Ruch harmoniczny. Adam Szmagli«ski. Kraków, Instytut Fizyki PK
|
|
|
- Eugeniusz Góra
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ruch harmoniczny Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków,
2 Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
3 Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Je±li czas powtarzalno±ci drga«jest staªy, nazywamy go okresem a ruch okresowym. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
4 Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Je±li czas powtarzalno±ci drga«jest staªy, nazywamy go okresem a ruch okresowym. Okresowo± ruchu mo»na opisa równaniem q (t + T ) = q (t) gdzie q jest parametrem ruchu, t oznacza czas. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
5 Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Je±li czas powtarzalno±ci drga«jest staªy, nazywamy go okresem a ruch okresowym. Okresowo± ruchu mo»na opisa równaniem q (t + T ) = q (t) gdzie q jest parametrem ruchu, t oznacza czas. Okres T to najmniejszy odst p czasu, po którym ruch si powtarza. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
6 Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Je±li czas powtarzalno±ci drga«jest staªy, nazywamy go okresem a ruch okresowym. Okresowo± ruchu mo»na opisa równaniem q (t + T ) = q (t) gdzie q jest parametrem ruchu, t oznacza czas. Okres T to najmniejszy odst p czasu, po którym ruch si powtarza. Cz sto± ruchu ν = 1 mierzymy w hercach: 1 T Hz = 1 s 1. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
7 Je±li ruch jest symetryczny, wygodnie jest przyj punkt odniesienia dla warto±ci parametru ruchu q odpowiadaj cej ±rodkowi symetrii. W ±rodku symetrii: q = 0. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
8 Je±li ruch jest symetryczny, wygodnie jest przyj punkt odniesienia dla warto±ci parametru ruchu q odpowiadaj cej ±rodkowi symetrii. W ±rodku symetrii: q = 0. Amplituda q 0 to maksymalna warto± okresowo zmiennej wielko±ci q: q 0 q q 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
9 Je±li ruch jest symetryczny, wygodnie jest przyj punkt odniesienia dla warto±ci parametru ruchu q odpowiadaj cej ±rodkowi symetrii. W ±rodku symetrii: q = 0. Amplituda q 0 to maksymalna warto± okresowo zmiennej wielko±ci q: q 0 q q 0 Drgania harmoniczne to drgania w których parametr ruchu q da si opisa za pomoc funkcji sinus lub cosinus. q (t) = q 0 sin (ωt + ϑ) ω cz sto± koªowa (pulsacja) argument funkcji sinus: Θ = ωt + ϑ nazywamy faz ϑ staªa fazowa Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
10 Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
11 Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
12 Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
13 Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: mechaniczne do okoªo 10 5 Hz (cz sto± akustyczna), Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
14 Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: mechaniczne do okoªo 10 5 Hz (cz sto± akustyczna), elektryczne Hz (cz sto± radiowa), Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
15 Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: mechaniczne do okoªo 10 5 Hz (cz sto± akustyczna), elektryczne Hz (cz sto± radiowa), atomowe Hz (cz sto± optyczna), Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
16 Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: mechaniczne do okoªo 10 5 Hz (cz sto± akustyczna), elektryczne Hz (cz sto± radiowa), atomowe Hz (cz sto± optyczna), j drowe od Hz. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
17 Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
18 Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
19 Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, 2 bezwªadno± ukªadu, Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
20 Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, 2 bezwªadno± ukªadu, 3 niewielkie opory ruchu. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
21 Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, 2 bezwªadno± ukªadu, 3 niewielkie opory ruchu. Poªo»enia równowagi odpowiadaj minimom energii potencjalnej: F = grade P = 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
22 Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, 2 bezwªadno± ukªadu, 3 niewielkie opory ruchu. Poªo»enia równowagi odpowiadaj minimom energii potencjalnej: F = grade P = 0 Bezwªadno± powoduje,»e po doj±ciu do poªo»enia równowagi ciaªo nie zatrzymuje si, lecz wychyla si w przeciwn stron. Miar bezwªadno±ci w oscylatorach mechanicznych jest masa ciaªa drgaj cego. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
23 Druga denicja ruchu harmonicznego W ruchu harmonicznym siªa przywracaj ca równowag jest proporcjonalna i przeciwnie skierowana do wychylenia z poªo»enia równowagi: F = k r F siªa zwrotna k = const > 0 wspóªczynnik spr»ysto±ci Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
24 Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
25 Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r w jednym wymiarze: d 2 x dt 2 = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx = k m x Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
26 Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r w jednym wymiarze: d 2 x dt 2 = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx = k m x separacja zmiennych i caªkowanie: mv dv = kx dx 1 2 mv 2 = 1 2 kx 2 + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
27 Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r w jednym wymiarze: d 2 x dt 2 = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx = k m x separacja zmiennych i caªkowanie: mv dv = kx dx 1 2 mv 2 = 1 2 kx 2 + C caªkowita energia mechaniczna: E K (x = 0) = E 0 C = E 0 = E K + E PS Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
28 Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r w jednym wymiarze: d 2 x dt 2 = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx = k m x separacja zmiennych i caªkowanie: mv dv = kx dx 1 2 mv 2 = 1 2 kx 2 + C caªkowita energia mechaniczna: E K (x = 0) = E 0 C = E 0 = E K + E PS energia potencjalna spr»ysto±ci: E PS = 1 2 kx 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
29 v = dx dt = 2E 0 k m m x 2 k 2E = 0 x 2 m k Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
30 v = dx dt = 2E 0 k m m x 2 k 2E = 0 x 2 m k separacja zmiennych i caªkowanie: ( k m dt arcsin dx 2E0 k x 2 = k x 2E 0 ) = k m t + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
31 v = dx dt = 2E 0 k m m x 2 k 2E = 0 x 2 m k separacja zmiennych i caªkowanie: ( k m dt arcsin dx 2E0 k x 2 = x (t) = 2E 0 k x 2E 0 ) = k m t + C ( ) sin k k m t + C = x 0 sin (ωt + ϑ) 2E 0 amplituda: x 0 = E k 0 = 1 kx k cz sto± koªowa: ω = k = mω 2 m okres: T = 2π ω = 2π m k faza ruchu: ωt + ϑ, staªa fazowa: ϑ Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
32 Powszechno± ruchu harmonicznego Zale»no± energii potencjalnej od poªo»enia przybli»amy szeregiem pot gowym: E P (x) = (x x 0 ) n = a n (x x 0 ) n x=x 0 n=0 1 n! d n E P dx n dla x 0 = 0: E P (x) = E P (0) + de P dx x x=0 }{{} 0 d 2 E P dx 2 x=0 x n=0 d 3 E P x dx 3 x=0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
33 Powszechno± ruchu harmonicznego Zale»no± energii potencjalnej od poªo»enia przybli»amy szeregiem pot gowym: E P (x) = (x x 0 ) n = a n (x x 0 ) n x=x 0 n=0 1 n! d n E P dx n dla x 0 = 0: E P (x) = E P (0) + de P dx x x=0 }{{} 0 d 2 E P dx 2 x=0 x n=0 d 3 E P x dx 3 x=0 Dla maªych wychyle«mo»na pomin wyrazy z wy»szymi pot gami: E P (x) E P (0) + 1 d 2 E P x 2 2 dx 2 x=0 St d energi potencjaln przybli»amy parabol. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
34 Powszechno± ruchu harmonicznego Zale»no± energii potencjalnej od poªo»enia przybli»amy szeregiem pot gowym: E P (x) = (x x 0 ) n = a n (x x 0 ) n x=x 0 n=0 1 n! d n E P dx n dla x 0 = 0: E P (x) = E P (0) + de P dx x x=0 }{{} 0 d 2 E P dx 2 x=0 x n=0 d 3 E P x dx 3 x=0 Dla maªych wychyle«mo»na pomin wyrazy z wy»szymi pot gami: E P (x) E P (0) + 1 d 2 E P x 2 2 dx 2 x=0 St d energi potencjaln przybli»amy parabol. Siªa zwrotna spr»ysto±ci: F = de P dx = d 2 E P x = kx dx 2 x=0 gdzie staªa spr»ysto±ci: k = d 2 E P dx 2 x=0 Dla maªych wychyle«siªa zwrotna proporcjonalna jest do wychylenia. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
35 Przykªad oscylatora spr»ystego Energi oddziaªywa«mi dzycz steczkowych opisuje si wyra»eniem: E P (r) = Ar n Br m Wspóªczynniki A, B, n > m maj charakter empiryczny, a r jest odlegªo±ci mi dzy cz steczkami. Np. w potencjale Lennarda-Jonesa: n = 12, m = 6. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
36 Przykªad oscylatora spr»ystego Energi oddziaªywa«mi dzycz steczkowych opisuje si wyra»eniem: E P (r) = Ar n Br m Wspóªczynniki A, B, n > m maj charakter empiryczny, a r jest odlegªo±ci mi dzy cz steczkami. Np. w potencjale Lennarda-Jonesa: n = 12, m = 6. Siªa w poªo»eniu równowagi: F (r 0 ) = E P r = nar n 1 mbr m 1 = 0 r = n m r=r 0 na mb Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
37 Przykªad oscylatora spr»ystego Energi oddziaªywa«mi dzycz steczkowych opisuje si wyra»eniem: E P (r) = Ar n Br m Wspóªczynniki A, B, n > m maj charakter empiryczny, a r jest odlegªo±ci mi dzy cz steczkami. Np. w potencjale Lennarda-Jonesa: n = 12, m = 6. Siªa w poªo»eniu równowagi: F (r 0 ) = E P r = nar n 1 mbr m 1 = 0 r = n m r=r 0 na mb Wspóªczynnik spr»ysto±ci: k = d 2 E P dr 2 = n (n + 1) Ar n 2 m (m + 1) Br m r=r 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
38 Przykªad oscylatora spr»ystego Energi oddziaªywa«mi dzycz steczkowych opisuje si wyra»eniem: E P (r) = Ar n Br m Wspóªczynniki A, B, n > m maj charakter empiryczny, a r jest odlegªo±ci mi dzy cz steczkami. Np. w potencjale Lennarda-Jonesa: n = 12, m = 6. Siªa w poªo»eniu równowagi: F (r 0 ) = E P r = nar n 1 mbr m 1 = 0 r = n m r=r 0 na mb Wspóªczynnik spr»ysto±ci: k = d 2 E P dr 2 = n (n + 1) Ar n 2 m (m + 1) Br m r=r 0 Siªa spr»ysto±ci: F (r) = k (r r 0 ) = k r Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
39 Przej±cie do zjawisk makroskopowych Dla N cz steczek le» cych wzdªu» prostej jednorodne odksztaªcenia si sumuj, daj c w wyniku odksztaªcenie makroskopowe: l = N r Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
40 Przej±cie do zjawisk makroskopowych Dla N cz steczek le» cych wzdªu» prostej jednorodne odksztaªcenia si sumuj, daj c w wyniku odksztaªcenie makroskopowe: l = N r Jest ono zwi zane z makroskopow siª prawem Hooke'a: F = k l Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
41 Przej±cie do zjawisk makroskopowych Dla N cz steczek le» cych wzdªu» prostej jednorodne odksztaªcenia si sumuj, daj c w wyniku odksztaªcenie makroskopowe: l = N r Jest ono zwi zane z makroskopow siª prawem Hooke'a: F = k l Odksztaªcenie liniowe bezwzgl dne: l = l l 0 wzgl dne: ε = l l 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
42 Przej±cie do zjawisk makroskopowych Dla N cz steczek le» cych wzdªu» prostej jednorodne odksztaªcenia si sumuj, daj c w wyniku odksztaªcenie makroskopowe: l = N r Jest ono zwi zane z makroskopow siª prawem Hooke'a: F = k l Odksztaªcenie liniowe bezwzgl dne: l = l l 0 Odksztaªcenie obj to±ciowe V = V V 0 wzgl dne: ε = l l 0 γ = V V 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
43 Napr»enie σ = F S S powierzchnia Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
44 Napr»enie σ = F S S powierzchnia Prawo Hooke'a dla siª dziaªaj cych prostopadle do powierzchni: liniowe: ε = 1 σ E obj to±ciowe: γ = Kσ E moduª Younga K moduª ±ci±liwo±ci Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
45 Napr»enie σ = F S S powierzchnia Prawo Hooke'a dla siª dziaªaj cych prostopadle do powierzchni: liniowe: ε = 1 σ E obj to±ciowe: γ = Kσ E moduª Younga K moduª ±ci±liwo±ci Prawo Hooke'a dla siª dziaªaj cych stycznie do powierzchni (±cinanie): α = 1 G σ α k t odchylenia ±cianek prostopadªych do powierzchni G moduª sztywno±ci σ napr»enie ±cinaj ce Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
46 Wahadªo torsyjne jest to tarcza o momencie bezwªadno±ci I zawieszona na drucie o dªugo±ci l i momencie bezwªadno±ci wzgl dem osi obrotu I P, którego drugi koniec jest nieruchomy. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
47 Wahadªo torsyjne jest to tarcza o momencie bezwªadno±ci I zawieszona na drucie o dªugo±ci l i momencie bezwªadno±ci wzgl dem osi obrotu I P, którego drugi koniec jest nieruchomy. Przy obrocie o k t ϕ powstaje moment zwrotny: M = τϕ staªa skr cenia: τ = GI P l Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
48 Wahadªo torsyjne jest to tarcza o momencie bezwªadno±ci I zawieszona na drucie o dªugo±ci l i momencie bezwªadno±ci wzgl dem osi obrotu I P, którego drugi koniec jest nieruchomy. Przy obrocie o k t ϕ powstaje moment zwrotny: M = τϕ staªa skr cenia: τ = GI P l Z Drugiej Zasady Dynamiki I ϕ = τϕ Równanie to wa»ne jest w caªym zakresie stosowalno±ci prawa Hooke'a. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
49 Wahadªo torsyjne jest to tarcza o momencie bezwªadno±ci I zawieszona na drucie o dªugo±ci l i momencie bezwªadno±ci wzgl dem osi obrotu I P, którego drugi koniec jest nieruchomy. Przy obrocie o k t ϕ powstaje moment zwrotny: M = τϕ staªa skr cenia: τ = GI P l Z Drugiej Zasady Dynamiki I ϕ = τϕ Równanie to wa»ne jest w caªym zakresie stosowalno±ci prawa Hooke'a. Okres waha«t = 2π I τ Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
50 Ci»arek na wa»kiej spr»ynie Ci»arek o masie m zawieszony na spr»ynie dªugo±ci l i masie m S. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
51 Ci»arek na wa»kiej spr»ynie Ci»arek o masie m zawieszony na spr»ynie dªugo±ci l i masie m S. element masy spr»yny: dm = ds m l S s odlegªo± od punktu zawieszenia spr»yny s l x przemieszczenie elementu spr»yny Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
52 Ci»arek na wa»kiej spr»ynie Ci»arek o masie m zawieszony na spr»ynie dªugo±ci l i masie m S. element masy spr»yny: dm = ds m l S s odlegªo± od punktu zawieszenia spr»yny s l x przemieszczenie elementu spr»yny Energia kinetyczna spr»yny: E KS = ( 1 dm s ẋ) 2 = 1 m S ẋ 2 s 2 ds = 1 2 l m 2 l 3 6 S ẋ 2 m S 0 ( ) Energia kinetyczna caªego ukªadu: E K = 1 2 m + 1 m 3 S ẋ 2 Efektywna masa spr»yny jest trzykrotnie mniejsza od jej masy. l Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
53 Ci»arek na wa»kiej spr»ynie Ci»arek o masie m zawieszony na spr»ynie dªugo±ci l i masie m S. element masy spr»yny: dm = ds m l S s odlegªo± od punktu zawieszenia spr»yny s l x przemieszczenie elementu spr»yny Energia kinetyczna spr»yny: E KS = ( 1 dm s ẋ) 2 = 1 m S ẋ 2 s 2 ds = 1 2 l m 2 l 3 6 S ẋ 2 m S 0 ( ) Energia kinetyczna caªego ukªadu: E K = 1 2 m + 1 m 3 S ẋ 2 Efektywna masa spr»yny jest trzykrotnie mniejsza od jej masy. l Okres drga«ukªadu: m+m T = 2π Sef k Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
54 Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
55 Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Szukamy rozwi zania w postaci: x = Ae λt ẍ = Aλ 2 e λt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
56 Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Szukamy rozwi zania w postaci: x = Ae λt ẍ = Aλ 2 e λt Po podstawieniu do równania ruchu otrzymujemy równanie charakterystyczne: λ 2 + ω 2 = 0 λ = ±iω Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
57 Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Szukamy rozwi zania w postaci: x = Ae λt ẍ = Aλ 2 e λt Po podstawieniu do równania ruchu otrzymujemy równanie charakterystyczne: λ 2 + ω 2 = 0 λ = ±iω Rozwi zanie zespolone: x = Ae iωt = A [cos (ωt) + i sin (ωt)] Sens zyczny ma tylko cz ± rzeczywista rozwi zania: Re x = A cos (ωt) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
58 Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Szukamy rozwi zania w postaci: x = Ae λt ẍ = Aλ 2 e λt Po podstawieniu do równania ruchu otrzymujemy równanie charakterystyczne: λ 2 + ω 2 = 0 λ = ±iω Rozwi zanie zespolone: x = Ae iωt = A [cos (ωt) + i sin (ωt)] Sens zyczny ma tylko cz ± rzeczywista rozwi zania: Re x = A cos (ωt) Fazor (wektor fazowy) to wektor o dªugo±ci równej amplitudzie drga«, nachylony do osi rzeczywistej pod k tem równym fazie. Ruch harmoniczny to wirowanie fazorów. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
