Priorytetowy system obsługi zgłoszeń niejednorodnych z mechanizmem odrzucania pakietów opartym o AQM

Transkrypt

1 Priorytetowy system obsługi zgłoszeń niejednorodnych z mechanizmem odrzucania pakietów opartym o AQM prof. dr hab. Oleg Tikhonenko, dr Marcin Ziółkowski, mgr inż. Jacek Małek Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska Instytut Matematyki i Informatyki, Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 19 listopada 212 r.

2 Analiza działania systemu Rozpatrujemy modyfikację klasycznego systemu M/M/n/m, w którym przybywające zgłoszenie(pakiet) charakteryzuje się losowym rozmiarem, który jest nieujemnie określoną zmienną losową ζ. Niech L(x) = P{ζ < x} oznacza dystrybuantę zmiennej losowej ζ. Czas obsługi zgłoszenia nie zależy od jego rozmiaru, natomiast objętość sumaryczna zgłoszeń σ(t) jest ograniczona wartością V. Dodatkowo zakładamy, że przybywające zgłoszenia mogą należeć do dwóch klas różniących się priorytetem obsługi. Zgłoszenia pierwszego priorytetu są przyjmowane do systemu zawsze, gdy tylko istnieją wolne miejsca w kolejce oraz wolne miejsce w pamięci, natomiast zgłoszenia drugiego priorytetu mogą być odrzucone mimo wolnych miejsc oczekiwania i wolnej pamięci w oparciu o daną funkcję akceptującą B(x), która w ogólnym przypadku powinna być funkcją nierosnącą, lewostronnie ciągłą orazpowinnaspełniaćwarunki:b() 1,B(V) oraz B(x) =dlax>v.

3 Analiza działania systemu W porównaniu z systemem klasycznym zachowanie się takiego systemu nie różni się w chwilach zakończenia obsługi, natomiast w chwilach przybywania zgłoszeń musimy brać pod uwagę utraty zgłoszeń związane z ograniczeniem objętości sumarycznej oraz działaniem mechanizmu akceptacji zgłoszeń drugiego priorytetu, który jest oparty na odpowiedniej funkcji akceptującej. Dokładniej rzecz ujmując w przypadku zgłoszeń pierwszego priorytetu zgłoszenie o objętości x będzie utracone, gdy albo będą zajęte wszytkie miejsca w kolejce albo będzie spełniony warunek x +y>v,gdzieyoznaczaobjętośćsumarycznąwszystkich zgłoszeń obecnych w systemie w momencie przybycia danego zgłoszenia, natomiast w przypadku zgłoszeń drugiego priorytetu zgłoszenie o objętości x będzie przyjęte do systemu w przypadku, gdy będzie wolne przynajmniej jedno miejsce oczekiwania w kolejce,oraz,gdybędziespełnionywarunekx +y Vz prawdopodobieństwem B(x + y).

4 Oznaczenia oraz proces opisujący analizowany system Wprowadźmy następujące oznaczenia. Przez η(t) oznaczmy liczbę zgłoszeń obecnych w systemie w chwili czasu t, σ 1 (t),σ 2 (t),...,σ η(t) (t)-niechoznaczająobjętościzgłoszeńo numerach1,2,...,η(t)ponumerowanychwkolejnościich przybycia do systemu odpowiednio, a- niech oznacza parametr najprostszego wejściowego strumienia zgłoszeń, a µ- parametr rozkładu wykładniczego czasu obsługi, (, 1])- niech oznacza prawdopodobieństwo, że przybywające zgłoszenie jest zgłoszeniem pierwszego priorytetu. Wówczas analizowany system może być opisany przez poniższy proces markowowski: (η(t),σ 1 (t),σ 2 (t),...,σ η(t) (t)). (1)

5 Oznaczenia oraz proces opisujący analizowany system Proces(1) może być charakteryzowany poprzez poniższe funkcje: P k (t) =P{η(t) =k},k =,n +m; (2) G k (x,t) =P{η(t) =k,σ(t)<x},k =1,n +m, (3) gdzie η(t) σ(t) = σ i (t). i=1 Jestjasne,żewprzypadkuk=1,n +mmamyoczywistąrówność P k (t) =G k (V,t). (4)

6 Oznaczenia oraz proces opisujący analizowany system W warunkach stacjonarnych(przy t ), które istnieją, gdy tylko jest spełniony warunek ρ = a/(nµ) < możemy wprowadzić granice(w sensie zbieżności według rozkładu) funkcji(2) (3): p k =P{η =k},k =,n+m, (5) g k (x) =P{η =k,σ<x},k =1,n+m, (6) gdzie η, σ są stacjonarnymi odpowiednikami procesów η(t), σ(t). Jest jasne, że w warunkach stacjonarnych na mocy(4) mamy równość p k =g k (V). (7)

7 Równania opisujące działanie systemu Analizując zachowanie się procesu(1) można uzyskać następujące równania: ] a P (t) = ap (t) P 1 (t) =ap (t) L(V)+(1 ) L(V)+(1 ) B(x)dL(x) B(x)dL(x) +µp 1 (t); (8) ] V y G 1 (y,t)l(v y)dy +(1 ) G 1 (y,t) B(x +y)dl(x)dy µp 1 (t)+2µp 2 (t); (9) ]

8 Równania opisujące działanie systemu a P k(t) =a G k 1 (y,t)l(v y)dy+ ] V y +(1 ) G k 1 (y,t) B(x +y)dl(x)dy y G k (y,t)l(v y)dy +(1 ) G k (y,t) B(x +y)dl(x)dy kµp k (t)+(k +1)µP k+1 (t);k =2,n 1 (1) ]

9 Równania opisujące działanie systemu a P k (t) =a G k 1 (y,t)l(v y)dy+ y +(1 ) G k 1 (y,t) B(x +y)dl(x)dy y G k (y,t)l(v y)dy +(1 ) G k (y,t) B(x +y)dl(x)dy nµp k (t)+nµp k+1 (t);k =n,n+m 1 (11) P n+m(t) =a G n+m 1 (y,t)l(v y)dy+ ] V y +(1 ) G n+m 1 (y,t) B(x +y)dl(x)dy ] nµp n+m (t). (12) ]

10 Równania w stanie stacjonarnym W warunkach stacjonarnych z równań(8) (12) otrzymujemy następujące równania: ] V = ap L(V)+(1 ) B(x)dL(x) +µp 1 ; (13) a ] V =ap L(V)+(1 ) B(x)dL(x) y g 1 (y)l(v y)dy +(1 ) g 1 (y) B(x +y)dl(x)dy µp 1 +2µp 2 ; (14) ]

11 Równania w stanie stacjonarnym a =a g k 1 (y)l(v y)dy+ ] V y +(1 ) g k 1 (y) B(x +y)dl(x)dy y g k (y)l(v y)dy +(1 ) g k (y) B(x +y)dl(x)dy kµp k +(k +1)µp k+1 ;k =2,n 1 (15) ]

12 Równania w stanie stacjonarnym a =a g k 1 (y)l(v y)dy+ ] V y +(1 ) g k 1 (y) B(x +y)dl(x)dy y g k (y)l(v y)dy +(1 ) g k (y) B(x +y)dl(x)dy nµp k +nµp k+1 ;k =n,n +m 1 (16) =a g n+m 1 (y)l(v y)dy+ ] V y +(1 ) g n+m 1 (y) B(x +y)dl(x)dy nµp n+m. (17) ]

13 Rozwiązanie WprowadźmyoznaczenieR(z) = z mamy: B(x)dL(x) =R(V)oraz y B(V z +x)dl(x).wówczas B(x +y)dl(x) =R(V y).wtedyrównania(13) (17) mogą być przepisane w postaci: a =a a = ap L(V)+(1 )R(V)]+µp 1 ; (18) =ap L(V)+(1 )R(V)] g 1 (y)l(v y)dy +(1 ) g k 1 (y)l(v y)dy +(1 ) g 1 (y)r(v y)dy µp 1 +2µp 2 ; (19) ] ] g k 1 (y)r(v y)dy g k (y)l(v y)dy +(1 ) g k (y)r(v y)dy kµp k +(k +1)µp k+1 ;k =2,n 1 (2) ]

14 Rozwiązanie =a a ] V g k 1 (y)l(v y)dy +(1 ) g k 1 (y)r(v y)dy ] V g k (y)l(v y)dy +(1 ) g k (y)r(v y)dy nµp k +nµp k+1 ;k =n,n +m 1 (21) =a g n+m 1 (y)l(v y)dy+ ] V +(1 ) g n+m 1 (y)r(v y)dy nµp n+m. (22)

15 Rozwiązanie Wprowadźmy oznaczenie: Φ(x) =L(x)+(1 )R(x) Wówczas z równań(18) (22) otrzymujemy następujące równania: = ap Φ(V)+µp 1 ; (23) =ap Φ(V) a g 1 (y)φ(v y)dy µp 1 +2µp 2 ; (24) =a g k 1 (y)φ(v y)dy a g k (y)φ(v y)dy kµp k +(k +1)µp k+1 ;k =2,n 1 (25)

16 Rozwiązanie =a g k 1 (y)φ(v y)dy a g k (y)φ(v y)dy nµp k +nµp k+1 ;k =n,n+m 1 (26) =a g n+m 1 (y)φ(v y)dy nµp n+m. (27)

17 Rozwiązanie WprowadźmyoznaczenieL (k) (x)dlasplotuk-tegorzędu dystrybuant L(x). Dokładniej: x L () (x) 1,L (k) (x) = L (k 1) (x u)dl(u). Dodatkowo wprowadźmy następujące oznaczenie: { (nρ) k N(k) = k!,gdyk=,n 1; n n ρ n!,gdyk k =n,n+m. Poprzez bezpośrednie podstawienie można uzyskać rozwiązanie układu(23) (27) w postaci: g k (y)dy =p N(k)dΦ (k) (y),k =1,n +m. (28)

18 Rozwiązanie Wówczas na mocy wzoru(7) możemy uzyskać formuły określające prawdopodobieństwastacjonarnep k : p k =p N(k)Φ (k) (V),k =1,n +m. (29) Natomiast na mocy warunku normalizacyjnego otrzymujemy: p = n+m k= N(k)Φ (k) (V)] 1. (3)

19 Wyznaczenie prawdopodobieństwa utraty zgłoszenia Prawdopodobieństwo utraty zgłoszenia wyznaczymy w oparciu o poniższe równanie równowagi: n 1 n 1 a(1 p u ) =µ kp k +nµ(1 p k ). k=1 Rozwiązanie tego równania prowadzi do wzoru: k= n 1 p u =1 (nρ) 1 n 1 kp k ρ 1 (1 p k ), (31) k=1 gdziep k sąokreśloneprzezwzory(29). k=

20 Uogólnienie Badane zagadnienie można uogólnić w następujący sposób. Załóżmy, że do analogicznego systemu przybywają zgłoszenia należące do n różnych klas różniących się priorytetem obsługi, dokładniej rzecz ujmując każdy priorytet ma przypisaną inną funkcjęakceptującąb i (x),i =1,n.Jeżelichcemy,abyktóryśz priorytetówbyłbezwzględnyprzyjmujemypoprostub i (x) 1dla x,v](takbyłowanalizowanymdotądsystemie). Przybywające do systemu zgłoszenie należy do i-tego priorytetu z prawdopodobieństwem i. Postępując w analogiczny sposób możemy w takiej sytuacji uzyskać tą samą formułę(29), przy czym natomiast R i (z) = n Φ(x) = i R i (x), i=1 z B i (V z +x)dl(x).