5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucona na pokratkowaną kartkę papieru(kratki 2 2) moneta o średnicy 1 nie dotknie żadnej linii.

Transkrypt

1 ELEKTRONIKA Rachunek Prawdopodobieństwa(MAP5) LISTA. (Przestrzeń zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Niezależność zdarzeń). Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a)zachodzidokładniejednozezdarzeńa,b,c; b) zachodzą dokładnie dwa spośród zdarzeń A, B, C; c) zachodzą przynajmniej dwa spośród zdarzeń A, B, C. d)zachodząconajwyżejdwaspośródzdarzeńa,b,c. 2. Studenci Wydziału Elektroniki muszą zaliczyć dwa lektoraty: z języka angielskiego i z języka niemieckiego.zdanychdziekanatuwynika,że 2 3 studentówzaliczalektoratzjęzykaangielskiego,oba lektoratyzaliczacoczwartystudent,zaśprzynajmniejjedenzlektoratówzaliczarównież 2 3 studentów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student: a) nie zaliczył żadnego lektoratu? b) zaliczył język angielski i nie zaliczył języka niemieckiego? 3. W skład mechanizmu wchodzą dwa jednakowe koła zębate. Warunki techniczne zostają naruszone, jeżeli w obu kołach występują dodatnie odchylenia grubości zębów od nominalnego wymiaru. Monter dysponuje 0 kołami zębatymi, z których trzy są plusowe, a 7 jest minusowych. Obliczyć prawdopodobieństwo naruszenia warunków technicznych przy montażu, jeżeli koła są wybierane w sposób przypadkowy. 4.Wśródmlosów,gdzie m>4,sączterywygrywające.kupujemydwalosy.dlajakichmprawdopodobieństwo, że: (a)obasąwygrywające-jestwiększeod0,2; (b)obasąwygrywające-jestmniejszeod0,5; (c) przynajmniej jeden wygrywa- jest większe od 0,5. 5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucona na pokratkowaną kartkę papieru(kratki 2 2) moneta o średnicy nie dotknie żadnej linii. 6. Dwie przyjaciółki umówiły się w kawiarni między godziną 8 a 9 i postanowiły czekać na siebie co najwyżej kwadrans. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? Ile minut powinny na siebie czekać, by prawdopodobieństwo spotkania było większe niż 0,8? 7.Współczynnikia,btrójmianukwadratowegox 2 +ax+bsąlosowowybranymiliczbamizprzedziału [0,]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: (a) trójmian ten nie ma miejsc zerowych, (b) ma dwa dodatnie pierwiastki, (c) ma dwa pierwiastki różnych znaków? 8. Wiadomo, że 2% populacji pewnego szczepu w Afryce to ludzie zarażeni wirusem HIV. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) wśród losowo wybranych 00 osób nie ma ani jednej zarażonej, b) wśród losowo wybranych 00 osób są 2 zarażone, c) jaka jest minimalna liczba osób, które należy zbadać, by prawdopodobieństwo znalezienia osoby zarażonej było nie mniejsze niż 0,95. Podać wynik dokładny i przybliżony wykorzystując odpowiednie twierdzenie(zacytować je!)

2 9. Na egzaminie student losuje jedno zdziesięciu pytań. Opanował tylko jeden temat. Na chwilę przed egzaminem jedno z pytań gdzieś się zawieruszyło. Oceń, czy szanse studenta zmalały. A gdyby umiał odpowiedziećna5pytań,azgubiłosięaż8pytań? 0. Na przenośnik taśmowy trafiają jednakowe wyroby wytwarzane przez 3 automaty. Stosunek ilościowy produkcji automatów kształtuje się jak 2:2:. Poza tym wiadomo, że automat pierwszy produkuje 85% wyrobów I gatunku, drugi- 80% I gatunku, a trzeci- 90% I gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wzięty z przenośnika wyrób jest: (a) II gatunku, (b) wyprodukowany przez drugi automat, jeżeli okazał się II gatunku, (c) wyprodukowany przez pierwszy automat, jeżeli okazał się I gatunku.. Koparka może pracować w warunkach normalnych albo trudnych odpowiednio z prawdopodobieństwamip =0,8ip 2 =0,2.Prawdopodobieństwoawariikoparkiwczasietwynosi0,05przypracy w warunkach normalnych i 0,25 w warunkach trudnych. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo awarii w ciągu czasu t? (b) W czasie t koparka uległa uszkodzeniu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pracowała w warunkach normalnych? 2. Do wykrycia skaz w metalowych elementach zastosowano pewien test. Wiadomo, że przeciętnie 5% elementów ma skazy. Ustalono doświadczalnie, że jeśli element ma skazę, to test w 90% wskazuje jej istnienie i w 90% nie wskazuje skazy, gdy jej nie ma. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: (a) element ma skazę, jeśli wynik testu jest pozytywny, (b) element ma skazę, jeśli dwukrotne powtórzenie testu dało wynik pozytywny? 3. Rozpatrujemy rodziny z trójką dzieci. Zakładając, że wszystkie kombinacje są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej rodzinie: (a) jest przynajmniej jedna dziewczynka, (b) jest dokładnie jeden chłopiec, (c) jest co najwyżej jedna dziewczynka, (d)sądzieciobupłci Czy któreś ze zdarzeń są niezależne? 2

3 LISTA 2. (Zmienna losowa, jej dystrybuanta i rozkład. Funkcje zmiennej losowej.). Zorganizowano następującą grę: gracz wyciąga z talii dwie karty(bez zwracania). Jeżeli są to dwa asy -graczwygrywa20zł;jeżelidwiefigury(król,dama,walet)-graczwygrywa0zł;wkażdympozostałym przypadku gracz płaci dwa złote. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X oznaczającej wygraną gracza. 2. Spośród trzech dobrych i dwu wadliwych elementów losujemy 3 elementy. Wyznaczyć rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej X oznaczającej liczbę wadliwych elementów. Z wykresu dustrybuanty odczytaćp(x ), P(0<X 4). 3. Obsługa działa artyleryjskiego ma trzy pociski. Prawdopodobieństwo trafienia do celu jednym pociskiem(przy jednym wystrzale) wynosi 0,7. Strzelanie kończy się z chwilą trafienia do celu albo wyczerpania pocisków. Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa liczby oddanych strzałów oraz przeciętną liczbę oddanych strzałów. 4. Na drodze ruchu pociągów są w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z których każdy(niezależnie od pozostałych) zezwala na przejazd z prawdopodobieństwem 0,8. Niech X oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pociąg nie zatrzyma się przed trzecim semaforem. 5. Robotnik obsługuje trzy maszyny. Długotrwałe obserwacje wykazały, że prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny maszyna nie będzie wymagać jego interwencji wynosi 0,6 dla pierwszej oraz 0,7 dla drugiej i trzeciej maszyny. Przy założeniu, że maszyny pracują niezależnie od siebie, wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa liczby X maszyn, które w ciągu godziny nie wymagają interwencji robotnika. Znaleźć średnią liczbę maszyn, które w ciągu godziny nie wymagają interwencji robotnika. 6. W celu sprawdzenia pracy automatycznej obrabiarki pobiera się próbę 4-elementową z bieżącej produkcji. Każdy element próby jest kwalifikowany jako brak, jeżeli jego wymiary nie mieszczą się w granicach tolerancji. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych? Niech X będzie zmienną losową określającą liczbę braków w 4-elementowej próbie. Zdefiniować formalnie zmienną losową X. Przypuśćmy, że praca obrabiarki wymaga korekty, gdy w 4-elementowej próbie będą co najmniej dwa braki. Opisać to zdarzenie: a)przez zdarzenia elementarne, b)przez zmienną losową X. Zakładając, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, obliczyć P(X = x) dla x = 0,, 2, 3, 4. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia obrabiarka wymaga korekty. Naszkicować dystrybuantę zmiennej X i odczytać to prawdopodobieństwo z wykresu dystrybuanty. 7.Czymożnadobraćstałe a,b tak,byfunkcja F(x) byładystrybuantąpewnejzmiennejlosowej? a 2 +ex gdy x, F(x)= e gdy x<, F(x)= b(0 2 ) gdy x>. x 2 eax gdy x, bx+ 3 gdy <x <2, 4 gdy x>2. Przyjmując: a= 2,b= 0 obliczyć: P( X<2), P(0 X ), P( X<3). 8. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa x i p i 0, 0,2 0,5 0,2 Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X oraz funkcje prawdopodobieństwa i dystrybuanty zmiennych losowych:2x+3,x 2,x NiechF X będziedystrybuantązmiennejx.znaleźćdystrybuantyzmiennychx 2,e X, X, X,logX (przy oczywistych założeniach o X). 3

