniki obliczeń dla rzeczyistej artości β 6.6 przedstaiono na rysunku 4. T e [N] φ[deg] Rys. 4. Przebieg oentu zaczepoego dla β 6.6 funkcji kąta położenia irnika T e [N] φ[deg] Rys. 5. Przebieg oentu zaczepoego dla β 6.6 funkcji kąta położenia irnika, uzyskany z obliczeń MES

5 Zeszyty Probleoe Maszyny Elektryczne Nr /3 (98 75 Rysunek 5 przedstaia oent zaczepoy obliczony dla aszyny badanej MES D za poocą tensora naprężeń Maxella, przy obliczeniach agnetostatycznych. Szczytoa artość oentu zaczepoego jest tu niejsza od uzyskanej z obliczeń FJPMS o.7n, tj. o 3% odniesieniu do oentu aksyalnego z obliczeń MES. Porónując przebiegi oentu zaczepoego z rysunku 4 i 5 zracają uagę inne relacje poiędzy lokalnyi ekstreai oentu tego saego znaku: z obliczeń FJPMS stosunek artości lokalnego ekstreu iększego do niejszego" ynosi ok., natoiast z obliczeń MES ok.6. Jeżeli oent ypadkoy, działający na agnes, jest różnicą dóch, bez porónania iększych oentó działających na końce agnesu, naet nieielkie błędy obliczeniach oentó składoych ogą poodoać duże ziany oentach ypadkoych. Obliczenia oentu zaczepoego etodą FJPMS przeproadzono rónież dla innych rozpiętości kątoych agnesó: β 6 oraz β 6 ( Przebieg oentu zaczepoego funkcji kąta położenia irnika dla rozpiętości kątoej agnesu β 58.4 ożna uznać za lustrzane odbicie przebiegu z rysunku 4 zględe osi pozioej. Dla kąta β 6 oent aha się przedziale ±.3N i jest to najniejszy uzyskany z obliczeń FJPMS zakres zian artości oentu zaczepoego. Przedstaione yniki obliczeń skazują na zakres zastosoań etody FJPMS przy analizie oentó zaczepoych. FJPMS nie oże być ykorzystana do ustalenia obodoej długości agnesu połokoego, zapeniającej iniu oentó zaczepoych pochodzenia reluktancyjnego. Natoiast pozala oszacoać przybliżoną ielkość i kształt przebiegu tego oentu. 3. Wnioski Przedstaione yniki syulacji pozalają na yciągnięcie następujących nioskó: obliczanie siły zaczepoej oparciu o gęstość poierzchnioą struienia agnetycznego szczelinie nie oże być zastosoane do yznaczenia optyalnej rozpiętości agnesu, ponieaż stierdzono, że uzyskiane yniki nie odpoiadają pełni rezultato obliczeń ykonyanych dokładniejszyi etodai, a uzyskiane nioski nie znajdują potierdzenia praktyce, ykorzystyanie FJPMS do yznaczenia struienia agnetycznego procedurze (5 obliczania siły, proadza tylko dodatkoe błędy ynikające z koniecznych uproszczeń, natoiast nie zienia zasady obliczeń, ziązku z ty FJPMS nie oże być ykorzystana do ustalenia obodoej długości agnesu połokoego, zapeniającej iniu oentó zaczepoych, ielkość i kształt oentu zaczepoego ypadkoego oże być syuloana etodą FJPMS, jednak dla oceny popełnianego błędu poinny być określone oenty działające na obodoe końce agnesu i ich zajene przesunięcie. 4. Literatura []. Drabek T., Matras A., Skarczyński J., Modeloanie aszyn elektrycznych z agnesai trałyi, Przegląd Elektrotechniczny, 83 (7, nr 6, []. Bernatt J., Obody elektryczne i agnetyczne aszyn elektrycznych zbudzanych agnesai trałyi. BOBRME KOMEL, Katoice. [3]. Węgiel T.: Modeloanie aszyn synchronicznych zbudzanych agnesai trałyi, Rozpraa doktorska, Polit. Krakoska 997. [4]. Sobczyk T., Probley odeloania ateatycznego prądnic synchronicznych zbudzanych agnesai trałyi, Prace Instytutu Elektrotechniki, Zeszyt 3, 7. W pracy przedstaiono część ynikó projektu badaczego p.t. Weryfikacja poiaroa obliczeń analitycznych aszyn elektrycznych z agnesai trałyi, finansoanego przez Narodoe Centru Nauki Krakoie, jako projekt nr N N5 774.