Wykład 22 Indukcja elektromagnetyczna w ruchomych przewodnikach podejście mikroskopowe

Transkrypt

1 Wykład ndukcja elektroagnetyczna w ruchoych przewodnikach podejście ikroskopowe Żeby wytłuaczyć zjawisko indukcji elektroagnetycznej rozważy ruch przewodzącego pręta w jednorodny polu agnetyczny. Dla uproszczenia załóży, że odcinek porusza się ze stałą prędkością υ w płaszczyźnie prostopadłej do wektora indukcji agnetycznej B. Na elektrony przewodzenia odcinka działa wówczas siła orentza: e [ υ B]. (.) F Pod działanie siły orentza elektrony przeieszczają się wzdłuż przewodnika, w związku z czy ulega naruszeniu równoierność ich rozkładu w objętości przewodnika. Między końcai odcinka powstaje różnica potencjałów, ϕ, a wewnątrz niego - pole elektryczne ϕ. (.) l iła ( F e e ), z której działa pole (.) na elektrony odcinka przewodnika jest skierowana przeciwnie niż siła orentza. W stanie równowagi siły te równowagą się, a zate e eυb. kąd, z uwzględnienie (.), znajdujey dx d dφ ϕ lbυ Bl B. (.3) 79

2 loczyn ldx d oznacza pole powierzchni zakreślanej przez przewodnik podczas jego ruchu w czasie, a Bd dφ oznacza struień agnetyczny przez pole powierzchni d. Zgodnie z prawe Oha dla odcinka ( ( ϕ + ) / R ) w przypadku gdy 0 różnica potencjałów ϕ równa się ze znakie inus sile elektrootorycznej działającej na ruchoy odcinku przewodnika ϕ. (.4) Ponieważ na ty odcinku nie występują źródła prądu, ożna przyjąć, że siła elektrootoryczna występująca we wzorze (.4) to jest siła elektrootoryczna (M) indukcji i. A zate, ze wzorów (.3) i (.4) ay dφ i. (.5) Wzór (.5) a identyczną postać z podstawowy prawe indukcji elektroagnetycznej. A więc, w oparciu o siłę orentza ożna wyjaśnić ikroskopowy echaniz indukowania prądu w przewodnikach poruszających się w stały polu agnetyczny. Wirowe pole elektryczne W przypadku nieruchoych przewodników powstawanie M indukcji nie oże być związane z siłą orentza. W celu zinterpretowania zjawiska indukcji elektroagnetycznej w przewodnikach nieruchoych należy przyjąć, że zienne pole agnetyczne wywołuje powstawanie pola elektrycznego, pod wpływe którego w obwodzie zaknięty indukowany jest prąd elektryczny. ndukowane pole elektryczne jest równie realne, jak pole wytwarzane przez ładunki statyczne i działa na ładunek próbny q z siłą F q. W związku z ty, korzystając z definicji siły elektrootorycznej ożey napisać i dl, (.6) gdzie całkowanie objęta jest cała długość obwodu zakniętego. Zgodnie z prawe indukcji elektroagnetycznej dφ d db d i ( B ) B, (.7) 80

3 M indukcji oże powstać wskutek ziany kształtu obwodu i jego położenia w polu agnetyczny, a także w wyniku zależności indukcji agnetycznej B od czasu. W przypadku nieruchoych przewodników kształt obwodu i jego położenie w polu agnetyczny nie ulegają ziano, a zate dφ B Φ i d. (.8) Tu cząstkowa pochodna jedynie zależność od czasu indukcji agnetycznej. Φ / t oznacza, że przy różniczkowaniu po czasie uwzględniay Biorąc pod uwagę wzory (.6) i (.8) otrzyujey Φ dl. (.9) Ze wzoru (.9) wynika, że pole elektryczne wytwarzane przez zienne w czasie pole agnetyczne jest pole wirowy. (Przyponiy, że dla pola wirowego cyrkulacja wektora pola wzdłuż obwodu zakniętego nie jest równa zeru. Przykłade pola wirowego jest pole agnetyczne.) Pole elektryczne wytwarzane przez ładunki elektryczne jest pole potencjalny, ponieważ w ty przypadku dl 0. A zate pole elektryczne oże być jak potencjalny, tak i wirowy. Źródłe pola elektrycznego potencjalnego są ładunki elektryczne, natoiast źródłe pola elektrycznego wirowego jest zienny w czasie struień pola agnetycznego. Z uwzględnienie (.8) i twierdzenia tokesa, wzór (.9) ożey przepisać w postaci dφ B dl rot d d. (.0) kąd dla wirowego pola elektrycznego uzyskujey B rot. (.) 8

4 Prądy Foucaulta Prądy indukowane powstające w asywnych przewodnikach znajdujących się w zienny polu agnetyczny nazyway prądai Foucaulta. W aszynach i transforatorach prądy indukowane wywołują silne nagrzewanie urządzeń i przyczyniają się do powstawania znacznych strat energii. ndukcyjność własna obwodu Dookoła każdego przewodnika z prąde istnieje pole agnetyczne. Własne pole agnetyczne obwodu przenika również przez powierzchnię ograniczoną przez obwód, wytwarzając ty say struień agnetyczny Φ B d. (.) Zgodnie z prawe Biota-avarta eleent obwodu z prąde wytwarza pole agnetyczne o indukcji wprost proporcjonalnej do B A r ( ), (.3) Tu µ µ [ dl r A( r ) 3 4π r 0 ] i całkowanie obejuje całą długość obwodu. 8

5 Po podstawieniu (.3) do wzoru (.) otrzyujey Φ B d A( r ) d. (.4) Wielkość µ µ [ dl r d A( r ) d 3 4π r 0 ] zależy wyłącznie od jego geoetrycznego kształtu i wyiarów, a także od przenikalności agnetycznej µ środowiska, w który znajduje się obwód. Wielkość nosi nazwę indukcyjności obwodu. Wzór (.4) wyrażony przez indukcyjność obwodu przyjuje postać Φ. (.5) W układzie jednostką indukcyjności jest henr. H Wb/A. Zjawisko saoindukcji Jeżeli w obwodzie płynie zienny prąd, wówczas zienny w czasie struień agnetyczny Φ wzbudza w obwodzie M indukcji. Zjawisko to nazywa się saoindukcją albo indukcją własną. Jeśli obwód prądu nie ulega odkształceniu, to indukcyjność obwodu pozostaje stała i M indukcji s, zgodnie z prawe Faradaya, wynosi d s. (.6) Pod działanie siły elektrootorycznej saoindukcji pojawia się prąd indukowany przeciwdziałający, według prawa enza, zianie prądu w obwodzie: spowalnia jego wzrost lub alenie. ndukcja wzajena Zjawisko indukcji wzajenej polega na wzbudzaniu M indukcji w przewodnikach uieszczonych w pobliżu obwodu prądu ziennego. Rozważy dwa obwody i niech w pierwszy z tych obwodów płynie zienny prąd o natężeniu, a w drugi obwodzie płynie zienny prąd o natężeniu. 83

6 Zgodnie z prawe Biota-avarta indukcja pola agnetycznego obwodu jest proporcjonalna do natężenia prądu płynącego w obwodzie. Jeżeli oznaczy przez Φ struień agnetyczny pola agnetycznego prądu, przez powierzchnie, ograniczoną przez drugi obwód, to zgodnie z prawe Biota-avarta struień Φ jest wprost proporcjonalny do natężenia prądu Φ. (.7) Współczynnik nazyway indukcyjnością wzajeną tych dwóch obwodów. ndukcyjność wzajena zależy jedynie od kształtu geoetrycznego, wyiarów i położenia wzajenego obu obwodów, a także od przenikalności agnetycznej ośrodka, w który znajdują się obwody. truień agnetyczny Φ pola agnetycznego prądu, przez powierzchnie, ograniczoną przez drugi obwód, zgodnie z (.5) wynosi Φ. (.8) Tu jest indukcyjnością drugiego obwodu. Biorąc pod uwagę (.7) i (.8) dla całkowitego struienia pola agnetycznego przez powierzchnie, ograniczoną przez drugi obwód, znajdujey Φ. (.9) Φ + Φ + W podobny sposób dla całkowitego struienia pola agnetycznego przez powierzchnie, ograniczoną przez pierwszy obwód, otrzyujey 84

