RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
|
|
- Dominik Wróbel
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 1 1.Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: a) A - wszystkie elementy są takiej samej jakości; b) B - co najmniej dwa elementy są takiej samej jakości; c) C - każdy element jest innej jakości. Czy zdarzenia A oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A oraz C są rozłączne?, czy B oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A B oraz C są równe? 2.Niech A k, k = 1, 2,..., n oznacza zdarzenie: k-ty podzespół w urządzeniu zbudowanym z n podzespołów jest sprawny. Zapisać zdarzenia: a) podzespół pierwszy i drugi są sprawne, pozostałe są zepsute; b) co najmniej jeden z podzespołów A 1 lub A 2 jest zepsuty, pozostałe sprawne c) tylko jeden z A 1 oraz A 2 jest zepsuty, pozostałe są sprawne. d) dokładnie 2 podzespoły są sprawne. 3.Niech A, B, C oznaczają dowolne zdarzenia w Ω. Wykazać,że: a) P (A B C) = = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C); b) jeśli A B to P (A ) P (B ); c) dla C = A B A B (C oznacza: zaszło tylko jedno ze zdarzeń A,B) zachodzi P (C) = P (A) + P (B) 2P (A B). 4.Rzucamy kostką sześcienną dopóki pojawi się 1 lub 6. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: 1 lub 6 pojawi się po raz pierwszy na parzystym miejscu. 5.Wśród m losów; m 5 jest 5 wygrywających. Dla jakich m prawdopodobieństwo zdarzenia: zakupione 2 losy będą wygrywające jest mniejsze niż O pracę w pewnej firmie ubiega się n osób. Poproszono 3 specjalistów, aby każdy niezależnie uszeregował je według przydatności do pracy. Do pracy zostanie przyjęta osoba, którą przynajmniej 2 specjalistów umieści na pierwszym miejscu. Obliczyć prawdopodobieństwo,że jedna z n osób zostanie przyjęta. 1
2 Odpowiedzi. zad.1 Zdarzenia A,C są rozłączne; nie są przeciwne. Zdarzenia B,C są przeciwne; A B = C. zad.2 a) A 1 A 2 A 3... A n = A 1 A 2 ( n k=3 A k ) b)(a 1 A 2) n k=3 A k c)(a 1 A 2 A 2 A 1 ) n k=3 A k d) i<j(a i A j n k=1 A k)i, j = 1, 2,..., n; k i; k j. zad.3 Wsk. a) A B C = (A B) C zast. 2 razy wzór na sumę b)a B B A. c) Zdarzenia A B oraz A B są rozłączne i A = (A B) (A B ) to P (A B ) + P (A B) = P (A). zad.4 2 3n 2 ; zad.5 m 7; zad.6 P(A)= 5 n 2 LISTA 2 1.W produkcji firmy A jest 1% braków, zaś w produkcji firmy B jest ich 2%.Kupujemy produkt firmy A oraz B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) przynajmniej jeden jest dobry; b) obydwa są dobre; c) tylko jeden z nich jest dobry. 2.Dwie osoby umawiają się na spotkanie. Każda z nich przychodzi w losowej chwili między godziną 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? Ile czasu powinna czekać każda z osób, aby prawdopodobieństwo spotkania było większe niż 0.75? 3.Drut długości 40 cm zgięto w losowo wybranym punkcie pod kątem prostym, a następnie zgięto jeszcze w 2 punktach tak, aby powstała prostokątna ramka o obwodzie 40 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramką jest większe niż 75 cm 2? 4.Wśród wyrobów firmy A jest 0.5% wadliwych, firmy B jest 2% wadliwych zaś firma C ma 1% wadliwych. Z partii towaru zawierającej 500 elementów firmy A,300 firmy B oraz 200 firmy C losujemy jeden element.obliczyć prawdopodobieństwo, że a) jest on dobry, b) jest dobry i pochodzi z firmy B, c) wyprodukowała go firma C, jeśli wiemy,że jest dobry. 5.Dwie wyrzutnie W1 oraz W2 specjalnymi pociskami gaszą reaktor. W tym samym czasie gdy wyrzutnia W1 wyrzuca 9 pocisków to W2 wyrzuca 10. W1 trafia w cel z prawdopodobieństwem 0.8, zaś W2 z prawdopodobieństwem 0.7. Reaktor ugaszono. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zrobiła to W2? 2
3 6.Test na obecność pewnego wirusa w organizmie daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0.98, jeśli wirus jest w organizmie. Jeśli wirusa w organizmie nie ma to prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi Zakłada się, że 1 % populacji jest zarażona wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) test dał wynik pozytywny u losowo wybranej osoby z tej populacji; b) losowo wybrana osoba jest zarażona wirusem, jeśli test dał wynik pozytywny. 7.Wiadomo,że przeciętnie 5 % badanych elementów ma wadę. Do wykrycia wady wykorzystuje się następujący test. Jeśli element ma wadę to test w 90 % wskazuje jej istnienie ( wynik testu jest pozytywny) i w 90 % nie wskazuje wady,gdy element jej nie ma. Jakie jest prawdopodobieństwo, że element ma wadę,jeśli wynik testu jest pozytywny? Jakie będzie powyższe prawdopodobieństwo, jeśli element zostanie poddany testowi dwukrotnie i w obu przypadkach wynik testu będzie pozytywny? Odpowiedzi zad.1 a) 09998; b) ; c) zad.2 odp zad.3 odp. 1 2 ( w zad.2,3 wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne) zad.4 a) ; b) 0.294; c) 0.2 zad.5 odp zad.6 a) ; b) zad.7 odp ; LISTA 3 1. Podać przykład (Ω, P ), i w niej dwóch zdarzeń niezależnych. 2. Wykazać,że jeśli zdarzenia A i B są niezależne to niezależne są A i B. 3.Uzasadnić,że jeśli P (A B) = P (A B ) to zdarzenia A i B są niezależne. 4. Grupie studentów zadano pytanie: czy ściągają na egzaminach? i poproszono o odpowiedź z wykorzystaniem metody losowej. Polega ona na tym,że każdy student rzuca monetą :jeśli wypadnie orzeł i student nie ściąga to odpowiada : NIE w pozostałych przypadkach odpowiada : TAK. Przyjmując,że 40% studentów ściąga,obliczyć prawdopodobieństwo,że losowo wybrana osoba odpowie NIE.Jak oszacować procent studentów ściągających, jeśli w grupie było 20% odpowiedzi NIE. 5. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 2 karty. Jeśli wśród nich będą : 2 piki to wygrywamy 20 punktów, jeśli tylko jeden pik wygrywamy 10 pkt,jeśli żadnego przegrywamy 5 pkt (wygrywamy -5 pkt). Niech zmienna losowa X oznacza wartość wygranej.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz 3
4 dystrybuantę X. 6. Spośród liczb 1,2,3,...,20 losujemy 4 razy ze zwracaniem po jednej liczbie.obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wylosowanych liczb będą: a) co najmniej 2 liczby mniejsze od 16; b) 2 liczby podzielne przez 5; c) żadnej liczby większej niż 5. W każdym przypadku wykorzystać rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami. 7.Prawdopodobieństwo,że w każdej sekundzie pojawi się sygnał wynosi 3 5. Obliczyć prawdopodobieństwo,że; a) w ciągu 2 minut pojawią się 3 sygnały; b) w ciągu 2 minut pojawią się co najmniej 2 sygnały. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pojawień się sygnału w przeciągu 121s, 122s a jaka w przeciagu 124 s? 8.Partia towaru zawiera 1 % braków. Ile elementów należy sprawdzić, aby prawdopodobieństwo wykrycia co najmniej jednego braku było większe niż Spośród 3 dobrych i 2 wadliwych elementów losujemy jednocześnie 3 elementy.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę zmiennej losowej X, gdzie X jest liczbą wylosowanych elementów wadliwych. Z wykresu dystrybuanty odczytać: P (X > 1), P (1 X < 4). 10.Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się szóstka. Niech zmienna losowa X oznacza numer rzutu, w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X. Obliczyć a) P( X 10); b) P (X 10). 11.Liczba samochodów, które ulegają wypadkowi w ciągu jednego dnia w danym mieście i wymagają naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z parametrem λ = 10. Ile miejsc do naprawy należy przygotować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0.95 było wolne miejsce dla uszkodzonego samochodu. 12.Urządzenie produkuje element wadliwy z prawdopodobieństwem p=0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii 100 elementów są co najwyżej 2 wadliwe? Podaj rozwiązanie dokładne i przybliżone rozkładem Poissona. 4
5 Odpowiedzi zad.2 P (A)P (B ) = P (A)(1 P (B)) = P (A) P (A B) = P (A B ) bo A,B są niezależne oraz A B i A B są rozłączne i ich sumą jest A. zad.4 P( NIE )=0.3; P(ściąga)=0.6 zad.5 P (X = 5) = , P (X = 10) = 102 F (t) =, P (X = 20) = , gdy t 5,, gdy 5 < t 10,, gdy 10 < t 20 1, gdy t zad.6 a) sukces -wylosowanie liczby mniejszej niż 16; X-liczba sukcesów wśród wylosowanych 4 liczb; X B(4, ); P (X 2) = ; b) Y B(4, 1 ), P (Y = 2) = 96/625; 5 c) Z B(4, 1 ), P (Z = 4) = 1/256 4 zad.7 X-liczba sygnałów w ciągu 2 min. X B(120, 3 ), najbardziej prawdopodobna 5 liczba sygnałów to odpowiednio: 73; 73; 74 lub 75. zad.8 n 230, zad.9 P(X=0)=0.1; P(X=1)=0.6; P(X=2)=0.3 F (t) = 0, gdy t 0, 0.1, gdy 0 < t 1, 0.7, gdy 1 < t 2 1, gdy t 2 P (X > 1) = 0.3; P (1 X < 4) = 0.9. zad.10 X-numer rzutu w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy P (X = k) = 1( )k 1, F (t) = k<t 1( )k 1, k = 1, 2,...; tɛr; a) 1 F (10) = ( 5 6 )9 ; b) P (X 10) = F (11) = 1 ( 5 6 )10 ; zad.11 X-liczba uszkodzonych samochodów P (X n) > 0.95, z tablic rozkładu Poissona dla λ = 10 odczytujemy : n 15. zad.12 X-liczba elementów wadliwych wśród 100 elementów; X B(100; 0.02); P (X 2) = (0.98) (0.98) (0.02) 2 (0.98)98, z rozkładu Poissona z λ = 2 mamy P (X 2) = LISTA 4 1*.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w m komputerach? Wykonaj obliczenia dla λ = 8, p=0.125, m=10. 5
6 2.Czy można dobrać stałe a, b ; aby funkcja F(t) była dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej? a) a e t, gdy t 1, F (t) = e 1, gdy 1 t < 1, b(3 2 ), gdy t > 1. t b) F (t) = a + barctgt. 3.Dla jakiej { wartości a funkcja a(2 x), gdy 1 < x < 2 a) f(x) = 0, gdy x 1 lub x 2 b) f(x) = ae x jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. Dla przykładu a) oraz b) znaleźć dystrybuntę zmiennej losowej X, naszkicować wykresy gęstości oraz dystrybuantę. Obliczyć P (1 < X < 5), P (X < 0 X > 1). 4.Dzienne zużycie energii (w setkach kwh) pewnej firmy jest zmienną losową X o gęstości: f(x) = { 1 (3 + 2x 9 x2 ), gdy 0 < x < 3, 0, gdy x 0 lub x 3 Jakie jest prawdopodobieństwo, że zużycie energii w ciągu dnia jest: większe niż 50 kwh; między 100 a 200 kwh. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 30 dni jest 10 dni, w których zużycie energii przekroczy 200 kwh. 5.Czas pracy diody jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z α = Wiadomo, że dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie jest prawdopodobieństwo, że popracuje co najmniej 6000h? 6.Prawdopodobieństwo wykrycia awarii urządzenia w czasie krótszym niż t minut wynosi F (t) = 1 e 5t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wykrycie awarii potrzeba: a) więcej niż 4 min. b) więcej niż 4,ale mniej niż 6 min. c) co najwyżej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z prawdopodobieństwem większym niż 0.5? 6
7 7.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,2) wyznaczyć, korzystając z tablic: P ( 1 X 1), P (X > 2), P ( 3 X 1), P (X 5), P (X > 10), P ( X > 2). 8.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m,σ) obliczyć P ( X m < σ). 9.Czas oczekiwania na połączenie telefoniczne w pewnej centrali dla każdego abonenta ma rozkład wykładniczy z α =0.2 s. Z centrali korzysta jednocześnie i niezależnie 100 abonentów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: najkrótszy z czasów oczekiwania na połączenie jest większy niż 5s; najdłuższy mniejszy niż 10s. 10.Czasy pracy każdej z n żarówek są niezależne i mają taki sam rozkład wykładniczy z parametrem α = Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy układu złożonego z n żarówek połączonych równolegle, zaś zmienna losowa Y czas pracy układu złożonego z n żarówek połączonych szeregowo. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość X oraz Y. Odpowiedzi zad.1 z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy (pλ)m. m!e pλ zad.2 a) nie; b) tak; a = 1/2; b = 1/π zad.3 a) a=2/9 0, gdy t 1, 4 F (t) = 9 t 1 9 t2 + 5, gdy 1 < t 2, 9 1, gdy t > 2. P (1 < X < 5) = 1, P (X < 0 X > 1) = 2; 9 3 b) a=1/2 { 1 F (t) = 2 et, gdy t e t, gdy t > 0 P (1 < X < 5) = 1 2 (e 1 e 5 ), P (X < 0 X > 1) = 1(1 + 2 e 1 ). zad.5 P (X > 5000) = e.5 ; zad.6 a) P (X > 4) = e 20 ; b) P (4 < X < 6) = e 20 e 30 ; c) P (X 5) = 1 e 25 ; P (X < T ) 0.5 dla T 0.2 ln(2). zad.7 P ( 1 < X < 1) = Φ(2) Φ(1) = P (X > 2) = 1 Φ(0.5) = 03085; P ( 3 < X < 1) = ; P (X < 5) = Φ(4) = 1; P (X > 10) = 1; P ( X > 2) = 1 Φ(2.5)+Φ(0.5) zad.8 2Φ(1) 1 = zad.10 X { = max(x 1, X 2,..., X n ); Y = min(x!, X 2,..., X n ) 0, gdy t < 0 F X (t) = (1 e tα ) n, gdy t 0 7
