Podstawy Informatyki Elementy teorii masowej obsługi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy Informatyki Elementy teorii masowej obsługi"

Transkrypt

1 Podstawy Informatyki

2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla 2 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n (t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 3

3 Teoria masowej obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Bada zjawiska, w których występują problemy związane z masową obsługą zgłoszeń: klientów idących do kasy w sklepie, samochodów czekających na skrzyżowaniu, listów czekających na dostarczenie, procesów obecnych w pamięci operacyjnej komputera, żądań skierowanych do serwera itp. Ma na celu dostarczenie precyzyjnych metod opisu i analizy systemów świadczących usługi. Pomaga wyznaczać optymalne decyzje dotyczące: liczby aparatów obsługi, intensywności obsługi, czasu obsługi itp.

4 Agner Krarup Erlang ( ) Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Duński matematyk. Pionier w dziedzinie teorii ruchu telekomunikacyjnego i teorii masowej obsługi. W 1909r. udowodnił, że losowe żądania obsługi mają rozkład Poissona. W 1917r. przedstawił tzw. modele Erlanga pozwalające oszacować prawdopodobieństwo blokady połączenia w centralach telefonicznych. Od jego nazwiska pochodzi nazwa jednostki natężenia ruchu telekomunikacyjnego oraz nazwa języka programowania.

5 Przykład systemu masowej obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla

6 Przykład systemu masowej obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Najprostszy system obsługi obejmuje: źródło zgłoszeń, kolejkę, stanowisko obsługi zgłoszeń. Czasy przybycia zgłoszeń oraz czasy ich obsługi są zmiennymi losowymi.

7 Źródło Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Źródło charakteryzowane jest poprzez wymiar nieskończony, gdy nowe zgłoszenia mogą w nieograniczonej liczbie przybywać do systemu, skończony, gdy źródło generuje ściśle określoną liczbę zadań (źródło takie po wyemitowaniu n zgłoszeń staje się puste),

8 Źródło Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Źródło charakteryzowane jest poprzez wymiar nieskończony, gdy nowe zgłoszenia mogą w nieograniczonej liczbie przybywać do systemu, skończony, gdy źródło generuje ściśle określoną liczbę zadań (źródło takie po wyemitowaniu n zgłoszeń staje się puste), odstępy czasu pomiędzy poszczególnymi zgłoszeniami opisywane są one za pomocą zmiennej losowej U o dystrubuancie A(x) = P(U x) u średnia wartość odstępów czasu pomiędzy zgłoszeniami, E(u), 1 średnia liczba przychodzących zgłoszeń w jednostce czasu u (intensywność strumienia zgłoszeń).

9 Kolejka Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Kolejka charakteryzowana jest poprzez maksymalną długość nieograniczoną, ograniczoną, regulamin, m.in. naturalny, czyli FIFO (First In First Out), priorytetowy, czyli pierwszeństwa mają zgłoszenia uprzywilejowane, losowy, czyli SIRO (Selection In Random Order).

10 Stanowisko obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Stanowisko obsługi charakteryzowane jest poprzez czas obsługi zgłoszenia opisywany za pomocą zmiennej losowej V o dystrubuancie B(x) = P(V x) v średni czas obsługi pojedynczego zgłoszenia, E(v), 1 średnia liczba obsłużonych zgłoszeń w jednostce czasu. v

11 Stanowisko obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Stanowisko obsługi charakteryzowane jest poprzez czas obsługi zgłoszenia opisywany za pomocą zmiennej losowej V o dystrubuancie B(x) = P(V x) v średni czas obsługi pojedynczego zgłoszenia, E(v), 1 średnia liczba obsłużonych zgłoszeń w jednostce czasu. v Intensywność ruchu (stała Erlanga) iloraz średniej liczby zgłoszeń jaka napływa do systemu w jednostce czasu do średniej liczby zgłoszeń jaka może być obsłużona w jednostce czasu. ρ = 1/E(u) 1/E(v)

12 Notacja Kendalla Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Charakterystykę systemu obsługi ujmuje notacja Kendalla: A/B/c/K/h/Z gdzie poszczególne symbole oznaczają: A typ rozkładu odstępów czasu między zgłoszeniami, B typ rozkładu czasów obsługi, c liczba równoległych stanowisk obsługi, K największa dopuszczalna liczba zgłoszeń w systemie, h wymiar źródła zgłoszeń, Z regulamin kolejki.

