Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, kurs 15h
|
|
- Wanda Zych
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wydział Elektroniki 015/016 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, kurs 15h LISTA 1 Listy zadań opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz 1. Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: a) A - wszystkie elementy są takiej samej jakości; b) B - co najmniej dwa elementy są takiej samej jakości; c) C - każdy element jest innej jakości. Czy zdarzenia A oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A oraz C są rozłączne?, czy B oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A B oraz C są równe?. Niech A k, k = 1,,..., n oznacza zdarzenie: k-ty podzespół w urządzeniu zbudowanym z n podzespołów jest sprawny. Zapisać zdarzenia: a) podzespół pierwszy i drugi są sprawne, pozostałe są zepsute; b) co najmniej jeden z podzespołów A 1 lub A jest zepsuty, pozostałe sprawne c) tylko jeden z A 1 oraz A jest zepsuty, pozostałe są sprawne. d) dokładnie podzespoły są sprawne. 3. Niech A, B, C oznaczają dowolne zdarzenia w (Ω, F, P ). Wykazać,że: a) P (A B C) = = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C); b) jeśli A B to P (Ā) P ( B); c) dla C = A B Ā B (C oznacza: zaszło tylko jedno ze zdarzeń A,B) zachodzi P (C) = P (A) + P (B) P (A B). 4. Wśród m losów; m 5 jest 5 wygrywających. Dla jakich m prawdopodobieństwo zdarzenia: zakupione losy będą wygrywające jest mniejsze niż Hasło dostępu składa się z 6 małych liter alfabetu o 5 znakach i cyfr na końcu. Jakie jest prawdopodobieństwo odgadnięcia hasła dla osoby, która wie, że ostatnia cyfra jest nieparzysta i hasło zawiera dokładnie litery w. 6. W pudle są kule białe i czarne. Razem jest ich n, n >. Ile powinno być kul czarnych, aby prawdopodobieństwo wylosowania (bez zwracania) dwóch kul różnych kolorów było takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru? 7. Rzucamy kostką sześcienną dopóki pojawi się 1 lub 6. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: 1 lub 6 pojawi się po raz pierwszy na parzystym miejscu. 8. O pracę w pewnej firmie ubiega się n osób. Poproszono 3 specjalistów, aby każdy niezależnie uszeregował je według przydatności do pracy. Do pracy zostanie przyjęta osoba, którą przynajmniej specjalistów umieści na pierwszym miejscu. Obliczyć prawdopodobieństwo,że jedna z n osób zostanie 1
2 przyjęta. 9. W produkcji firmy A jest 1% braków, zaś w produkcji firmy B jest ich %.Kupujemy jeden produkt firmy A oraz jeden firmy B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) przynajmniej jeden jest dobry; b) obydwa są dobre; c) tylko jeden z nich jest dobry. 10. Dwie osoby umawiają się na spotkanie. Każda z nich przychodzi w losowej chwili między godziną 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? Ile czasu powinna czekać każda z osób, aby prawdopodobieństwo spotkania było większe niż 0.75? 11. Pręt długości 40 cm zgięto w losowo wybranym punkcie pod kątem prostym, a następnie zgięto jeszcze w punktach tak, aby powstała prostokątna ramka o obwodzie 40 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramką jest: a) większe niż 75 cm?; b) równe 75 cm? Odpowiedzi do Listy 1. zad.1 Zdarzenia A, C są rozłączne; nie są przeciwne. Zdarzenia B, C są przeciwne; A B = C zad. a) A 1 A Ā3... Ān = A 1 A ( n k=3 A k ) b)(ā1 Ā) n k=3 A k c)(ā1 A Ā A 1 ) n k=3 A k d) i<j(a i A j n k=1 Ā k )i, j = 1,,..., n; k i; k j. zad.3 Wsk. a) A B C = (A B) C i zast. dwukrotnie wzór na sumę zdarzeń b)a B B Ā. c)zdarzenia A B oraz Ā B są rozłączne i A = (A B) (A B) to P (A B)+P (A B) = P (A). zad.4 m 7; zad ; zad.6 n n = n( n 1) lub n+ n, zadanie ma rozwiazanie gdy n jest kwadratem liczby naturalnej. zad.7 5 ; zad.8 P(A)= 3n n ; zad.9 a) 09998; b) 0.970; c) zad.10 odp., (wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne) 16 zad.11 odp. a) 1 ; b) 0, (wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne) LISTA 1. Wśród wyrobów firmy A jest 0.5% wadliwych, firmy B jest % wadliwych zaś firma C ma 1% wadliwych. Z partii towaru zawierającej 500 elementów firmy A,300 firmy B oraz 00 firmy C losujemy jeden element.obliczyć prawdopodobieństwo, że a) jest on dobry, b) jest dobry i pochodzi z firmy B,
3 c) wyprodukowała go firma C, jeśli wiemy,że jest dobry.. Dwie wyrzutnie W1 oraz W specjalnymi pociskami gaszą reaktor. W tym samym czasie gdy wyrzutnia W1 wyrzuca 9 pocisków to W wyrzuca 10. W1 trafia w cel z prawdopodobieństwem 0.8, zaś W z prawdopodobieństwem 0.7. Reaktor został trafiony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zrobiła to W? 3. Test na obecność pewnego wirusa w organizmie daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0.98, jeśli wirus jest w organizmie. Jeśli wirusa w organizmie nie ma to prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi Zakłada się, że 1 % populacji jest zarażona wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) test dał wynik pozytywny u losowo wybranej osoby z tej populacji; b) losowo wybrana osoba jest zarażona wirusem, jeśli test dał wynik pozytywny. 4. Wiadomo,że przeciętnie 5 % badanych elementów ma wadę. Do wykrycia wady wykorzystuje się następujący test. Jeśli element ma wadę to test w 90 % wskazuje jej istnienie ( wynik testu jest pozytywny) i w 90 % nie wskazuje wady,gdy element jej nie ma. Jakie jest prawdopodobieństwo, że element ma wadę,jeśli wynik testu jest pozytywny? Jakie będzie powyższe prawdopodobieństwo, jeśli element zostanie poddany testowi dwukrotnie i w obu przypadkach wynik testu będzie pozytywny? 5. Podać przykład przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P ), i wskazać dwa zdarzenia niezależne. 6. Wykazać,że jeśli zdarzenia A i B są niezależne to niezależne są A i B. 7. Uzasadnić,że jeśli P (A B) = P (A B) to zdarzenia A i B są niezależne. 8. Grupie studentów zadano pytanie: "czy ściągają na egzaminach?" i poproszono o odpowiedź z wykorzystaniem następujacej metody losowej. Polega ona na tym,że każdy student rzuca monetą :jeśli wypadnie orzeł i student nie ściąga to odpowiada :"NIE" w pozostałych przypadkach odpowiada :"TAK". Przyjmując,że 40% studentów ściąga,obliczyć prawdopodobieństwo,że losowo wybrana osoba odpowie "NIE".Jak oszacować procent studentów ściągających, jeśli w grupie było 0% odpowiedzi "NIE". 9. Dla zdarzeń A, B mamy P (A) = 1, P (B) = 1, P (B A) = 1 3. Obliczyć P (A B), P (Ā B), P (A B), P (B A B), P (A B B). 10. Zdarzenia A, B są niezależne oraz P (Ā) = 1, P (B) = Obliczyć P (A B), P (A B); P (Ā B), P (Ā A B). Odpowiedzi do Listy zad.1 a) ; b) 0.94; c) 0. zad zad.3 a) ; b) zad.4 a) 9 ; b) 0.81; 8 zad.6 P (A)P ( B) = P (A)(1 P (B)) = P (A) P (A B) = P (A B) bo A,B są niezależne oraz 3
4 A B i A B są rozłączne i ich sumą jest A. zad.8 P("NIE")=0.3; P(ściąga)=0.6; zad.9 5, 1, 1, 3, zad.10 1, 3, 5, LISTA 3 1. Z talii 5 kart losujemy bez zwracania karty. Jeśli wśród nich będą : piki to wygrywamy 0 punktów, jeśli tylko jeden pik wygrywamy 10 pkt,jeśli żadnego pika przegrywamy 5 pkt (wygrywamy -5 pkt). Niech zmienna losowa X oznacza wartość wygranej.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X.. Spośród 3 dobrych i wadliwych elementów losujemy jednocześnie 3 elementy.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę zmiennej losowej X, gdzie X jest liczbą wylosowanych elementów wadliwych. Z wykresu dystrybuanty odczytać: P (X > 1), P (1 X < 4). 3. Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się szóstka. Niech zmienna losowa X oznacza numer rzutu, w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X. Obliczyć a) P( X 10); b) P (X 10). 4. Sprawdzić, że podana funkcja F (x) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X F (x) = Obliczyć P (0 < X < 4), P (X = 4), P (X > 1). 5. Dla jakich stałych c, d funkcja 1 8 0, x 0 x + 1, gdy 0 < x , x > 4 x 0, x 0 F (x) = cx + d, gdy 0 < x 1 1, x > 1 a) jest dystrybuantą; b) jest dystrybuantą i funkcją ciągłą; c) narysować F (x) dla c = 1, d = 1 i dla zmiennej losowej X o takiej dystrybuancie obliczyć 4 P (0 X < 1), P (X = 0), P (X > 1), P ( 1 X < ). 6. Dla jakich stałych a, b funkcja a) jest dystrybuantą b) jest dystrybuantą i funkcją ciągłą Odpowiedzi do Listy 3 a, x 1 x F (x) = bx + 1, gdy 1 < x 1 1, x > 1 4
5 zad.1 P (X = 5) = , P (X = 10) =, P (X = 0) = , gdy t 5, 57, gdy 5 < t 10, F (t) = 10 96, gdy 10 < t , gdy t>0 zad. P(X=0)=0.1; P(X=1)=0.6; P(X=)=0.3 F (t) = 0, gdy t 0, 0.1, gdy 0 < t 1, 0.7, gdy 1 < t 1, gdy t> P (X > 1) = 0.3; P (1 X < 4) = 0.9. zad.3 X-numer rzutu w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy P (X = k) = 1 6 ( 5 6 )k 1, F (t) = k<t 1 6 ( 5 6 )k 1, k = 1,,...; t R, a) 1 F (10) = ( 5 6 )9 ; b) P (X 10) = F (11) = 1 ( 5 6 )10 ; zad.4 F (x) jest funkcją lewostronnie ciągłą, lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1, F (x) jest niemalejąca gdyż F (x) 0 dla x 0, x 4 i F (0) = 0 F (0 + ) = 1 4 i F (4) = 0.5 F (4 + ) = P (0 < X < 4) = = 0.5, P (X = 4) = F (4 + ) F (4) = 7 16, P (X > 1) = 1 F (1 + ) = 5 8, zad.5 a)c 0, d 0, c + d 1; b) c = 1, d = 1; c) 1 8, 1 4, 0, 7 8. zad.6a) a 0, 0 b 0.5, b 0.5 a, 6b)a = 0 i b = 0.5. LISTA 4 1. Spośród liczb 1,, 3,..., 0 losujemy 4 razy ze zwracaniem po jednej liczbie.obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wylosowanych liczb będą: a) co najmniej liczby mniejsze od 16; b) liczby podzielne przez 5; c) żadnej liczby większej niż 5. W każdym przypadku wykorzystać rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami.. Prawdopodobieństwo,że w każdej sekundzie pojawi się sygnał wynosi 3. Obliczyć prawdopodobieństwo: 5 a) w ciągu minut pojawią się 3 sygnały; 5
6 b) w ciągu minut pojawią się co najmniej sygnały. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pojawień się sygnału w przeciągu 11s, 1s a jaka w przeciagu 14 s? 3. Partia towaru zawiera 1 % braków. Ile elementów należy sprawdzić, aby prawdopodobieństwo wykrycia co najmniej jednego braku było większe niż Prawdopodobieństwo, że wyprodukowana płytka będzie wadliwa wynosi p=0.0. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii 100 płytek są co najwyżej wadliwe? Podaj rozwiązanie dokładne i przybliżone rozkładem Poissona. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wadliwych płytek w partii 100 płytek. 5. Prawdopodobieństwo, że adresat zakupi towar z otrzymanej pocztą reklamy wynosi Reklamę wysłano do do 500 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) towar zakupią 4 osoby b) mniej niż 4 osoby. Podać rozwiązanie dokładne i przybliżone rozkładem Poissona. 6. Liczba samochodów, które ulegają wypadkowi w ciągu jednego dnia w danym mieście i wymagają naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z parametrem λ = 10. Ile miejsc do naprawy należy przygotować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0.95 było wolne miejsce dla uszkodzonego samochodu. 7. Liczba awarii w pracowni komputerowej, w ciągu dnia jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 4. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba awarii? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 10 dni będą dni, z liczbą awarii równą 8? 8*. Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w m komputerach? Wykonaj obliczenia dla λ = 8, p=0.15, m=10. Odpowiedzi do Listy 4 zad.1 a) "sukces"-wylosowanie liczby mniejszej niż 16; X-liczba sukcesów wśród wylosowanych 4 liczb; X B(4, 3 43 ); P (X ) = ; 4 56 b) Y B(4, 1 ), P (Y = ) = 96/65; 5 c) Z B(4, 1 ), P (Z = 4) = 1/56 4 zad. X-liczba sygnałów w ciągu min. X B(10, 3 ), najbardziej prawdopodobna liczba sygnałów 5 to odpowiednio: 73; 73; 74 lub 75. zad.3 n 30, zad.4 X-liczba elementów wadliwych wśród 100 elementów; X B(100; 0.0); P (X ) = (0.98) (0.98) (0.0) (0.98) z rozkładu Poissona z λ = mamy P (X ) = , k 0 =. zad.6 X-liczba uszkodzonych samochodów P (X n) > 0.95, z tablic rozkładu Poissona dla λ = 10 odczytujemy : n 15. zad.7 Niech X- liczba awarii komputerów w ciągu dnia, p = P (X = 8) = , 6
7 Y-liczba dni wsród 10 dni z liczba awarii komputerów równą 8, Y B(10, p) P (Y = ) = zad.8* z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy (pλ)m m!e pλ. LISTA 5 1. Dla jakiej stałej a funkcja a( x), gdy 1 < x < a) f(x) = 0, gdy x 1 lub x b) f(x) = ae x jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. W przykładach a), b) znaleźć dystrybuntę zmiennej losowej X, naszkicować wykres gęstości oraz dystrybuantę. Obliczyć P (1 < X < 5), P (X < 0 X > 1).. Czas pracy diody jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z α = Wiadomo, że dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie jest prawdopodobieństwo, że popracuje co najmniej 6000h? 3. Prawdopodobieństwo wykrycia awarii urządzenia w czasie krótszym niż t minut wynosi F (t) = 1 e 5t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wykrycie awarii potrzeba: a) więcej niż 4 min. b) więcej niż 4,ale mniej niż 6 min. c) co najwyżej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z prawdopodobieństwem większym niż 0.5? 4. Narysować funkcję gęstości zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,). Obliczyć, korzystając z tablic statystycznych : P ( 1 X 1), P (X > ), P ( 3 X 1), P (X 5), P (X > 10), P ( X > ). 5. Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(1000,100).Jaki powinien być okres gwarancji, aby na 99% miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji? 6. Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,σ).Dobrać σ,aby drukarka działała co najmniej 900 dni z prawdopodobieństwem W windach osobowych jest napis: "maksymalne obciążenie 7 osób albo 500 kg". Zakładając,że waga pasażera ma rozkład N(70,4) obliczyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg. 8. Czasy pracy każdego z n elementów są niezależne i mają taki sam rozkład wykładniczy z parametrem α = Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy układu złożonego z n elementów połączonych równolegle, zaś zmienna losowa Y czas pracy układu złożonego z n elementów połączonych szeregowo. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość X oraz Y. 9. Czas oczekiwania na połączenie z serwerem dla każdego użytkownika ma rozkład wykładniczy z α =0. s. Z serwera korzysta jednocześnie i niezależnie 100 użytkowników. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: najkrótszy z czasów oczekiwania na połączenie jest większy niż 5s; najdłuższy mniejszy niż 10s. 7
8 10. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla następujących zmiennych losowych: a) zmienna losowa X każdą z wartości 1,,3,4 przyjmuje z takim samym prawdopodobieństwem; b) P( Y = -)= P( Y = 0)= 0.1; P( Y = )=0.8; c) W jest wygraną loterii gdzie jest n 1 losów na które pada wygrana x 1, n losów na które pada wygrana x,..., n k losów na które pada wygrana x k. 11. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o dystrybuancie : 0, gdy x 1, 0, gdy x 1, a) F (x) = x 1, gdy 1 < x < 4 1 b) F (x) = (x + 1), gdy 1 < x < 4 1, gdy x 4 1 1, gdy x x 1. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o gęstosci: 8, gdy 1 < x < 0, gdy x 0 a) f(x) = 3x 3 b) f(x) = x, gdy 0 < x 1 0, gdy x 1 lub x 3, gdy x > 1 x Wiedząc,że: EX = 1, EX = 3 obliczyć: varx, E(4X 1), var(3x 1), E( X ), var( X ). 14. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Dla jakich stałych A, B zmienna losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. 15. Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest największa? 16. Dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z α = wyznaczyć medianę oraz kwantyl rzędu 3. Jaka jest interpretacja otrzymanych wartości? Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [1, 4]. Wyznaczyć dystrybuantę oraz gęstość zmiennej losowej Y = X. Obliczyć E X 18*. Układ składa się z n elementów połączonych równolegle. Czasy działania kolejnych elementów to niezależne zmienne losowe X 1,..., X n o takim samym rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,10]. Jaka jest najmniejsza liczba elementów n, dla której wartość oczekiwana czasu Y działania całego układu jest większa lub równa 8? Odpowiedź uzasadnij. Odpowiedzi do Listy 5 zad.1 a) a=/9 0, gdy t 1, 4 F (t) = 9 t 1 9 t + 5, gdy 1 < t, 9 1, gdy t >. P (1 < X < 5) = 1 9, P (X < 0 X > 1) = 3 ; b) a=1/ 1 F (t) = et, gdy t e t, gdy t > 0 P (1 < X < 5) = 1 (e 1 e 5 ), P (X < 0 X > 1) = 1 (1 + e 1 ). zad. P (X > 5000) = e.5 ; 8
9 zad.3 a) P (X > 4) = e 0 ; b) P (4 < X < 6) = e 0 e 30 ; c) P (X 5) = 1 e 5 ; P (X < T ) 0.5 dla T 0. ln(). zad.4 P ( 1 < X < 1) = Φ() Φ(1) = P (X > ) = 1 Φ(0.5) = 03085; P ( 3 < X < 1) = ; P (X < 5) = Φ(4) = 1; P (X > 10) = 1; P ( X > ) = 1 Φ(.5) + Φ(0.5) zad.5 co najwyżej 767 dni zad.6 Φ( 100 ) 0.95, σ 61, σ zad , zad.8 X = max(x 1, X,..., X n ); Y = min(x!, X,..., X n ) 0, gdy t < 0 F X (t) = (1 e tα ) n, gdy t 0 0, gdy t < 0 f X (t) = nαe tα (1 e tα ) n 1, gdy t > 0 0, gdy t < 0 F Y (t) = 1 e ntα, gdy t 0 0, gdy t < 0 f Y (t) = nαe ntα, gdy t > 0 zad.9 a) , b) zad.10 a)ex= 5, varx= 5 4 ; b) EY=1.4, vary=1.64 c) EW = 1 Ni=1 x N i n i,, varw = 1 Ni=1 x N i n i (EW ) zad.11 a) EX= 7 34, varx= ; 3 45 zad.1 a) EX = 4, varx = 8 ln b) EX = 1 0 x dx x 3 dx = 13, 1 EX = 1 0 x3 dx x dx = 7 4 V arx = zad.13 ; -5; 3; 0; 8. zad.14 A = 1 albo A = 1 ; b a b a zad.15 p=0.5 B = 1 A (a + b). zad.16 mediana=ln, kwantyl rzędu 3 4 = ln zad.17 F Y (x) = P (Y < x) = P ( X < x) = F X (x ) F Y (x) = 0, x 1 x 1 3, gdy 1 < x 1, x > 9
10 f Y (x) = x 1 < x < 3 0, poza E X = 14 9 LISTA 6 1. Prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie wynosi 0.9. Oszacować: a) wykorzystując nierówność Czebyszewa; b) centralne twierdzenie graniczne prawdopodobieństwo,że w 400 niezależnych próbach liczba porażek będzie większa niż 30 i mniejsza niż Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi 0.5. Ile prób należy wykonać,aby prawdopodobieństwo,że liczba sukcesów odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 0% wszystkich prób było większe od 0.8? 3. Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany detal okaże się dobry wynosi 0.9. Ile elementów należy wyprodukować,aby prawdopodobieństwo, że będzie wśród nich co najmniej 50 dobrych było większe niż Komputer dodaje 100 liczb rzeczywistych przedtem każdą zaokrąglając do najbliższej liczby całkowitej.zakładamy, że błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd w obliczaniu sumy będzie większy niż 5 i mniejszy niż 10? 5. Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = Jakie jest prawdopodobieństwo,że zapas 100 diod wystarczy na co najmniej godzin pracy? 6. Korzystając ze zdjęć satelitarnych mierzono odległości między obiektami. Niech X 1, X,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi opisującymi wyniki kolejnych pomiarów. Założono,że EX k = d, varx k = 1, k=1.,...,n. Za oszacowanie odległości d przyjęto Y n = 1 n X k n k=1 Ile pomiarów należy wykonać, aby P ( Y n d 0.1) Jeśli gracz wyrzuci kostką sześcienną 6 oczek to wygrywa 4 zł, w przypadku innej liczby oczek przegrywa 1 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 500 rzutach przegra więcej niż 00 zł? 8. Zmienne losowe X 1, X,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.5 Jakie jest prawdopodobieństwo, że Σ100 k=1x k przyjmie wartości mniejsze niż 4 i większe niż 3.5. Dla jakiego n, 1 n Σn k=1x k odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 1,z prawdopodobieństwem większym niż 0.9? 9. Liczba awarii sieci energetycznej w ciagu doby jest zmienną losową X k, k = 1,,...o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 4. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciagu 00 dób liczba awarii będzie większa niż 700 i mniejsza niż 850? (Zast.centralne tw.graniczne). 10
11 b) Do czego zmierza według prawdopodobieństwa 1 n nk=1 X k gdy n? 10. Czasy produkcji (w sek.) elementów X k, k = 1,,... są niezależymi zmiennymi losowymi i mają rozkład normalny N(1, 3). a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas produkcji 100 elementów będzie dłuższy niż 1150 sek. i krótszy niż 1300 sek. Zastosować centralne tw.graniczne. b) Do czego zmierza według prawdopodobieństwa 1 n nk=1 X k gdy n? 11. Czas kontroli (w sek.) jednego wyrobu jest zmienną losową o gęstości 0, gdy x 0 f(x) = x, gdy 0 < x 1 3, gdy x > 1 x 4 Przerwa po kontroli (w sek.) każdego wyrobu jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,]. Czasy kontroli wyrobów oraz czasy przerw tworzą niezależne ciągi niezależnych zmiennych losowych. Oszacuj prawdopodobieństwo, że kontrola 144 wyrobów wraz z 144 przerwami będzie trwała krócej niż 30 sek. Odpowiedzi do Listy 6 zad.1 a)większe niż ; b) 1 zad. z nierówności Czebyszewa n 4 zad.3 n 60 zad.4 Φ(1) Φ(0.5) = zad.5 Φ()=0.977 zad.6 z nierówności Czebyszewa n 10000, z centralnego tw.granicznego n 666 zad.7 Φ(.8) = zad.8 n 44 zad.9 a) Φ(1, 77) Φ( 3.53) = 0, 96, b) 4 zad.10 a) Φ(3.33) Φ( 1.66) = 0, 95, b) 1 zad.11 Φ(1, 75) = 0, 9599 LISTA 7 1. Łączny rozkład wektora losowego (X, Y ), gdzie zmienna losowa X jest liczbą spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej opisuje tabela X/ Y
12 a) Obliczyć P ((X, Y ) (0, 0), (, 1)}). b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennej losowej X oraz Y. Ile wynosi P (X = 1), P (Y = 0). Obliczyć EX, EY. c) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne? d) Oliczyć kowariancję i wspólczynnik korelacji zmiennych X, Y.. Gęstośc wektora losowego (X,Y)jest postaci: f(x, y) = 3 8 (x y + y), gdy 0 x 1, 0 y Obliczyć P (0.5 < X < 1, 1 < Y < ), P (Y > 1), P (X > 0.5 Y < 1), P (Y > X). 3. Czy można dobrać stałą c, aby funkcja cy f(x, y) = cosx, gdy π x π, 0 y była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej? Jeśli tak, to: a) znaleźć rozkłady brzegowe b) wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X,Y. Czy X,Y są niezależne? 4. Wektor losowy (X,Y) ma funkcję gęstości postaci: Obliczyć EX. f(x, y) = ye x, gdy x > 0, 0 < y < 1 5. Wektor losowy (X,Y) ma funkcję gęstości postaci: f(x, y) = Obliczyć P (X < 1, Y < 1 ), P (Y < X), EY xy, gdy 0 < x < 1, x3 < y < 1 6. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach w punktach (-1,0); (1,0); (0,). Wyznaczyć gęstość wektora losowego (X,Y). Sprawdzić, czy zmienne losowe X oraz Y są niezależne? Jaki jest ich współczynnik korelacji? 7. Gęstość wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem f(x, y) = 1 x +y π e. a)czy zmienne losowe X, Y są niezależne? b)obliczyć P (X > 1.) c)obliczyć P (X, Y ) A gdzie A = (x, y) : x + y < 1. d)jaki jest współczynnik korelacji zmiennych losowych X,Y? 1
13 8. Współczynnik korelacji zmiennych losowych X,Y wynosi 0.5. Jaki współczynnik korelacji mają zmienne losowe 4X 3, Y + 4? Odpowiedzi do Listy 7 zad.1 a) 0.93 b) P (X = 1) = 0.04, P (Y = 0) = 0.93 EX = 0.14, EY = 0.1, c) X, Y nie są niezależne. X/ Y 0 1 rozklad X rozklad Y d) cov(x, Y ) = E(XY ) EX EY = 0.16 varx = 0.04, vary = 0.15, ρ(x, Y ) = zad. P (0.5 < X < 1, 1 < Y < ) = 57 ; P (Y > 1) = 0.75; 18 P (X > 0.5 Y < 1) = 19 ; P (Y > X) = 0.9 zad.3 c = cosx, gdy π f X (x) = < x < π 3 f Y (y) = 8 y, gdy 0 < y < Zmienne losowe są niezależne zatem cov(x, Y ) = ρ(x, Y ) = 0. zad.4 EX=1; zad.5 P (X < 0.5, Y < 0.5) = , P (Y < X) = 1 3, EY = zad.6 f(x, y) = f X (x) = f Y (y) = Zmienne X,Y są zależne. cov(x,y)=0, ρ(x, Y ) = 0 zad.7 a)x, Y sa niezależne, b) c) 1 1 e, d) ρ(x, Y ) = 0 zad.8 ρ(x, Y ) = 0.5 1, gdy (x, y)ɛ 0, (x, y) / x + 1, gdy 1 x 0 x + 1, gdy 0 x 1 0, poza 1 y 3 y8 dy = I to już wszystko. 13
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 1 1.Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia
Bardziej szczegółowo5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3
LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa MAP4702
Wydział Mechaniczny 2014/2015 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP4702 Listy zadań opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1. J.Jakubowski, R.Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla prawie każdego,script,
Bardziej szczegółowoI STATYSTYKA STOSOWANA, LISTA 1
I STATYSTYKA STOSOWANA, LISTA 1 1.Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowo4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1
LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA STOSOWANA MAP1079
STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079 LISTY ZADAŃ opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1.J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT, Warszawa
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY 2018/2019 STATYSTYKA STOSOWANA, MAT1501 LISTY ZADAŃ opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY 2018/2019 STATYSTYKA STOSOWANA, MAT1501 LISTY ZADAŃ opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1.J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych
Bardziej szczegółowoLista 1 - Prawdopodobieństwo
Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 6.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 28/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 6: Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Przykłady
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO 2017/2018 STATYSTYKA STOSOWANA, MAT1505 LISTY ZADAŃ opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz
WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO 2017/2018 STATYSTYKA STOSOWANA, MAT1505 LISTY ZADAŃ opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1.J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowo5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucona na pokratkowaną kartkę papieru(kratki 2 2) moneta o średnicy 1 nie dotknie żadnej linii.
ELEKTRONIKA Rachunek Prawdopodobieństwa(MAP5) LISTA. (Przestrzeń zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Niezależność zdarzeń). Niech A,
Bardziej szczegółowoI. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,
I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo I.1 Mała Lusia bawi się literkami A,A,A,E,K,M,M,T,T,Y ustawiając je w różnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia wyrazu MATEMATYKA? I. Wśród funkcji
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoa)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.
Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 8: Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoElektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy
Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Rachunek prawdopodobieństwa MAP064 Wydział Elektroniki, rok akad. 08/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 7: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowog) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.
TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółowoWartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoI. Analiza danych. I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych:
I. Analiza danych I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych: 225, 223, 224, 220, 221, 218, 215, 219, 220, 221, 222, 220, 222,
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoRozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)
Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 05/6, semestr letni, Grupy powtarzających (C5; C6) Lp Grupa C5 Grupa C6 Liczba godzin 0046 w godz 600-000 C03 0046 w godz 600-000 B05 4 6046 w godz
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoDrugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
IMIE I NAZWISKO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 100 ZADANIE 1 (5 PKT) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A na każdej kostce wypadła
Bardziej szczegółowoPrzykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowo