Pomiary momentu zaczepowego w maszynach synchronicznych z magnesami trwałymi

Transkrypt

1 Zdzisław KRZEMIEŃ Instytut Elektrotechniki, Warszawa Pomiary momentu zaczepowego w maszynach synchronicznych z magnesami trwałymi Streszczenie. W artykule zamieszczono wyniki pomiarów momentu zaczepowego występującego w maszynach synchronicznych z magnesami trwałymi i doświadczalnie zbadano wpływ konstrukcji maszyn na jego wartość. Porównano otrzymane pomiary z wytycznymi zawartymi w literaturze technicznej. W oparciu o otrzymane wyniki sformułowano zalecenia dla projektantów maszyn elektrycznych. Abstract. In the paper the results of cogging torque measurements of synchronous machines with permanent magnets was placed and machines construction influence on its value was tested. It was compared the measurement results with data placed in the technical literature. The directives for designer of synchronous machines was determined. (Measurement of the cogging torque of synchronous machines with permanent magnets) Słowa kluczowe: maszyny synchroniczne, magnesy trwałe, moment zaczepowy, pomiary Keywords: synchronous machines, permanent magnets, cogging torque, measurements Wstęp Rozwój technologii produkcji magnesów trwałych, w których stosuje się metale z grupy ziem rzadkich zaznaczył się w dziedzinie maszyn elektrycznych zasadniczym wzrostem znaczenia maszyn synchronicznych ze wzbudzeniem magnetycznym. Specyfika konstrukcji sprawia, że w maszynach tych pojawiają się zjawiska, które w maszynach klasycznych, ze wzbudzeniem elektromagnetycznym, nie występują bądź ich znaczenie jest pomijalnie małe. Do zjawisk takich należy zaliczyć niepożądane momenty, m.in. moment zaczepowy. Moment ten związany jest z obecnością żłobków w tworniku i magnesów trwałych w wirniku. Powstaje on na skutek zmian energii magnetycznej spowodowanych obracaniem się wirnika z magnesami względem użłobkowanego rdzenia stojana. Obliczany i mierzony jest w stanie bezprądowym - wówczas wirnik ustawia się w położeniu, w którym energia magnetyczna przyjmuje największą wartość, przy innych położeniach powstaje siła starająca się przywrócić położenie równowagi. Moment ten utrudnia rozruch maszyny, a w stanie pracy powoduje pulsację momentu napędowego w przypadku prądnicy lub pulsację wytworzonego momentu w przypadku silnika. Ponadto może on powodować drgania i hałasy. Jest więc zjawiskiem niepożądanym i przy projektowaniu maszyn z magnesami trwałymi powinno się dążyć do jego minimalizacji. Wartość momentu zaczepowego jest proporcjonalna do wartości indukcji w szczelinie powietrznej maszyny oraz zależy od parametrów konstrukcyjnych maszyny (liczby biegunów, szerokości otwarcia żłobków, grubości szczeliny powietrznej, długości i średnicy). Ponadto na wartość tego momentu ma staranność wykonania maszyny brak centryczności w ustawieniu wirnika powoduje jego znaczny wzrost. W maszynach bezżłobkowych oraz w maszynach bezrdzeniowych moment ten nie występuje. W literaturze technicznej [1],[3],[6],[7] problem momentu zaczepowego jest dość szeroko omawiany i przytaczanie opublikowanych modeli matematycznych opisujących to zjawisko uznano za niecelowe, natomiast stosunkowo niewiele jest informacji dotyczących wyznaczania tego momentu w warunkach rzeczywistych i jego konkretnych wartości dla danego typu maszyny. 