Tomasz Krawczyk Zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu Value at Risk portfela inwestycyjnego. Problemy Zarządzania 14/4 (1), 25-38

Transkrypt

1 omasz Krawzyk Zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu alue at isk portfela inwestyyjnego Problemy Zarządzania 4/4 () 538 6

2 Problemy Zarządzania vol. 4 nr 4 (63) t. : 5 38 IN ydział Zarządzania U DOI.77/ Zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu alue at isk portfela inwestyyjnego Nadesłany:..5 Zaakeptowany do druku:..6 omasz Krawzyk * artykule przedstawiono zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu wartośią zagrożoną alue at isk portfela inwestyyjnego. Istotą oblizenia wartośi zagrożonej portfela inwestyyjnego wieloskładnikowego jest zastosowanie podejśia opartego na zastosowaniu oblizeń za pomoą algebry maierzy w którym główną rolę pełni maierz warianjikowarianji. ramah oblizeń maierzy warianjikowarianji korygowana jest maierz zmiennośi aktywów w zależnośi od wybranego poziomu ufnośi. Uwzględniają efekty korelayjne można w ten sposób oszaować wartość zagrożoną portfela zdywersyfikowanego. przypadku nieuwzględnienia efektów korelayjnyh otrzymujemy wartość zagrożoną portfela niezdywersyfikowanego. konepji wartośi zagrożonej zdywersyfikowanej jak i niezdywersyfikowanej istnieje możliwość zastosowania symulaji opartej na metodzie Monte Carlo. Najważniejszym obszarem zastosowania symulaji opartej na metodzie Monte Carlo w konepji a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego są przyszłe notowania aktywów whodząyh w skład portfela. Zaprezentowane zastosowania metody Monte Carlo w konepji a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego mogą służyć do budowy systemów zarządzania ryzykiem rozbudowanyh portfeli inwestyyjnyh opartyh na aktywah takih jak akje waluty indeksy giełdowe surowe. łowa kluzowe: zarządzanie ryzykiem wartość zagrożona symulaja Monte Carlo. he Appliation of the Monte Carlo Method in the Management of alue at isk of an Investment Portfolio ubmitted:..5 Aepted:..6 his paper desribes the use of the Monte Carlo method in the management of alue at isk (a) of an investment portfolio. he essene of alulating the a is the use of a multiomponent investment portfolio approah based on alulations matrix algebra where the main role is played by the varianeovariane matrix. As part of the alulation of the varianeovariane matrix the hanges in volatility matrix of assets are made depending on the level of statisti signifiane. aking into aount the orrelation effets the a of the diversified portfolio an thus be estimated. If we do not take into aount the orrelation effets then we get nondiversified portfolio value at risk. he onept of diversified and nondiversified a allows for the use of simulation based on the Monte Carlo method. he most important area of appliation of simulation based on the Monte Carlo method in the onept of diversified and nondiversified a is the future trading of assets within a portfolio. he presented Monte Carlo appliation methods in the onept of diversified and nondiversified a an be used to * omasz Krawzyk dr Uniwersytet arszawski ydział Nauk Ekonomiznyh DELab. Adres do korespondenji: Uniwersytet arszawski ydział Nauk Ekonomiznyh ul. Dobra 56/66 3 arszawa; tj.krawzyk@uw.edu.pl.