4 LISTA 3. (Parametry zmiennych losowych. Zmienne losowe dwuwymiarowe.). W pewnym biurze zainstalowano 0 drukarek. Każda z drukarek pracuje niezależnieśrednio przez 2 minut w ciągu jednej godziny. a) Jakie jest prawdopodobieästwo, że w losowo wybranej chwili będzie włączonych 7 drukarek? co najmniej 7 drukarek? b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba drukarek włączonych w danej chwili? 2. Po mieście jeździ 000 samochod w. Prawdopodobieństwo wezwania pogotowia technicznego w ciągu doby przez jeden samochód równe jest p = 0, 002. Obliczyć prawdopodobieństwo wezwania pogotowia przez którykolwiek z samochodów zakładając, że wezwania są zdarzeniami niezależnymi. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych samochodów? Ile miejsc należy przygotować na stacjach obsługi,by z prawdopodobieństwem 0, 95 było wolne miejsce dla uszkodzonego samochodu? 3. Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem przez pewną sie ma rozkład Poissona z parametrem λ. W każdym zarażonym komputerze wirus niezależnie uaktywnia się z prawdopodobieństwem p. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wirus uaktywni się w m komputerach? 4. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych z poprzednich zadań. 5. Wektor losowy(x, Y) ma następujący rozkład łączny: P(X=0,Y= 2)=0,;P(X=0,Y=0)=0;P(X=0,Y=)=0,2; P(X=2,Y= 2)=P(X=2,Y=0)=0,2;P(X=2,Y=)=0,3. CzyXiYsąniezależne? 6. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej(x, Y) o dystrybuancie F(x, y), gdzie: { e a)f(x,y)= x e y +e x y { dla0<x,0<y e (x 2 +y 2 ) gdy x b)f(x,y)= 2 +y 2, 0 poza tym. 0 poza tym. 7.DobraćstałąCtak,abyfunkcja F(x,y)= { C(x 2 y+y) dla0<x<,0<y<2 0 poza tym. byłagęstościąpewnegowektoralosowego(x,y).czyxiysąniezależne? { c(x+y) dla0 x,0 y x, 8.Dobraćstałąctak,abyfunkcja f(x,y)= 0 poza tym byłagęstościąpewnegowektoralosowego(x,y).obliczyćnastępniep(x 2 +Y 2 )iwspółczynnik korelacjizmiennychlosowychxiy.czyxiysąniezależne? 9. Dwuwymiarowa zmienna losowa(x, Y) ma rozkład jednostajny na zbiorze {(x,y):0 x,y,y x+ 2 lubx 2 y x}. a) Sprawdzić, że rozkłady brzegowe są jednostajne na przedziale[0, ]. b)czyzmiennelosowexiysąniezależne? 0. Gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej(x, Y) zadana jest wzorem f(x,y)= 2π e 2 (x2 +y 2). a)obliczyćp(x>). b)obliczyćp(x 2 +Y 2 ). 4

5 LISTA 4. (Twierdzenia graniczne.).zpartiitowaruowadliwości3%pobranopróbę500-elementową.obliczyćprawdopodobieństwo,ľe liczba elementów wadliwych w próbie nie przekroczy 4%. 2.Samolotzabiera80pasaľerów.Przyjmując,ľewagapasażerajestzmiennąlosowąorozkładzieN(80,0) obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 9000kg. 3. Prawdopodobieństwo spostrzeżenia sputnika z ziemi z określonego punktu obserwacyjnego jest równe p= przykażdymlocienadpunktemobserwacyjnym.znaleźćliczbęlotów,jakąpowinienwykonać 0 sputnik,abyzprawdopodobieństwemniemniejszymniż0,9liczbax n spostrzeżeńsputnikabyła Komputer dodaje 200 liczb rzeczywistych i każdą zaokrągla do najbliższej liczby całkowitej. Błędy zaokrągleńsąniezależneimająrozkładjednostajnyna[ 2, 2 ].Obliczyćprawdopodobieństwo,że błąd w obliczeniu sumy przekroczy Czas pracy lampy elektronowej ma rozkład wykładniczy o średniej m = 900h. Zgromadzono zapas 00 lamp. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wystarczy ich na godzin pracy, jeżeli każdą lampę włączamy natychmiast po wygaśnięciu poprzedniej. Ile lamp trzeba mieć w zapasie, by z prawdopodobieństwem > 0, 99 wystarczyło ich na godzin pracy urządzenia. 6.Zmiennelosowe X,X 2,...,X 00 sąniezależneorozkładziepoissonazparametremλ.obliczyć przybliżonąwartośćwyrażenia P( 00 k=x k >90) 7. Udźwig żurawia wynosi 20t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy podnoszeniu 400 elementów ważącychśrednio5kgzwariancją6,4kg 2 udźwigzostanieprzekroczony? 5