8 { 0, gdy t < 0 f X (t) = nαe tα (1 e tα ) n 1, gdy t > 0 { 0, gdy t < 0 F Y (t) = 1 e ntα, gdy t 0 { 0, gdy t < 0 f Y (t) = nαe ntα, gdy t > 0 LISTA 5 1.Na loterii jest n 1 losów na które pada wygrana x 1, n 2 losów na które pada wygrana x 2,..., n k losów na które pada wygrana x k. Wszystkich losów jest N. Wartość oczekiwana wygranej X przy jednokrotnym losowaniu jest równa połowie ceny losu. Obliczyć cenę losu.czy warto wziąć udział w takiej loterii. 2.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Jaka jest jej wartość oczekiwaną i wariancję. Wyznaczyć stałe A, B takie, że zmienna losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. 3.Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla następujących zmiennych losowych: a) zmienna losowa X każdą z wartości 1,2,3,4,5,6 przyjmuje z takim samym prawdopodobieństwem; b) P( Y = -2)= P( Y = 0)= 0.1; P( Y = 2)= 0.8; c) dystrybuanta zmiennej losowej Z jest postaci: 0, gdy x 1, F (x) = x 1, gdy 1 < x < 4 1, gdy x 4 d) zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem α. 4.Dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z α = 2 wyznaczyć medianę oraz kwantyl rzędu 3.Jaka jest interpretacja otrzymanych wartości? 4 5.Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest największa? 6.Wiedząc,że: EX= -1, EX 2 = 3 wyznaczyć: varx, E(4X-1), var(4x-1), E(-2X-2), var(-2x-2). 8
9 7*.Rzucamy kostką sześcienną. Niech X oznacza numer rzutu, w którym ścianka z 2 oczkami wypadła po raz pierwszy. Jaka jest EX oraz varx? 8.Prawdopodobieństwo,że obroty firmy jednego dnia przekroczą 1 mln zł wynosi 0.2.Jaka jest oczekiwana, a jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba dni z obrotami większymi niż 1 mln w ciągu 24 dni pracy firmy? Odpowiedzi: zad.1 c = 2EX = 1 Ni=1 x N i n i, nie warto,ponieważ cena losu jest większa niż wartość oczekiwana wygranej. zad.2 EX = a+b (b a)2, varx =, A = 1 albo A = 1 ; B = 1 A (a + b) b a b a 2 2 zad.3 a)ex= 7 35, varx = ; b) EY=1.4, vary= c)ex= 7 34, varx= ; d) 3 45 EX=α 1 ;varx=α 2. zad.4 mediana=ln 2, kwantyl rzędu 3 = ln 2; zad.5 p=0.5; 4 zad.6 2; -5; 32; 0; 8. zad.7 EX=6, varx=30; zad.8 EX=4.8,k 0 = 4lubk 0 = 5. LISTA 6 1.Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(1000,100).Jaki powinien być okres gwarancji, aby na 99% miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji? 2.Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,σ).Dobrać σ,aby drukarka działała co najmniej 900 dni z prawdopodobieństwem W windach osobowych jest napis: maksymalne obciążenie 7 osób albo 500 kg. Zakładając,że waga pasażerów ma rozkład N(70,4) obliczyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg. 4.Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-1,5]. Dla zmiennej losowej Z = max(x 1, X 2 ) wyznaczyć funkcję gęstości oraz obliczyć EZ. 5.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n są niezależne i każda ma rozkład N(0,1).Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Y n = 1 nk=1 n X k. 6.Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi Ile prób należy wykonać,aby prawdopodobieństwo,że liczba sukcesów odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 20% wszystkich prób było większe od 0.8? 9
10 7.Prawdopodobieństwo porażki w każdej próbie wynosi 0.9. Oszacować: a) wykorzystując nierówność Czebyszewa; b) centralne twierdzenie graniczne prawdopodobieństwo,że w 400 próbach liczba porażek będzie większa niż 320 i mniejsza niż Komputer dodaje 1200 liczb rzeczywistych przedtem każdą zaokrąglając do najbliższej liczby całkowitej.zakładamy, że błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd w obliczaniu sumy będzie większy niż 5 i mniejszy niż 10? 9.Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = Jakie jest prawdopodobieństwo,że zapas 100 diod wystarczy na co najmniej godzin pracy? 10.Korzystając ze zdjęć satelitarnych mierzono odległości między 2 obiektami. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi opisującymi wyniki kolejnych pomiarów.założono,że EX k = d, varx k = 1, k=1.2,...,n. Za oszacowanie odległości d przyjęto Y n = 1 n X k n k=1. Ile pomiarów należy wykonać, aby P ( Y n d 0.1) Odpowiedzi zad.1 co najwyżej 767 dni, zad.2 Φ( 100 ) 0.95,, σ 61, zad , σ { t+1, gdy 1 < t < 5 zad.4 f Z (t) = 18, 0, poza EZ=3, zad.5 N(0,1); zad.7 a)większe niż 391; b)równe zad.9 Φ(2)=
5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3
LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, kurs 15h
Wydział Elektroniki 015/016 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, kurs 15h LISTA 1 Listy zadań opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz 1. Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z
Bardziej szczegółowoI STATYSTYKA STOSOWANA, LISTA 1
I STATYSTYKA STOSOWANA, LISTA 1 1.Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa MAP4702
Wydział Mechaniczny 2014/2015 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP4702 Listy zadań opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1. J.Jakubowski, R.Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla prawie każdego,script,
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowo4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1
LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA STOSOWANA MAP1079
STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079 LISTY ZADAŃ opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1.J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT, Warszawa
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowog) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.
TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoLista 1 - Prawdopodobieństwo
Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoRozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)
Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 05/6, semestr letni, Grupy powtarzających (C5; C6) Lp Grupa C5 Grupa C6 Liczba godzin 0046 w godz 600-000 C03 0046 w godz 600-000 B05 4 6046 w godz
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoa)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.
Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoI. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,
I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo I.1 Mała Lusia bawi się literkami A,A,A,E,K,M,M,T,T,Y ustawiając je w różnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia wyrazu MATEMATYKA? I. Wśród funkcji
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoZmienne losowe zadania na sprawdzian
Zmienne losowe zadania na sprawdzian Zad. 1. Podane poniżej dane dotyczą zawartości suchej masy (w %) i sosu (w %) w 24 konserwach ze śledzia w pomidorach: Zawartość suchej masy: 12,0 13,0 14,5 14,0 12,0
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowo5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucona na pokratkowaną kartkę papieru(kratki 2 2) moneta o średnicy 1 nie dotknie żadnej linii.
ELEKTRONIKA Rachunek Prawdopodobieństwa(MAP5) LISTA. (Przestrzeń zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Niezależność zdarzeń). Niech A,
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoPrzykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoZmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny
Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny 1. Wyprodukowanie określonej liczby wyrobów przez jednego pracownika w ciągu godziny jest zmienną losową o następującym rozkładzie prawdopodobieństwa:
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoLista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa (Fizyka i Optyka) Lista zadań Marek Klonowski Wrocław 2015/16 Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? 2. Ile jest ciągów bitowych
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowox x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowo