Wykład TSP R9 9. Podstawy teorii plastyczności (TP)

Transkrypt

1 Wykład TSP R9 9. Podstawy teorii plastyczności (TP) 9.. Wprowadzenie Podstawowym doświadczeniem wytrzymałości materiałów (WM) jest rozciąganie laboratoryjnych próbek metalowych, Rys. 9.a. Wykres zależności stanu jednoosiowego () dla stali miękkiej pokazano na Rys. b. Na wykresie zaznaczono wartości naprężeń RH, Rs, Re, Rm, odpowiadające punktom A, B, C, D, F na wykresie rozciągania. Te punkty ograniczają zakresy obowiązywania odpowiednio: prawa Hooke a, nieliniowej sprężystości, płynięcia plastycznego, początkowi wzmocnienia i osiągnięcia wytrzymałości materiału. Rys. 9.: a) Próba laboratoryjna badania materiału na rozciąganie, b) Wykres naprężenie-odkształcenia Jak wiemy z WM obserwowany wykres opisuje przebieg złożonych procesów na poziomie mikrostruktury materiału, w szczególności uruchomianie mechanizmów niszczenia ciągłości struktury wewnętrznej mikroskładników i dysypacji energii wewnętrznej. Przytoczyliśmy wykres dla stali miękkiej z wyraźną granicą plastyczności Re. Wiele materiałów (w tym stal twarda, stopy aluminium) nie mają wyraźnej lecz umowną granicę plastyczności, por. Rys. 9.a. Stopy metali wykazują ponadto podobne właściwości na ściskanie i rozciąganie, co je różni od materiałów wrażliwych na znak naprężeń. Dla przykładu, na Rys. 9.b pokazano wykres jednoosiowego ściskania/rozciągania dla betonu, który ma nośność wielokrotnie wyższą na ściskanie fc niż na rozciąganie ft. Rys. 9.. Charakterystyki materiałów: a) Symetryczna zależność na rozciąganie/ściskanie, b) Wrażliwość na znak naprężenia

2 Inną istotną cechą uplastycznionego materiału jest wrażliwość naprężenia na zmianę kierunku przykładanych obciążeń. Na Rys. 9. pokazano wykres dla zmiennych kierunków obciążenia, tzn. po przekroczeniu granicy plastyczności Re i osiągnięciu wartości naprężenia następuje lokalne odciążenie wzdłuż ścieżki p, innej niż dla wcześniej realizowanego obciążenie. Po zdjęciu obciążenia, tj. osiągnięcia punktu H pozostaje trwałe odkształcenie, które nazywamy odkształceniem plastycznym p. Rys. 9.. Lokalne odciążenie i obciążenie Powtórne obciążenie będzie wywoływało ścieżkę wzdłuż pętli histerezy, która obejmuje obszar proporcjonalny do dysypowanej energii wewnętrznej. W przybliżeniu ścieżka odciążenia jest równoległa do stycznej w punkcie początkowym 0 i kącie nachylenia arctg E, gdzie E jest modułem sprężystości w prawie Hooke a. Doświadczalne charakterystyki materiału otrzymuje się dla jednoosiowego stanu naprężenia (rozciągania/ściskania) materiału. Realizuje się też inne doświadczenia laboratoryjne, np. prostego ścinania. Znacznie bardziej skomplikowane są realizacje stanów złożonych, rozpoczynając od stanów dwu i, docelowo, trzyosiowych. Badania doświadczalne ulegają dalszym komplikacjom jeśli obciążenia są cykliczne, gdy wielokrotnie są realizowane stany obciążeń/odciążeń. Otrzymywane wyniki doświadczeń stanowią podstawę do sformułowania różnych, na ogół dalece uproszczonych modeli materiałów, które stosujemy zamiast liniowych równań fizycznych materiału (modelu) Hooke a. 9.. Jednoosiowy stan naprężenia w TP Zajmiemy się najpierw analizą jednoosiowego stanu naprężenia. Taki stan jest rozpatrywany obszernie w wytrzymałości materiałów i mechanice konstrukcji, w odniesieniu do analizy idealnie sprężystych kratownic i zginania belek oraz ram płaskich. Celem naszego wykładu jest zwrócenie uwagi na problemy, jakie zjawiają się przy uwzględnieniu plastycznych właściwości materiału Przyjęte założenia i modele materiału. Zajmujemy się jedynie prostymi modelami materiału o symetrycznych właściwościach na ściskanie/rozciąganie.. Uwagę skupiamy na modelu biliniowym dla jednoosiowego rozciągania, zwłaszcza na idealnym modelu materiału sztywno-plastycznego lub sprężysto-plastycznego, Rys. 9.4b,c.

3 . Oprócz skupienia uwagi na materiale bez wzmocnienia (ograniczamy się do części O - CD wykresu na Rys. 9.b) pomijamy też wpływy reologiczne (prędkości naprężeń i odkształceń) jak też dynamiczne (przyspieszenia). Tak więc przyjmujemy, że próby rozciągania są wykonywane w dość długim czasie jako badania statyczne. Pomijamy też sprzężenia termo-mechaniczne. Rys.9.4: Modele materiałów i ich mechaniczne analogi: a) Materiał liniowo sprężysty, b) Materiał sztywno plastyczny, c) Materiał idealnie sprężysto-plastyczny, d) Materiał sprężysto-plastyczny z liniowym wzmocnieniem Przyjęte założenia umożliwiają budowanie modeli materiałów dla stali miękkiej i w ograniczonym stopniu mogą być przydatne do analizy stanów granicznych tych konstrukcji, w których dominuje jednoosiowy stan naprężenia. Oprócz zależności, na Rys. 9.4 pokazano tez symulację mechaniczną tych zależności za pomocą sprężyn i suwaka z suchym tarciem. Sprężyny modelują liniowe zależności ( ) a suwak umożliwia opis nieciągłości pochodnych tych zależności, związanych z przechodzeniem od zakresu sprężystego do sprężysto-plastycznego jak też początek lokalnych odciążeń i realizowanie pętli histerezy. Na Rys. 9.4 pokazano proste modele materiałów, oparte na odcinkowo liniowej aproksymacji charakterystyki jednoosiowego rozciągania. Wychodzimy od najprostszego materiału idealnie sprężystego, który fizycznie można modelować sprężyną o sztywności E, Rys. 9.4a. Jeśli zamiast sprężyny posłużymy się suchym suwakiem o wartości siły tarcia T ~ Re to otrzymujemy model materiału sztywno-plastycznego, Rys. 9.4b. Połączenie sprężyny z suwakiem prowadzi do materiału idealnie sprężysto-plastycznego, Rys. 9.4c. Dodanie dodatkowej sprężyny o sztywności Ep daje model materiału sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem, Rys. 9.4d. Najczęściej stosujemy modele pokazane na Rysunkach 9.4b i c. Model materiału sztywno plastycznego otrzymujemy jako przypadek graniczny materiału idealnie sprężystoplastycznego przyjmując sztywność E. W takim modelu nie występują odkształcenia sprężyste a odkształcenia plastyczne p mają wartość zmienną, zależną od wartości odkształcenia, dla której rozpoczyna się proces plastycznie bierny, tj. lokalne odciążenia/obciążenia (punkt p na krzywej rozciągania, pokazany na Rys. 9.4b). Ogólniejsze właściwości ma model idealnie sprężysto-plastyczny. Podstawową właściwością tego modelu jest możliwość nieograniczonego wzrostu odkształceń (płynięcie materiału) dla odkształceń p. Na Rys. 9.4c pokazano też możliwość sterowania odkształceniem i dla realizowanie odciążenia aż do wartości naprężenia = Re. W

4 punkcie (-) może pojawić się wtórne płynięcie aż do punktu, w którym jest realizowane wtórne obciążenie określające pętlę histerezy. Uogólnieniem modelu idealnie sprężysto-plastycznego jest model ze wzmocnieniem liniowym, jaki daje dodatkowa sprężyna o sztywności Ep, Rys. 9.4d. Ta sprężyna eliminuje możliwość powstania nieograniczone płynięcia. Możemy stosować sterowanie naprężeniowe i w przypadku lokalnego odciążenia rozpoczyna się wtórne uplastycznienie, zgodne z tzw. efektem Bauschingera, który określa wartość naprężenia (-) Re Opisane modele służą analizie stanu jednoosiowego. W przypadku wieloosiowych stanów naprężeń formułowanie modeli jest znacznie bardziej złożone. Nie możemy się wtedy posługiwać analogiami sprężynowo-suwakowymi lecz modelami opartymi na teorii ośrodka ciągłego z odkształceniami plastycznymi. Ten problem jest krótko poruszany w p. 9.. Obszerniejsze opisy można znaleźć bogatej literaturze teorii plastyczności, por. np. [???] Nośność sprężysta i plastyczna prostego ustroju nośnego Jako prosty ustrój nośny przyjmujemy układ trzech nieważkich lin o polach przekroju A = const., i o granicy plastyczności Re, por. Rys. 9.5a. Pręt jest obciążony siłą P, przyłożoną do sztywnej poprzeczki. Zakładamy model materiału idealnie sprężysto-plastycznego o granicy plastyczności Re dla odkształcenia p. Na Rys. 9.5a zaznaczono przemieszczenie ul pod siłą P, któremu odpowiadają przemieszczenia ui punktów i =,, końców lin. Rozpatrzono trzy obciążenia, dla których jest osiągana granica plastyczności w linach,, (por. Rys.9.5 d-f). Odkształcenie na granicy plastyczności p wynosi p R up e, (9.) E L gdzie: E moduł sprężystości, L długość liny, por. Rys. 9.5a. Uplastycznienie prętów określa też wartość siły podłużnej Np = Re A. (9.) Obciążenie obliczamy z warunku równowagi i P, zakładając, że reakcja w punkcie obrotu sztywnej poprzeczki jest równa zero. W ten sposób otrzymujemy wzór j P N, (9.) i j i gdzie: P j wartość obciążenia dla uplastycznienia j-tej liny, j N i siła podłużna w linie i-tej dla uplastycznienia liny j-tej. Najpierw ulega uplastycznieniu pręt i taki stan nazywamy stanem osiągnięcia nośności sprężystej Ps. Na Rys. 9.5d ten stan oznacza koniec zakresu sprężystego (powstaje pierwsze odkształcenie plastycznych p w linie ). Nośność sprężysta Ps analizowanego ustroju wynosi, por. Rys. 9.5c, g: Ps P = N = i i N + N + N = ( ) Np =.0 Np. (9.4.) 4

5 Rys. 9.5: a) Schemat układu lin sprężysto-plastycznych,,, b) Przemieszczenia sztywnej poprzeczki dla stanów obciążeń,,, c) Wartości sił podłużnych w linach, d,e,f) Wartości naprężeń i odkształceń w linach,dla kolejnych stanów obciążeń, e) Ścieżka równowagi P j /P p u L /u p Obciążeniu P =.0 Np odpowiadają wartości względne sił podłużnych w linach, pokazane na Rys. 9.5c jako P / Np =.0, N /Np =.0, N /Np = 0.67, N /Np = 0.. Na Rys. 9.5b narysowano wartości względne przemieszczeń sztywnej poprzeczki ul(ps) / ul =. oraz końców lin u/up =.0,u/up =.0, u/up = 0.67, u/up = 0.. Na Rys. 9.5g naniesiono położenie punktu, odpowiadające pierwszemu uplastycznieniu w linach, na tzw. ścieżce równowagi. Jest to krzywa zależności P(uL) rysowana na płaszczyźnie (P/Pp, ul/up). Punkty nieciągłości ścieżki równowagi odpowiadają kolejnym uplastycznieniom lin. Punkt odpowiada nośności sprężystej ustroju, określonej przez (9.4.). Dalszy wzrost obciążenia powoduje uplastycznienie liny, Rys. 9.5e, skąd wynika obciążenie P, por. Rys.9.5c: P / Np = ( ) =.5 (9.4.) i odpowiednio up ( P ) /ul =.0, Rys.9.5b, g. 5

6 Zwiększenie obciążenia P prowadzi do stanu sprężysto-plastycznego, w którym obok odkształceń plastycznych występują odkształcenia sprężyste p. W szczególności jest to stan, por. Rys. 5c), w którym uplastycznieniu ulegają pręty i tj. N = N = Np natomiast N = 0.5 Np. Uplastycznieniu liny towarzyszy obciążenie P / Np Pp = ( ) =.0. (9.4.) i przemieszczenie ul/up (P ) = 4.0. Ponieważ wszystkie liny uległy uplastycznieniu następuje osiągnięcie stanu granicznego, dla którego P Pp i dalszy wzrost obciążenia jest niemożliwy, gdyż ustrój zmienia się w mechanizm (teoretycznie przemieszczenie może rosnąć nieograniczenie, tj. ul (Pp) ). Reasumując możemy stwierdzić, że: ) osiągniecie nośności sprężystej wiąże się z powstaniem pierwszego uplastycznienia ustroju; ) nośność plastyczna (graniczna) ma charakter globalny, gdyż oznacza wyczerpanie nośności ustroju przez jego przekształcenie w mechanizm. Kosztem uplastycznienia części czy też całego ustroju można wykorzystać zapas nośności jaki określa względna różnica (Pp Ps) / Ps. Zapas nośności ZN obliczamy wzorem ZN Pp Ps 00% P s (Pp / Ps )00%. (9.5) Zapas nośności analizowanego ustroju wynosi, por. Rys. 9.5g: ZN = (Np/.0Np ) 00% = 50%. To oznacza, że obciążenie nośności sprężystych można jeszcze zwiększyć o 50% aby osiągnąć nośność graniczną ustroju. Założenia: 9... Zginanie sprężysto-plastycznego pręta Do stosunkowo prostych zagadnień TP należy zginanie prętów sprężysto-plastycznych. Opieramy się na następujących założeniach:. Pręt ma przekrój monosymetryczny, z płaszczyzną zginania (x, y), Rys. 9.6a.. W pręcie występuje jednoosiowe pole naprężeń x = (x, y).. Rozpatrujemy stan czystego zginania, tzn. w odniesieniu do przekroju poprzecznego o polu przekroju A będzie zerowała się siła podłużna N(x) i występuje tylko moment zginający M(x). Warunki czystego zginania sa określone przez następujące wzory: N(x) σ ( x, y )da 0, M(x) σ ( x, y) y da. (9.6) A A 4. Obowiązuje prawo płaskich przekrojów Bernoulliego-Eulera, Rys. 9.6b: (x, y) = (x) y, (9.7) 6

7 gdzie: (x) krzywizna osi pręta, którą dla małych ugięć (dokładniej małych kątów obrotu przekroju pręta) określa wzór: (x) d v v, xx, (9.8) dx gdzie: v (x) ugięcie pręta, por. Rys. 9.7a. 5. Przyjmujemy model materiału idealnie sprężysto-plastycznego o symetrycznych właściwościach na ściskanie/rozciąganie, Rys. 9.4c: Rys. 9.6: a) Przekrój monosymetryczny, b) Liniowy rozkład odkształceń, c) Sprężysty rozkład naprężeń, d, e) Naprężenia przy jednostronnym i dwustronnym uplastycznienie przekroju pręta, f) Całkowite uplastycznienie przekroju Rozwijanie się uplastycznienia przekroju. Na Rys. 9.6 pokazano zmiany rozkładu naprężeń (x,y) w przekroju poprzecznym o rzędnej x, por. Rys. 9.7a, przy rosnącej wartości momentu zginającego M (x). Zgodnie ze wzorem (9.7) rozkład naprężeń (x,y) wzdłuż osi y będzie stale liniowy, Rys. 9.6b. Inaczej jest z naprężeniami (x,y), gdyż w każdym punkcie y musi być też spełnione równanie materiału (), Rys. 9.7b. Kolejne rysunki 9.6c,d,e,f pokazują zmiany naprężeń i odkształceń przy wzroście obciążenia. W najbardziej wytężonym przekroju belki (np. w środku rozpiętości belki na Rys. 9.7a) mogą powstać odpowiednio następujące rozkłady naprężeń: c) sprężysty Rys. 9.6c, d) jednostronne uplastycznienie, Rys. 9.6d, e) dwustronne uplastycznienie, Rys.9.6e, f) całkowite uplastycznienie przekroju, Rys. 6f. Rys. 9.7: a) Przykład zginania belki sprężysto-plastycznej, b) Naprężenia w skrajnych włóknach y d i y g w środku rozpiętości belki 7