13 Notacja Kendalla Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Charakterystykę systemu obsługi ujmuje notacja Kendalla: A/B/c/K/h/Z gdzie poszczególne symbole oznaczają: A typ rozkładu odstępów czasu między zgłoszeniami, B typ rozkładu czasów obsługi, c liczba równoległych stanowisk obsługi, K największa dopuszczalna liczba zgłoszeń w systemie, h wymiar źródła zgłoszeń, Z regulamin kolejki. Symbole K, h, Z pomija się, jeżeli brak ograniczeń długości kolejki, źródło zgłoszeń ma nieskończony wymiar, a regulamin kolejki jest naturalny (FIFO).

14 Typy rozkładów Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Rozkłady zmiennych losowych oznacza się następującymi symbolami: D napływ deterministyczny (zmienna losowa o rozkładzie jednopunktowym), M rozkład wykładniczy P(X x) = 1 exp( λx), Ek rozkład Erlanga, gdzie k jest parametrem, G rozkład ogólny, zdefiniowany przez użytkownika.

15 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Zapis M/M/1 oznacza system, gdzie odstępy czasu między zgłoszeniami mają rozkład wykładniczy z parametrem λ, zgłoszenia obsługiwane w czasie o rozkładzie wykładniczym z parametrem µ w pojedynczym stanowisku obsługi, regulamin kolejki jest naturalny a jej długość jest nieograniczona.

16 Strumień zgłoszeń Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Gdy odstępy czasu między zgłoszeniami mają rozkład wykładniczy z parametrem λ, to zgłoszenia napływają strumieniem Poissona, czyli liczba zgłoszeń w jednostce czasu ma rozkład Poissona z parametrem λ. Prawdopodobieństwo, że liczba zgłoszeń (n) pojawiająca się w systemie w jednostce czasu o długości T wynosi k: P(n = k) = (λt )k exp( λt ) k! dla k = 0, 1, 2,... Średnia liczba zgłoszeń pojawiająca się w systemie w jednostce czasu o długości T wynosi λt.

17 - podstawowe równania Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Dystrybuanta czasu odstępów między zgłoszeniami A(x) = P(U x) = 1 exp( λx) dla x 0 zatem E(u) = 1/λ, a średnia liczba przychodzących zgłoszeń w jednostce czasu wynosi λ. Dystrybuanta czasu obsługi zgłoszeń B(x) = P(V x) = 1 exp( µx) dla x 0 zatem E(v) = 1/µ, a średnia liczba obsłużonych zgłoszeń w jednostce czasu wynosi µ. Intensywność ruchu, czyli wykorzystanie (obciążenie) stanowiska ρ = 1/E(u) 1/E(v) = λ µ Aby system mógł pracować poprawnie, tzn. kolejka nie urosła do nieskończoności, intensywność musi być mniejsza od 1.

18 Wprowadzenie Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Podstawowy problem: wyznaczenie P n (t) - prawdopodobieństwo zajętości systemu przez określoną liczbę zgłoszeń n w określonej chwili t. Założenia: prawdopodobieństwo pojawienia się zgłoszenia w czasie dt: λdt, prawdopodobieństwo obsługi zgłoszenia w czasie dt: µdt.

19 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

20 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

21 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

22 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

23 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

24 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

25 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

26 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

27 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

28 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

29 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

30 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

31 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

32 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

33 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n Prawdopodobieństwo zajętości systemu przez określoną liczbę zgłoszeń n P n = ρ n (1 ρ).

34 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n Prawdopodobieństwo zajętości systemu przez określoną liczbę zgłoszeń n P n = ρ n (1 ρ). W szczególności prawdopodobieństwo, że system jest pusty: P 0 = 1 ρ, prawdopodobieństwo stanu, w którym system jest zajęty (system pracuje): P n>0 = ρ.

35 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Średnia liczba zgłoszeń w systemie: E(n) = np n = nρ n (1 ρ) = n=0 n=0 Średnia liczba zgłoszeń w kolejce: ρ 1 ρ. E(k) = (n 1)P n = (n 1)ρ n (1 ρ) = ρ2 1 ρ. n=0 n=0 Średnia liczba zgłoszeń na stanowisku obsługi: E(s) = E(n) E(k) = ρ.

36 Twierdzenie Little a Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Twierdzenie Little a Średnia liczba zgłoszeń w systemie jest równa iloczynowi średniego czasu pobytu w systemie i średniej częstotliwości nadchodzenia zgłoszeń: E(n) = λe(τ). Wnioski: średni czas pobytu zgłoszenia w systemie: E(τ) = 1 λ E(n) = 1 ρ λ 1 ρ = 1 µ(1 ρ), średni czas pobytu zgłoszenia w kolejce (oczekiwania na obsługę): ρ 2 E(ω) = 1 λ E(k) = 1 λ 1 ρ = ρ µ(1 ρ).

37 Problem przepływu Wiedząc, że do systemu nadchodzą zgłoszenia o wykładniczym rozkładzie czasu między zgłoszeniami A(x), system realizuje te zgłoszenia w czasie o rozkładzie wykładniczym B(x), wyznaczyć rozkład czasu odstępów między zgłoszeniami wychodzącymi z systemu.

38 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

39 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

40 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

41 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

42 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

43 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

44 Rozkład czasu odstępów między zgłoszeniami wychodzącymi z systemu: D(x) = A(x). Zatem system do którego nadchodzą zgłoszenia o wykładniczym rozkładzie czasu między zgłoszeniami A(x), który realizuje je w czasie o rozkładzie wykładniczym, który wysyła wyniki na zewnątrz, zachowuje się jak źródło o rozkładzie wykładniczym A(x).

45 - wnioski Z zasady ciągłości przepływu wynika, że sieci stanowisk typu M/M/1 można analizować biorąc pod uwagę następujące własności: strumień zgłoszeń opuszczających stanowisko obsługi typu M/M/1 jest strumieniem Poissona, rozgałęzienie strumienia Poissona na dwa (lub więcej) strumieni zgłoszeń zachowuje tę własność, łączenie strumieni Poissona zachowuje tę własność.

46 Otwarte sieci stanowisk typu M/M/1 Sieć nazywa się otwartą, gdy ma co najmniej jedno wejście i jedno wyprowadzenie na zewnątrz.

47 Analiza sieci stanowisk typu M/M/1 Zakładając, że liczba pojedynczych stanowisk typu M/M/1 wynosi N: gdzie i {1, 2,..., N} N N λ i = λ 0i + λ ji = λ 0i + p ji λ j j=1 j=1 λ i intensywność wejściowego strumienia zgłoszeń przychodzących do stanowiska i, λ 0i intensywność strumienia zgłoszeń spoza sieci przychodzących do stanowiska i, λ ji intensywność strumienia zgłoszeń przechodzących ze stanowiska j na stanowisko i, p ji prawdopodobieństwo przejścia ze stanowiska j na stanowisko i.

48 Analiza sieci stanowisk typu M/M/1 Znając dla każdego i {1, 2,..., N} λ i średnią liczbę zgłoszeń napływajacych do i-tego stanowiska w jednostce czasu, µ i średnią liczbę zgłoszeń obsługiwanych na i-tym stanowisku, można określić stopień obciążenia wszystkich stanowisk. System działa stabilnie, gdy obciążenie każdego ze stanowisk jest mniejsze od 1: ρ i < 1 i {1, 2,..., N}.

49 Przykład Dla jakich wartości µ 1 oraz µ 2 system działa stabilnie, gdy: λ 01 = 10, λ 02 = 20, p 11 = 0, p 12 = 1/4, p 21 = 1/2, p 22 = 1/2.

50 Przykład { λ1 = λ 2 λ 2 = λ λ 2

51 Przykład { λ1 = λ 2 λ 2 = λ λ λ 2 = ( λ 2) 3 8 λ 2 = λ 2 = = 60

52 Przykład { λ1 = λ 2 λ 2 = λ λ λ 2 = ( λ 2) 3 8 λ 2 = λ 2 = = 60 { λ1 = 40 λ 2 = 60 { µ1 > 40 µ 2 > 60

53 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60.

54 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4.

55 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jaka jest średnia liczba zgłoszeń w takim układzie?

56 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jaka jest średnia liczba zgłoszeń w takim układzie? czyli E(n) = 4. E(n 1 ) = ρ 1 1 ρ 1 = 1 E(n 2 ) = ρ 2 1 ρ 2 = 3

57 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Ile wynosi średni czas przebywania zgłoszenia w takim układzie?

58 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Ile wynosi średni czas przebywania zgłoszenia w takim układzie? Na podstawie tw. Little a E(n) = λe(τ), czyli E(τ) = E(n) λ = E(n 1) + E(n 2 ) λ 01 + λ 02 = 4 30.

59 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia?

60 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? P 4 = 4 Pj 1 P4 j 2 dla Pn 1 = ρ n 1 (1 ρ 1) oraz Pn 2 = ρ n 2 (1 ρ 2) j=0

61 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? P 4 = 4 j=0 ρ j 1 (1 ρ 1)ρ 4 j 2 (1 ρ 2 ) = (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) 4 j=0 ρ j 1 ρ4 j 2

62 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? P 4 = ( ) 1 j ( 3 4 j 2 4) j=0

63 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? ( ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 P 4 = )

64 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? ( ) P 4 = =

65 Zamknięte sieci stanowisk typu M/M/1 W sieciach zamkniętych brak jest wejściowego i wyjściowego strumienia zgłoszeń, jest zawsze stała liczba zgłoszeń. Podstawowy problem: wyznaczenie P n1 n 2...n K (t) prawdopodobieństwa zajętości j-tego stanowiska obsługi przez n j zgłoszeń w określonej chwili t, gdzie j {1, 2,..., K}. Założenia: w systemie jest K stanowisk obsługi, w systemie krąży N zgłoszeń, prawdopodobieństwo obsługi zgłoszenia przez j-te stanowisko w czasie dt: µ j dt.

66 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie.

67 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. P 20 (t + dt) = P 20 (t)(1 µ 1 dt) + P 11 (t)µ 2 dt(1 µ 1 dt)

68 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. P 20 (t + dt) = P 20 (t)(1 µ 1 dt) + P 11 (t)µ 2 dt(1 µ 1 dt) P 20 (t + dt) P 20 (t) dt = P 20 (t)µ 1 + P 11 (t)µ 2 (1 µ 1 dt)

69 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. P 20 (t + dt) = P 20 (t)(1 µ 1 dt) + P 11 (t)µ 2 dt(1 µ 1 dt) P 20 (t + dt) P 20 (t) dt = P 20 (t)µ 1 + P 11 (t)µ 2 (1 µ 1 dt) gdy dt 0 dp 20 (t) dt = P 20 (t)µ 1 + P 11 (t)µ 2

70 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 20 µ 1 + P 11 µ 2 = 0

71 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 20 µ 1 + P 11 µ 2 = 0 Zatem P 20 µ 1 = P 11 µ 2

72 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Analizując pozostałe stany można otrzymać: P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 11 (µ 1 + µ 2 ) = P 20 µ 1 + P 02 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 Są to tzw. równania bilansu prawdopodobieństw.

73 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Analizując pozostałe stany można otrzymać: P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 11 (µ 1 + µ 2 ) = P 20 µ 1 + P 02 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 Są to tzw. równania bilansu prawdopodobieństw. Niestety uzyskany układ równań jest zależny, dlatego trzeba jeszcze użyć warunku normującego: P 20 + P 11 + P 02 = 1

74 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Obliczyć: P 20, P 11, P 02

75 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Obliczyć: P 20, P 11, P 02 P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 20 = µ 2 µ 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1

76 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 Obliczyć: P 20, P 11, P P 11 + P P 11 = 1 P 20 = µ 2 µ 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1

77 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 11 ( ) Obliczyć: P 20, P 11, P 02 = P 11 ( P 20 = µ 2 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1 ) = 19 6 P 11 = 1

78 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Obliczyć: P 20, P 11, P 02 P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 20 = µ 2 µ 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 11 = 6 19, a zatem P 20 = 9 19 oraz P 02 = 4 19

79 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = 4 19.

80 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie liczby zgłoszeń przy stanowiskach?

81 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie liczby zgłoszeń przy stanowiskach? E(n 1 ) = 0 P P P 20 = = E(n 2 ) = 0 P P P 02 = = 14 19

82 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie długości kolejek przed stanowiskami?

83 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie długości kolejek przed stanowiskami? E(k 1 ) = 0 P P 20 = 9 19 E(k 2 ) = 0 P P 02 = 4 19

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 9 Systemy kolejkowe Spis treści Wstęp Systemy masowej obsługi (SMO) Notacja Kendalla Schemat systemu masowej obsługi Przykład systemu M/M/1 Założenia modelu matematycznego

Bardziej szczegółowo

Systemy masowej obsługi

Systemy masowej obsługi Systemy masowej obsługi Celem niniejszego ćwiczenia jest: zapoznanie się z podstawowymi właściwościami najprostszego systemu analizowanego w ramach teorii masowej obsługi, systemu M/M/ zapoznanie się z

Bardziej szczegółowo

Modele procesów masowej obsługi

Modele procesów masowej obsługi Modele procesów masowej obsługi Musiał Kamil Motek Jakub Osowski Michał Inżynieria Bezpieczeństwa Rok II Wstęp Teoria masowej obsługi to samodzielna dyscyplina, której celem jest dostarczenie możliwie

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBSŁUGI MASOWEJ

TEORIA OBSŁUGI MASOWEJ TEORIA OBSŁUGI MASOWEJ mgr Marcin Ziółkowski Wstęp do teorii obsługi masowej Początków nurtu naukowego nazwanego później TEORIĄ OBSŁUGI MASOWEJ (ang. Queuing theory) można doszukiwać się na początku XX

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 5- Klasyczne systemy kolejkowe i ich analiza dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 16,23listopada2015r. Analiza

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

dr Adam Sojda Wykład Politechnika Śląska Badania Operacyjne Teoria kolejek

dr Adam Sojda Wykład Politechnika Śląska Badania Operacyjne Teoria kolejek dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Teoria kolejek Teoria kolejek zajmuje się badaniem systemów związanych z powstawaniem kolejek. Systemy kolejkowe W systemach, którymi zajmuje

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Eleenty odelowania ateatycznego Systey kolejkowe. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ RZYKŁAD KOLEJKI N(t) długość kolejki w chwili t T i czas obsługi i-tego klienta Do okienka

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 7 teoria kolejek prawo Little a systemy jedno- i wielokolejkowe 1/75 System kolejkowy System kolejkowy to układ złożony

Bardziej szczegółowo

System obsługi klienta przy okienku w urzędzie pocztowym

System obsługi klienta przy okienku w urzędzie pocztowym System obsługi klienta przy okienku w urzędzie pocztowym Opracowały: Monika Rozmarynowska Paulina Wałdoch Joanna Wika Specjalność : EPiF Rok akademicki: 2009/2010 1 Spis treści 1. Opis i założenia wstępne

Bardziej szczegółowo

Systemy kolejkowe z histerezą- wprowadzenie

Systemy kolejkowe z histerezą- wprowadzenie Systemy kolejkowe z histerezą- wprowadzenie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 25 kwietnia 2014 r. System kolejkowy z histerezą System kolejkowy

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Colloquium 2, Grupa A

Colloquium 2, Grupa A Colloquium 2, Grupa A 1. W warsztacie samochodowym są dwa stanowiska obsługi. Na każdym z nich, naprawa samochodu trwa przeciętnie pół godziny. Do warsztatu przyjeżdża średnio 4 klientów w ciągu godziny.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Systemy masowej obsługi

Systemy masowej obsługi Rozdział 1 Systemy masowej obsługi Systemy masowej obsługi (lub kolejkowe) występują w wielu praktycznych sytuacjach, np. samoloty na lotnisku oczekują na start lub lądowanie, klienci w banku oczekują

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakteryzujące proces. Dr inż. Robert Jakubowski

Funkcje charakteryzujące proces. Dr inż. Robert Jakubowski Funkcje charakteryzujące proces eksploatacji Dr inż. Robert Jakubowski Niezawodność Niezawodność Rprawdopodobieństwo, że w przedziale czasu od do t cechy funkcjonalne statku powietrznego Ubędą się mieścić

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Teoria masowej obsªugi,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń)

Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń) Carl Adam Petri (1926-2010) Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń) Problemy statyczne Kommunikation mit Automaten praca doktorska (1962) opis procesów współbieżnych

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

1 Warunkowe wartości oczekiwane

1 Warunkowe wartości oczekiwane Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

Colloquium 3, Grupa A

Colloquium 3, Grupa A Colloquium 3, Grupa A 1. Z zasobów obliczeniowych pewnego serwera orzysta dwóch użytowniów. Każdy z nich wysyła do serwera zawsze trzy programy naraz. Użytowni czea, aż serwer wyona obliczenia dotyczące

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

3 Ubezpieczenia na życie

3 Ubezpieczenia na życie 3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka

KARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Łańcuchy Markowa: zagadnienia graniczne. Ukryte modele Markowa. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ KLASYFIKACJA STANÓW Stan i jest osiągalny

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009 MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości

Bardziej szczegółowo

25. ALOHA typy i własności. 1) pure ALOHA czysta ALOHA:

25. ALOHA typy i własności. 1) pure ALOHA czysta ALOHA: 25. ALOHA typy i własności Aloha to najprostszy (a jednocześnie najmniej efektywny) protokół przypadkowego dostępu do kanału, zwany inaczej pure ALOHA. Zaprojektowany i uruchomiony w 1971 roku w University

Bardziej szczegółowo

1. Przyszła długość życia x-latka

1. Przyszła długość życia x-latka Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Priorytetowy system obsługi zgłoszeń niejednorodnych z mechanizmem odrzucania pakietów opartym o AQM

Priorytetowy system obsługi zgłoszeń niejednorodnych z mechanizmem odrzucania pakietów opartym o AQM Priorytetowy system obsługi zgłoszeń niejednorodnych z mechanizmem odrzucania pakietów opartym o AQM prof. dr hab. Oleg Tikhonenko, dr Marcin Ziółkowski, mgr inż. Jacek Małek Instytut Matematyki, Politechnika

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy Wykład 4 roces oissona 4.1 roces zliczajacy roces stochastyczny {N t ;t } nazywamy zliczaj acym, gdy N t jest równe całkowitej ilości zdarzeń które zdarzyły się do momentu t. rzekładami procesów zliczajacychn

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie systemu remontu techniki wojsk lądowych w operacjach

Modelowanie systemu remontu techniki wojsk lądowych w operacjach Bi u l e t y n WAT Vo l. LX, Nr2, 2011 Modelowanie systemu remontu techniki wojsk lądowych w operacjach Marian Brzeziński Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Mechaniczny, Katedra Logistyki, 00-908 Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

1 Elementy teorii przeżywalności

1 Elementy teorii przeżywalności 1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

J.Bajer, R.Iwanejko,J.Kapcia, Niezawodność systemów wodociagowych i kanalizacyjnych w zadaniach, Politechnika Krakowska, 123(2006).

J.Bajer, R.Iwanejko,J.Kapcia, Niezawodność systemów wodociagowych i kanalizacyjnych w zadaniach, Politechnika Krakowska, 123(2006). Większość zadań pochodzi z podręcznika: J.Bajer, R.Iwanejko,J.Kapcia, Niezawodność systemów wodociagowych i kanalizacyjnych w zadaniach, Politechnika Krakowska, 123(2006). Elementy nieodnawialne. Wskaźniki,

Bardziej szczegółowo

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet Andrzej Andrijew Plan referatu Samopodobieostwo w sieci Internet Samopodobne procesy stochastyczne Metody sprawdzania samopodobieostwa Modelowanie przepływów

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia majątkowe

Ubezpieczenia majątkowe Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi Rozkład materiału nauczania został opracowany na podstawie programu

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka Biomatematyka Rozpatrzmy chorobę, która rozprzestrzenia się za pośrednictwem nosicieli, u których nie występują jej symptomy. Niech C(t) oznacza liczbę nosicieli w chwili t. Zakładamy, że nosiciele są

Bardziej szczegółowo

Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14

Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14 ZESTAW A IMIȨ I NAZWISKO: Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2/4 Data: 224 Egzaminar: Ryszard Szekli INSTRUKCJE: Rozwiązując test zakreślamy literką X POPRAWNE ODPOWIEDZI W TABELCE

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo