Podstawy Informatyki Elementy teorii masowej obsługi

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy Informatyki Elementy teorii masowej obsługi"

Transkrypt

1 Podstawy Informatyki

2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla 2 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n (t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 3

3 Teoria masowej obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Bada zjawiska, w których występują problemy związane z masową obsługą zgłoszeń: klientów idących do kasy w sklepie, samochodów czekających na skrzyżowaniu, listów czekających na dostarczenie, procesów obecnych w pamięci operacyjnej komputera, żądań skierowanych do serwera itp. Ma na celu dostarczenie precyzyjnych metod opisu i analizy systemów świadczących usługi. Pomaga wyznaczać optymalne decyzje dotyczące: liczby aparatów obsługi, intensywności obsługi, czasu obsługi itp.

4 Agner Krarup Erlang ( ) Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Duński matematyk. Pionier w dziedzinie teorii ruchu telekomunikacyjnego i teorii masowej obsługi. W 1909r. udowodnił, że losowe żądania obsługi mają rozkład Poissona. W 1917r. przedstawił tzw. modele Erlanga pozwalające oszacować prawdopodobieństwo blokady połączenia w centralach telefonicznych. Od jego nazwiska pochodzi nazwa jednostki natężenia ruchu telekomunikacyjnego oraz nazwa języka programowania.

5 Przykład systemu masowej obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla

6 Przykład systemu masowej obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Najprostszy system obsługi obejmuje: źródło zgłoszeń, kolejkę, stanowisko obsługi zgłoszeń. Czasy przybycia zgłoszeń oraz czasy ich obsługi są zmiennymi losowymi.

7 Źródło Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Źródło charakteryzowane jest poprzez wymiar nieskończony, gdy nowe zgłoszenia mogą w nieograniczonej liczbie przybywać do systemu, skończony, gdy źródło generuje ściśle określoną liczbę zadań (źródło takie po wyemitowaniu n zgłoszeń staje się puste),

8 Źródło Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Źródło charakteryzowane jest poprzez wymiar nieskończony, gdy nowe zgłoszenia mogą w nieograniczonej liczbie przybywać do systemu, skończony, gdy źródło generuje ściśle określoną liczbę zadań (źródło takie po wyemitowaniu n zgłoszeń staje się puste), odstępy czasu pomiędzy poszczególnymi zgłoszeniami opisywane są one za pomocą zmiennej losowej U o dystrubuancie A(x) = P(U x) u średnia wartość odstępów czasu pomiędzy zgłoszeniami, E(u), 1 średnia liczba przychodzących zgłoszeń w jednostce czasu u (intensywność strumienia zgłoszeń).

9 Kolejka Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Kolejka charakteryzowana jest poprzez maksymalną długość nieograniczoną, ograniczoną, regulamin, m.in. naturalny, czyli FIFO (First In First Out), priorytetowy, czyli pierwszeństwa mają zgłoszenia uprzywilejowane, losowy, czyli SIRO (Selection In Random Order).

10 Stanowisko obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Stanowisko obsługi charakteryzowane jest poprzez czas obsługi zgłoszenia opisywany za pomocą zmiennej losowej V o dystrubuancie B(x) = P(V x) v średni czas obsługi pojedynczego zgłoszenia, E(v), 1 średnia liczba obsłużonych zgłoszeń w jednostce czasu. v

11 Stanowisko obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Stanowisko obsługi charakteryzowane jest poprzez czas obsługi zgłoszenia opisywany za pomocą zmiennej losowej V o dystrubuancie B(x) = P(V x) v średni czas obsługi pojedynczego zgłoszenia, E(v), 1 średnia liczba obsłużonych zgłoszeń w jednostce czasu. v Intensywność ruchu (stała Erlanga) iloraz średniej liczby zgłoszeń jaka napływa do systemu w jednostce czasu do średniej liczby zgłoszeń jaka może być obsłużona w jednostce czasu. ρ = 1/E(u) 1/E(v)

12 Notacja Kendalla Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Charakterystykę systemu obsługi ujmuje notacja Kendalla: A/B/c/K/h/Z gdzie poszczególne symbole oznaczają: A typ rozkładu odstępów czasu między zgłoszeniami, B typ rozkładu czasów obsługi, c liczba równoległych stanowisk obsługi, K największa dopuszczalna liczba zgłoszeń w systemie, h wymiar źródła zgłoszeń, Z regulamin kolejki.

13 Notacja Kendalla Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Charakterystykę systemu obsługi ujmuje notacja Kendalla: A/B/c/K/h/Z gdzie poszczególne symbole oznaczają: A typ rozkładu odstępów czasu między zgłoszeniami, B typ rozkładu czasów obsługi, c liczba równoległych stanowisk obsługi, K największa dopuszczalna liczba zgłoszeń w systemie, h wymiar źródła zgłoszeń, Z regulamin kolejki. Symbole K, h, Z pomija się, jeżeli brak ograniczeń długości kolejki, źródło zgłoszeń ma nieskończony wymiar, a regulamin kolejki jest naturalny (FIFO).

14 Typy rozkładów Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Rozkłady zmiennych losowych oznacza się następującymi symbolami: D napływ deterministyczny (zmienna losowa o rozkładzie jednopunktowym), M rozkład wykładniczy P(X x) = 1 exp( λx), Ek rozkład Erlanga, gdzie k jest parametrem, G rozkład ogólny, zdefiniowany przez użytkownika.

15 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Zapis M/M/1 oznacza system, gdzie odstępy czasu między zgłoszeniami mają rozkład wykładniczy z parametrem λ, zgłoszenia obsługiwane w czasie o rozkładzie wykładniczym z parametrem µ w pojedynczym stanowisku obsługi, regulamin kolejki jest naturalny a jej długość jest nieograniczona.

16 Strumień zgłoszeń Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Gdy odstępy czasu między zgłoszeniami mają rozkład wykładniczy z parametrem λ, to zgłoszenia napływają strumieniem Poissona, czyli liczba zgłoszeń w jednostce czasu ma rozkład Poissona z parametrem λ. Prawdopodobieństwo, że liczba zgłoszeń (n) pojawiająca się w systemie w jednostce czasu o długości T wynosi k: P(n = k) = (λt )k exp( λt ) k! dla k = 0, 1, 2,... Średnia liczba zgłoszeń pojawiająca się w systemie w jednostce czasu o długości T wynosi λt.

17 - podstawowe równania Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Dystrybuanta czasu odstępów między zgłoszeniami A(x) = P(U x) = 1 exp( λx) dla x 0 zatem E(u) = 1/λ, a średnia liczba przychodzących zgłoszeń w jednostce czasu wynosi λ. Dystrybuanta czasu obsługi zgłoszeń B(x) = P(V x) = 1 exp( µx) dla x 0 zatem E(v) = 1/µ, a średnia liczba obsłużonych zgłoszeń w jednostce czasu wynosi µ. Intensywność ruchu, czyli wykorzystanie (obciążenie) stanowiska ρ = 1/E(u) 1/E(v) = λ µ Aby system mógł pracować poprawnie, tzn. kolejka nie urosła do nieskończoności, intensywność musi być mniejsza od 1.

18 Wprowadzenie Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Podstawowy problem: wyznaczenie P n (t) - prawdopodobieństwo zajętości systemu przez określoną liczbę zgłoszeń n w określonej chwili t. Założenia: prawdopodobieństwo pojawienia się zgłoszenia w czasie dt: λdt, prawdopodobieństwo obsługi zgłoszenia w czasie dt: µdt.

19 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

20 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

21 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

22 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

23 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

24 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

25 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

26 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

27 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

28 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

29 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

30 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

31 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

32 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

33 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n Prawdopodobieństwo zajętości systemu przez określoną liczbę zgłoszeń n P n = ρ n (1 ρ).

34 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n Prawdopodobieństwo zajętości systemu przez określoną liczbę zgłoszeń n P n = ρ n (1 ρ). W szczególności prawdopodobieństwo, że system jest pusty: P 0 = 1 ρ, prawdopodobieństwo stanu, w którym system jest zajęty (system pracuje): P n>0 = ρ.

35 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Średnia liczba zgłoszeń w systemie: E(n) = np n = nρ n (1 ρ) = n=0 n=0 Średnia liczba zgłoszeń w kolejce: ρ 1 ρ. E(k) = (n 1)P n = (n 1)ρ n (1 ρ) = ρ2 1 ρ. n=0 n=0 Średnia liczba zgłoszeń na stanowisku obsługi: E(s) = E(n) E(k) = ρ.

36 Twierdzenie Little a Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Twierdzenie Little a Średnia liczba zgłoszeń w systemie jest równa iloczynowi średniego czasu pobytu w systemie i średniej częstotliwości nadchodzenia zgłoszeń: E(n) = λe(τ). Wnioski: średni czas pobytu zgłoszenia w systemie: E(τ) = 1 λ E(n) = 1 ρ λ 1 ρ = 1 µ(1 ρ), średni czas pobytu zgłoszenia w kolejce (oczekiwania na obsługę): ρ 2 E(ω) = 1 λ E(k) = 1 λ 1 ρ = ρ µ(1 ρ).

37 Problem przepływu Wiedząc, że do systemu nadchodzą zgłoszenia o wykładniczym rozkładzie czasu między zgłoszeniami A(x), system realizuje te zgłoszenia w czasie o rozkładzie wykładniczym B(x), wyznaczyć rozkład czasu odstępów między zgłoszeniami wychodzącymi z systemu.

38 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

39 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

40 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

41 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

42 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

43 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

44 Rozkład czasu odstępów między zgłoszeniami wychodzącymi z systemu: D(x) = A(x). Zatem system do którego nadchodzą zgłoszenia o wykładniczym rozkładzie czasu między zgłoszeniami A(x), który realizuje je w czasie o rozkładzie wykładniczym, który wysyła wyniki na zewnątrz, zachowuje się jak źródło o rozkładzie wykładniczym A(x).

45 - wnioski Z zasady ciągłości przepływu wynika, że sieci stanowisk typu M/M/1 można analizować biorąc pod uwagę następujące własności: strumień zgłoszeń opuszczających stanowisko obsługi typu M/M/1 jest strumieniem Poissona, rozgałęzienie strumienia Poissona na dwa (lub więcej) strumieni zgłoszeń zachowuje tę własność, łączenie strumieni Poissona zachowuje tę własność.

46 Otwarte sieci stanowisk typu M/M/1 Sieć nazywa się otwartą, gdy ma co najmniej jedno wejście i jedno wyprowadzenie na zewnątrz.

47 Analiza sieci stanowisk typu M/M/1 Zakładając, że liczba pojedynczych stanowisk typu M/M/1 wynosi N: gdzie i {1, 2,..., N} N N λ i = λ 0i + λ ji = λ 0i + p ji λ j j=1 j=1 λ i intensywność wejściowego strumienia zgłoszeń przychodzących do stanowiska i, λ 0i intensywność strumienia zgłoszeń spoza sieci przychodzących do stanowiska i, λ ji intensywność strumienia zgłoszeń przechodzących ze stanowiska j na stanowisko i, p ji prawdopodobieństwo przejścia ze stanowiska j na stanowisko i.

48 Analiza sieci stanowisk typu M/M/1 Znając dla każdego i {1, 2,..., N} λ i średnią liczbę zgłoszeń napływajacych do i-tego stanowiska w jednostce czasu, µ i średnią liczbę zgłoszeń obsługiwanych na i-tym stanowisku, można określić stopień obciążenia wszystkich stanowisk. System działa stabilnie, gdy obciążenie każdego ze stanowisk jest mniejsze od 1: ρ i < 1 i {1, 2,..., N}.

49 Przykład Dla jakich wartości µ 1 oraz µ 2 system działa stabilnie, gdy: λ 01 = 10, λ 02 = 20, p 11 = 0, p 12 = 1/4, p 21 = 1/2, p 22 = 1/2.

50 Przykład { λ1 = λ 2 λ 2 = λ λ 2

51 Przykład { λ1 = λ 2 λ 2 = λ λ λ 2 = ( λ 2) 3 8 λ 2 = λ 2 = = 60

52 Przykład { λ1 = λ 2 λ 2 = λ λ λ 2 = ( λ 2) 3 8 λ 2 = λ 2 = = 60 { λ1 = 40 λ 2 = 60 { µ1 > 40 µ 2 > 60

53 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60.

54 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4.

55 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jaka jest średnia liczba zgłoszeń w takim układzie?

56 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jaka jest średnia liczba zgłoszeń w takim układzie? czyli E(n) = 4. E(n 1 ) = ρ 1 1 ρ 1 = 1 E(n 2 ) = ρ 2 1 ρ 2 = 3

57 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Ile wynosi średni czas przebywania zgłoszenia w takim układzie?

58 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Ile wynosi średni czas przebywania zgłoszenia w takim układzie? Na podstawie tw. Little a E(n) = λe(τ), czyli E(τ) = E(n) λ = E(n 1) + E(n 2 ) λ 01 + λ 02 = 4 30.

59 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia?

60 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? P 4 = 4 Pj 1 P4 j 2 dla Pn 1 = ρ n 1 (1 ρ 1) oraz Pn 2 = ρ n 2 (1 ρ 2) j=0

61 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? P 4 = 4 j=0 ρ j 1 (1 ρ 1)ρ 4 j 2 (1 ρ 2 ) = (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) 4 j=0 ρ j 1 ρ4 j 2

62 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? P 4 = ( ) 1 j ( 3 4 j 2 4) j=0

63 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? ( ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 P 4 = )

64 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? ( ) P 4 = =

65 Zamknięte sieci stanowisk typu M/M/1 W sieciach zamkniętych brak jest wejściowego i wyjściowego strumienia zgłoszeń, jest zawsze stała liczba zgłoszeń. Podstawowy problem: wyznaczenie P n1 n 2...n K (t) prawdopodobieństwa zajętości j-tego stanowiska obsługi przez n j zgłoszeń w określonej chwili t, gdzie j {1, 2,..., K}. Założenia: w systemie jest K stanowisk obsługi, w systemie krąży N zgłoszeń, prawdopodobieństwo obsługi zgłoszenia przez j-te stanowisko w czasie dt: µ j dt.

66 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie.

67 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. P 20 (t + dt) = P 20 (t)(1 µ 1 dt) + P 11 (t)µ 2 dt(1 µ 1 dt)

68 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. P 20 (t + dt) = P 20 (t)(1 µ 1 dt) + P 11 (t)µ 2 dt(1 µ 1 dt) P 20 (t + dt) P 20 (t) dt = P 20 (t)µ 1 + P 11 (t)µ 2 (1 µ 1 dt)

69 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. P 20 (t + dt) = P 20 (t)(1 µ 1 dt) + P 11 (t)µ 2 dt(1 µ 1 dt) P 20 (t + dt) P 20 (t) dt = P 20 (t)µ 1 + P 11 (t)µ 2 (1 µ 1 dt) gdy dt 0 dp 20 (t) dt = P 20 (t)µ 1 + P 11 (t)µ 2

70 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 20 µ 1 + P 11 µ 2 = 0

71 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 20 µ 1 + P 11 µ 2 = 0 Zatem P 20 µ 1 = P 11 µ 2

72 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Analizując pozostałe stany można otrzymać: P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 11 (µ 1 + µ 2 ) = P 20 µ 1 + P 02 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 Są to tzw. równania bilansu prawdopodobieństw.

73 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Analizując pozostałe stany można otrzymać: P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 11 (µ 1 + µ 2 ) = P 20 µ 1 + P 02 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 Są to tzw. równania bilansu prawdopodobieństw. Niestety uzyskany układ równań jest zależny, dlatego trzeba jeszcze użyć warunku normującego: P 20 + P 11 + P 02 = 1

74 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Obliczyć: P 20, P 11, P 02

75 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Obliczyć: P 20, P 11, P 02 P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 20 = µ 2 µ 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1

76 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 Obliczyć: P 20, P 11, P P 11 + P P 11 = 1 P 20 = µ 2 µ 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1

77 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 11 ( ) Obliczyć: P 20, P 11, P 02 = P 11 ( P 20 = µ 2 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1 ) = 19 6 P 11 = 1

78 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Obliczyć: P 20, P 11, P 02 P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 20 = µ 2 µ 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 11 = 6 19, a zatem P 20 = 9 19 oraz P 02 = 4 19

79 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = 4 19.

80 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie liczby zgłoszeń przy stanowiskach?

81 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie liczby zgłoszeń przy stanowiskach? E(n 1 ) = 0 P P P 20 = = E(n 2 ) = 0 P P P 02 = = 14 19

82 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie długości kolejek przed stanowiskami?

83 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie długości kolejek przed stanowiskami? E(k 1 ) = 0 P P 20 = 9 19 E(k 2 ) = 0 P P 02 = 4 19

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Eleenty odelowania ateatycznego Systey kolejkowe. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ RZYKŁAD KOLEJKI N(t) długość kolejki w chwili t T i czas obsługi i-tego klienta Do okienka

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się.

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się. 1 Wstęp Będziemyrozważaćgeneratorytypux n+1 =f(x n,x n 1,...,x n k )(modm). Zakładamy,żeargumentamifunkcjifsąliczbycałkowitezezbioru0,1,...,M 1. Dla ustalenia uwagi mogą to być generatory liniowe typu:

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy Wykład 4 roces oissona 4.1 roces zliczajacy roces stochastyczny {N t ;t } nazywamy zliczaj acym, gdy N t jest równe całkowitej ilości zdarzeń które zdarzyły się do momentu t. rzekładami procesów zliczajacychn

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Rozkład łatwości zadań

Rozkład łatwości zadań Klasa 3a średnia klasy: 22.52 pkt średnia szkoły: 21.93 pkt średnia ogólnopolska: 14.11 pkt Rozkład łatwości zadań 1 0.9 0.8 0.7 0.6 łatwość 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Rozmyte systemy doradcze

Rozmyte systemy doradcze Systemy ekspertowe Rozmyte systemy doradcze Plan. Co to jest myślenie rozmyte? 2. Teoria zbiorów rozmytych. 3. Zmienne lingwistyczne. 4. Reguły rozmyte. 5. Wnioskowanie rozmyte (systemy doradcze). typu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Koszyki OECD. Metodologia porównywania taryf telekomunikacyjnych. Zagadnienia prawne i ekonomiczne w telekomunikacji

Koszyki OECD. Metodologia porównywania taryf telekomunikacyjnych. Zagadnienia prawne i ekonomiczne w telekomunikacji ZAGADNIENIA PRAWNE i EKONOMICZNE w TELEKOMUNIKACJI Dr inż. Jerzy Kubasik Politechnika Poznańska Instytut Elektroniki i Telekomunikacji Zagadnienia prawne i ekonomiczne w telekomunikacji Wykład XI-XII:

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

MODEL OCENY SYSTEMU REMONTU TECHNIKI WOJSKOWEJ

MODEL OCENY SYSTEMU REMONTU TECHNIKI WOJSKOWEJ ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LII NR 1 (184) 2011 Marian Brzeziń ski Wojskowa Akademia Techniczna MODEL OCENY SYSTEMU REMONTU TECHNIKI WOJSKOWEJ STRESZCZENIE W artykule scharakteryzowano

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdającego Arkusz I

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka Biomatematyka W 200-elementowej próbie losowej z diploidalnej populacji wystąpiło 89 osobników genotypu AA, 57 osobników genotypu Aa oraz 54 osobników genotypu aa. Na podstawie tych danych (a) dokonaj

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i schematy blokowe

Algorytmy i schematy blokowe Algorytmy i schematy blokowe Algorytm dokładny przepis podający sposób rozwiązania określonego zadania w skończonej liczbie kroków; zbiór poleceń odnoszących się do pewnych obiektów, ze wskazaniem porządku,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

B. Semestralny/tygodniowy rozkład zajęć według planu studiów Zajęcia Wykłady. Seminaria Semestr. terenowe (W) (Ć) (L) (P/S) (S) (T) 5 15-30 - - -

B. Semestralny/tygodniowy rozkład zajęć według planu studiów Zajęcia Wykłady. Seminaria Semestr. terenowe (W) (Ć) (L) (P/S) (S) (T) 5 15-30 - - - Kod przedmiotu: PLPILA02-IEEKO-L-5s16-2012IWBIAS Pozycja planu: D16 INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Projektowanie i zarządzanie sieciami komputerowymi II 2 Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

LOGISTYKA W PRZEDSIĘBIORSTWIE ZIIP/S/I, wykłady 30g. K o n s p e k t

LOGISTYKA W PRZEDSIĘBIORSTWIE ZIIP/S/I, wykłady 30g. K o n s p e k t Prof. dr hab. inż. Jan Szadkowski Em. prof. zw. ATH Bielsko-Biała, 21.10.2014 LOGISTYKA W PRZEDSIĘBIORSTWIE ZIIP/S/I, wykłady 30g. K o n s p e k t I. PODSTAWY LOGISTYKI zagadnienia wybrane 1. Pojęcie logistyki,

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: PROBABILISTYKA NIEPRZEMIENNA Nazwa w języku angielskim: NONCOMMUTATIVE PROBABILITY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA

Bardziej szczegółowo

Niegaussowskie procesy stochastyczne w oceanotechnice

Niegaussowskie procesy stochastyczne w oceanotechnice Niegaussowskie procesy stochastyczne w oceanotechnice Joanna Dys 29 listopada 2009 Streszczenie Referat na podstawie artykułu Michela K. Ochi, Non-Gaussian random processes in ocean engineering, Probabilistic

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie: dt q = - λ dx. q = lim F

1. Wprowadzenie: dt q = - λ dx. q = lim F PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY Zakład Budowy i Eksploatacji Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA Temat ćwiczenia: WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNOŚCI

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z ROZKŁADEM MATERIAŁU klasa 3

PLAN WYNIKOWY Z ROZKŁADEM MATERIAŁU klasa 3 PLAN WYNIKOWY Z ROZKŁADEM MATERIAŁU klasa 3 W planie wynikowym wraz z rozkładem materiału dla klasy trzeciej uwzględniono zarówno nowy materiał, zawarty w programie nauczania Matematyka wokół nas Gimnazjum

Bardziej szczegółowo

SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU

SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W GŁOGOWIE SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU Systemy produkcyjne komputerowo zintegrowane. NAZWA JEDNOSTKI PROWADZĄCEJ PRZEDMIOT Instytut Politechniczny 3. STUDIA

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Analiza Algorytmów Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1 Niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważ następującą zmienną losową Pr[X = k] = (6/π 2

Bardziej szczegółowo

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego Streszczenie Dobór elementów struktury konstrukcyjnej z warunku ustalonej niezawodności, mierzonej wskaźnikiem niezawodności β. Przykład liczbowy dla ramy statycznie niewyznaczalnej. Leszek Chodor, Joanna

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej

Bardziej szczegółowo

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012 Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Karta Instytut Pedagogiczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 011/01 Kierunek studiów: Matematyka Profil: Ogólnoakademicki Forma

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz zaleŝności z zakresu zarządzania finansami w szczególności

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Zasady sprawnego i efektywnego sterowania przepływami materiałów i wyrobów

Zasady sprawnego i efektywnego sterowania przepływami materiałów i wyrobów Zasady sprawnego i efektywnego sterowania przepływami materiałów i wyrobów prof. nadzw. PO dr hab. inż. Andrzej Szymonik Opole 2012/2013 www.gen-prof.pl 1. Pojecie sterowania i regulacji Regulacja, sterowanie,

Bardziej szczegółowo

Wyższa Szkoła Marketingu i Zarządzania w Lesznie Biznes Plan

Wyższa Szkoła Marketingu i Zarządzania w Lesznie Biznes Plan Wyższa Szkoła Marketingu i Zarządzania w Lesznie Biznes Plan Leszno, wiosna 2011 roku Cel zajęć Ogólne zapoznanie z biznesplanem Zapoznanie z pojęciami związanymi z modelowaniem Pogłębienie znajomości

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE SIECIAMI TELEKOMUNIKACYJNYMI

ZARZĄDZANIE SIECIAMI TELEKOMUNIKACYJNYMI Wykład jest przygotowany dla II semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia II stopnia Dr inż. Małgorzata Langer ZAZĄDZANIE SIEIAMI TELEKOMUNIKAYJNYMI Prezentacja multimedialna współfinansowana

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja organizacji transportu w systemie dystrybucji przedsiębiorstwa

Optymalizacja organizacji transportu w systemie dystrybucji przedsiębiorstwa Sławomir Juszczyk Katedra Ekonomiki i Organizacji Przedsiębiorstw Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Maria Tymińska Zakład Zarządzania UJK w Kielcach Filia w Piotrkowie Trybunalskim Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3

Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3 Andrzej J. Osiadacz Maciej Chaczykowski Łukasz Kotyński Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3 Andrzej J. Osiadacz, Maciej Chaczykowski, Łukasz Kotyński,

Bardziej szczegółowo

Parametry systemów klucza publicznego

Parametry systemów klucza publicznego Parametry systemów klucza publicznego Andrzej Chmielowiec Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk 24 marca 2010 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Anna Szymańska Katedra Metod Statystycznych Uniwersytet Łódzki Taryfikacja w ubezpieczeniach

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY Zad1 ( 5 pkt) 1 0 8 1 2 11 5 4 Dane są liczby x 5, y 5 2 2 1 5 a) Wyznacz liczbę, której 60% jest równe x Wynik podaj z dokładnością do 0,01 b)

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo