Czy sterowanie predykcyjne wymaga dokładnej optymalizacji?

Transkrypt

1 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku Czy srowa prdykcyj wyaga dokładj opyalzacj? Dos h prdcv corol rqur a ac opzao? Por Baa * Srszcz: W arykul zapropoowao algory prdykcyjy wyagający dokładgo rozwązywaa zadaa srowaa opyalgo. Sforułowao odpowd załoŝa udowodoo sablość układu rgulacj. Uzyska wyk wykorzysao do aalzy odporośc algoryu. Wykazao odporą sablość algoryu w przypadku dokładj opyalzacj przy ograczoych zakłócach. RozwaŜaa zlusrowao przykład srowaa sys wahadła a wózku w obcośc zakłócń. Absrac: A olar prdcv corol sch whch dos o rqur a ac soluo of opal corol probl s proposd. h propr asupos ar forulad ad h sably of h closd loop sys s provd. hs rsuls ar usd for aalyss of proposd algorh robusss. Robus sably of h alghorh s provd h cas of subopal soluos of h opal corol probl h prsc of boudd dsurbacs. Proposd sch s appld o h pdulu car olar corol sys wh dsurbacs. Wsęp. Srowa prdykcyj opra sę a cyklczy rozwązywau odpowdo sforułowago zadaa srowaa opyalgo ZSO. Rozwązaa ZSO poszukuj sę zwykl oda uryczy w oparcu o odl obku. Po rozwązau zadaa począkowa część zalzogo srowaa js podawaa a wjśca obku. W asępy cyklu dokouj sę syacj sau obku poow rozwązuj ZSO. Rozwąza ZSO wyaga a ogół duŝgo akładu oblczń a w przypadku sysów lowych a ogół oŝa zagwaraować zbŝośc algoryów opyalzacj do rozwązań global opyalych. Podsawowy wyaga saway w rgulacj prdykcyjj js sablość układu rgulacj oraz jgo odporość a błędy odlowaa zakłóca. Wększość dowodów sablośc algoryów prdykcyjych opra sę a załoŝu Ŝ algory opyalzacj zajduj global u aksu w zadau srowaa opyalgo. Powsaj za pya czy ograczając sę do rozwązań subopyalych oŝa rówŝ udowodć sablość układu srowaa? Okazuj sę Ŝ przy pwych załoŝach o wskaźku jakośc odpowdź a o pya js wrdząca pozwala wycągąć wosk o odporośc układu rgulacj a zakłóca błędy odlowaa syacj sau. ZauwaŜy bow Ŝ rozwąza ZSO opu global uzyska a podsaw błędj syay sau oraz przy błędach odlowaa zakłócach js a ogół subopyal dla obku rzczywsgo. W arykul zapropoowao algory rgulacj prdykcyjj dla sysów opsywaych rówaa róŝczkowy zwyczajy. Wykazao Ŝ algory wyaga zajdowaa rozwązań opyalych udowodoo jgo sablość. Udowodoo Ŝ Ŝ waruk wysarczający sablośc oawago algoryu js oŝlwość zjszaa wskaźka jakośc w koljych chwlach czasu. Poado wykazao odporą sablość propoowago algoryu przy załoŝu subopyalych rozwązań ZSO. Pw d doycząc odporj sablośc algoryów zosały zaczrpę z prac dayva 7] Fosa 56] Fdsa 34]. Arykuł składa sę z pęcu rozdzałów. W rozdzal prwszy podao podsawow dfcj wrdza. Rozdzał drug pokazuj Ŝ przy pwych załoŝach o wskaźku jakośc oŝa zapropoować sably algory prdykcyjy wyagający dokładj opyalzacj. Rozdzał rzc zawra aalzę odporośc. W rozdzal czwary przdsawoo przykład srowaa układ wahadła a wózku przy zakłócach. Arykuł kończy sę woska. * AGH Uvrsy of Scc ad chology Isu of Auoacs. Mckwcza 3 av. Kraków Polad. pba@a.agh.du.pl