3 omasz Krawzyk build risk management systems for sophistiated investment portfolios based on underlying assets suh as stoks urrenies stok indies ommodities. Keywords: risk management value at risk Monte Carlo simulation. JEL: C5. prowadzenie Celem artykułu jest przedstawienie możliwośi zastosowania symulaji Monte Carlo w metodologii a na przykładzie wartośi zagrożonej portfela inwestyyjnego. Konepja alue at isk w portfelu inwestyyjnym umożliwia wylizenie wartośi zagrożonej zdywersyfikowanej oraz niezdywersyfikowanej. przypadku wartośi zdywersyfikowanej istotą jest uwzględnienie tzw. efektów korelayjnyh zahodząyh pomiędzy aktywami whodząymi w skład portfela. Ujemne efekty korelayjne umożliwiają zmniejszenie wartośi zagrożonej portfela. przypadku wartośi niezdywersyfikowanej rozpatrywana jest sytuaja w której nie uwzględniamy efektów korelayjnyh lub rozpatrujemy szzególny przypadek wartośi zagrożonej zdywersyfikowanej gdzie współzynniki korelayjne pomiędzy aktywami whodząymi w skład portfela są równe jednośi. Pomijają skrajny przypadek gdy współzynnik korelaji jest równy można stwierdzić że a zdywersyfikowany jest mniejszy od a niezdywersyfikowanego. ym samym można zbudować system analizy ryzyka oraz systemy podejmowania działań opierająe się na dwóh poziomah graniznyh strat w ramah konepji a. Konepje alue at isk zdywersyfikowanego oraz niezdywersyfikowanego można rozszerzyć o zastosowanie metody Monte Carlo. tosują metodę Monte Carlo w konepji a zdywersyfikowanego można przeprowadzić symulaję kursów aktywów takih jak akje waluty indeksy surowe naturalne. Na podstawie symulaji Monte Carlo można przeprowadzić próbkowanie stopy zwrotu a tym samym oszaować parametr zmiennośi danego aktywa w postai odhylenia standardowego. ten sposób można uzyskać zasymulowaną maierz zmiennośi która dodatkowo korygowana jest przy danym poziomie ufnośi w ramah konepji a. przypadku braku efektów korelayjnyh i zasymulowana maierz zmiennośi w sposób bezpośredni umożliwia oszaowanie a niezdywersyfikowanego. przypadku a zdywersyfikowanego stosują symulaję Monte Carlo należy zwróić uwagę na współzynniki korelaji. Można zastosować niezmienione współzynniki lub w ramah oszaowanej próbki oszaować je na nowo i wstawić do maierzy korelaji. Na podstawie przeprowadzonej symulaji Monte Carlo zarówno dla a zdywersyfikowanego jak i niezdywersyfikowanego można przeprowadzić proedurę próbkowania na podstawie której można wylizyć podstawowe statystyki takie jak wartość średnia warianja odhylenie standardowe współzynnik zmiennośi wartość maksymalna wartość minimalna przedział ufno 6 DOI.77/

4 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu alue at isk portfela inwestyyjnego śi. Przeprowadzona w ten sposób symulaja oparta na metodzie Monte Carlo pozwala na przeprowadzenie porównania wartośi zagrożonej zasymulowanej z portfelem referenyjnym umożliwia też przeprowadzenie baktestów oraz potenjalnyh prognoz poziomów graniznyh strat.. artość zagrożona portfela zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego Oblizenie wartośi zagrożonej dla portfela zdywersyfikowanego wieloelementowego wymaga przeprowadzenia oblizeń za pomoą algebry maierzy. elu przeprowadzenia oblizeń potrzebna jest maierz wag która zawiera informaje na temat udziału poszzególnyh aktywów w portfelu maierz zmiennośi aktywów (zmienność dotozy w tym przypadku stóp zwrotu aktywów) poziomu ufnośi w elu skorygowania maierzy zmiennośi C maierz współzynników korelaji aktywów (Butler 6): v 3 4 v 3 4 = 6w w w = C. j = 3 3 () 34 v ik Na podstawie powyższyh maierzy można przeprowadzić oblizenia dla a zdywersyfikowanego według równania aa = Cl: v v w 3 4 v 3 4 v w 6w w w j j h = v ik v ik w k () = Cl= Cl= a a. Z kolej w przypadku oblizeń wartośi zagrożonej niezdywersyfikowanej oblizenia przeprowadzamy za pomoą formuły : v v 6w w w = a = a a a. j a + + f + n (3) v ik Załóżmy że realizowana jest inwestyja w portfel o wartośi mln zł. Poniżej przedstawiono poszzególne maierze oraz oszaowania a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego. Problemy Zarządzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6 7

5 omasz Krawzyk = = 4 C = elu przeprowadzenia wylizeń a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego dokonujemy skorygowania maierzy zmiennośi przy poziomie ufnośi o wartość odzytaną z tabli rozkładu normalnego równą 363: 74 = Następnie przeprowadzamy oblizenia maierzy C: = = Maierz C mnożona jest przez maierz zmiennośi. ynikiem jest maierz C: 8 DOI.77/

6 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu alue at isk portfela inwestyyjnego = = Następnie maierz C jest mnożona przez maierz wag. ynikiem jest maierz C: 66 7 # # = = 64 3 Kolejny etapem jest przemnożenie maierzy C przez transponowaną maierz wag. ynik to maierz C : = yiągnięty pierwiastek z C daje wynik dla a zdywersyfikowanego: Cl = 48. elu oszaowania wartośi zagrożonej niezdywersyfikowanej potrzebna jest maierz wag oraz skorygowana maierz zmiennośi. ynikiem mnoże Problemy Zarządzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6

