TEORIA OBSŁUGI MASOWEJ
|
|
- Judyta Ewa Sobolewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TEORIA OBSŁUGI MASOWEJ mgr Marcin Ziółkowski Wstęp do teorii obsługi masowej
2 Początków nurtu naukowego nazwanego później TEORIĄ OBSŁUGI MASOWEJ (ang. Queuing theory) można doszukiwać się na początku XX wieku. Nurt ten powstał w związku z silnym rozwojem sieci telefonicznych oraz problemami praktycznymi związanymi z rozbudową już istniejących lub tworzeniem nowych sieci. Pojawiły się problemy dotyczące m.in. odpowiedniego doboru sprzętu, warunków tworzenia centrów telekomunikacyjnych itp. Można zgodzić się jednak, że za ojca tego nurtu należałoby uznać duńskiego naukowca AGNERA KRARUPA ERLANGA.
3 AGNER KRARUP ERLANG TWÓRCA TEORII OBSŁUGI MASOWEJ ( )
4 Agner Krarup Erlang urodził się w L nborg L na Półwyspie Jutlandzkim. Jego ojciec Hans Nielsen Erlang był dyrektorem lokalnej szkoły i urzędnikiem parafii. Matka była daleką krewną duńskiego matematyka Thomasa Fincke. Jako dziecko Agner towarzyszył w nauce swemu bratu Frederikowi czytając jego odwrócone ksiązki. W szkole młody Erlang interesował się astronomią. Po skończeniu szkoły podstawowej miał prywatnych nauczycieli. W wieku 14 lat udało mu się zdać z wyróżnieniem egzamin organizowany przez Uniwersytet Kopenhaski, musiał mieć specjalne pozwolenie na zdawanie tego egzaminu z uwagi na młody wiek. Przez kolejne dwa lata był nauczycielem w szkole swojego ojca.
5 W 1896 roku zdał egzaminy wstępne na Uniwersytet Kopenhaski. W 1901 roku otrzymał dyplom magistra matematyki jako głównego przedmiotu oraz astronomii, fizyki i chemii jako przedmiotów dodatkowych. Po ukończeniu studiów Erlang przez siedem lat uczył w różnych szkołach dając się poznać jako utalentowany pedagog. Był członkiem Duńskiego Stowarzyszenia Matematyków,, dzięki któremu poznał Johana Jensena,, głównego inżyniera Kopenhaskiej Kompanii Telefonicznej.. W 1908 roku został w niej zatrudniony jako pracownik naukowy, po pewnym czasie awansował na kierownika laboratorium. Erlang zajął się problemem ruchu w sieciach telekomunikacyjnych. W 1909 roku opublikował pierwszą pracę, w której udowodnił, że połączenia telefoniczne o charakterze losowym podlegają rozkładowi Poissona.
6 W swojej najważniejszej pracy w roku 1917 przedstawił wzory na prawdopodobieństwo blokady połączenia w centralach telefonicznych, znane jako model Erlanga (chodzi tu o system obsługi M/G/n/0 ). Jego publikacje były tłumaczone na wiele języków. Erlanga cechował zwięzły styl pisania, dlatego jego prace były ciężkie do zrozumienia dla osób nie będących specjalistami. Jeden z pracowników amerykańskiej kompanii telefonicznej nauczył się nawet duńskiego, aby móc czytać w oryginale jego prace. Od nazwiska Erlanga pochodzą nazwy jednostki natężenia ruchu telekomunikacyjnego oraz języka programowania. Erlang był również specjalistą od tworzenia tablic matematycznych, stosował własne metody obliczania wartości pewnych funkcji. Oprócz matematyki interesowała go historia, filozofia i poezja. Erlang nigdy się nie ożenił. Ciężka praca odbiła się na jego zdrowiu. Zmarł w 1929 roku po przebytej operacji.
7 Na początku modele matematyczne realnych systemów telekomunikacyjnych badane przez Erlanga i innych matematyków i inżynierów były pomocne w rozwiązywaniu wielu problemów technicznych. Od początku dyscyplina ta była zaliczana do matematyki stosowanej z uwagi na swój praktyczny charakter. W dalszych latach teoria rozwijała się, badano wiele nowych modeli, które miały swoje odpowiedniki w realnych systemach telekomunikacyjnych. Powstawały nowe metody badawcze i uzyskiwano wyniki ciekawe nie tylko ze względów teoretycznych ale również praktycznych.
8 Rola tego kierunku mocno wzrosła wraz z pojawieniem się komputerów i w dalszej kolejności sieci komputerowych. Okazało się bowiem, że matematyczne modele analizowane w teorii obsługi masowej mogą być zastosowane do modelowania systemów komputerowych. Przy odpowiednim podejściu i ewentualnym uogólnieniu wyniki znane z teorii obsługi masowej można bowiem zastosować przy rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów dotyczących projektowania systemów informatycznych. Z drugiej strony pojawienie się nowych problemów natury praktycznej wymogło pojawienie się nowych dyscyplin w ramach kierunku np. teorii zgłoszeń o losowej objętości. W ostatnim dziesięcioleciu jest to kierunek naukowy o bardzo dużej liczbie bieżących publikacji naukowych, a jego rola cały czas wzrasta.
9 Czym więc jest teoria obsługi masowej?? 1) Jest to bardzo praktyczna dziedzina wiedzy wykorzystywana coraz częściej w dzisiejszym zinformatyzowanym świecie; 2) Jest to bardzo porządna teoria matematyczna związana z rachunkiem prawdopodobieństwa i teorią procesów stochastycznych, używająca jako narzędzi badawczych analizy zespolonej, teorii równań różniczkowych i całkowych i innych kierunków matematycznych.
10 Istotą teorii obsługi masowej są następujące terminy: 1) ZGŁOSZENIE bardzo ogólny termin, jest to osoba lub rzecz przybywająca do danego systemu w celu obsłużenia. Zgłoszeniem może być klient do kasy w sklepie, samochód czekający na skrzyżowaniu, list czekający na dostarczenie, a także np. proces obecny w pamięci operacyjnej komputera czy żądanie skierowane do serwera W teorii obsługi masowej zakłada się losowy charakter powstawania żądań obsługi tzn. odstęp czasu między sąsiednimi chwilami przybywania zgłoszeń do systemu jest nieujemną zmienną losową. Podobnie jest z innymi badanymi wielkościami. Stąd probabilistyczny charakter tej teorii.
11 2) WEJŚCIOWY STRUMIEŃ ZGŁOSZEŃ ciąg kolejnych odstępów czasu pomiędzy sąsiednimi chwilami przybycia zgłoszeń do systemu. Najczęściej jest REKURENCYJNY tzn. odstępy te są od siebie niezależne i mają jednakowy rozkład. 3) URZĄDZENIE OBSŁUGI osoba lub urządzenie, które wykonuje obsługę. Czas obsługi jest również nieujemną zmienną losową i podobnie jak przy strumieniu wejściowym najczęściej zakładamy, że obsługa jest REKURENCYJNA tzn. urządzenia obsługi pracują niezależnie od siebie, a czas obsługi każdego urządzenia ma taki sam rozkład. 4) KOLEJKA kolejka w systemie obsługi powstaje, gdy nie ma możliwości w danej chwili czasu obsłużenia wszystkich zgłoszeń, ponieważ wszystkie urządzenia są w tej chwili zajęte.
12 KLASYFIKACJA SYSTEMÓW OBSŁUGI Klasyfikację systemów obsługi prowadzimy zwykle według następujących cech: 1) Typ wejściowego strumienia zgłoszeń. Najczęściej w analizowanych modelach systemów obsługi strumień wejściowy jest strumieniem rekurencyjnym. Stąd jego konkretny typ określa się przez określenie rozkładu odstępów czasu między sąsiednimi chwilami przybycia zgłoszeń. 2) Rozkład łączny czasu obsługi zgłoszeń. W przeważającej części analizowanych systemów obsługa zgłoszeń jest rekurencyjna. Wówczas dla jej określenia wystarczy określić rozkład czasu obsługi.
13 3) Liczba urządzeń obsługi. W teorii obsługi masowej najczęściej analizowane są systemy mające jednakowe urządzenia obsługi, które mogą pracować jednocześnie. 4) Dyscyplina obsługi. W teorii obsługi masowej analizowane są najczęściej następujące dyscypliny: FIFO (first( in first out) zgłoszenia są obsługiwane w kolejności ich przybycia do systemu; LIFO (last( in first out) zgłoszenia są obsługiwane w kolejności odwrotnej do kolejności ich przybycia tzn. jako pierwsze obsługiwane jest zgłoszenie, które przybyło do systemu jako ostatnie;
14 PS (processor( sharing) wszystkie zgłoszenia znajdujące się w systemie są obsługiwane jednocześnie, natomiast prędkość obsługi każdego z k zgłoszeń znajdujących się w systemie jest k razy mniejsza od prędkości obsługi, z jaką byłyby obsługiwane zgłoszenia gdyby w systemie znajdowało się tylko jedno zgłoszenie. W pewnych przypadkach w teorii obsługi masowej analizowane są systemy z priorytetami,, w których pojawiające się zgłoszenia posiadają różne pierwszeństwa, od których zależy kolejność ich obsługi.
15 SYMBOLIKA KENDALLA Dla krótkiego oznaczenia dostatecznie prostych systemów obsługi używa się symboliki Kendalla: A/B/n/m Litera A oznacza typ strumienia wejściowego. Na przykład jeżeli A=M (Markov), strumień wejściowy jest najprostszy; A=BM oznacza strumień stacjonarny bez następstw (strumień najprostszy grupowy); A= E k - strumień Erlanga k-tego rzędu; A=D strumień wejściowy deterministyczny; A=G strumień wejściowy jest rekurencyjny o dowolnym rozkładzie odstępów czasu między sąsiednimi chwilami przybycia zgłoszeń.
16 Litera B oznacza typ rozkładu czasu obsługi. I tak np. B=M oznacza rozkład wykładniczy czasu obsługi; B= - rozkład Erlanga k-tego rzędu; B=D rozkład degeneratywny (czyli czas obsługi zgłoszeń jest stały); B=G oznacza obsługę rekurencyjną o dowolnym rozkładzie czasu obsługi. E k Litera n oznacza liczbę identycznych urządzeń obsługi : Litera m oznacza liczbę miejsc oczekiwania w kolejce : 1 n 0 m
17 W przypadku, gdy m=0,, zgłoszenia przybywające do systemu w chwilach, gdy w systemie wszystkie urządzenia obsługi są zajęte ulegają zniszczeniu (utraceniu). Systemy takie nazywamy systemami z utratą zgłoszeń. Jeżeli m = i wszystkie zgłoszenia oczekują cierpliwie na początek swojej obsługi, to odpowiadające systemy nazywamy systemami z oczekiwaniem, jeżeli dodatkowo wszystkie oczekujące zgłoszenia zostaną całkowicie obsłużone, to odpowiadające systemy nazywamy systemami bez utrat zgłoszeń. Jeżeli 0 < m <, to system nazywamy systemem z ograniczoną liczbą miejsc oczekiwania. W przypadku, gdy n=1,, system nazywamy jednoliniowym, natomiast, gdy n>1, to system nazywamy wieloliniowym.
18 OGÓLNY SCHEMAT DZIAŁANIA SYSTEMU OBSŁUGI Wejściowy strumień zgłoszeń Kolejka ( m miejsc) UO 1 UO 2 UO 3... UO n
19 W dalszym toku rozważań będziemy zakładać, że charakterystyki strumienia nie mają wpływu na kolejność i czas obsługi zgłoszeń. TRYB STACJONARNY DZIAŁANIA SYSTEMÓW OBSŁUGI Rozpatrzmy systemy obsługi typu G/G/n/m, gdzie 0 m. 1 n Rozpatrzmy strumień wejściowy który posiada intensywność. Intensywność strumienia wejściowego to inaczej średnia liczba zgłoszeń przybyłych do systemu w ciągu jednostki czasu. Można wykazać, że wielkość ta jest zawsze określona dla tzw. strumieni stacjonarnych, a ponieważ większość analizowanych strumieni to takie właśnie strumienie, więc od teraz zakładamy milcząco, że strumienie wejściowe są zawsze stacjonarne.,
20 Załóżmy dodatkowo, że intensywność jest skończona oraz załóżmy istnienie skończonego pierwszego momentu (wartości średniej (oczekiwanej) ) czasu obsługi β. Oznaczmy przez (t) liczbę zgłoszeń znajdujących się w systemie w chwili t. Proces losowy (t) jest podstawowym procesem badanym w teorii obsługi masowej. Jednym z najważniejszych zadań teorii obsługi masowej jest wyznaczanie charakterystyk tego procesu dla konkretnych modeli. Powstaje naturalne pytanie jak zachowuje się ten proces przy t.. Jest oczywiste, że w analizowanych warunkach jego przebieg zależy od wielkości n, m,, β. 1 1
21 Jeżeli n= to należy się spodziewać, że proces (t) przy dowolnych warunkach początkowych wraz ze wzrostem czasu będzie dążył do pewnego procesu stacjonarnego (to znaczy do procesu niezależnego od czasu, czyli faktycznie do zmiennej losowej) tzn. (t) (t) przy t w sensie zbieżności według rozkładu. 1 n <, 0 m < W przypadku, gdy część przybywających zgłoszeń będzie utracona. Część utraconych, przy ustalonych n oraz m, zgłoszeń będzie tym większa im większe będą wartości intensywności strumienia oraz pierwszego momentu czasu obsługi. W tym przypadku również proces (t) również wraz ze wzrostem czasu będzie dążył do pewnego procesu stacjonarnego. 1 n <, m = Najciekawszy jest przypadek, gdy. W tym przypadku warunki stacjonarne działania systemu obsługi będą istniały w pewnych ściśle określonych warunkach.
22 Jest oczywiste, że w tym przypadku z uwagi na fakt, że kolejka zgłoszeń oczekujących na obsługę jest nieograniczona, liczba zgłoszeń obecnych w systemie może wraz ze wzrostem czasu dążyć do nieskończoności. Można udowodnić, że warunki stacjonarne dla takiego systemu istnieją, gdy λ β. Inaczej mówiąc warunki stacjonarne 1 / n < 1 dla tego systemu będą spełnione, gdy średnia liczba zgłoszeń przybywających do systemu w ciągu jednostki czasu nie przekracza maksymalnej prędkości obsługi zgłoszeń tzn. średniej liczby zgłoszeń obsłużonych przez n niezależnych urządzeń obsługi w ciągu jednostki czasu. Wielkość ρ = λ β 1 / n nazywa się ładowaniem systemowym. Zatem warunki stacjonarne dla takiego systemu istnieją, gdy ρ = λ β 1 / n < 1.
23 CZAS OCZEKIWANIA I CZAS PRZEBYWANIA WZORY LITTLE A Rozpatrzmy dowolny system obsługi z oczekiwaniem i bez utraty zgłoszeń. Załóżmy, że dla badanego systemu istnieje tryb stacjonarny i wiadomo, że wartość oczekiwana czasu obsługi jest ograniczona i równa β. Definicja 1. Czasem oczekiwania zgłoszenia nazywamy długość przedziału czasowego od chwili jego przybycia do systemu do chwili początku jego obsługi. Definicja 2. Czasem przebywania zgłoszenia nazywamy długość przedziału czasowego od chwili jego przybycia do systemu do chwili zakończenia jego obsługi. 1
24 Jest oczywiste, że czas oczekiwania n-tego zgłoszenia oraz czas jego przebywania V n są nieujemnymi zmiennymi losowymi, przy czym V, gdzie jest czasem n = W n + ξ n ξ n obsługi n-tego zgłoszenia. W n Przypuśćmy, że w trybie stacjonarnym przy t, n mamy W n W, V n V w sensie zbieżności według rozkładu. Zmienne losowe W oraz V nazywamy odpowiednio stacjonarnym czasem oczekiwania oraz stacjonarnym czasem przebywania. EW = w 1 Oznaczmy przez pierwszy moment stacjonarnego czasu oczekiwania, a przez EV = v 1 pierwszy moment stacjonarnego czasu przebywania.
25 Przez L = Eη oznaczmy wartość średnią liczby zgłoszeń w trybie stacjonarnym, przez N wartość średnią stacjonarnej liczby zgłoszeń oczekujących na obsługę, a przez M wartość średnią stacjonarnej liczby zajętych urządzeń obsługi. Twierdzenie (Wzory Little a).. Przy przyjętych założeniach i oznaczeniach zachodzą następujące wzory: L = λ v, N = λ w, M = λ β (1) Wzory (1) są często wykorzystywane praktycznie do oceny charakterystyk stacjonarnych systemów obsługi.
Modelowanie komputerowe
Modelowanie komputerowe wykład 5- Klasyczne systemy kolejkowe i ich analiza dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 16,23listopada2015r. Analiza
Bardziej szczegółowoLiteratura TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK. Teoria masowej obsługi. Geneza. Teoria masowej obsługi
TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK Wykład 1 Dr inż. Anna Kwasiborska Literatura B. von der Veen: Wstęp do teorii badań operacyjnych. PWN, Warszawa 1970. Gniedenko B. W., Kowalenko I. N.: Wstęp do teorii
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 9 Systemy kolejkowe Spis treści Wstęp Systemy masowej obsługi (SMO) Notacja Kendalla Schemat systemu masowej obsługi Przykład systemu M/M/1 Założenia modelu matematycznego
Bardziej szczegółowoModele procesów masowej obsługi
Modele procesów masowej obsługi Musiał Kamil Motek Jakub Osowski Michał Inżynieria Bezpieczeństwa Rok II Wstęp Teoria masowej obsługi to samodzielna dyscyplina, której celem jest dostarczenie możliwie
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki Elementy teorii masowej obsługi
Podstawy Informatyki alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla 2 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n (t) Wybrane
Bardziej szczegółowoLiteratura TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK. Geneza. Teoria masowej obsługi. Cele masowej obsługi. Teoria masowej obsługi
Literatura TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK B. von der Veen: Wstęp do teorii badań operacyjnych. PWN, Warszawa 1970. Gniedenko B. W., Kowalenko I. N.: Wstęp do teorii obsługi masowej. PWN, Warszawa
Bardziej szczegółowoLiteratura TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK. Teoria masowej obsługi. Geneza. Teoria masowej obsługi
TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK Wykład 1 Dr inż. Anna Kwasiborska Literatura B. von der Veen: Wstęp do teorii badań operacyjnych. PWN, Warszawa 1970. Gniedenko B. W., Kowalenko I. N.: Wstęp do teorii
Bardziej szczegółowoSystemy kolejkowe z histerezą- wprowadzenie
Systemy kolejkowe z histerezą- wprowadzenie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 25 kwietnia 2014 r. System kolejkowy z histerezą System kolejkowy
Bardziej szczegółowoModelowanie stochastyczne Stochastic Modeling. Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2C
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Modelowanie stochastyczne Stochastic Modeling Poziom przedmiotu:
Bardziej szczegółowoSystemy masowej obsługi
Systemy masowej obsługi Celem niniejszego ćwiczenia jest: zapoznanie się z podstawowymi właściwościami najprostszego systemu analizowanego w ramach teorii masowej obsługi, systemu M/M/ zapoznanie się z
Bardziej szczegółowoModelowanie komputerowe
Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowodr Adam Sojda Wykład Politechnika Śląska Badania Operacyjne Teoria kolejek
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Teoria kolejek Teoria kolejek zajmuje się badaniem systemów związanych z powstawaniem kolejek. Systemy kolejkowe W systemach, którymi zajmuje
Bardziej szczegółowoPriorytetowy system obsługi zgłoszeń niejednorodnych z mechanizmem odrzucania pakietów opartym o AQM
Priorytetowy system obsługi zgłoszeń niejednorodnych z mechanizmem odrzucania pakietów opartym o AQM prof. dr hab. Oleg Tikhonenko, dr Marcin Ziółkowski, mgr inż. Jacek Małek Instytut Matematyki, Politechnika
Bardziej szczegółowoOPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 1 2 Kod modułu 04-A-MAT1-60-1Z 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład XIV, 24.01.2017 ŁAŃCUCHYMARKOWA CD. KRÓTKIE INFO O RÓŻNYCH WAŻNYCH ROZKŁADACH Plan na dzisiaj Łańcuchy Markowa cd. Różne ważne rozkłady prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Eleenty odelowania ateatycznego Systey kolejkowe. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ RZYKŁAD KOLEJKI N(t) długość kolejki w chwili t T i czas obsługi i-tego klienta Do okienka
Bardziej szczegółowoModelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych
Modelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych W ćwiczeniu tym przedstawione zostaną proste struktury sprzętowe oraz sposób obliczania ich niezawodności przy założeniu, że funkcja niezawodności
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoPojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ NAUK O ZIEMI
Kierunki studiów: v Geografia v Geologia v Geofizyka v Studia regionalne WYDZIAŁ NAUK O ZIEMI stacjonarne studia pierwszego stopnia Podstawowym kryterium kwalifikacji na studia jest zdany egzamin maturalny/dojrzałości.
Bardziej szczegółowoZa pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoColloquium 1, Grupa A
Colloquium 1, Grupa A 1. W pewnej fabryce zamontowano system kontroli pracowników wchodzących na teren zakładu. Osoba chcąca wejść, dzwoni na portiernię i czeka przy drzwiach. Portier sprawdza tę osobę
Bardziej szczegółowoInformacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia
Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ NAUK O ZIEMI
Rok akademicki 06/07 Kryterium zakres kwalifikacji Załącznik nr 8 Kierunki studiów: v Geografia v Geologia v Geofizyka v Studia regionalne WYDZIAŁ NAUK O ZIEMI stacjonarne studia pierwszego stopnia licencjackie
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA 2. Kod przedmiotu: Ma 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Eksploatacja Systemów Mechatronicznych
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowozna metody matematyczne w zakresie niezbędnym do formalnego i ilościowego opisu, zrozumienia i modelowania problemów z różnych
Grupa efektów kierunkowych: Matematyka stosowana I stopnia - profil praktyczny (od 17 października 2014) Matematyka Stosowana I stopień spec. Matematyka nowoczesnych technologii stacjonarne 2015/2016Z
Bardziej szczegółowoBADANIE EFEKTYWNOŚCI PRACY ELASTYCZNEGO GNIAZDA MONTAŻOWEGO
BADANIE EFEKTYWNOŚCI PRACY ELASTYCZNEGO GNIAZDA MONTAŻOWEGO Rafał KLUZ, Barbara CIECIŃSKA Streszczenie W pracy przedstawiono wyniki badań dotyczące efektywności pracy elastycznego gniazda montażowego.
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do złożoności obliczeniowej
problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ NAUK O ZIEMI
Rok akademicki 08/09 Kryterium zakres kwalifikacji Załącznik nr 8 do uchwały nr 0 Senatu UŚ z dnia 30 maja 07 r. WYDZIAŁ NAUK O ZIEMI Kierunki studiów: v Geografia v Geologia v Geofizyka stacjonarne studia
Bardziej szczegółowoMatematyka I i II - opis przedmiotu
Matematyka I i II - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Matematyka I i II Kod przedmiotu Matematyka 02WBUD_pNadGenB11OM Wydział Kierunek Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
Bardziej szczegółowoSystemy masowej obsługi
Rozdział 1 Systemy masowej obsługi Systemy masowej obsługi (lub kolejkowe) występują w wielu praktycznych sytuacjach, np. samoloty na lotnisku oczekują na start lub lądowanie, klienci w banku oczekują
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoSystemy obsługi ze wspólną pamięcią
Systemy obsłgi ze wspólną pamięcią dr Marcin Ziółkowski 14 listopada 2014 r. SCHEMAT DZIAŁANIA SYSTEMU OBSŁUGI ZGŁOSZEŃ NIEJEDNORODNYCH Rysnek: Schemat działania system obsłgi zgłoszeń niejednorodnych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka
Biomatematyka Liczebność populacji pewnego gatunku jest modelowana przez równanie różnicowe w którym N k stałymi. rn 2 n N n+1 =, A+Nn 2 oznacza liczebność populacji w k tej generacji, a r i A są dodatnimi
Bardziej szczegółowoPROGRAM STUDIÓW. WYDZIAŁ: Podstawowych Problemów Techniki KIERUNEK: Matematyka stosowana
WYDZIAŁ: Podstawowych Problemów Techniki KIERUNEK: Matematyka stosowana PROGRAM STUDIÓW należy do obszaru w zakresie nauk ścisłych, dziedzina nauk matematycznych, dyscyplina matematyka, z kompetencjami
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoMODEL OCENY SYSTEMU REMONTU TECHNIKI WOJSKOWEJ
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LII NR 1 (184) 2011 Marian Brzeziń ski Wojskowa Akademia Techniczna MODEL OCENY SYSTEMU REMONTU TECHNIKI WOJSKOWEJ STRESZCZENIE W artykule scharakteryzowano
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoUCHWAŁA NR 71/2017 SENATU UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO z dnia 31 maja 2017 r.
UCHWAŁA NR 71/2017 SENATU UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO z dnia 31 maja 2017 r. zmieniająca uchwałę w sprawie efektów kształcenia dla kierunków studiów prowadzonych w Uniwersytecie Wrocławskim Na podstawie
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoKIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA
KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Wydział: Matematyki Kierunek studiów: Matematyka i Statystyka (MiS) Studia w j. polskim Stopień studiów: Pierwszy (1) Profil: Ogólnoakademicki (A) Umiejscowienie kierunku
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania
Podstawy Programowania dr Elżbieta Gawrońska gawronska@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej dr Elżbieta Gawrońska (ICIS) Podstawy Programowania 14 1 / 9 Plan wykładu 1 Sesja egzaminacyjna
Bardziej szczegółowoZakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji
Bardziej szczegółowoWykład 9: Markov Chain Monte Carlo
RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe
Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Teoria masowej obsªugi,
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoWarunki i tryb rekrutacji oraz limity miejsc na studia doktoranckie w roku akademickim 2008/2009
Załącznik nr 1 do uchwały nr 405 Senatu UZ z dn. 28.05.2008r. Warunki i tryb rekrutacji oraz limity miejsc na studia doktoranckie w roku akademickim 2008/2009 1 1. Na studia doktoranckie może być przyjęta
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań
TABELA ODNIESIEŃ EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA PROGRAMU KSZTAŁCENIA DO EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA OBSZARU KSZTAŁCENIA I PROFILU STUDIÓW PROGRAM KSZTAŁCENIA: POZIOM KSZTAŁCENIA: PROFIL KSZTAŁCENIA:
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoEFEKTY UCZENIA SIĘ DLA KIERUNKU INŻYNIERIA DANYCH W ODNIESIENIU DO EFEKTÓW UCZENIA SIĘ PRK POZIOM 6
EFEKTY UCZENIA SIĘ DLA KIERUNKU INŻYNIERIA DANYCH W ODNIESIENIU DO EFEKTÓW UCZENIA SIĘ PRK POZIOM 6 studia pierwszego stopnia o profilu ogólnoakademickim Symbol K_W01 Po ukończeniu studiów pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ NAUK O ZIEMI
Kierunki studiów: v Geografia v Geologia v Geofizyka WYDZIAŁ NAUK O ZIEMI studia pierwszego stopnia licencjackie Podstawowym kryterium kwalifikacji na studia jest zdany egzamin maturalny/dojrzałości. na
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoNajkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń)
Carl Adam Petri (1926-2010) Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń) Problemy statyczne Kommunikation mit Automaten praca doktorska (1962) opis procesów współbieżnych
Bardziej szczegółowoSTUDIA I STOPNIA ZOSTANĄ URUCHOMIONE JEŻELI ZGŁOSI SIĘ CO NAJMNIEJ 20 KANDYDATÓW
Załącznik B Zasady rekrutacji na stacjonarne studia pierwszego stopnia na makrokierunek BIOINFORMATYKA I BIOLOGIA SYSTEMÓW, prowadzony przez Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki, Biologii, Fizyki,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoI II III IV V VI VII VIII
Semestr Program I II III IV V VI VII VIII Liczba godzin Punkty ECTS Efekty kształcenia Przedmioty podstawowe PP-1 30 3 P8S_WG matematyka, fizyka, chemia, lub inne PP-2 30 3 P8S_WG Kurs dydaktyczny szkoły
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy Sylabus modułu: Matematyka A (0310-CH-S1-001)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy Sylabus modułu: Matematyka A (001) 1. Informacje ogólne koordynator modułu rok akademicki 2013/2014 semestr forma studiów
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowo4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 51 4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO 4.1. Rozkład wykładniczy Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa f ( x) = λe λx x 0,
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoPROGRAM STUDIÓW DOKTORANCKICH WYDZIAŁ W8. DYSCYPLINA INFORMATYKA I II III IV V VI VII VIII
Zał. nr 1 do ZW 11/2012 Semestr Program Przedmioty podstawowe matematyka, fizyka, PROGRAM STUDIÓW DOKTORANCKICH I II III IV V VI VII VIII Liczba godzin PP-1 30 6 chemia, lub inne PP-2 30 6 Kurs dydaktyczny
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoANKIETA SAMOOCENY OSIĄGNIĘCIA KIERUNKOWYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
Szanowny Studencie, ANKIETA SAMOOCENY OSIĄGNIĘCIA KIERUNKOWYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA bardzo prosimy o anonimową ocenę osiągnięcia kierunkowych efektów kształcenia w trakcie Twoich studiów. Twój głos pozwoli
Bardziej szczegółowo