2. Pomiary momentu zaczepowego w maszynach elektrycznych z magnesami trwałymi Moment zaczepowy występujący w maszynach elektrycznych z magnesami trwałymi można wyznaczać następującymi metodami: a) metodą statyczną wyznaczany jest on w stanie statycznym przy pomocy pomiaru siły działającej na ramieniu przymocowanym do wału maszyny. Mierzona jest maksymalna wartość momentu. b) przy pomocy dzwigni i wałka skrętnego na końcu wału badanej maszyny umieszczony jest wałek skrętny mierzący moment, do którego przymocowano dwustronną dźwignie. Na końcu jednego ramienia dźwigni umieszczona jest śruba umożliwiająca obrót dźwigni o zadany kąt, a na końcu drugiego ramienia znajduje się podziałka, na której odczytuje się wychylenie. Metoda ta umożliwia wyznaczenie przebiegu momentu w funkcji kąta obrotu wirnika maszyny. c) metodą oscyloskopową maszyna z magnesami trwałymi sprzęgnięta jest z przekładnią samohamowną napędzaną silnikiem indukcyjnym zasilanym ze źródła o regulowanej częstotliwości. Niewielka prędkość obrotowa sprawia, że zapis oscylograficzny przebiegu momentu zaczepowego jest dokładniejszy mniej jest zakłóceń pochodzących od niedokładności sprzęgnięcia. Pomiędzy badaną maszyną i przekładnią umieszczony jest wałek skrętny. Sygnał z wałka podawany jest na wzmacniacz a następnie na wejście oscyloskopu. W niniejszym artykule przedstawiono wyniki pomiarów momentu zaczepowego wykonane w/w metodami na maszynach synchronicznych wzbudzanych magnesami trwałymi. Maszyny te były zaprojektowane z zachowaniem reguł mających za zadanie minimalizację momentu zaczepowego. Badania laboratoryjne wykazały jednak, że w niektórych maszynach moment ten przekracza wartości oczekiwane. Wykonane pomiary miały na celu weryfikacje sposobów ograniczających moment zaczepowy oraz metod jego obliczania. Badania przeprowadzono w laboratorium Zakładu Maszyn Elektrycznych Instytutu Elektrotechniki w Warszawie na następujących maszynach: prądnica synchroniczna nr 1 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN , R. 88 NR 10a/

2 P = 0,2 kw; n = 100 obr/min; 2p = 24; liczba żłobków stojana - 72, długość pakietu 48 mm; liczba żłobków na biegun i fazę q = 1; podziałka żłobkowa stojana - 7,63 mm, co odpowiada 5 ; prądnica synchroniczna nr2 P = 0,5 kw; n = 100 obr/min; 2p = 24; liczba żłobków stojana - 72; długość pakietu 96 mm; q = 1 podziałka żłobkowa stojana - 7,63 mm co odpowiada 5 ; prądnica synchroniczna nr 3 P = 1,0 kw; n = 100 obr/min; 2p = 24; liczba żłobków stojana - 108, długość pakietu 85 mm; q = 1½ ; podziałka żłobkowa stojana - 7,62 mm co odpowiada 3,33 ; grubość magnesów 6,5 mm prądnica synchroniczna nr 4 P = 1.0 kw; n = 100 obr/min; 2p = 24; liczba żłobków stojana - 108, długość pakietu 85 mm; q = 1½ ; podziałka żłobkowa stojana - 7,62 mm co odpowiada 3,33 ; grubość magnesów 8 mm Prądnice nr 3 i nr 4 mają identyczną konstrukcje różnią się jedynie grubością magnesów prądnica synchroniczna nr 5 P = 5,5 kw; n = 1000 obr/min; 2p = 6; liczba żłobków stojana - 36, długość pakietu 140 mm; q = 2; podziałka żłobkowa stojana - 12,2 mm co odpowiada 10. Wirnik prądnicy składa się z trzech połączonych ze sobą rdzeni. Istnieje możliwość obrotu (przesunięcia) rdzeni zewnętrznych o pewien kąt względem rdzenia wewnętrznego i uzyskanie w ten sposób regulowanego (w pewnym zakresie) skosu magnesów. Moment zaczepowy w tej maszynie wyznaczono dla czterech wartości skosu magnesów. prądnica synchroniczna nr6 P = 0,2 kw; n = 200 obr/min; 2p = 6; liczba żłobków stojana - 36, długość pakietu 120 mm; q = 2; podziałka żłobkowa stojana - 6,8 mm co odpowiada 10. silnik synchroniczny nr 7 Maszyna ta ma konstrukcję odwróconą, tzn. wirnik z magnesami znajduje się na zewnątrz, przeznaczona jest do instalacji bezpośrednio w kole pojazdu. M = 60 Nm przy n = 320 obr/min; 2p = 12; liczba żłobków stojana - 27, długość pakietu 65 mm; q = ¾ ; podziałka żłobkowa wewnętrznego stojana - 22,4 mm. silnik synchroniczny nr8 Maszyna ta ma również konstrukcję odwróconą, tzn. wirnik z magnesami znajduje się na zewnątrz, przeznaczona jest do instalacji bezpośrednio w kole pojazdu. M = 180 Nm przy n = 107 obr/min; 2p = 12; liczba żłobków stojana - 27, długość pakietu 60 mm; q = ¾ ; podziałka żłobkowa wewnętrznego stojana - 31,4 mm. 3. Zestawienie wyników badań W tabeli 1 zamieszczono zestawienie wyników pomiarów momentu zaczepowego w badanych maszynach wykonanych trzema opisanymi wcześniej metodami, przy obrocie wirnika w i w. Różnice w pomierzonych wartościach momentu w zależności od metody i kierunku obrotów wynikają z niedoskonałości sprzęgnięcia z wałkiem skrętnym, z niedokładności metod pomiarowych oraz subiektywnej oceny wykonującego pomiary. Tabela 1. Zestawienie wyników pomiarów momentu zaczepowego badana maszyna moment zaczepowy wartość maksymalna [Nm] metoda a metoda b metoda c nr 1 1,00 0,95 1,03 0,80 1,08 0,97 nr 2 4,00 3,90 3,70 3,82 4,08 3,96 nr 3 2,04 1,96 1,98 1,92 2,05 2,10 nr 4 1,96 1,96 1,84 1,91 2,12 2,08 0 3,43 3,53 3,32 3, ,55 2,55 2,51 2, nr 5 12,2 1,96 2,16 1,83 2, ,59 2,55 2,66 2, nr 6 0,98 1,18 0,90 1,05 1,02 1,22 nr 7 0,49 0,55 0,98 0,87 0,61 0,64 nr 8 1,47 1, skos [mm] W tabeli 2 zamieszczono zestawienie wybranych parametrów konstrukcyjnych badanych maszyn ( gdzie: NWW(Ż, 2p) - najmniejsza wspólna wielokrotność liczby żłobków stojana i liczby biegunów; n mz - liczba impulsów momentu zaczepowego przy obrocie wirnika o podziałkę żłobkową twornika; q liczba żłobków na biegun i fazę; l Fe długość pakietu) i momentu zaczepowego (średnia z wyników pomiarów zamieszczonych w tablicy 1). Tabela 2. Zestawienie wybranych parametrów konstrukcyjnych badanych maszyn i zmierzonego momentu zaczepowego badana maszyna skos NWW (Ż, 2p) n mz q l Fe magne masa sów mm mm kg Nm nr 1 7,6 = t ż ,12 0,97 nr 2 7,6 = t ż ,24 3,91 nr 3 7,6 = t ż i 1/2 85 2,75 2,01 nr 4 7,6 = t ż i 1/2 85 3,36 1,98 nr 5 0 3,61 7 2, ,67 12,2 = t ż1 2, ,61 nr ,06 nr 7 22,4 = t ż /4 65 1,76 0,55 nr 8 31,4 = t ż /4 60 4,52 1,53 Tabela 3. Porównanie momentu zaczepowego do momentu znamionowego badanych maszyn maszyna nr 1 nr 2 nr 3 nr 4 nr 5 nr 6 nr 7 nr 8 M n [Nm] 24,8 61, ,9 11, M z /M n [%] 3,91 6,39 1,75 1,75 3,77 * 9,13 0,92 0,85 * dla skosu równego t ż1 Zamieszczony w tabeli 3 moment znamionowy M n dla prądnic to znamionowy moment napędowy równy: P (1) M n n gdzie: - sprawność prądnicy Względne wartości pomierzonego momentu zaczepowego w niektórych badanych maszynach osiągają znaczne wartości (prądnice nr 2 i nr 6) wynika to z ich cech konstrukcyjnych długość pakietu, brak skosu. M z 102 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN , R. 88 NR 10a/2012

3 Wszystkie wyniki pomiarów to obszerny materiał, w niniejszym artykule przedstawiono więc tylko wybrane przykładowe przebiegi momentu zaczepowego wyznaczone metodami b) i c) celem ilustracji charakteru otrzymanych przebiegów momentu w badanych maszynach synchronicznych kąt obrotu [stopnie] Rys. 1. Przebieg momentu zaczepowego prądnicy nr 1, obrót dźwigni w, (metoda b) Rys. 4. Oscylogram przebiegu momentu zaczepowego prądnicy nr 5 ze skosem równym 15 mm przy kierunku obrotów w, (metoda c) kąt obrotu [stopnie] -0.8 Rys. 5. Przebieg momentu zaczepowego prądnicy nr 6, obrót dźwigni w, (metoda b) Rys. 2. Oscylogram przebiegu momentu zaczepowego prądnicy nr 1 przy kierunku obrotów w, (metoda c) kąt obrotu [stopnie] Rys. 3. Przebieg momentu zaczepowego prądnicy nr 5 ze skosem równym 15 mm, obrót dźwigni w, (metoda b) Rys. 6. Oscylogram przebiegu momentu zaczepowego prądnicy nr 6 przy kierunku obrotów w, (metoda c) PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN , R. 88 NR 10a/

4 Rysunki nr 1, 3 i 5 przestawiają przebieg momentu zaczepowego przy obrocie wirnika równym podziałce żłobkowej twornika. Zamieszczone wyniki pomiarów momentu zaczepowego wykonane metodami b) i c) są zbieżne zarówno co do wartości jak i kształtu co świadczy o poprawności wykonanych pomiarów. 4. Wnioski z badań Skonfrontowanie otrzymanych wyników pomiarów momentu zaczepowego ze sposobami ograniczającymi go opisanymi w literaturze [1],[2],[3],[4],[5],[6],[8] pozwala na sformułowanie następujących wniosków: Zastosowanie skosu żłobków stojana lub skosu magnesów trwałych Jest to najczęściej stosowana metoda zmniejszania momentu zaczepowego. Rozważania teoretyczne wykazują, że możliwe jest całkowite wyeliminowanie tego zjawiska przez zastosowanie kąta skosu równego: (2) sk 2 Ż n mz gdzie: n mz - liczba okresów przebiegu momentu zaczepowego przy obrocie wirnika o kąt podziałki żłobkowej; Ż 1 liczba żłobków stojana. Jednak wykonane pomiary laboratoryjne nie potwierdzają tego: w prądnicy nr 2, zakładając słuszność powyższej formuły, przy kącie skosu równym 5 moment zaczepowy nie powinien wystąpić, istniejący kąt skosu wynosi 4,5 czyli jest bliski optymalnego a pomierzony moment zaczepowy ma znaczną wartość ok. 4 Nm Zwykłe skos żłobków stosuje się w stojanie, jednak w przypadku gdy do konstrukcji maszyn z magnesami stosuje się typowe stojany silników indukcyjnych, które wykonywane są bez skosu żłobków wówczas można zastosować skos magnesów w wirniku. Skos ciągły wymusza zastosowanie magnesów o skomplikowanym kształcie co praktycznie wyklucza ich stosowanie. W praktyce spotyka się zastępowanie skosu ciągłego skosem dyskretnym (pseudoskosem) uzyskiwanym poprzez podziału magnesu na sekcje i ich rozmieszczenie z odpowiednim przesunięciem obwodowym segmentów magnesów tworzących biegun. Metodę tą zastosowano w prądnicy nr 5. Ruchome rdzenie wirnika umożliwiają wykonanie pomiarów przy kącie skosu zawartym w przedziale 0 6,52 moment zaczepowy przyjmuje najmniejszą wartość przy kącie skosu równym 4,9 co odpowiada skosowi równemu 12,2 mm (podziałka żłobkowa stojana). Na rys. 7 zamieszczono fotografię wirnika omawianej prądnicy z widocznym podziałem magnesów na sekcje. Rys. 7. Wirnik prądnicy nr 5 z widocznym pseudoskosem magnesów 1 Na rys. 8 przedstawiono otrzymaną zależność momentu zaczepowego od skosu magnesów omawianej prądnicy, wyraźnie widoczne jest minimum wartości momentu zaczepowego dla skosu równego podziałce żłobkowej twornika. moment zaczepowy skos magnesów [mm] Rys. 8. Zależność momentu zaczepowego o skosu magnesów prądnicy nr 5. Wartości momentu to średnia z pomiarów zawartych w tablicy 1 Odpowiedni dobór liczby żłobków stojana i liczby biegunów Moment zaczepowy można zredukować jeśli NWW(Ż 1,2p) przyjmuje maksymalną wartość. Przykładowo według tej reguły silnik z 36 żłobkami i 2p = 2, NWW = 36 powinien mieć moment zaczepowy wyższy niż silnik z 36 żłobkami i 2p = 8, NWW = 72. Powyższa zasada dotyczy maszyn o tych samych wymiarach geometrycznych. Powinna być wskazówką dla projektantów maszyn przy danych wymiarach geometrycznych obwodu elektromagnetycznego należy w miarę możliwości tak dobierać liczby żłobków twornika i liczby par biegunów aby NWW przyjmowała możliwie dużą wartość. W tabeli 2 zamieszczono wartości NWW badanych maszyn jednak ich różne wymiary geometryczne nie pozwalają na potwierdzenie powyższej reguły. Zastosowanie w tworniku uzwojenia ułamkowego Dane zawarte w tablicy 2 wydają się potwierdzać zasadę, że zastosowanie uzwojenia o ułamkowej liczbie żłobków na biegun i fazę powoduje zmniejszenie momentu zaczepowego. Zalecenie to trudno zweryfikować bowiem wymagałoby to wykonania maszyn o tej samej geometrii obwodu magnetycznego lecz o różnej liczbie żłobków lub par biegunów a to wiąże się ze kosztami. liczba impulsów momentu Wartość momentu zaczepowego zależy również od liczby jego impulsów przy obrocie wirnika o podziałkę żłobkową twornika. Teoretyczna liczba okresów omawianego momentu w czasie obrotu wirnika o podziałkę żłobkową opisywana jest wyrażeniem: 2 p (3) n mz NWP( Ż 1,2 p) gdzie: Ż 1 liczba żłobków stojana, NWP(Ż 1, 2p) największy wspólny dzielnik (Ż 1, 2p). W literaturze [1] przyjmuje się, że jeśli liczba okresów momentu zaczepowego na podziałce żłobkowej jest niewielka moment ten przyjmuje stosunkowo duże wartości należy więc dążyć do zwiększania liczby n mz. Dane zawarte w tablicy 2 wydają się potwierdzać słuszność tej zasady: n mz przyjmuje największe wartości w badanych silnikach nr 7 i nr 8, w których moment zaczepowy jest stosunkowo niewielki. Jednakże w pewnych przypadkach wzór (3) budzi 104 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN , R. 88 NR 10a/2012

5 pewne wątpliwości: przykładowo dla prądnicy nr 5 obliczone n mz = 1, a tymczasem pomiary i obserwacje oscyloskopowe pokazują dwa impulsy momentu na podziałce żłobkowej (rys. 3 i 4), w pozostałych prądnicach liczba impulsów momentu na podziałce żłobkowej odpowiada wartościom obliczonym. Długość maszyny Wartości pomierzonego momentu zaczepowego w prądnicy nr 2 jest czterokrotnie większa niż w prądnicy nr 1. Maszyny te różnią się tylko długością obwodu magnetycznego (96 i 48 mm). Wartości współczynnika zależnego od skosu żłobków występującego w formułach matematycznych w obu prądnicach są identyczne. (4) k s sin( n l n l Fe Fe gdzie: l Fe długość pakietu stojana; n = k S, k = 1,2,3.., S najmniejszy wspólny podzielnik liczby żłobków i liczby par biegunów; - kąt skosu; Moment zaczepowy zależy od długości maszyny i strumienia magnetycznego, dwukrotne wydłużenie maszyny spowoduje czterokrotne zwiększenie omawianego momentu. Masa magnesów Pomiary nie wykazały zależności wartości momentu zaczepowego od masy magnesów: prądnice nr 3 nr 4 różniły się grubością (masą) magnesów lecz w obu maszynach mierzony moment był praktycznie taki sam. Kształt krzywych momentu zaczepowego Zamieszczane w literaturze matematyczne formuły na moment zaczepowy [3],[8],[12] opisują go jako przebieg okresowy, dwukierunkowy tymczasem wykonane obserwacje oscyloskopowe i pomiary wałkiem skrętnym wykazują, że w większości badanych przypadków przebiegi momentu zaczepowego mają charakter okresowy, jednokierunkowy. Przebiegi dwukierunkowe momenty zaobserwowano tylko w prądnicy nr 6 bez skosu (rys. 5 i 6). Należy sądzić, że teoretyczne zależności nie właściwie uwzględniają ten parametr maszyn. Średnica twornika Silniki nr 7 i nr 8 różnią się jedynie proporcjami wymiarowymi. Proste przeliczenia zależności momentu zaczepowego od kwadratu wymiarów geometrycznych (średnica i długość twornika) zgodnie ze wzorami teoretycznymi wykazują, że moment ten powinien w maszynie większej przyjmować wartości poniżej 1 Nm (około dwukrotny wzrost) a tymczasem pomiary wykazują jego trzykrotny wzrost (patrz tabela 1). Wyniki przeprowadzonych badań na ośmiu maszynach wzbudzanych magnesami trwałymi wykazują, że teoretyczne zależności publikowane w literaturze nie dokładnie opisują zjawisko momentu zaczepowego, a przeprowadzane w oparciu o nie symulacje komputerowe często prowadzą do mało prawdopodobnych wyników i do takich obliczeń należy podchodzić krytycznie, [7]. 5. Wytyczne projektowe powodujące minimalizację momentu zaczepowego w maszynach magnetoelektrycznych Wyniki pomiarów momentu zaczepowego wykonane w laboratorium Zakładu Maszyn Elektrycznych IEl na dostępnych maszynach ze wzbudzeniem magnetoelektrycznym pozwalają na sformułowanie następujących wytycznych projektowych: należy stosować skos (żłobków twornika lub magnesów) równy podziałce żłobkowej twornika; zaleca się dobieranie liczby żłobków stojana i liczby biegunów tak aby najmniejsza wspólna wielokrotność liczby żłobków stojana i liczby biegunów była możliwie wysoka oraz aby wartość ilorazu liczby par biegunów i największego wspólnego dzielnika (Ż 1, 2p) była również możliwie wysoka. Wskazane jest również stosowanie w tworniku uzwojenia ułamkowego. Spełnienie powyższych trzech zaleceń nie zawsze jest możliwe bowiem liczba biegunów (częstotliwość) z reguły jest narzucona. należy dążyć aby projektowana maszyna miała możliwie krótki pakiet bowiem moment zaczepowy zależy od kwadratu długości żelaza; mniejsze wartości indukcji w szczelinie powietrznej powodują zmniejszenie wartości momentu zaczepowego. Sposób ten stosowany jest w niektórych fabrykach maszyn elektrycznych w wytwarzanych tam maszynach z magnesami trwałymi indukcja w szczelinie ma wartość około 0.4 T i moment zaczepowy praktycznie nie występuje. LITERATURA [1] Bernatt J., Obwody Elektryczne i Magnetyczne Maszyn Elektrycznych Wzbudzanych Magnesami Trwałymi, BOBRME Komel 2010 [2] Ciurysff M., Dudzikowski I., Analiza wpływu wymiarów i kształtu magnesów trwałych na moment elektromagnetyczny bezszczotkowego silnika prądu stałe. Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej Nr 58 [3] Kumar A., Marwaha S., Marwaha A., Comparison of methods of minimization of cogging torque in wind generators using FE analysis. J. Indian Inst. Sci., July Aug. 2006, 86. [4] Szczypior J., Minimalizacja momentu reluktancyjnego w bezszczotkowych silnikach z magnesami trwałym. Materiały konferencyjne Sympozjum Maszyn Elektrycznych SME 2002, Cedzyna-Kielce, s [5] Szczypior J., Wpływ kształtu zębów na moment reluktancyjny w bezszczotkowym silniku z magnesami trwałymi Materiały konferencyjne Sympozjum Maszyn Elektrycznych SME 2003, Gdańsk-Jurata, s. 47. [6] Wang Y., Shen J., Fei W., Fang Z., Reduction of Cogging Torque in Permanent Magnet Flux-Switching Machines. J. Electromagnetic Analysis & Applications, 2009, 1. [7] Wardach M., Moment elektromagnetyczny I zaczepowy maszyny elektrycznej z magnesami trwałymi. Wiadomości Elektrotechniczne 2011/2 [8] Zhu Z. Q., Howe D., Influence of Design Parameters on Cogging Torque in Permanent Magnet Machines. IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 15, no. 4, 2000 Autor: dr inż. Zdzisław Krzemień, Instytut Elektrotechniki, Zakład Maszyn Elektrycznych,, ul. Pożaryskiego 28, Warszawa, z.krzemie@iel.waw.pl; PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN , R. 88 NR 10a/