7 Φ. (.0) Φ + Φ + Tu jest indukcyjnością pierwszego obwodu, a jest indukcyjnością wzajeną tych dwóch obwodów. Równość wynika z tego, że Φ Φ jeżeli. Gdy kształt, wyiary i położenie wzajene obwodów pozostają stałe, wówczas indukcyjności,, pozostają stałe i z podstawowego prawa indukcji elektroagnetycznej znajdujey dla M i indukowanych w pierwszy i drugi obwodach Φ, (.) Φ. (.) nergia własna prądu elektrycznego. nergia pola agnetycznego. Gęstość objętościowa energii pola agnetycznego Przy zianie prądu elektrycznego w obwodzie, którego indukcyjność wynosi, a opór elektryczny - R, powstaje M saoindukcji, przeciwdziałająca ziano prądu. Zgodnie z prawe Oha prąd w obwodzie wynosi + s, (.3) R gdzie oznacza M źródła prądu, a s - M saoindukcji. Uwzględniając (.6), przekształciy wzór (.3) do postaci d R s R +. (.4) Mnożąc (.4) przez otrzyujey następujący wzór na pracę wykonaną przez źródło prądu w czasie R + d. (.5) 85

8 Pierwszy wyraz po prawej stronie równania (.5) określa zwykłą prace enza - Joule'a, wydatkowaną na nagrzewanie obwodu. Drugi wyraz - to dodatkowa praca uwarunkowana zjawiskai indukcyjnyi. Oznaczy przez W pracę dodatkową, wydatkowaną na powiększenie prądu w obwodzie od zera do wartości W d. (.6) 0 Wielkość W Φ Φ (.7) nazywa się energią własną prądu, płynącego w obwodzie o indukcyjności. Zwiększenie prądu w przewodniku wywołuję zwiększanie indukcji pola agnetycznego. A zate ożna przypuszczać, że energia własna prądu (.7) jest niczy inny jak energią pola agnetycznego. Znajdziey energią własną prądu płynącego w długi solenoidzie. Pole agnetyczne długiego solenoidu (zwojnicy) wynosi B µ 0 µ n, (.8) gdzie n N / l - liczba zwojów przypadających na jednostkę długości. Jeżeli N oznacza liczbę zwojów, to wypadkowy struień przechodzący przez wszystkie zwoje zwojnicy jest równy Φ N B nl µ µ n µ n V, (.9) 0 0µ gdzie V l - objętość solenoidu. Korzystając ze wzoru (.5) ( Φ ) dla indukcyjności solenoidu znajdujey Φ µ 0µ n V. (.30) Po podstawieniu (.30) do wzoru (.7) znajdujey W µ 0µ n V (.3) 86

9 Ze wzoru (.3) dla gęstości objętościowej energii pola agnetycznego solenoidu otrzyujey w W V µ 0µ n B ( B B) ( B H ). (.3) µ µ µ µ 0 0 Tu uwzględniliśy wzór (.8) oraz związek B µ 0 µ H. Równanie (.3) jest słuszne ogólnie, io że wyprowadziliśy je tylko dla solenoidu. Zgodnie z ty równanie jeżeli w jaki - kolwiek punkcie trzeni istnieje pole agnetyczne o indukcji B, to ożey uważać, że w punkcie ty jest zagazynowana energia w ilości ( B H ) na jednostkę objętości. wyrażenie Jeżeli pole agnetyczne nie jest jednorodny pole, to energię własną prądu określa W V ( B H ) dv, (.33) gdzie całkowanie objęta jest cała objętość V pola agnetycznego. Prąd unięcia. Uogólnione prawo Apère'a Dotychczas rozważaliśy dwa rodzaje prądów elektrycznych: prąd przewodzenia, związany z ruche uporządkowany ładunków swobodnych i prąd konwekcyjny, związany z ruche naładowanych cząstek (ciał) w próżni. Okazuje się, że istnieje inny rodzaj prądów, który nie jest związany z ruche ładunków elektrycznych. Prądy te odkrył Maxwell nazywają się oni prądai unięcia. stnienie prądów unięcia wynika z rozważania następującego przykładu. Kondensator płaski dołączony jest do źródła prądu ziennego. Z prawa przepływu prądu ay H dl j d P, (.34) 87