7 omasz Krawzyk nia tyh dwóh maierzy jest maierz. uma wartośi tej maierzy daje wynik w postai a niezdywersyfikowanego: = 3 = uma elementów maierzy daje wynik dla a niezdywersyfikowanego: a = a + a + + a = 8. a g Na podstawie przeprowadzonyh wyżej oblizeń można stwierdzić że wartość a dla portfela zdywersyfikowanego zależy od konstrukji portfela tzn. udziału poszzególnyh aktywów w portfelu efektów korelayjnyh zahodząyh pomiędzy aktywami zmiennośi aktywów whodząyh w skład portfela inwestyyjnego oraz przyjętego poziomu ufnośi które służy korekie dla maierzy zmiennośi. Udział poszzególnyh aktywów w dużej mierze będzie związany z informają na temat ih zmiennośi i efektów korelayjnyh przy uwzględnieniu obranej strategii wartośi ozekiwanej portfela. Zmienność poszzególnyh aktywów jest uwarunkowana informają na temat zmiennośi stóp zwrotu poszzególnyh aktywów na podstawie danyh historyznyh ih notowań. Czym większa wartość odhylenia standardowego tym bardziej wzrasta wartość zagrożona dla wartośi zagrożonej zarówno zdywersyfikowanej jak i niezdywersyfikowanej. Niewątpliwie istotny wpływ na wartość a zdywersyfikowanego ma korelaja. zrost dodatni współzynników korelayjnyh pomiędzy aktywami spowoduje wzrost wartośi zagrożonej dla portfela inwestyyjnego. Z kolei w przypadku gdy współzynniki korelayjne uzyskują znaząe ujemne wartośi to wartość zagrożona w sposób istotny się obniża. Brak jakihkolwiek efektów korelayjnyh spowoduje sytuaję która jest widozna w przypadku oszaowanej wartośi zagrożonej niezdywersyfikowanej. Należy o tym pamiętać szzególnie gdy na giełdzie pojawiają się symptomy krahu. Dążenie w sposób szybki wartośi a zdywersyfikowanego do wartośi a niezdywersyfikowanego jest bardzo ważnym sygnałem ostrzegawzym dla deydentów portfela inwestyyjnego (Butler 6). n 3 DOI.77/

8 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu alue at isk portfela inwestyyjnego 3. ymulaja z zastosowaniem metody Monte Carlo Metoda Monte Carlo nazwa została nadana na ześć słynnej stoliy hazardu w Monako należy do jednyh z najbardziej rozwiniętyh metodologii. ymulaja oparta na metodzie Monte Carlo to sposób modelowania matematyznego stworzony przez polskiego matematyka tanisława Ulama który w taki oto sposób opisuje metodę Monte Carlo w Przygodah matematyka: Pomysł ten nazwany później metodą Monte Carlo wpadł mi do głowy kiedy podzas horoby stawiałem pasjanse. Zauważyłem że znaznie praktyzniejszym sposobem oeniania prawdopodobieństwa ułożenia pasjansa jest wykładanie kart zyli eksperymentowanie z tym proesem i po prostu zapisywanie proentu wygranyh niż próba oblizenia wszystkih możliwośi kombinatoryznyh któryh lizba rośnie wykładnizo (Ulam 6 s. 5). Pomysł polegał na wypróbowaniu tysięy takih możliwośi z przypadkowym wybieraniem zdarzenia określająego los neutronu na każdym etapie proesu przy użyiu «lizb losowyh» (...) Po zbadaniu możliwyh przebiegów proesu jedynie w kilku tysiąah przypadków będziemy mieli dobra próbkę i przybliżoną odpowiedz na pytanie. szystko zego potrzeba to metoda tworzenia takih przykładowyh przebiegów (Ulam 6 s. 6). Istotnym elementem w symulaji opartej na metodzie Monte Carlo jest zatem losowanie przypadkowe wielkośi harakteryzująyh proes dotyzy to rozkładów proesów zarówno prostyh jak i złożonyh. ymulaja składa się z następująyh głównyh zęśi: sformułowania modeli stohastyznyh badanyh proesów realnyh modelowania zmiennyh losowyh o danym rozkładzie prawdopodobieństwa rozwiązywania problemu statystyznego z zakresu teorii estymaji. Upraszzają proes można stwierdzić że symulaja Monte Carlo umożliwia wygenerowanie tysięy a nawet setek tysięy próbek wyników o umożliwia wykorzystanie jej do analizy ryzyka jego kwantyfikaji analizy wrażliwośi a także prognozy. arto mieć na uwadze jeszze jedno przesłanie tanisława Ulama w tej metodzie: Cehą metody Monte Carlo jest to że nigdy nie daje ona dokładnej odpowiedzi; wnioski z niej pokazują razej że odpowiedź jest zawarta w pewnym przedziale błędu z takim a takim prawdopodobieństwem (Ulam 6 s. 8). Podstawą zastosowania metody Monte Carlo w symulaji jest znajomość rozkładów prawdopodobieństwa. przypadku analizy pomiarów metoda Monte Carlo polega na losowaniu wyników pomiarów podlegająyh założonemu rozkładowi i może być wykorzystywana do symulaji proesu pomiaru. Matematyznie metodę Monte Carlo można przedstawić rozważają przykład szaowania ałki funkji f w danym przedziale: a = # f^xhdx (4) Problemy Zarządzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6 3

