Rachunek Prawdopodobieństwa MAP4702

Transkrypt

1 Wydział Mechaniczny 2014/2015 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP4702 Listy zadań opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1. J.Jakubowski, R.Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla prawie każdego,script, Warszawa J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT, Warszawa Literatura uzupełniająca 1. T.Inglot, T.Ledwina, Z.Ławniczak, Materiały do ćwiczeń z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wyd.Politechniki Wrocławskiej W.Krysicki, J.Bartos, W.Dyczka, K.Królikowska, M.Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Cz.I i II, PWN, Warszawa L.Gajek, M.Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody, WNT, Warszawa J.Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania, PWN, Warszawa LISTA 1 1. Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: a) A - wszystkie elementy są takiej samej jakości; b) B - co najmniej dwa elementy są takiej samej jakości; c) C - każdy element jest innej jakości. Czy zdarzenia A oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A oraz C są rozłączne?, czy B oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A B oraz C są równe? 2. Niech A, B, C oznaczają dowolne zdarzenia w (Ω, F, P ). Wykazać,że: a) P (A B C) = = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C); b) jeśli A B to P (Ā) P ( B); c) dla C = A B Ā B (C oznacza: zaszło tylko jedno ze zdarzeń A,B) zachodzi P (C) = P (A) + P (B) 2P (A B). 3. Dla zdarzeń A, B w (Ω, F, P ) mamy: P (Ā) = 1 4, P (A B) = 1 6, P (A B) = 5 6. Obliczyć: P ( B), P (A B), P (B A), P (Ā B). 4. Zdarzenia A, B są rozłączne oraz P (A) = 1, P (B) = 1. Obliczyć: P (A B), P (Ā B), 3 4 P (A B), P (Ā B), P (Ā B). 5. Wśród m losów; m 5 jest 5 wygrywających. Dla jakich m prawdopodobieństwo zdarzenia: zakupione 2 losy będą wygrywające jest mniejsze niż Hasło dostępu składa się z 6 małych liter alfabetu o 25 znakach i 2 cyfr na końcu. Jakie jest prawdopodobieństwo odgadnięcia hasła dla osoby, która wie, że ostatnia cyfra jest nieparzysta i hasło zawiera dokładnie 2 litery w. 1

2 7. W pudle są kule białe i czarne. Razem jest ich n, n > 2. Ile powinno być kul czarnych, aby prawdopodobieństwo wylosowania (bez zwracania) dwóch kul różnych kolorów było takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru? 8. Rzucamy kostką sześcienną dopóki pojawi się 1 lub 6. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: a) 1 lub 6 pojawi sie po raz pierwszy w siódmym rzucie; b) 1 lub 6 pojawi się po raz pierwszy w rzucie o numerze parzystym. 9. O pracę w pewnej firmie ubiega się n osób. Poproszono 3 specjalistów, aby każdy niezależnie uszeregował je według przydatności do pracy. Do pracy zostanie przyjęta osoba, którą przynajmniej 2 specjalistów umieści na pierwszym miejscu. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że jedna z n osób zostanie przyjęta. Dla jakiego n to prawdopopdobieństwo jest równe W produkcji firmy A jest 1% braków, zaś w produkcji firmy B jest ich 2%.Kupujemy jeden produkt firmy A oraz jeden firmy B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) przynajmniej jeden jest dobry; b) obydwa są dobre; c) tylko jeden z nich jest dobry. 11. Dwie osoby umawiają się na spotkanie. Każda z nich przychodzi w losowej chwili między godziną 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? Ile czasu powinna czekać każda z osób, aby prawdopodobieństwo spotkania było większe niż 0.75? 12. Pręt długości 40 cm zgięto w losowo wybranym punkcie pod kątem prostym, a następnie zgięto jeszcze w 2 punktach tak, aby powstała prostokątna ramka o obwodzie 40 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramką jest: a) większe niż 75 cm 2?; b) równe 75 cm 2? Odpowiedzi do Listy 1. zad.1 Zdarzenia A, C są rozłączne; nie są przeciwne. Zdarzenia B, C są przeciwne; A B = C zad.2 Wsk. a) A B C = (A B) C i zast. dwukrotnie wzór na sumę zdarzeń b)a B B Ā. c)zdarzenia A B oraz Ā B są rozłączne i A = (A B) (A B) to P (A B)+P (A B) = P (A). zad.3 3, 7, 1, zad.4 7, 2, 3, 1, zad.5 m 7; zad ; zad.7 n n 2 = n( n 1) 2 lub n+ n 2, zadanie ma rozwiazanie gdy n jest kwadratem liczby naturalnej. zad , ; zad.9 3n 2 ; n = 1 lub n = 2 n 2 zad.10 a) 09998; b) ; c)

3 7 zad.11 odp., (wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne) 16 zad.12 odp. a) 1 ; b) 0, (wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne) 2 LISTA 2 1. Wśród wyrobów firmy A jest 0.5% wadliwych, firmy B jest 2% wadliwych zaś firma C ma 1% wadliwych. Z partii towaru zawierającej 500 elementów firmy A,300 firmy B oraz 200 firmy C losujemy jeden element.obliczyć prawdopodobieństwo, że a) jest on dobry, b) jest dobry i pochodzi z firmy B, c) wyprodukowała go firma C, jeśli wiemy,że jest dobry. 2. Dwie wyrzutnie W1 oraz W2 specjalnymi pociskami gaszą reaktor. W tym samym czasie gdy wyrzutnia W1 wyrzuca 9 pocisków to W2 wyrzuca 10. W1 trafia w cel z prawdopodobieństwem 0.8, zaś W2 z prawdopodobieństwem 0.7. Reaktor ugaszono. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zrobiła to W2? 3. Test na obecność pewnego wirusa w organizmie daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0.98, jeśli wirus jest w organizmie. Jeśli wirusa w organizmie nie ma to prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi Zakłada się, że 1 % populacji jest zarażona wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) test dał wynik pozytywny u losowo wybranej osoby z tej populacji; b) losowo wybrana osoba jest zarażona wirusem, jeśli test dał wynik pozytywny. 4. Przesyłamy sygnał 0 albo 1. Przy przesyłaniu 0 przekłamanie następuje w 1 przypadku na 15, przy przesyłaniu 1 w 2 przypadkach na 40. Wiedząc, że odebrano 0 oraz, że stosunek liczby wysyłanych 0 do 1 jest równy 5 do 3, obliczyć prawdopodobieństwo, że wysłano Wiadomo,że przeciętnie 5 % badanych elementów ma wadę. Do wykrycia wady wykorzystuje się następujący test. Jeśli element ma wadę to test w 90 % wskazuje jej istnienie ( wynik testu jest pozytywny) i w 90 % nie wskazuje wady,gdy element jej nie ma. Jakie jest prawdopodobieństwo, że element ma wadę,jeśli wynik testu jest pozytywny? Jakie będzie powyższe prawdopodobieństwo, jeśli element zostanie poddany testowi dwukrotnie i w obu przypadkach wynik testu będzie pozytywny? 6. Podać przykład przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P ), i wskazać dwa zdarzenia niezależne. 7. Wykazać,że jeśli zdarzenia A i B są niezależne to niezależne są A i B. 8. Uzasadnić,że jeśli P (A B) = P (A B) to zdarzenia A i B są niezależne. 9. Grupie studentów zadano pytanie: "czy ściągają na egzaminach?" i poproszono o odpowiedź z wykorzystaniem następujacej metody losowej. Polega ona na tym,że każdy student rzuca monetą :jeśli wypadnie orzeł i student nie ściąga to odpowiada :"NIE" w pozostałych przypadkach odpowiada :"TAK". Przyjmując,że 40% studentów ściąga,obliczyć prawdopodobieństwo,że losowo wybrana osoba odpowie "NIE".Jak oszacować procent studentów ściągających, jeśli w grupie było 20% odpowiedzi "NIE". 10. Zdarzenia A, B są niezależne oraz P (Ā) = 1 3, P (B) = 1 4. Obliczyć P (A B), P (A B); 3

4 P (Ā B), P (A B A). Odpowiedzi do Listy 2 zad.1 a) ; b) 0.294; c) 0.2 zad zad.3 a) ; b) zad zad.5 a) 9 ; b) 0.81; 28 zad.7 P (A)P ( B) = P (A)(1 P (B)) = P (A) P (A B) = P (A B) bo A,B są niezależne oraz A B i A B są rozłączne i ich sumą jest A. zad.9 P("NIE")=0.3; P(ściąga)=0.6; zad , 3 4, 5 6, 3 4. LISTA 3 1. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 2 karty. Jeśli wśród nich będą : 2 piki to wygrywamy 20 punktów, jeśli tylko jeden pik wygrywamy 10 pkt,jeśli żadnego pika przegrywamy 5 pkt (wygrywamy -5 pkt). Niech zmienna losowa X oznacza wartość wygranej.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X. 2. Spośród 3 dobrych i 2 wadliwych elementów losujemy jednocześnie 3 elementy.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę zmiennej losowej X, gdzie X jest liczbą wylosowanych elementów wadliwych. Z wykresu dystrybuanty odczytać: P (X > 1), P (1 X < 4). 3. Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się szóstka. Niech zmienna losowa X oznacza numer rzutu, w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X. Obliczyć a) P( X 10); b) P (X 10). 4. Sprawdzić, że podana funkcja F (x) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X F (x) = Obliczyć P (0 < X < 4), P (X = 4), P (X > 1). 5. Dla jakich stałych c, d funkcja 1 8 0, x 0 x + 1, gdy 0 < x , x > 4 x 2 0, x 0 F (x) = cx 2 + d, gdy 0 < x 1 1, x > 1 a) jest dystrybuantą i funkcją ciągłą; b) narysować F (x) dla c = 1, d = 1 i dla zmiennej losowej X o takiej dystrybuancie obliczyć 2 4 P (0 X < 1), P (X = 0), P (X > 1), P ( 1 X < 2)

5 6. Sprawdzić, że jeśli gęstość zmiennej losowej X jest funkcją parzystą to dystrybuanta F (t) tej zmiennej spełnia: a) F (0) = 0.5 b) F ( t) = 1 F (t) c) P ( X < c) = 2F (c) 1 d) P ( X c) = 2F ( c) 7. Czasy pracy każdego z n elementów są niezależne i mają taki sam o dystrybuancie F (x). Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy układu złożonego z n elementów połączonych równolegle, zaś zmienna losowa Y czas pracy układu złożonego z n elementów połączonych szeregowo. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość X oraz Y. Odpowiedzi do Listy 3 zad.1 P (X = 5) = , P (X = 10) =, P (X = 20) = , gdy t 5, 57, gdy 5 < t 10, F (t) = , gdy 10 < t , gdy t>20 zad.2 P(X=0)=0.1; P(X=1)=0.6; P(X=2)=0.3 P (X > 1) = 0.3; P (1 X < 4) = 0.9 F (t) = 0, gdy t 0, 0.1, gdy 0 < t 1, 0.7, gdy 1 < t 2 1, gdy t>2 zad.3 X-numer rzutu w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy P (X = k) = 1 6 ( 5 6 )k 1, F (t) = k<t 1 6 ( 5 6 )k 1, k = 1, 2,...; t R, a) 1 F (10) = ( 5 6 )9 ; b) P (X 10) = F (11) = 1 ( 5 6 )10 ; zad.4 F (x) jest funkcją lewostronnie ciągłą, lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1, F (x) jest niemalejąca gdyż F (x) 0 dla x 0, x 4 i F (0) = 0 F (0 + ) = 1 4 i F (4) = 0.5 F (4 + ) = P (0 < X < 4) = = 0.25, P (X = 4) = F (4 + ) F (4) = 7 16, P (X > 1) = 1 F (1 + ) = 5 8, zad.5 a) c = 1, d = 0; b) 3 8, 1 4, 0, 5 8. zad.7 F X (t) = F n (t), F Y (t) = 1 (1 F (t)) n, f X (t) = nf n 1 (t)f (t) f Y (t) = n(1 F (t)) n 1 F (t). 5

6 LISTA 4 1. Spośród liczb 1, 2, 3,..., 20 losujemy 4 razy ze zwracaniem po jednej liczbie.obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wylosowanych liczb będą: a) co najmniej 2 liczby mniejsze od 16; b) 2 liczby podzielne przez 5; c) żadnej liczby większej niż 5. W każdym przypadku wykorzystać rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami. 2. Prawdopodobieństwo,że w każdej sekundzie pojawi się sygnał wynosi 3. Obliczyć prawdopodobieństwo: 5 a) w ciągu 2 minut pojawią się 3 sygnały; b) w ciągu 2 minut pojawią się co najmniej 2 sygnały. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pojawień się sygnału w przeciągu 121s, 122s a jaka w przeciagu 124 s? 3. Partia towaru zawiera 1 % braków. Ile elementów należy sprawdzić, aby prawdopodobieństwo wykrycia co najmniej jednego braku było większe niż W biurze jest zainstalowanych 15 niezależnie pracujacych drukarek. Kaźda z nich pracuje przeciętnie 50 minut na godzinę. Jakie jest prawdopodobieństwo,że w losowej momencie pracuje: a) 12 drukarek b) co najmniej jedna c) przynajmniej jedna nie pracuje. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pracujących drukarek. 5. Prawdopodobieństwo, że wyprodukowana płytka będzie wadliwa wynosi p=0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii 100 płytek są co najwyżej 2 wadliwe? Podaj rozwiązanie dokładne i przybliżone rozkładem Poissona. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wadliwych płytek w partii 100 płytek. 6. Prawdopodobieństwo, że adresat zakupi towar z otrzymanej pocztą reklamy wynosi Reklamę wysłano do 500 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) towar zakupią 4 osoby b) mniej niż 4 osoby. Podać rozwiązanie dokładne i przybliżone rozkładem Poissona. 7. Liczba samochodów, które ulegają wypadkowi w ciągu jednego dnia w danym mieście i wymagają naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z parametrem λ = 10. Ile miejsc do naprawy należy przygotować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0.95 było wolne miejsce dla uszkodzonego samochodu. 8. Liczba awarii w pracowni komputerowej, w ciągu dnia jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 4. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba awarii? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 10 dni będą 2 dni, z liczbą awarii równą 8? 9*. Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w m komputerach? Wykonaj obliczenia dla λ = 8, p=0.125, m=10. 6

7 Odpowiedzi do Listy 4 zad.1 a) "sukces"-wylosowanie liczby mniejszej niż 16; X-liczba sukcesów wśród wylosowanych 4 liczb; X B(4, ); P (X 2) = ; b) Y B(4, 1 ), P (Y = 2) = 96/625; 5 c) Z B(4, 1 ), P (Z = 4) = 1/256 4 zad.2 X-liczba sygnałów w ciągu 2 min. X B(120, 3 ), najbardziej prawdopodobna liczba sygnałów 5 to odpowiednio: 73; 73; 74 lub 75. zad.3 n 230, zad.4 a) ( ) ( 5 6 )12 ( 1 6 ) b)1 ( 1 6 )15 c)1 ( 5 6 ) d) k 0 = 13 zad.5 X-liczba elementów wadliwych wśród 100 elementów; X B(100; 0.02); P (X 2) = (0.98) (0.98) (0.02) 2 (0.98) z rozkładu Poissona z λ = 2 mamy P (X 2) = , k 0 = 2. zad.7 X-liczba uszkodzonych samochodów P (X n) > 0.95, z tablic rozkładu Poissona dla λ = 10 odczytujemy : n 15. zad.8 Niech X- liczba awarii komputerów w ciągu dnia, p = P (X = 8) = , Y-liczba dni wsród 10 dni z liczba awarii komputerów równą 8, Y B(10, p) P (Y = 2) = zad.9* z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy (pλ)m m!e pλ. LISTA 5 1. Dla jakiej { stałej a funkcja a(2 x), gdy 1 < x < 2 a) f(x) = 0, gdy x 1 lub x 2 b) f(x) = ae x jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. W przykładach a), b) znaleźć dystrybuntę zmiennej losowej X, naszkicować wykres gęstości oraz dystrybuantę. Obliczyć P (1 < X < 5), P (X < 0 X > 1). 2. Czas pracy diody jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z α = Wiadomo, że dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie jest prawdopodobieństwo, że popracuje co najmniej 6000h? 3. Prawdopodobieństwo wykrycia awarii urządzenia w czasie krótszym niż t minut wynosi F (t) = 1 e 5t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wykrycie awarii potrzeba: a) więcej niż 4 7

8 min. b) więcej niż 4,ale mniej niż 6 min. c) co najwyżej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z prawdopodobieństwem większym niż 0.5? 4. Narysować funkcję gęstości zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,2). Obliczyć, korzystając z tablic statystycznych : P ( 1 X 1), P (X > 2), P ( 3 X 1), P (X 5), P (X > 10), P ( X > 2). Zaznaczyć na wykresie funkcji gęstości przedział z prawa trzech σ. 5. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m,σ) obliczyć P ( X m < σ), obliczyć P ( X m < 2σ). 6. Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(1000,100).Jaki powinien być okres gwarancji, aby na 99% miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji? 7. Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,σ).Dobrać σ,aby drukarka działała co najmniej 900 dni z prawdopodobieństwem większym niż W windach osobowych jest napis: "maksymalne obciążenie 7 osób albo 500 kg". Zakładając,że waga pasażera ma rozkład N(70,4) obliczyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg. Odpowiedzi do Listy 5 zad.1 a) a=2/9 0, gdy t 1, 4 F (t) = 9 t 1 9 t2 + 5, gdy 1 < t 2, 9 1, gdy t > 2. P (1 < X < 5) = 1 9, P (X < 0 X > 1) = 2 3 ; b) a=1/2 { 1 F (t) = 2 et, gdy t e t, gdy t > 0 P (1 < X < 5) = 1 2 (e 1 e 5 ), P (X < 0 X > 1) = 1 2 (1 + e 1 ). zad.2 P (X > 5000) = e.5 ; zad.3 a) P (X > 4) = e 20 ; b) P (4 < X < 6) = e 20 e 30 ; c) P (X 5) = 1 e 25 ; P (X < T ) 0.5 dla T 0.2 ln(2). zad.4 P ( 1 < X < 1) = Φ(2) Φ(1) = P (X > 2) = 1 Φ(0.5) = 03085; P ( 3 < X < 1) = ; P (X < 5) = Φ(4) = 1; P (X > 10) = 1; P ( X > 2) = 1 Φ(2.5) + Φ(0.5) zad.5 2Φ(1) 1 = , 2Φ(2) 1 = zad.6 co najwyżej 767 dni zad.7 Φ( 100 ) 0.95, σ 61, σ 8

9 zad , LISTA 6 1. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla następujących zmiennych losowych: a) zmienna losowa X każdą z wartości 1,2,3,4 przyjmuje z takim samym prawdopodobieństwem; b) P (Y = 2) = P (Y = 0) = 0.1 ; P (Y = 2) = 0.8; c) W jest wygraną loterii gdzie jest n 1 losów na które pada wygrana x 1, n 2 losów na które pada wygrana x 2,..., n k losów na które pada wygrana x k. 2. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o dystrybuancie : 0, gdy x 2, 0.4, gdy 2 < x 1 a) F (x) = 0.7, gdy 1 < x 4 0.8, gdy 4 < x 5 1, gdy x > 5 3. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o dystrybuancie : 0, gdy x 1, 0, gdy x 1, a) F (x) = x 1, gdy 1 < x < 4 1 b) F (x) = (x + 1), gdy 1 < x < 2 4 1, gdy x 4 1 1, gdy x 2 x 2 4. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o gęstosci: { 8, gdy 1 < x < 2 0, gdy x 0 a) f(x) = 3x 3 b) f(x) = x, gdy 0 < x 1 0, gdy x 1 lub x 2 3, gdy x > 1 2x 4 5. Wiemy,że: EX = 1, EX 2 = 3. Ile wynosi : varx, E(4X 1), var(3x 1), E( 2X 2), var( 2X 2). 6. Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest największa? 7. Dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z α = 2 wyznaczyć medianę oraz kwantyl rzędu 3. Jaka jest interpretacja otrzymanych wartości? 4 8. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(10, 2) wyznaczyć: a) medianę; b)kwantyl rzędu 0.95; c) kwantyl rzędu 0.2 i zaznaczyć te wielkości na wykresie gęstości X. 9. Czy { dla zmiennej losowej X o funkcji gęstości 0, gdy x < 0 f(x) = 2 1, gdy x 0 π 1+x 2 istnieje EX? Wyznaczyć medianę zmiennej losowej X. 10. Zmienne losowe X, Y są niezależne, X ma rozkład N(8, 3), Y ma rozkład jednostajny na [-1,5]. Ile wynosi wartość oczekiwana i wariancja zmiennej: a) Z = 2 X, b) W = 3X 2Y. Odpowiedzi do Listy 6 9

10 zad.1 a) EX = 5, varx = 5; 2 4 b) EY = 1.4, vary = 1.64 c) EW = 1 ki=1 x N i n i,, V arw = 1 N zad.2 EX = 0.9, varx = 7.69; zad.3 a) EX= 7 34, varx= ; 3 45 ki=1 x 2 i n i (EW ) 2, gdzie N = k i=1 n i zad.4 a) EX = 4, V arx = 8 ln b) EX = 1 0 x2 dx x 3 dx = 13, 12 EX 2 = 1 0 x3 dx x 2 dx = 7 4 V arx = zad.5 2; -5; 18; 0; 8. zad.6 p=0.5 zad.7 mediana=ln 2, kwantyl rzędu 3 4 = ln 2 zad.8 a) 10, b) c) zad.9 EX nie istnieje, mediana wynosi 1. zad.10 a) EZ = 6, V arz = 9, b) EW = 20, V arw = 93 LISTA 7 1. Zmienna losowa X ma następujacy rozkład prawdpodobieństwa P (X = 2) = P (X = 1) = 0.2; P (X = 1) = 0.1; P (X = 4) = 0.5. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = X 2 1 oraz obliczyć EY. 2. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Dla jakich stałych A, B zmienna losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. 3. Wartości zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1] generuje standardowy pakiet. Dla jakich stałych A, B zmienna losowa Y = AX+B ma rozkład jednostajny na [ 7, 1]? 4. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem α. Wyznaczyć dystrybuantę oraz wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = X. 5. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0,a]. Obliczyć: a) EX k, k = 1, 2, 3,...; b) Ee X ; c)ecosx. 6. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-1,5]. Dla zmiennej losowej Z = max(x 1, X 2 ) wyznaczyć funkcję gęstości oraz obliczyć EZ. 7*. Układ składa się z n elementów połączonych równolegle. Czasy działania kolejnych elementów to niezależne zmienne losowe X 1,..., X n o takim samym rozkładzie jednostajnym na przedziale 10

11 [0,10]. Jaka jest najmniejsza liczba elementów n, dla której wartość oczekiwana czasu Y działania całego układu jest większa lub równa 8? Odpowiedź uzasadnij. 8. Czasy pracy każdego z n elementów są niezależne i mają taki sam rozkład wykładniczy z parametrem α = Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy układu złożonego z n elementów połączonych równolegle, zaś zmienna losowa Y czas pracy układu złożonego z n elementów połączonych szeregowo. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość X oraz Y. 9. Czas oczekiwania na połączenie z serwerem dla każdego użytkownika ma rozkład wykładniczy z α =0.2 s. Z serwera korzysta jednocześnie i niezależnie 100 użytkowników. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: najkrótszy z czasów oczekiwania na połączenie jest większy niż 5s; najdłuższy mniejszy niż 10s. 10. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n są niezależne i każda ma rozkład N(m, σ). Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Y n = 1 nk=1 X k m n. σ 11. Energia kinetyczna K poruszającego się ciała o masie m wyraża się wzorem K = 1 2 mv 2, gdzie V jest prędkością. Wyznaczyć dystrybuantę K, jeśli V jest zmienną losową o rozkładzie N(0, σ). Obliczyć P (K > 2m), P (K < m σ 2 ). Odpowiedzi do Listy 7 zad.1 P (Y = 0) = 0.3; P (Y = 3) = 0.2; P (Y = 15) = 0.5; EY = 8.1; V ary = zad.2 A = 1 b a albo A = 1 b a ; zad.3 A = 8, B = 7 albo A = 8, B = 1 { 0, gdy t < 0 zad.4 F Y (t) = 1 e αt2, gdy t 0 ; EY = π 2 α. zad.5 a) EX k = ak k+1 b) Ee X = ea 1 a c) EcosX = sina. a zad.6 f Z (t) = EZ=3. { t+1 18, gdy 1 < t < 5 0, poza B = 1 A (a + b). 2 2 zad.8 X = { max(x 1, X 2,..., X n ); Y = min(x 1, X 2,..., X n ) 0, gdy t < 0 F X (t) = (1 e tα ) n, gdy t 0 { 0, gdy t < 0 f X (t) = nαe tα (1 e tα ) n 1, gdy t > 0 { 0, gdy t < 0 F Y (t) = 1 e ntα, gdy t 0 11

12 f Y (t) = { 0, gdy t < 0 nαe ntα, gdy t > 0 zad.9 a) , b) zad.10 N(0, 1) zad.11 F (t) = 2Φ( 2t σ m ) 1 P (K > 2m) = 2Φ( 2 σ ); P (K < m σ 2 ) = 2Φ( 2) 1. LISTA 8 1. Prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie wynosi 0.9. Oszacować: a) wykorzystując nierówność Czebyszewa; b) centralne twierdzenie graniczne prawdopodobieństwo,że w 400 niezależnych próbach liczba porażek będzie większa niż 320 i mniejsza niż Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie konserwacji 100 aparatów zepsuje się: a) przynajmniej 6 aparatów: b) więcej niż 1 i mniej niż 4 aparaty ; c) 1 aparat. 3. Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi Ile prób należy wykonać,aby prawdopodobieństwo,że liczba sukcesów odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 20% wszystkich prób było większe od 0.8? 4. Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany detal okaże się dobry wynosi 0.9. Ile elementów należy wyprodukować,aby prawdopodobieństwo, że będzie wśród nich co najmniej 50 dobrych było większe niż Komputer dodaje 1200 liczb rzeczywistych przedtem każdą zaokrąglając do najbliższej liczby całkowitej.zakładamy, że błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd w obliczaniu sumy będzie większy niż 5 i mniejszy niż 10? 6. Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = Jakie jest prawdopodobieństwo,że zapas 100 diod wystarczy na co najmniej godzin pracy? 7. Czas pracy elementu X i jest zmienną losową o EX i = 20, V arx i = 4. Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączny czas pracy partii 100 takich elementów wystarczy na przynajmniej 1950 godzin pracy 8. Korzystając ze zdjęć satelitarnych mierzono odległości między 2 obiektami. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi opisującymi wyniki kolejnych pomiarów. Założono,że EX k = d, varx k = 1, k=1.2,...,n. Za oszacowanie odległości d przyjęto Y n = 1 n X k n 12 k=1

13 Ile pomiarów należy wykonać, aby P ( Y n d 0.1) Jeśli gracz wyrzuci kostką sześcienną 6 oczek to wygrywa 4 zł, w przypadku innej liczby oczek przegrywa 1 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 500 rzutach przegra więcej niż 200 zł? 10. Liczba awarii sieci energetycznej w ciagu doby jest zmienną losową X k, k = 1, 2,...o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 4. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciagu 200 dób liczba awarii będzie większa niż 700 i mniejsza niż 850? (Zast.centralne tw.graniczne). b) Do czego zmierza według prawdopodobieństwa 1 n nk=1 X k gdy n? 11. Tygodniowe wypłaty z pewnego funduszu są niezależnymi zmiennymi losowymi o wartości oczekiwanej 1000 zł i wariancji 400. Fundusz dysponuje kwotą zł. Wyznacz maksymalny okres czasu ( w tygodniach) na jaki wystarczy ta kwota z prawdopodobieństwem co najmniej 70 %. 12. Czas kontroli (w sek.) jednego wyrobu jest zmienną losową o gęstości 0, gdy x 0 f(x) = x, gdy 0 < x 1 3, gdy x > 1 2x 4 Przerwa po kontroli (w sek.) każdego wyrobu jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,2]. Czasy kontroli wyrobów oraz czasy przerw tworzą niezależne ciągi niezależnych zmiennych losowych. Oszacuj prawdopodobieństwo, że kontrola 144 wyrobów wraz z 144 przerwami będzie trwała krócej niż 320 sek. 13*. Dana jest funkcja f(x) całkowalna na przedziale [0,1]; 0 < f(x) < 1 oraz niech I = 1 0 f(x)dx. Ciąg (X n, Y n ); n = 1, 2,... jest ciągiem punktów losowo wybranych z kwadratu o wierzchołkach (0, 0); (0, 1); (1, 1); (1, 0). Niech Z n oznacza liczbę tych punktów (X k, Y k ); 1 k n, które leżą pod wykresem funkcji f(x). Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Z n? Wykazać, że dla każdego ɛ > 0 zachodzi lim n P ( Zn I < ɛ) = 1. n Odpowiedzi do Listy 8 zad.1 a)większe niż ; b) 1 za.2 a) 1-Φ(2.5) = b)φ( c) Φ( 5 15 ) Φ( ) = zad.3 z nierówności Czebyszewa n 24 zad.4 n 70 zad.5 Φ(1) Φ(0.5) = zad.6 Φ(2)= zad.7 1-Φ(2.5) = ) Φ( ) =

14 zad.8 z nierówności Czebyszewa n 10000, z centralnego tw.granicznego n 666 zad.9 Φ( 2.8) = zad.10) Φ(1, 77) Φ( 3.53) = 0, 96, b) 4 zad.11 co najwyżej 199 tygodni. zad.12 Φ(1, 75) = 0, 9599 LISTA 9 1. Łączny rozkład wektora losowego (X, Y ), gdzie zmienna losowa X jest liczbą spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej opisuje tabela X/ Y a) Obliczyć P ((X, Y ) {(0, 0), (2, 1)}). b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennej losowej X oraz Y. Ile wynosi P (X = 1), P (Y = 0). Obliczyć EX, EY. c) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne? d) Oliczyć kowariancję i wspólczynnik korelacji zmiennych X, Y. 2. Gęstośc wektora losowego (X,Y)jest postaci: f(x, y) = { 3 8 (x2 y + y), gdy 0 x 1, 0 y 2 0, poza tym Obliczyć P (0.5 < X < 1, 1 < Y < 2), P (Y > 1), P (X > 0.5 Y < 1), P (Y > X). 3. Czy można dobrać stałą c, aby funkcja { cy f(x, y) = 2 cosx, gdy π x π, 0 y 2 2 0, poza tym była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej? Jeśli tak, to: a) znaleźć rozkłady brzegowe b) wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X,Y. Czy X,Y są niezależne? 4. Wektor losowy (X,Y) ma funkcję gęstości postaci: Obliczyć EX. f(x, y) = { 2ye x, gdy x > 0, 0 < y < 1 0, poza tym 14

15 5. Wektor losowy (X,Y) ma funkcję gęstości postaci: { 16 f(x, y) = xy, gdy 0 < x < 1, 3 x3 < y < 1 0, poza tym Obliczyć P (X < 1, Y < 1 ), P (Y < X), EY Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach w punktach (-1,0); (1,0); (0,2). Wyznaczyć gęstość wektora losowego (X,Y). Sprawdzić, czy zmienne losowe X oraz Y są niezależne? Jaki jest ich współczynnik korelacji? 7. Gęstość wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem f(x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. a)czy zmienne losowe X, Y są niezależne? b)obliczyć P (X > 1.) c)obliczyć P (X, Y ) A gdzie A = (x, y) : x 2 + y 2 < 1. d)jaki jest współczynnik korelacji zmiennych losowych X,Y? 8. Współczynnik korelacji zmiennych losowych X,Y wynosi Jaki współczynnik korelacji mają zmienne losowe 4X 3, 2Y + 4? Odpowiedzi do Listy 9 zad.1 a) 0.93 b) P (X = 1) = 0.04, P (Y = 0) = 0.93 EX = 0.14, EY = 0.1, c) X, Y nie są niezależne. X/ Y rozklad X rozklad Y d) cov(x, Y ) = E(XY ) EX EY = varx = , vary = 0.15, ρ(x, Y ) = zad.2 P (0.5 < X < 1, 1 < Y < 2) = 57 ; P (Y > 1) = 0.75; 128 P (X > 0.5 Y < 1) = 19 ; P (Y > X) = 0.9 zad.3 c = { -cosx, gdy π f X (x) = < x < π 2 0, poza tym { 3 f Y (y) = 8 y2, gdy 0 < y < 2 0, poza tym Zmienne losowe są niezależne zatem cov(x, Y ) = ρ(x, Y ) = 0. zad.4 EX=1; 15

16 zad.5 P (X < 0.5, Y < 0.5) = , P (Y < X) = 1 3, EY = y8 dy = zad.6 { 1, gdy (x, y)ɛ f(x, y) = 2 0, (x, y) / x + 1, gdy 1 x 0 f X (x) = x + 1, gdy 0 x 1 0, poza { 1 y f Y (y) =, gdy 0 < y < 2 2 0, poza tym Zmienne X,Y są zależne. cov(x,y)=0, ρ(x, Y ) = 0 zad.7 a)x, Y sa niezależne, b) c) 1 1 e, d) ρ(x, Y ) = 0 zad.8 ρ(x, Y ) = 0.25 LISTA Zmierzono grubość (w µm) warstwy krzemu nanoszonej przez pewien automat otrzymując : 5.2, 4.6, 6.1, 6.0, 5.0, 5.3, 4.0, 4.0, 5.4, 6.1, 7.2, 5.0, 4.0, 5.4, 6.0, 4.0, 3.5, 6.2, 5.0, 6.2, 5.0, 7.1, 5.0,5.0, 5.1, 5.0, 4.0, 5.0, 6.1, 5.0, 5.2, 5.0, 5.0, 3.0, 6.0, 5.0, 4.0, 6.0, 4.3, 4.0. Dla podanej próby: a) zbudować szereg rozdzielczy; b) narysować histogram i dystrybuantę empiryczną c) wyznaczyć średnią, wariancję, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności. d) wyznaczyć medianę, kwartyl dolny i górny, rozstęp międzykwartylowy, modalną e) sporządzić wykres pudełkowy, f) ocenić symetrię, skośność histogramu. 2. W pewnym przedsiębiorstwie komunikacyjnym przez 180 dni obserwowano liczbę (k) awarii autobusów. Zebrane obserwacje podaje następująca tabela: k y k gdzie y k oznacza liczbę dni z k awariami. Dla podanej próby wyznaczyć wielkości opisane w punktach a) - f) zad Dla podanych prób obliczyć średnią i wariancję: a) 18, 19, 22, 17, 24; b) -1, 2, 3, -4, -8, 2; c) 2, -3, -1, 2, -4, Dla podanej próby; 6, 5, 7, 4, 5.5, 7, 7.5, 6 obliczyć; a) średnią i odchylenie standardowe; b) medianę i rozstęp międzykwartylowy. c) zastąpić obserwację 7.5 przez 10.5 i powtórzyć punkt a) oraz b) 16

17 d) które z charakterystyk są odporne na takie zmiany, a które nie? 5. W następującej tabeli zebrano obserwacje o czasie rozmów telefonicznych (w min ) poprzez sieć stacjonarną w pewnej firmie: gdzie a b w pierwszym wierszu tabeli oznacza, że czas rozmowy jest z przedziału (a, b]; drugi wiersz podaje liczbę rozmów trwających czas a b. Obliczyć średnią i odchylenie standardowe czasu rozmowy telefonicznej w tej firmie. LISTA W oparciu o 2n elementową próbę prostą z populacji o średniej m i wariancji σ 2 oszacowano wartość oczekiwaną używając dwóch estymatorów: Y 1 = 1 2n 2n k=1 X k, oraz Y 2 = 1 nk=1 X n k. Który z nich jest lepszy i dlaczego? 2. W celu oszacowania wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy urządzenia pewnego typu, obserwowano czasy do momentu awarii 7 losowo wybranych urządzeń. Uszkodzenia nastąpiły w godzinach: 51, 115, 150, 190, 217, 228, 350. Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy urządzenia ma rozkład wykładniczy oszacować : wartość przeciętną bezawaryjnej pracy maszyny oraz parametr α tego rozkładu. 3. Wykazać, że jeżeli niezależne zmienne losowe X k, k = 1,..., n mają taki sam rozkład wykładniczy to nk=1 1 X 2 2n k jest nieobciążonym estymatorem dla wariancji tego rozkładu. 4. Zmienne losowe X k mają rozkład jednostajny na przedziale [a; a+1]; parametr a jest nieznany. Sprawdzić, że dla n niezależnych obserwacji estymator: T n = n X k n k=1 jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru a. Oszacować P ( T n a 0.1) gdy: n = 20 oraz n = Wykazać, że n+1 n max 1 k nx k jest lepszym nieobciążonym estymatorem dla parametru a,w rozkładzie jednostajnym na przedziale [0 ; a] niż 2 n Σn k=1x k. Oszacować parametr a dla następujących obserwacji: 3.7, 1.2, 4.0, 5.7, 8.1, 6.6, 7.0, 2.8, Metodą największej wiarogodności wyznaczyć estymatory parametrów: a) λ w rozkładzie Poissona ; b) p w rozkładzie geometrycznym ; c) α w rozkładzie wykładniczym. 7. Wykorzystując metodę momentów wyznaczyć estymatory dla parametrów a oraz b w rozkładzie jednostajnym na przedziale [a,b]. Obliczyć estymatory tych parametrów dla następujacych obserwacji z rozkładu jednostajnego: 2.1, 0.6, 4.3, 5.4, 2.2, Następujące obserwacje pochodzą z rozkładu Gamma z parametrami α, β, gdzie EX= 1 2 α, VarX= α β 2. Metodą momentów wyznaczyć estymatory tych parametrów oraz obliczyć je dla obserwa- 17

18 cji: 3.5, 2.8, 5.3, 1.9,.5, 2.6, 2.7, 4.1,.1, 2.5. LISTA Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości i otrzymano (w m): 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiadomo,że rozkład błędu pomiaru jest normalny o średniej 0 i wariancji 4. Wyznaczyć przedział ufności dla mierzonej odległości na poziomie ufności Ponadto, wykonano 5 dodatkowych pomiarów i otrzymano:201, 196, 200, 195, 208. Korzystając ze wszystkich pomiarów wyznaczyć jeszcze raz przedział ufności dla mierzonej odległości oraz porównać długości przedziałów. 2. Na podstawie 100 prób oszacowano średni czas pracy potrzebny do wyprodukowania elementu i uzyskano (w s): x = 5.5 oraz s = 1.7.Wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej czasu produkcji na poziomie ufności: a) 0.90 oraz b) Który jest dłuższy? 3. Dla 10 obserwacji cechy o rozkładzie normalnym otrzymano: 7; 7.5; 8.5; 8; 6; 7.5; 6.5; 5.5; 7.5; 6. Na tym samym poziomie ufności (wybrać dowolny), wyznaczyć i porównać przedziały ufności dla m gdy: a) σ = 0.5, b) σ nieznane. 4. Klasa przyrządu jest związana z odchyleniem standardowym pomiarów nim wykonywanych. W celu zbadania klasy przyrządu służącego do pomiaru odległości wykonano nim 12 pomiarów długości tego samego odcinka otrzymując (w m): 101, 103, 98, 96, 100, 102, 100, 97, 98, 101, 99, 101. Przy założeniu, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny wyznaczyć 95% przedział ufności dla odchylenia standardowego. 5. Zmierzono wytrzymałość ( w kg/cm2) pewnego typu belek i otrzymując 8, 10, 15, 12, 18, 9, 10, 12, 14, 12. Przyjmując poziom ufności 0.95 wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej oraz dyspersji (odchylenia standardowego) wytrzymałości belek. Jakie założenia o rozkładzie wytrzymałości należy przyjąć? 6. Błąd pomiaru wysokości komina ma rozkład normalny o wariancji 0.04 m 2. Ile pomiarów należy wykonać, aby na poziomie ufności 0.95 oszacować wysokość komina w przedziale ufności długości 0.05 m? 7. Aby oszacować ile procent wyborców (p%) jest zdecydowanych poprzeć danego kandydata w najbliższych wyborach przeprowadzono ankietę wśród n losowo wybranych osób (n 100). Na pytanie: czy będziesz głosować na danego kandydata; ankieta przewidywała 2 odpowiedzi: "TAK" albo "NIE". Wyznacz przedział ufności dla p na poziomie ufności 1 α. Przy jakim n długość przedziału ufności będzie mniejsza niż Wykonaj obliczenia dla: n = 200, 180 odpowiedzi "TAK", α = W badaniu niezawodności pewnego czujnika w 100 niezależnych próbach 94 razy reagował prawidłowo. Wyznaczyć przedział ufności dla prawdopodobieństwa prawidłowej reakcji na poziomie ufności LISTA 13 18

19 1. Zbadano zależność między ilością pewnej substancji dodawanej do produkcji wyrobu a jego twardością: ilość substancji twardość wyrobu a) czy istnieje zależność między ilością dodawanej substancji a twardością wyrobu? b) wyznaczyć równanie prostej regresji c) obliczyć spodziewaną twardość wyrobu, gdy do produkcji dodamy 5 jednostek substancji d) obliczyć współczynnik determinacji e) wyznaczyć przedział ufności dla wspólczynnika kierunkowego prostej regresji na poziomie ufności α = W następującej tabeli x i określa miesięczne zużycie pewnego surowca (w tonach)w produkcji wyrobu, zaś y i określa wielkość produkcji (w tonach) w tym miesiącu: x i y i Przedstawić podane obserwacje na płaszczyźnie. Obliczyć współczynnik korelacji liniowej. Czy zależność cechy Y od cechy X jest dodatnia czy ujemna i co to oznacza? Co można powiedzieć o sile zależnosci miedzy tymi cechami? Wyznaczyć: a) prostą regresji cechy Y względem cechy X; b) prostą regresji cechy X względem cechy Y; c) narysować obie proste regresji na płaszczyżnie; d) czy punkt ( x, ȳ) jest punktem przecięcia tych prostych; e) oszacować wielkość produkcji gdy zużycie surowca wyniesie 3 tony; 5.5 tony; f) o ile wzrośnie produkcja gdy zużycie surowca wzrośnie o 1 tonę; I to już wszystko. 19