10 gdzie j d oznacza prąd przewodzenia płynący przez powierzchnię rozpiętej na obwodzie zaknięty P. Jeżeli rozważy powierzchnie (rysunek A), to przez tą powierzchnie przepływa prąd przewodzenia, a zate zgodnie z (.34) H dl j d P, (.35) Jeżeli teraz rozważy powierzchnię (rysunek B), która również jest rozpięta na obwodzie zaknięty P ale przechodzi iędzy okładkai kondensatora, to cyrkulacja wektora H wzdłuż konturu P pozostanie bez zian, natoiast przez powierzchnię prąd przewodzenia nie płynie, a zate dl j d P H 0, (.36) Otrzyaliśy więc dwa sprzecznych wyniki (wzory (.35) i (.36)). Z tej sprzeczności ożey wnioskować, że prawo Apère'a nie jest słuszne dla prądów ziennych w czasie. Jednak Maxwell wysunął hipotezę, że ten wniosek nie jest prawidłowy i prawo Apère'a jest słuszne i w przypadku prądów ziennych w czasie. Dla prądów ziennych w czasie usiy jednak uogólnić prawo Apère'a, zakładając, że oprócz 88

11 prądów przewodzenia istnieją też tak zwane prądu unięcia nie związany z przeieszczenie ładunków elektrycznych. Mechaniz powstawania prądów unięcia łatwo zrozuieć rozważając prawo Gaussa dla zakniętej powierzchni, składającej się z powierzchni i : + (patrz rysunek) D d Q, (.37) gdzie Q jest ładunkie jednej z okładek kondensatora. Gdy przez kondensator płynie prąd zienny zachodzi rozładowanie i ładowanie kondensatora, wskutek czego ładunek okładki kondensatora nie będzie stały w czasie. Ze wzoru (.37) wynika, że zienny w czasie ładunek wywołuję zienne w czasie pole elektryczne i ziany wektora indukcji pola elektrycznego określa wzór dq D d. (.38) Z porównania wyrażenia (.38) z równanie ciągłości (patrz wzór (9.)) dq j d, (.39) gdzie j jest gęstością prądu przewodzenia, otrzyujey D ( j + ) d 0. (.40) Z równania (.40) wynika, że oprósz gęstości prądu przewodzenia j jest składnik D /, który a wyiar gęstości prądu. Maxwell zaproponował nazwać ten składnik gęstością prądu unięcia: j D. (.4) 89

12 Zgodnie z hipotezą Maxwella prąd unięcia tak sao jak zwykły prąd przewodzenia wytwarza pole agnetyczne. A zate prawo Apère'a (.34) usiy uogólnić, wprowadzając do jego prawej strony prąd unięcia P H dl jcalk d ( j + j ) d +, (.4) gdzie j d jest prąde unięcia, który płynie przez powierzchnię rozpiętą na krzywej P. Z uogólnionej postaci prawa Apère'a (.4) łatwo udowodnić, że cyrkulacja wektora H przy ładowaniu (albo rozładowaniu) kondensatora nie zależy od wyboru powierzchni rozpiętej na krzywej P. stotnie dla zakniętej powierzchni + ze wzoru (.40) otrzyujey j calk d j d + j d + 0. (.43) Tu znak inus pochodzi z tego, że prądy i przez w (.43) rozważay jako wielkości dodatnie, a zate jeden z prądów usi być dodatni, a drugi - ujeny. kąd. (.44) Biorąc pod uwagę wzór (.44) i uwzględniając, że jcalk d i j d calk, otrzyujey j d calk j calk d. (.45) Z punktu widzenia teorii Maxwella i zgodnie ze wzore (.40) ( ( j + j ) d 0 ) obwody prądów ziennych są obwodai zakniętyi: przez te odcinki obwodu, gdzie brak jest przewodników, na przykład iędzy okładkai kondensatora, "płynie" prąd unięcia. 90