9 omasz Krawzyk gdzie wartość ozekiwana E [f (U)] gdzie U jest rozkładem jednostajnym zawartym w przedziale od do. Przyjmują kolejne wartośi U U w ramah rozkładu jednostajnego z przedziału [] można wykonać wylizenia funkji f na n losowyh wartośiah a następnie oszaować średnią rezultatów w ramah estymaji metodą Monte Carlo: a t n = n fu ^ ih n / i = (5) jeśli f jest rzezywiśie ałkowana w przedziale [] wtedy na moy prawa wielkih lizb a t a z prawdopodobieństwem jako n "\ n " jeśli f jest zatem ałkowalna dla funkji kwadratowej to otrzymujemy v f = # ^f^xhah dx (6) wtedy błąd a t n " a w ramah estymaji metodą Monte Carlo aproksymowany jest do rozkładu normalnego z średnią i odhyleniem standardowym v f n a jakość aproksymaji poprawia się wraz ze wzrostem n. Parametr σ f który jest nieznany w odniesieniu do α może być oszaowany za pomoą wzoru na odhylenie standardowe próbki: f n = n /^fu ^ ih at h i =. (7) tąd z wartośi funkji f (U ) f (U n ) uzyskujemy nie tylko oszaowanie ałki dla parametru α ale także pomiar błędu oblizeń (Glasserman 3). 4. ymulaja Monte Carlo a portfela zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego Przeprowadzenie symulaji Monte Carlo dla portfela zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego wymaga zastosowania określonego algorytmu oblizeniowego który sprowadza się do realizaji poszzególnyh etapów:. Aktywa whodząe w skład portfela inwestyyjnego są analizowane ze względu na notowania kursu. Istotnym aspektem jest określenie historyznego fragmentu zasowego jaki będzie uwzględniony do szaowania poszzególnyh miar statystyznyh. ażna jest też stosowana miara zasu. 3 DOI.77/

10 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu alue at isk portfela inwestyyjnego. Kolejnym etapem jest oszaowanie miar statystyznyh takih jak wartość średnia warianja i odhylenie standardowe współzynnik zmiennośi dla każdego aktywa whodząego w skład portfela inwestyyjnego. ozpatrywaną wartośią jest w tym przypadku stopa zwrotu z inwestyji wyrażona w postai szeregu zasowego przy uwzględnieniu określonej miary zasu. 3. Następnie posiadają wartość średnią oraz odhylenia standardowego dla każdego aktywa whodząego w skład portfela inwestyyjnego za pomoą lizb losowyh o rozkładzie jednostajnym oraz funkji rozkładu normalnego tworzymy dla każdego z osobna aktywa generator losowy przy pomoy którego przeprowadzamy próbkowanie. 4. Po utworzeniu odpowiedniej lizebnej próby dla każdego aktywa whodząego w skład portfela inwestyyjnego budujemy przedział w elu wyznazenia zęstośi oraz szaujemy funkję prawdopodobieństwa dla przyjętego w założeniah rozkładu statystyznego. rozpatrywanym przypadku jest to rozkład normalny. 5. Kolejnym etapem jest oszaowanie podstawowyh statystyk opisowyh dla każdej przeprowadzonej symulaji. Na podstawie opraowanej próby otrzymanej z symulaji Monte Carlo oblizamy wartość średnią warianję Oszaowanie wartośi średnih i odhyleń standardowyh dla wybranyh aktywów whidząyh w skład portfela inwestyyjnego Opraowanie generatorów losowyh wartośi przy zadanyh wartośiah średnih i odhyleniah standardowyh i rozkładzie prawdopodobieństwa Próbkowanie a następnie oszaowanie podstawowyh statystyk opisowyh zęstośi i rozkładu prawdopodobieństwa Podstawienie wartośi symulowanyh odhyleń standardowyh do maierzy zmiennośi Oszaowanie a zdywersyfikowanego oraz a niezdywersyfikowanego Próbkowanie a zdywersyfikowanego oraz a niezdywersyfikowanego Oblizenie statystyk opisowyh zęstośi i rozkładu prawdopodobieństwa oddzielnie dla a zdywersyfikowanego i a niezdywersyfikowanego ys.. hemat realizaji dla symulaji a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego. Źródło: opraowanie własne. Problemy Zarządzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6 33

11 omasz Krawzyk odhylenie standardowe współzynnik zmiennośi wartość maksymalną wartość minimalną przedział ufnośi. 6. Oszaowane wartośi odhyleń standardowyh z poszzególnyh symulaji są wstawiane do maierzy zmiennośi. Następnie maierze zmiennośi jest korygowana o wartość odzytaną z tabli rozkładu normalnego przy zadanym poziomie ufnośi. 7. przypadku przyjęia założenia o niezmienianiu współzynników korelaji należy oszaować a zdywersyfikowany oraz a niezdywersyfikowany. przypadku gdy współzynniki zmiennośi z statystyk opisowyh są większe niż należy oszaować współzynniki korelaji na nowo na podstawie zasymulowanyh próbek poszzególnyh aktywów. 8. ynik a zdywersyfikowanego oraz a niezdywersyfikowanego należy oddzielnie spróbować i oblizyć statystki opisowe tzn. średnią warianję odhylenie standardowe współzynnik zmiennośi wartość maksymalną wartość minimalną przedział ufnośi.. ynik symulaji należy porównać z wynikami referenyjnymi. Poniżej przedstawiono przykładową symulaję Monte Carlo dla a zdywersyfikowanego składająego się pięiu aktywów: = = C = elu przeprowadzenia wylizeń a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego dokonujemy skorygowania maierzy zmiennośi przy poziomie ufnośi o wartość odzytaną z tabli rozkładu normalnego równą 363: 5 = DOI.77/

12 Problemy Zarządzania vol. 4 nr 4 (63) t Zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu alue at isk portfela inwestyyjnego Następnie przeprowadzamy oblizenia maierzy C: = = Maierz C mnożona jest przez maierz zmiennośi. ynikiem jest maierz C: = Następnie maierz C jest mnożona przez maierz wag. ynikiem jest maierz C: = = Kolejny etapem jest przemnożenie maierzy C przez transponowaną maierz wag. ynik to maierz C :

13 omasz Krawzyk = yiągnięty pierwiastek z C daje wynik dla a zdywersyfikowanego: Cl =. ramah symulaji Monte Carlo wynik jest próbkowany a następnie szaowane są podstawowe statystyki opisowe (tabela ). Na rysunku przedstawiono też wykres zęstośi. a MC Średnia 8668 Błąd standardowy Mediana 54 Odhylenie standardowe arianja próbki Kurtoza kośność 7534 Zakres Minimum Maksimum uma Liznik 5 Poziom ufnośi () ab.. Podstawowe statystyki opisowe otrzymane z próby w ramah symulaji Monte Carlo dla n = 5. Źródło: opraowanie własne. ys.. Oszaowana zęstość na podstawie przeprowadzonej symulaji Monte Carlo. Źródło: opraowanie własne. 36 DOI.77/

14 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarządzaniu alue at isk portfela inwestyyjnego 5. Dalsze kierunki badań Zastosowanie metody Monte Carlo nie ograniza się tylko do symulaji portfela inwestyyjnego opartego na takih aktywah jak akje indeksy waluty. Metodologia alue at isk jest obenie ały zas rozbudowywana o nowe zastosowania w obszarze inwestyyjnym tworzą tym samym szeroki obszar badawzy. Interesująym aspektem badawzym są możliwe zastosowania symulaji Monte Carlo wraz z metodologią a w obszarze analizy ryzyka kredytowego oraz kredytowyh instrumentów pohodnyh szzególnie opartyh na obligajah korporayjnyh. yniki przeprowadzonego badania przez BiałekJaworska i Krawzyk (5) wskazują na dodatni wpływ zmiennośi stóp zwrotu akji na udział wielkośi emisji obligaji korporayjnyh w sumie bilansowej a silny ujemny wpływ na substytuyjność długu publiznego (emisji obligaji korporayjnyh) i prywatnego (zadłużenia w banku). yższe ryzyko inwestyyjne towarzysząe relatywnie większym emisjom obligaji korporayjnyh (w stosunku do aktywów ogółem) wywołuje potrzebę stworzenia alternatywnyh modeli wyeny alue at isk dla obligaji korporayjnyh i kredytowyh instrumentów pohodnyh tym bardziej ze względu na brak ratingów kredytowyh emitentów instrumentów dłużnyh. półki o średnih ratingah kredytowyh (od BB do B ) ustalonyh według modelu Altmana dla Polski (Z sore for Emerging Markets wykorzystywanyh przez tokath.pl) emitują relatywnie więej obligaji korporayjnyh w stosunku do aktywów niż spółki o najlepszyh ratingah kredytowyh (od AAA do BBB). Natomiast spółki o najgorszyh ratingah kredytowyh (od CCC to D) bardziej zadłużają się w banku w relaji do aktywów ogółem (BiałekJaworska i Krawzyk 5). ramah wybranyh kredytowyh instrumentów pohodnyh istnieją możliwośi rozwinięia badań nad zastosowaniem pogłębionej metody Monte Carlo nad instrumentem CD (Credit Default wap). Obszarem do pogłębionyh badań jest w tym przypadku budowa metodologii łąząyh ten instrument z aktywami przedsiębiorstwa przy wykorzystaniu metody Monte Carlo oraz a (Krawzyk 3). Innym interesująym obszarem badań nad wykorzystaniem metody Monte Carlo w ramah szeroko pojętej metodologii wartośi zagrożonej jest możliwość zastosowań szeregów zasowyh. Dotyhzasowe badania prowadzone w tym zakresie pokazują możliwość wykorzystania takih modeli szeregów zasowyh jak modele autoregresji i średniej ruhomej (AiMA) oraz modele ogólnej heteroskedastyznośi warunkowej (GACH). Zwłaszza modele GACH wraz z spejalnymi odmianami pozwalają na oszaowanie w sposób dokładniejszy parametrów zmiennośi które pełnią istotną funkję w oblizeniah a. Zastosowanie modeli szeregów zasowyh w zestawieniu z metodą Monte Carlo oraz wartośią zagrożoną pozwala na budowę liznyh odmian systemów zarządzania ryzykiem które będą wymagały prowadzenia dalszyh badań. Problemy Zarządzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6 37

15 omasz Krawzyk 6. Zakońzenie artykule przedstawiono możliwośi zastosowania symulaji Monte Carlo w ramah wartośi zagrożonej zdywersyfikowanej oraz niezdywersyfikowanej dla portfela inwestyyjnego. Przedstawione zastosowania symulaji Monte Carlo w konepji a portfela inwestyyjnego ukazują możliwośi tworzenia systemów zarządzania ryzykiem inwestyyjnym. szzególnośi zastosowanie symulaji Monte Carlo na przykładzie a portfela zdywersyfikowanego oraz niezdywersyfikowanego otwiera możliwośi na prowadzenie badań nad innymi zastosowaniami a wraz z metodą Monte Carlo w zagadnieniah dotyząyh ryzyka kredytowego oraz kredytowyh instrumentów pohodnyh. Bibliografia BiałekJaworska A. i Krawzyk. (5). Corporate Bonds or Bank Loans? he Choie of Funding oures and Information Dislosure of Polish Listed Companies. Argumenta Oeonomia (in review). Butler C. (8). Mastering alue isk. London: Prentie Hall. Glasserman P. (3). Monte Carlo Methods in Finanial Engineering. New York: pringer. Krawzyk. (3). Metoda Monte Carlo w proesie inwestyyjnym. Zastosowania praktyzne w Mirosoft Exel. arszawa: itkom. Ulam.M. (6). Przygody matematyka. arszawa: Prószyński i ka. 38 DOI.77/