2 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku Ozacza. Nch H będz syryczą dodao okrśloą acrzą wyaru. Iloczy skalary oraz orę wkora w R ozaczay y Hy = H H. Zbór lczb H = rzczywsych ujych ozaczay R = { R; }. Sybol PC ] R lub PC R ozacza przsrzń fukcj przdzała cągłych a odcku ] lub o waroścach w R. Skró AP ozacza algory prdykcyjy. Sybol U ozacza przsrzń fukcj rzalych so ograczoych a odcku ] lub. JŜl u U o ora w j przsrz js daa wyraŝ u = sssup u. ]. Rówaa sysu własośc rozwązań. Zakładay Ŝ obk sroway js opsay układ rówań róŝczkowych zwyczajych & = f u p = R.. l : R R R R js klasy C względ wszyskch arguów oraz Fukcja f l f p =. Fukcja a js zalŝa od l pararów daych wkor p R. Poado f spła w z sałą > R waruk pschza f u p f u p zalŝą od u p. Ogracza warośc chwlowych srowaa ają posać u U U = { u R ; u u ua u < u a > }. Sa sysu. w chwl będzy akŝ ozaczać sybol z. =. Nch δ > ozacza okrs próbkowaa. W chwlach = δ =... dokoujy syacj sau obku oraz wyzaczay srowa. Srowa o js sosowa do obku w przdzal czasu. Horyzo prdykcj ozaczay przz. Zakładay Ŝ δ..3 rajkorę przwdywaą w przdzal czasu ] oblczay rozwązując rówa. z waruk począkowy =. Rozwąza rówaa. z srowa u sarując z puku będzy ozaczać sybol s ; ; u. W pwych przypadkach zaas s ; ; u będzy psać króko s. Nch dokęy ograczoy jdospójy oraz ch dopuszczal. Ω R będz zbor Ω. Dfujy srowa Dfcja.. Nch s będz rozwąza rówaa. z srowa u s oraz waruk począkowy. Srowa u : ] R js dopuszczal w pukc jŝl:. u PC ] R. u s U s ] 3. Ω. Dfcja.. JŜl dla dowolj lczby ε > dla dowolgo waruku począkowgo D R sj srowa dopuszczal u : D ] U D < ak Ŝ D D ; ; u < ε o sys. azwy asypoycz srowaly. Zakładay Ŝ sys. js asypoycz srowaly. Dfcja.3. Fukcj klasy K. JŜl fukcja ϕ : R R js cągła ścśl rosąca oraz ϕ = o ówy Ŝ fukcja a js klasy K lub pszy ϕ K.

3 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku Dfcja.4. Nch fukcja h K będz praw wszędz róŝczkowala a R. Pochoda h fukcj h js lokal ograczoa jŝl js ograczoa a kaŝdy zwary zborz Z R. a.. Growalla JŜl ω : R R js fukcją cągłą spłającą rówość b ω a bω s ds a b > o zachodz oszacowa ω a. wrdz.. Nch u : ] R będz srowa dopuszczaly. Przy doychczasowych załoŝach rozwąza s ; ; u rówaa. spła oszacowa s M M M gdz s ] = sup z sup f z w p. z Ω z w Ω U M = sup z Dowód: PowaŜ prawa sroa. zalŝy jaw od czasu o wysarczy rozparzyć przypadk srowaa okrślogo a odcku ]. Nch za u : ] R będz srowa dopuszczaly a odpowadającą u rajkorą z waruk począkowy = oraz końcowy Ω. RozwaŜy rówa. z odwrócoy kruk czasu z& = f z w p ] z = z = Ω..4 JŜl w = u o z = js rozwąza rówaa.4. Zachodz z Ω oszacowa z z f z w p ds z f z w p ds z f z w p f z w p f z w p ds f z w p f z w p ds z f z w p ds. Z waruku pschza orzyujy z z z s z ds f z w p ds z ds f z w p ds z z s ds. Prwszy wyraz oraz fukcj podcałkow w wyraŝu drug rzc są ograczo. Korzysając z dfcj sałych M M orzyujy z M M z s ds. PowaŜ ] o z M M z s ds. Sosując la Growalla z sały a = M M b = oraz ω = z orzyujy z M M co kończy dowód. Przdsawy raz klka chczych laów kór będą uŝycz w dalszych rozwaŝaach. 3

4 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku a.. ZałoŜa:. Fukcja g : ] R > js cągła w ];. Pochoda fukcj g sj w kaŝdy pukc przdzału ] oraz js ograczoa z. sj sała M > aka Ŝ g & < M dla ]; 3. Zachodz rówość g d < v v >. Mv dla v M ]; za: sup g < β v M gdz β v M = ] v M Mv dla v > M..5 Dowód: Z załoŝa wyka rówość a g M g. Całkując ob sroy orzyujy a g M d g d < v. A PołóŜy dla wygody s = g. Całka po lwj sro A wyos s dla s M]; I s = a s M d = M s M dla s > M. Fukcja Is js cągła ścśl rosąca oraz a cągłą pochodą względ s. Oblczając I Mv dla v M ]; v orzyujy I v = A v M dla v > M. Z A ay I s < v za g < I v. A 3 v d Zachodz rówość g ] = g g& g g& M g. Całkując ob d sroy korzysając z załoŝa 3 orzyujy g g M Na ocy A 3 A 4 ay g d M g d < Mv. A 4 g < g Mv < I v] Mv. Za g < I v] Mv. Podsawając do go wzoru A orzyujy zę lau. PowyŜszy wyk oŝa ławo rozszrzyć a fukcj o waroścach w R. a.3. ZałóŜy Ŝ fukcja : ] R js cągła pochoda & sj w ] oraz & < M. JŜl fukcja h K a pochodą lokal ograczoą o h d < v sup < h β v MM h.6 ] gdz fukcja β js okrśloa wzor.5 oraz M > sup h z M > sup. h z M ] ] Dowód: PokaŜy Ŝ fukcja h spła załoŝa lau.. PowaŜ js cągła o < M gdz M > sup. Z załoŝa fukcja h K a pochodą ] lokal ograczoą za sup h z < M <. Oblczając pochodą fukcj z M ] h 4

5 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku d d d h orzyujy h = h M h. Osa d d d d & & & wyraz spła oszacowa = < M d d węc h < M hm. Za h < β v MM h. PowaŜ h K o h js d odwracala. Dla zobrazowaa orzyago wyku wylczoo fukcję β v M dla M = =. β v M β v M β v M 5 4 β v M M = 3 M =.5.5 v Rys... Fukcja β v M dla M = =. Na koc przdsawy pw uogól zago lau Barbalaa 8]. a.4. Nch fukcja α K oraz ch będz fukcją absolu cągłą a JŜl < < & l α d < o gdy. Dowód lau zob. 8 ].. Algory prdykcyjy z przyblŝoą opyalzacją. Nch będz rozwąza rówaa. z waruk począkowy srowa u PC R. Dfujy wskaźk jakośc R. : ] R J u = u d q.. Zakładay Ŝ C R R R = u > dla u oraz Ŝ fukcja q C R R q = q > dla. Wskaźk. js ujy zalŝy w sposób cągły od u przy czy cągłość względ u js rozuaa w ss ory w U. Nch δ ozacza alą warość horyzou prdykcj. Forułujy zada srowaa opyalgo. = sssup. 5

6 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku Probl P : Zalźć srowa dopuszczal oraz horyzo alzując wskaźk jakośc.. Rozwąza problu P oraz odpowadającą u rajkorę ozaczay u s s; ; u s. Zakładay Ŝ rozwąza powyŝszgo problu sj w całj przsrz lub w odpowdo obszry zborz X zawrający zbór Ω. Dla problu P dfujy fukcję warośc. Dfcja.. Nch u będą rozwąza P. Fukcją warośc valu fuco V azyway opyalą warość wskaźka jakośc. pojszoą o lczbę z. V = J u. Wosk.. Fukcja warośc js cągła oraz V =. Przyjujy asępując załoŝ. ZałoŜ Z. Isj fukcja α K aka Ŝ dla dowolgo srowaa u PC ] R δ dowolgo R oŝa zalźć horyzo δ oraz srowa dopuszczal u PC ] δ δ R spłając waruk u δ J δ J u α d.. ZałoŜ Z js ypow dla AP. Gwarauj oo oŝlwość zjszaa wskaźka jakośc w koljych krokach czasowych saow kluczowy waruk sablośc rgulaorów prdykcyjych. Wększość dowodów sablośc AP polga a wykazau Z. Zachodz asępując Swrdz.. JŜl α u zbór Ω oraz fukcja q są ak wybra Ŝ dla kaŝdgo Ω sj przdzała cągł srowa u s : δ ] U ak Ŝ rajkora sysu. wygrowaa przz o srowa pozosaj w zborz Ω oraz spła s waruk q& s s us δ ] o załoŝ Z będz spło. Dowód go swrdza oŝa zalźć w pracy Fosa 6]. JŜl fukcja js kwadraowa o zbór Ω oraz fukcję q oŝa wyzaczyć odą opsaą w pracach Cha ] oraz auora ]. Forułujy zada srowaa subopyalgo. I Probl P r : Dla zadaj lczby r > waruku począkowgo alŝy zalźć horyzo oraz srowa dopuszczal u : ] R spłając rówość J u < r. Rozwąza problu js a ogół jdozacz. JŜl lczba r js zby ała o rozwąza oŝ sć. JŜl rozwąza sj o ozaczay j u s. rajkorę ozaczay s; ; u s. Oblcza są powarza co czas δ dla owgo wyzaczogo akual sau obku. W pwych przypadkach będzy pojać arguy psząc p. u zaas u s s; ; u s. Poday raz scha rgulacj prdykcyjj. Scha... Podsaw = = δ r = ;. Wyzacz sa obku ; 6

7 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku I. RozwąŜ P r ; 3. Podsaw r = J u ; 4. Zasosuj począkową część srowaa 5. Podsaw = δ dź do. δ ; u w przdzal czasu rajkorę oraz srowa w sys zakęy orzyujy poprzz kokaację rajkor oraz srowań u zasosowaych do obku w przdzałach czasu =.... rajkorę ę oraz odpowadając jj srowa będzy ozaczać rajkora js fukcją cągłą aoas srowa u js fukcją przdzała cągłą. Dfcja.. Scha. będzy azywać sably jŝl dla kaŝdgo zachodz waruk l =. wrdz.. Przy poczyoych załoŝach rajkora. zrza asypoycz do zra. u. growaa przz scha Dowód: W chwl począkowj usy zalźć jakkolwk srowa dopuszczal gwaraując skończoą warość wskaźka jakośc z. J u <. ZałoŜa poczyo w rozdzal prwszy gwaraują Ŝ ak srowa sj. Korzysając z załoŝa Z sosując rozuowa dukcyj wdzy Ŝ k δ k J u < α d J u. PowaŜ rajkora js k = k kokaacją rajkor o l α d J u <. Na dla =... ocy wrdza. ay M M p dla. Za M M p dla δ. Al J u < skąd wyka ograczoość. PowaŜ f js cągła o pochoda & = f u js akŝ ograczoa. Sosując la.4 orzyujy zę wrdza. Isją za schay srowaa prdykcyjgo wyagając dokładj opyalzacj. 3. Odporość algoryu a zakłóca błędy odlowaa. Aby aalzować odporość układu rgulacj usy dokoać rozróŝa poędzy sys rzczywsy a jgo odl. Nch odl obku będz opsay jak doychczas rówa. oraz ch sys rzczywsy będz opsay rówa & = f u a p p w =. 3. Fukcj a w p rprzują zakłóca srowaa zakłóca zwęrz oraz błędy syacj pararów obku. Nch ˆ ozacza syaę sau obku oraz ch = ˆ będz błęd syacj sau. Fukcj a w p będzy azywać zakłóca. Zakładay Ŝ zakłóca są przdzała cągł a R oraz ograczo z. a < η a w < ηw p < η p < η. Prawa sroa rówaa 3. spła załoŝa wrdza o cągłj zalŝośc rozwązaa od pararu waruku począkowgo. Za X a sssup a = 7

8 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku dla dowolj lczby ε > sją lczby η a η w η p η ak Ŝ rozwąza : ] R rówaa. z waruk począkowy = u : ] R oraz rozwąza rówaa 3. z waruk y say srowa spłają a odcku ] waruk <. W chwl rys sa obku wyos aoas ˆ js oa a ogół róŝa od sau ˆ srowa począkowy ε syaa go sau js rówa przwdzago a podsaw rozwązaa rówaa. z waruk począkowy srowa u. Odlgłość poędzy syaą sau sa przwdyway spła oszacowa ˆ ˆ < η ε. 3. Wdzy za Ŝ syaa sau sa przwdyway lŝą w pwj kul o środku w pukc prou η ε. Proń j kul oŝa uczyć dowol ały wybrając odpowdo ałą lczbę ε >. Na ocy załoŝa Z wy Ŝ sj srowa dopuszczal u ak Ŝ J u J u ˆ α d. 3.3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Rys. 3.. rajkora przwdywaa u rajkora w sys rzczywsy oraz syaa sau ˆ. u u Rys. 3.. Srowa. czbę σ J u ˆ J u α d 3.4 = azwy przwdywaą poprawą wskaźka jakośc. Zachodz rówość 8

9 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku J u J u > ˆ σ J u ˆ α d. 3.5 PowaŜ J u zalŝy w sposób cągły od o zasępując sa ˆ syaą sau woskujy Ŝ dla dowolj lczby ε sj lczba α aka Ŝ waruk ˆ < α 3.6 plkuj rówość J u ˆ < J u ε. 3.7 Korzysając z 3.5 orzyujy J u ˆ < J u ˆ ε σ J u ˆ ε α d. 3.8 PołóŜy ε ε ε ε α < η ε oraz ε >. Na ocy cągłj zalŝośc rozwązaa rówań. 3. od pararu waruku począkowgo woskujy Ŝ dla dowolj lczby ε > sją lczby η a ηw η p η ak Ŝ zachodz rówość J u ˆ < J u ˆ ε σ. 3.9 Wzór 3.9 okrśla zachowa wskaźka jakośc w asępy kroku czasowy. czba ε rprzuj wpływ zakłócń a zay wskaźka jakośc. JŜl ε < σ o przwdywaa poprawa wskaźka jakośc przkracza wpływ zakłócń wskaźk jakośc zalj. Wdać u rówŝ wyraź jaka js rola opyalzacj. Wybrając bow rozwązaa opyal zapway alą warość róŝcy ε σ. Za opyalzacja poprawa własośc odporoścow algoryu. czby η η η η zalŝą a ogół od puków oraz od srowaa. JŜl a w p chcy aby dla zadago ε > waruk 3.9 był spłoy wszędz o usy załoŝyć jdosają cągłość rozwązań rówań. 3. względ waruków począkowych srowaa zakłócń oraz jdosają cągłość wskaźka jakośc. względ waruku począkowgo srowaa. Uwaga 3.. Jdosają cągłość oŝa zagwaraować zakładając Ŝ a A w W p P u U ad U ˆ X ad gdz A P W U ad X ad są zbora zwary w odpowdch przsrzach. Wówczas z cągłośc wskaźka jakośc oraz z cągłj zalŝośc rozwązań rówań. 3. od daych począkowych pararów wyka jdosaja cągłość wszyskch rozwaŝaych odwzorowań. Nch za lczby ε η η η η będą usalo w ak sposób aby wzór 3.9 był zawsz a w p prawdzwy. Będzy badać zachowa cągu 3.9. ZauwaŜy Ŝ przwdywaa poprawa wskaźka jakośc spła oszacowa σ α d δα gdz = f. 3. ] Wskaźk jakośc zalj gdy σ > ε lub gdy δα > ε. Fukcja α a odwroość za > εδ. Nch rajkora spła w przdzal czasu ] oszacowa α ˆ > α εδ ε. 3. PowaŜ rajkor α εδ ε < f ] spłają w przdzal ] > rówość < ε o < ε. Wyka sąd Ŝ rajkora przwdywaa spła rówość > εδ dla ]. 3. α 9

10 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku Z wzorów 3.9- wyka Wosk 3.. JŜl oraz srowa dopuszczal > α εδ ε w przdzal czasu ] o sj horyzo u ak Ŝ J u ˆ < J u ˆ Za wskaźk jakośc oŝ alć z kroku a krok jŝl w przdzal czasu ] sa. sysu rzczywsgo zajduj sę poza pwą kulą K α εδ ε R. W pozosałych przypadkach wskaźk jakośc oŝ alć bądź rosąć aw wdy gdy zajdzy parę u alzującą J u ˆ. Proń kul K alj przy zjszau pozou zakłócń. Gdyby było zakłócń o ε = kula K rdukuj sę do puku w koskwcj orzyujy algory z poprzdgo rozdzału. Musy raz co zodyfkować scha. Ŝądając aby wskaźk jakośc alał poza kulą K. PowaŜ a ogół zay lczby ε o usy dopuścć wzros wskaźka jakośc o pwą z góry zadaą lczbę r >. RozwaŜy węc asępujący uodporoy scha srowaa. Scha 3... Podsaw = = δ r = r > o l o oŝlw o r = ε ;. Wyzacz syaę sau sa obku ˆ ; I. Spróbuj rozwązać P ˆ r ; 3. JŜl rozwąza sj podsaw r = r r dź do ; 4. Podsaw r = J u ˆ ; 5. Zasosuj począkową część srowaa u w przdzal czasu δ ; 6. Podsaw = δ dź do. Aby wykazać Ŝ rajkora dodakow załoŝ. ZałoŜ Z. Isj fukcja pozosaj w pwy ooczu zra usy przyjąć ϕ K aka Ŝ waruk J u v v > pocąga za sobą ϕ v w przdzal czasu δ ] js rozwąza rówaa. z waruk począkowy srowa dopuszczaly u PC R. Okazuj sę Ŝ w pwych przypadkach Z js koskwcją Z. < gdz : ] R R a 3.. JŜl fukcja α K a pochodą lokal ograczoą o sj co ajj jda fukcja ϕ K spłająca Z. Dowód: WykaŜy Ŝ spło są załoŝa lau.3. PowaŜ fukcja js rozwąza rówaa. z srowa dopuszczaly o js oa cągła ograczoa w przdzal ]. Z wrdza. wyka Ŝ M M. Z załoŝa Z ay < J u < v za < M v gdz M M v = M M v sup f z y p z M v y U v v. Nora pochodj spła oszacowa & M v =. Z wzoru.6 z załoŝa Z orzyujy

11 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku δ α d J u < v węc α d v. Fukcja α K δ < a pochodą lokal ograczoą za sj aljąca fukcja cągła M α v spłająca waruk α v < M v. Na ocy lau.3 ay α ϕ v = α β v; M v M α v; δ gdz β js okrśloa wzor.5. czby M v M v zalŝą w sposób cągły od pararu v. Iloczy M v M α v js aljący. Fukcja β js cągła względ prwszych dwóch arguów ścśl rosąca względ v oraz β M M δ =. PowaŜ α K o rówŝ α K za ϕ K. Zachodz asępując α wrdz 3.. Dla dowolych lczb η η η η oraz dowolgo waruku począkowgo R sj lczba a w ε > fukcja R K oraz kula p K R ε R aka Ŝ rajkora growaa przz scha 3. osąga K R ε w skończoy czas oraz pozosaj w K R ε w chwlach późjszych. Poado dla dowolj lczby ε > sją ak aksyal pozoy zakłócń η η η η Ŝ rajkora osąga K R ε w skończoy czas oraz pozosaj w K R ε w chwlach późjszych. Dodakowo zachodz waruk η η η η a w p. ε Za przjdzy do dowodu wrdza 3. wykaŝy pw uŝyczy la. a 3.. Nch V ozacza fukcję warośc dla problu P ˆ zob. df... JŜl a w p ˆ B R gdz B js kulą dokęą o środku w zrz prou R o oŝa zalźć horyzo oraz srowa dopuszczal J u ˆ < C gdz C > supv B. u spłając waruk Dowód: Fukcja warośc dla problu P js cągła węc osąga a kul B swoj krsy. Za V ˆ supv B. Wyka sąd Ŝ sj co ajj jdo srowa spłając zę lau. Dowód wrdza 3.: Ozaczy r = J u ˆ. Z załoŝa Z wy Ŝ rajkor przwdywa uszą spłać waruk ϕ r. PowaŜ rajkor spłają w przdzal czasu ] rówość < ε o oŝy apsać = < ε ε ϕ r. JŜl > α εδ ε w przdzal czasu ] o zob. wosk 3. sj horyzo oraz srowa dopuszczal ε ϕ r < ε ϕ r dla ]. JŜl u ak Ŝ r < r. Za adal spła waruk > α εδ ε dla ] o zowu oŝy wybrać horyzo oraz srowa dopuszczal u ak Ŝ r < r. Po skończoj lośc kroków w pwj chwl k ] rajkora osąg kulę K α εδ ε. Wówczas oŝ sę k zdarzyć Ŝ będz oŝlw zalz srowaa al a pwo sją srowaa dopuszczal spłając waruk k u spłającgo waruk r k < rk rk < rk ε. Zachodz

12 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku alraywa r < k rk lub k r k < r k ε r. W y drug przypadku wskaźk jakośc oŝ rosąć. Okazuj sę jdak Ŝ dopók rajkora opuszcza K o kolj syay sau ˆ k j j =... pozosają w pwj kul K α εδ ε η zob. wór 3.. Wówczas z lau 3. wyka Ŝ oŝa zalźć horyzo oraz srowa k j dopuszczal u k j spłając waruk J u k j ˆ k j < C gdz C = supv K ε. W koskwcj pęla w pukach 3 schau 3. zarzya sę po skończoj lośc k j kroków gdy C r C r. Na ocy Z ay ϕ C r dla k ]. k Al j < ε skąd < ϕ C r ε dla k ]. k j k j j j k j Przypuśćy raz Ŝ w wyku dzałaa zakłócń rajkora opuszcza kulę K. Ozacza o Ŝ w pwj chwl k było k K oraz k K. ZałóŜy Ŝ w wyku dzałaa zakłócń rajkora spła w przdzal czasu ] waruk k k k k > α εδ ε. PowaŜ > α εδ ε w przdzal czasu ] o k us być oŝlw zob. wosk 3. zalz srowaa u spłającgo waruk r r. Za po skończoj lośc kroków rajkora zowu powraca do K. Wskaźk k < k jakośc spła w chwlach k k oszacowaa r k < C r r k < C r ε. Na ocy Z ay k < ϕ C r dla k ] k < ϕ C r ε dla k ] k k k 3 k oraz k k < ϕ C r ε dla ]. Al j < ε skąd < ϕ C r ε ε dla k. JŜl ε o η a η w η p η kul K K rdukują sę do puku sała C = supv K ε supv = wskaźk jakośc oŝ być zjszay wszędz poza począk współrzędych. JŜl przyjąć r = ε o R ε = ϕsupv K 3ε ε Rε K co kończy dowód. wrdz 3. a so koskwcj. Wyka z go Ŝ waruk dosaczy odporj sablośc algoryów prdykcyjych js oŝlwość wybraa srowań zapwających zjsza wskaźka jakośc w koljych krokach czasowych. Oczywśc wybra srowań lpszych łączy sę z opyalzacją jdakŝ uszą o być srowaa opyal. MoŜlwa js węc zacza rdukcja akładu oblczń przy rozwązywau ZSO. Obcość zakłócń powoduj Ŝ sa obku zrza do kul K R ε pozosaj w j. Proń j kul alj ooocz wraz z zjsza sę apludy zakłócń. Aalzując zalŝość R ε = ϕsupv K 3ε ε wdzy Ŝ wybrając ą fukcję ϕ < ϕ orzyay R ε < R ε. Podob powaŝ proń kul K js rówy α εδ ε η o wybrając ą fukcję α > α orzyay R ε < R ε. MoŜlwość wyboru akch lpszych fukcj js jdak ograczoa z. sją pw fukcj α ϕ dając alą warość R ε. 4. Przykład. Sablzacja wahadła a wózku. Układ wahadła a wózku js zay dobrz zbaday przykład układu lowgo 3]. W pracy uraua ] wyprowadzoo asępując rówaa sau sysu: & = 3 & = 4 v u v cos v ucos c4v & 3 = & 4 = d = c4 cos d d v u = u 4 s b 3 v = s b3 4 gdz - połoŝ wózka - ką wahadła 3 - prędkość wózka 4 - prędkość wahadła. Parary odlu wyosły : b =.456

13 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku b = c =.35 u = u = =.97 = a.97 a = = -. Z sau czas oraz srowa zosały przskalowa w clu uproszcza zapsu rówań. Skalowa ało asępującą posać ' = a = a =...4 = γ u przy czy zak pr ozacza z w sys rzczywsy. u Współczyk skalowaa wyosły a =.859 a = a =. a 3 =.87 a 4 = γ =.54. Cl srowaa była sablzacja wahadła w góry sably pukc rówowag r = ]. Wskaźk jakośc ał posać. a fukcj q były rów u = W u Ru W = W > R = R > q = ρ H. Spł waruku Ω zagwaraowao wybrając współczyk ρ = 68. Przyjęo horyzo aly =.8. Macrz wagow były rów R = 6.46 W = 4 dag3 ]. Macrz H oraz zbór Ω = { R ; H.76} wyzaczoo odą opsaą w pracy auora ]. Sprawdzoo Ŝ ak okrśloy wskaźk jakośc spła załoŝa Z-3. Waruk począkowy był rówy =.7 ]. Okrs wylczaa srowaa wyosł δ =.. a Rys. 4.. Srowa z bzwyarow. Rys. 4.. rajkora z bzwyarow. Rys Wskaźk jakośc oraz horyzo w poszczgólych chwlach czasu z bzwyarow. Malzacja wskaźka jakośc odbywała sę przy uŝycu zodyfkowaj przz auora wrsj algoryu MSE ]. Opyalzacja srowaa ała charakr przyblŝoy była 3

14 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku przrywaa gdy spadk wskaźka jakośc był wększy Ŝ % jgo poprzdj warośc. Procs opyalzacj przrywao Ŝ gdy ora gradu osągęła warość jszą Ŝ.% warośc począkowj w day kroku czasowy. Zakłóca wprowadzoo dodając do sau obku syulowago w kaŝdy kroku całkowaa wkor losowy o rozkładz oraly śrdj odchylu sadardowy 3-4. Wyk syulacj przdsawoo a rys Wosk. Z udowodoych wrdzń wykają waŝ wosk dla prakyczj placj algoryów prdykcyjych. Po prwsz sj orycza oŝlwość kosruowaa sablych schaów srowaa prdykcyjgo bz koczośc dokładj opyalzacj a aw bz uŝyca algoryów opyalzacj dyaczj. Schay ak wyagają jdy zajdowaa odpowdch dopuszczalych rozwązań subopyalych. Na ogół jdak usy do go clu uŝywać algoryów opyalzacj dyaczj. Po drug algoryy prdykcyj dopuszczają subopyal rozwązaa ZSO bz uray odporośc a zakłóca błędy odlowaa syacj sau. Jak wadoo zajdowa rozwązań subopyalych js zwykl duŝo ławjsz Ŝ zajdowa rozwązań opyalych. Po rzc odporość algoryu a błędy syacj sau uoŝlwa sosowa obsrwaorów sau pod waruk Ŝ błąd syacj sau js ograczoy. Po czwar wrdza. 3. oraz załoŝ Z pokazują Ŝ waruk wysarczający sablośc js zjsza wskaźka w koljych krokach czasowych. Wyka sąd Ŝ opyalzację oŝa przrwać jŝl uzyskało sę poprawę wskaźka jakośc. Ma o szczgól zacz w przypadku słabj zbŝośc algoryu opyalzacj oraz przy soych ograczach czasowych. Po pą wpływ zakłócń powoduj Ŝ rajkora urzyuj sę w pwy ooczu puku rówowag. Wlkość go oocza roś przy zwększau apludy zakłócń co js zgod z y wyka doyczący odporj sablośc. Z załoŝa Z wzoru 3.9 wyka Ŝ przwdywaa poprawa wskaźka jakośc roś wraz z wzros odlgłośc od puku rówowag. Z drugj sroy powększ wskaźka jakośc spowodowa zakłóca js ograczo alj wraz z zjsza apludy zakłócń. Wyka sąd Ŝ wpływ zakłócń alj wraz z wzros odlgłośc od puku rówowag. ZałoŜa poczyo w pracy są zacz słabsz Ŝ załoŝa dosęp w lraurz. Fds 4] dowodz bardzo podobych własośc przy duŝo sljszych załoŝach. W szczgólośc Ŝąda o aby prawo srowaa u ˆ growa w wyku rozwązywaa ZSO było lokal w ooczu zra cągł lpschzowsk względ ˆ. Poado zakłada Ŝ fukcja warośc spła lokal waruk pschza. W podjścu zapropooway w j pracy załoŝa są zacz słabsz. ZałoŜa Z Z są ypow w algoryach prdykcyjych. Nco osrzjszy js waruk Z. ZałoŜ o jdosajj cągłośc js sosukowo ław do spła. Cl dalszych badań powo być bardzj prcyzyj okrśl zalŝośc poędzy pozo zakłócń a wlkoścą oocza zra do kórgo zrza rajkora. raura ] Baa P. 5: Wyzacza ograczń sau końcowgo w lowj rgulacj prdykcyjj. Marały pąj krajowj kofrcj Mody sysy kopurow CMS 5 Kraków. ] Ch H. Allgöwr F. 998: A Quas If Horzo Nolar Modl Prdcv Corol Sch Wh Guarad Sably Auoaca vol. 34 No. pp ] Fds R. Islad. Allgöwr F. Foss B.A. 3a: Sa ad Oupu Fdback Nolar Modl Prdcv Corol: A Ovrvw Europa Joural of Corol 9:9-6. 4] Fds R. Islad. Allgöwr F. Foss B.A. 3b: Oupu Fdback sablzao of Cosrad Syss Wh Nolar Prdcv Corol Iraoal Joural of Robus ad Nolar Corol 3;3:-7. 4

15 Baa P. Czy srowa... Auoayka 6 wyd. AGH Kraków złoŝo do druku ] Fos A. C. C. Mag. 3: M Ma Modl Prdcv Corol of Nolar Syss Usg Dscouous Fdbacks IEEE rasacos o Auoac Corol vol. 48 NO. Ocobr 3 pp ] Fos F. A. : A gral Frawork o Dsg Sablzg olar Modl Prdcv Corollr Sys. Cor. rs 4: ] dayv Y. S. :Robuss of dcouous fdback corol udr dsurbac : Proc. of h 4 s IEEE Cofrc o Dcso ad Corol as Vgas Nvada USA Dcbr. 8] oga H. Rya E. P. 4: Asypoc Bhavour of Nolar Syss h Mahacal Assocao of Arca Mohly Dcbr 4 hp:// 9] May D. Q. Mchalska H. 99: Rcdg Horzo Corol of Nolar Syss. IEEE rasacos o Auoac Corol 35: ] Mchalska H. May D. Q. 993: Robus Rcdg Horzo Corol of Cosrad Nolar Syss. IEEE rasacos o Auoac Corol 38: ] Szyka M. Koryowsk A. 3: Mhod of ooo srucural voluo for corol ad sa cosrad opal corol probls Proc. of h Europa Corol Cofrc ECC 3-4 Spbr Uvrsy of Cabrdg UK. ] urau A. : Srowa doclow układa lowy w czas rzczywsy algoryy lg opyaloczasow. Wyd. AGH Kraków Polad. 3] urau A. Koryowsk A. Szyka M. 999: opal corol for h pdulu-car sys ral-. Proc. 999 IEEE CCA Kohala Coas Hawa Augus Praca była fasowaa z środków a dzałalość sauową AGH. Nr. 38. Rcz: Prof. dr hab. Ada Koryowsk. 5