8 Na Rys. 9.7b pokazano wzrost odkształceń, odpowiadających uplastycznieniu przekroju jak na Rys.9.6a. Granica zakresu sprężystego jest określona współrzędnymi y oraz y, aby dla pełnego uplastycznienia otrzymać y = y = y0, gdzie współrzędną y0 określa położenie osi obojętnej, por. Rys. 9.6f, obliczane wzorem (9.6). Rozwijanie się uplastycznienia przekroju zależy od wartości krzywizny we wzorze (9.7). Jeśli napiszemy y = p, y = p, to odejmując te równania stronami otrzymujemy wzór na krzywiznę: εp Re. (9.9) y y E ( y y ) Przegub plastyczny dla zginania i plastyczny wskaźnik wytrzymałości. Ze wzoru (9.9) wynika, że dla y y krzywizna będzie rosła nieograniczenie, a więc promień krzywizny = / 0. W ten sposób łączymy przypadek pełnego uplastycz-nienia z osobliwością jaką jest zmierzanie promienia krzywizny do 0, por. Rys Punkt na osi pręta, w którym występuje dyskutowana osobliwość krzywizny jest przegubem plastycznym, gdyż wokół niego mogą powstać dowolne obroty. W przegubie plastycznym moment zginający o wartości granicznej Mp nie ulega zmianie, natomiast kąt = + 0 może przyjmować dowolne wartości. Rys.9.8: a) Przegub plastyczny i działający w nim moment plastyczny (graniczny) M p, b) Rozkład naprężeń odpowiadający momentowi M p, c) Położenie osi obojętnej z 0 dla pełnego uplastycznienia przekroju, d) Rozkład naprężeń, odpowiadający momentowi M s, określającemu nośność sprężystą przekroju. Moment plastyczny Mp obliczamy względem osi obojętnej z0, przesuniętej od osi ciężkości z na odległość y0, por. Rys. 9.8c. Wartość y0 obliczamy z warunku zerowania się siły podłużnej (rozpatrujemy czyste zginanie): N(x) σ( y;x )da R y df R y df R ( A A 0 A co daje warunek, z którego obliczamy y0: e e e ), A A A = A y0 (9.0) 8

9 Znając pola powierzchni A i A liczymy moment plastyczny Mp zginania przekroju całkowicie uplastycznionego: σ y da R y df R y df R S R S. Mp e e e e A A A Otrzymujemy w ten sposób wzór na moment plastyczny Mp określony wzorem: Mp = R e Wp, (9.p) gdzie występuje plastyczny wskaźnik wytrzymałości: Wp = S + S. (9.) Moment (9.p) jest też momentem granicznym wyczerpania nośności przekroju poprzecznego dla czystego zginania, tj. Mp = MG. Tutaj należy przypomnieć nośność sprężystą przekroju poprzecznego dla czystego zginania: Ms = R e Ws, (9.s) gdzie sprężysty wskaźnik wytrzymałości Ws jest definiowany wzorem z wytrzymałości materiałów: Ws = I z. (9.s) y max W (9.s) odległość ymax = max ( yg, yd ) jest odmierzana od osi ciężkości z, por. Rys.9.8c. Przykłady obliczania Wp i Ws. Przekrój prostokątny. Taki przekrój jest bisymetryczny skąd wynika, że rzędna y0 =.0, a więc osie z i z0 pokrywają się. Dla pola A = b h otrzymujemy wzory: h h b h Wp, Ws 4 4 bh b h I z. (9.) h h 6 Między momentem plastycznym Mp i momentem sprężystym Ms zachodzi związek: Mp =.5 Ms, (9.4) a więc nośność plastyczna przekroju prostokątnego Mp jest o 50% wyższy niż nośność sprężysta określana przez moment Ms, tzn. że zapas nośności przekroju ZN = 50%.. Monosymetryczny przekrój teowy. Wymiary przekroju pokazano na Rys Wartości wielkości geometrycznych obliczamy jako różnicę wartości dla pola przekroju poprzecznego ograniczonego konturem zewnętrznym minus wartość wielkości dla otworu: 9

10 Zakres sprężysty A = A + A = 5 a + 7 a = a, SB-B = 5a 0.5a + 7 a (a +.5 a)0 Iz = =.5a +.5a = 4.0 a, a, 5a 8a 4a 7a = a 4 + (5 a 8 a) (4 a.8 a) (4 a 7 a) (4.5 a.8 a) Ws = ( ) Zakres plastyczny a. Rys.9.9. Monosymetryczny przekrój teowy 5 a + a (y0 a) = a (8.0 y0) y0 = a S =5 a ( 0.5) a + a S = (8.0.0) a = 8.0 a, Wp = 8.0 a a = 6.0 a. Zapas nośności przekroju a = 8.0 a, 6. 0 ZN = 00% 77. 6% Na Rys. 9.0 pokazano wartości plastycznych wskaźników wytrzymałości dla kilku wybranych, bisymetrycznych przekrojów poprzecznych. Rys Plastyczne wskaźniki wytrzymałości dla wybranych przekrojów : a) prostokąt, b) idealny przekrój dwuteowy, c) walcowany dwuteownik, d) koło (9.5) 0

11 9..4. Zginanie sprężysto-plastycznej belki o przekroju prostokatnym Równania linii ugięcia. Rozpatrujemy przekrój prostokątny, wykonany z materiału idealnie sprężysto-plastycznego, w stanie czystego zginania. Ze względu na symetrię przekroju odległość osi obojętnej wynosi y0 = 0, a więc oś z0 pokrywa się z osią ciężkości z, Rys Granice obszaru sprężystego określają rzędne y = y = yp, por. Rys. 9.6 i 9.. Rys. 9.: a) Przekrój prostokątny z polami: sprężystym A s i uplastycznionymi A p, b) Rozkład naprężeń od zginania momentu M(x) dla materiału sprężysto-plastycznego, d) Model materiału idealnie sprężysto-plastycznego Ze wzoru (9.9) wynika: yp = εp Re. (9.6) E Rozkład naprężeń wzdłuż osi y, dla dwustronnego uplastycznienia, por. Rys.9. c,d, opisują zależności: Re dla h / y yp (y) E y dla yp y yp (9.7) R dla y y h / e p Korzystając ze wzoru (9.6) na moment zginający M (x) piszemy: h / yp h / M ( x) b σ y dy b E y dy R 0 0 yp e y dy h b E y p b Re y p. 4 (9.8) Po podstawieniu do (9.8) zależności (9.6) i (9.7) możemy obliczyć krzywiznę, a więc wyprowadzamy równanie linii ugięcia pręta w zakresie sprężysto-plastycznym: 4 4 εp e, (9.9) ( M / M ) ER h h ( m) p

12 gdzie: m = M / Mp. Po uwzględniając (9.8) i kryterium znakowania momentu M (x) otrzymujemy równania linii ugięcia: I) dla zakresu sprężystego: d v M ( x) dx EI ε h p sgn M dla yp h, (9.0.I) II) dla zakresu sprężysto-plastycznego: d v ε p sgn M dla yp [h/, 0), (9.0.II) dx h ( m) gdzie: m M M p, sgn M 0 dla dla dla M 0, M 0, M 0. (9.) Równania linii ugięcia są równaniami przemieszczeniowymi i łatwo sprawdzić, że zachowują ciągłe przejście dla współrzędnej x = xp, która określa granicę frontu plastycznego, a więc występowania naprężeń sprężystych I i przejście w stan sprężysto-plastyczny II, tj. M(xp) = Ms yp h. (9.) Wyznaczenie linia ugięcia belki wspornikowej. W [] jest analizowany prosty przykład belki wspornikowej, obciążonej siłą skupioną P, Rys. 9.. Belka jest statycznie wyznaczalna, więc możemy obliczyć pole momentu zginającego M(x) = P ( l x ). (9.) Dla obciążeń P Ps w całej belce będzie zakres sprężysty i strzałka ugięcia f (P; x = l ) wynosi: f Pl 4Pl dla P Ps. (9.4) EI Ebh Wartość nośności sprężystej Ps odpowiada osiągnięcia wartości momentu utwierdzenia belki Mu = Ms. Stąd wynika strzałka ugięcia fs = f (Ps): Ps l = Ms Ps bh e fs M s l 6l R 4l bh εp l R e. (9.5) Ebh 6l h

13 Rys. 9. a) Schemat statyczny belki i strzałka ugięcia f, b) Wykres momentu M (x) i obszar uplastycznień dla granicy frontu plastycznego x p, c) Momenty uplastycznienia belki dla stanu granicznego, d) Ścieżki równowagi P ( f ) dla procesu obciążenia i odciążenia,e) Kształty naprężeń w przekroju przy utwierdzeniu belki Obliczenie strzałki ugięcia po pojawieniu się uplastycznienia, a więc dla xp 0, por. Rys. 9.b, wymaga posługiwania się dwoma równaniami linii ugięcia (9.5.I) i (9.5.II) i zastosowania warunków ciągłości,, I ( p II p v I (xp) = v II (xp), v x ) v ( x ). (9.6) Jeśli funkcja momentu M (x) jest wielomianem o stopniu nie wyższym od (obciążenia równomiernie przyłożone do belki) to całki równania (9.0.II) są elementarne. W naszym przypadku pole momentów jest określone funkcją liniową (9.) i po prostych ale dość długich obliczeniach możemy obliczyć dla granicznej wartości frontu plastycznego, por. [], ss. 97-0: xg xp = l fg fp = 0 f s, Pg Pp = s 9 P. (9.7) Na Rys. 9.d pokazano tzw. ścieżkę równowagi, którą określa zależność P ( f ). Widać, że dla zakresu sprężystego jest to zależność liniowa P = K f, (9.8) gdzie sztywność K obliczamy z zależności:

14 K Ps f s bh h bh Re E. (9.9) 4l ε l 4l p Po przekroczeniu nośności sprężystej, a więc dla P Ps, ścieżka równowagi jest krzywoliniowa aż do osiągnięcia wartości nośności plastycznej Pp, por. (9.7). Obciążenie Pp jest równe obciążeniu granicznej nośności belki, tj. Pg = Pp, której towarzyszy pojawienie się przegubu plastycznego, por. Rys. 9.c i belka wspornikowa zamienia się w układ chwiejny (mechanizm). Oznacza to, że zgodnie z założeniem teorii małych ugięć ugięcie może wzrastać nieograniczenie. Dla takiego opisu ruchu belki, po przekroczeniu nośności granicznej musimy posługiwać się teorią dużych ugięć. Jeśli tuż przed osiągnięciem nośności granicznej Pg będziemy zmniejszali obciążenie P to ścieżkę równowagi możemy obliczyć za pomocą równań zakresu sprężystego, posługując się równaniem linii ugięcia (9.0.I). Po całkowitym odciążeniu, tzn. dla P = 0 pozostaje trwałe ugięcie f *, które wynosi: 0 Pg 0 fs 0 f* fs fs Ps fs fs 0. 7 fs. (9.) 9 K 9 P 9 8 s Na Rys. 9.e pokazano rozkłady naprężeń w przekroju przy utwierdzeniu wspornika, a więc tam gdzie powstaje przegub plastyczny. Po całkowitym odciążeniu, w przekroju dla którego może tworzyć się przegub plastyczny powstaje rozkład naprężeń samozrównoważonych, pokazany na Rys. 9.e dla P 0. Przykład numeryczny. Celem przybliżenia wyników rozważanego modelu zginania belki wspornikowej przyjmijmy realistyczne dane dla belki stalowej o danych: b = cm, h = 6 cm, l = 00 cm, Re = 50 MPa, E = 00 GPa. Dla tych danych obliczamy: p =.50, Mp = kn, Ps = 4.5 kn, fs =.080 cm.08cm, Pg = kn, fg = cm, 9 f =.50 f l s cm l Otrzymane wyniki napisano w nawiasach przy ścieżkach równowagi, narysowanych na Rys. 9.d. 4