59 Skªadanie drga«harmonicznych Z liniowego zwi zku pomi dzy wychyleniem a siª w ukªadach harmonicznych otrzymujemy zasad superpozycji drga«: wychylenie w danej chwili jest sum wychyle«ka»dego elementu ukªadu, wywoªanych przez ka»dy czynnik osobno. x = n A i sin (ω i t + ϑ i ) i=1 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
60 Skªadanie drga«harmonicznych Z liniowego zwi zku pomi dzy wychyleniem a siª w ukªadach harmonicznych otrzymujemy zasad superpozycji drga«: wychylenie w danej chwili jest sum wychyle«ka»dego elementu ukªadu, wywoªanych przez ka»dy czynnik osobno. x = n A i sin (ω i t + ϑ i ) i=1 a. Skªadanie dwóch drga«o tym samym kierunku, ró»nych amplitudach, tej samej cz sto±ci, ró»ni cych si w fazie o ϑ. x 1 = A 1 sin (ωt) x 2 = A 2 sin (ωt + ϑ) = A 2 [cos ϑ sin (ωt) + sin ϑ cos (ωt)] Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
61 x = x 1 + x 2 = (A 1 + A 2 cos ϑ) sin (ωt) + A 2 sin ϑ cos (ωt) = A [cos ϕ sin (ωt) + sin ϕ cos (ωt)] = A sin (ωt + ϕ) Dowoln par liczb rzeczywistych mo»na przedstawi za pomoc A cos ϕ i A sin ϕ. Z transformacji dla wspóªrz dnych biegunowych: A = (A 1 + A 2 cos ϑ) 2 + (A 2 sin ϑ) 2, ϕ = arctg A 2 sin ϑ A 1 +A 2 cos ϑ Wypadkowa amplituda drga«osi ga najwi ksz warto± dla ϑ = 2kπ, a najmniejsz dla ϑ = (2k + 1) π. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
62 x = x 1 + x 2 = (A 1 + A 2 cos ϑ) sin (ωt) + A 2 sin ϑ cos (ωt) = A [cos ϕ sin (ωt) + sin ϕ cos (ωt)] = A sin (ωt + ϕ) Dowoln par liczb rzeczywistych mo»na przedstawi za pomoc A cos ϕ i A sin ϕ. Z transformacji dla wspóªrz dnych biegunowych: A = (A 1 + A 2 cos ϑ) 2 + (A 2 sin ϑ) 2, ϕ = arctg A 2 sin ϑ A 1 +A 2 cos ϑ Wypadkowa amplituda drga«osi ga najwi ksz warto± dla ϑ = 2kπ, a najmniejsz dla ϑ = (2k + 1) π. Wynik superpozycji mo»na interpretowa geometrycznie jako sum wektorów fazowych: A n = A i i=1 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
63 b. Skªadanie dwóch drga«o tym samym kierunku, ró»nych amplitudach i fazach, oraz podobnych cz sto±ciach dudnienia. x 1 = A 1 sin (ω 1 t) x 2 = A 2 sin (ω 2 t + ϑ) = A 2 sin{ω 1 t [(ω 1 ω 2 ) t ϑ]} Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
64 b. Skªadanie dwóch drga«o tym samym kierunku, ró»nych amplitudach i fazach, oraz podobnych cz sto±ciach dudnienia. x 1 = A 1 sin (ω 1 t) x 2 = A 2 sin (ω 2 t + ϑ) = A 2 sin{ω 1 t [(ω 1 ω 2 ) t ϑ]} Podstawiamy w wyprowadzeniu z cz ±ci a. za ϑ wyra»enie: [(ω 1 ω 2 ) t ϑ] otrzymujemy: x = x 1 + x 2 = A sin (ω 1 t + ϕ) gdzie amplituda drga«wypadkowych zale»y od czasu: A = {A 1 + A 2 cos [(ω 1 ω 2 ) t ϑ]} 2 + {A 2 sin [(ω 1 ω 2 ) t ϑ]} 2 = A A2 + 2A 2 1A 2 cos [(ω 1 ω 2 ) t ϑ] ϕ = arctg A 2 sin [(ω 1 ω 2 ) t ϑ] A 1 + A 2 cos [(ω 1 ω 2 ) t ϑ] Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
65 Okres zmienno±ci: T = 2π ω 1 ω 2 ν d = 1 T = ν 1 ν 2 Je±li cz sto±ci obu drga«mechanicznych le» w zakresie sªyszalno±ci, a ich ró»nica jest poni»ej 16 Hz, to mo»na usªysze rytmiczne powtarzanie si maksimów amplitudy o cz sto±ci ν d, zwane dudnieniami. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
66 Okres zmienno±ci: T = 2π ω 1 ω 2 ν d = 1 T = ν 1 ν 2 Je±li cz sto±ci obu drga«mechanicznych le» w zakresie sªyszalno±ci, a ich ró»nica jest poni»ej 16 Hz, to mo»na usªysze rytmiczne powtarzanie si maksimów amplitudy o cz sto±ci ν d, zwane dudnieniami. Przez odpowiedni superpozycj uzyskuje si drgania modulowane o okresowej amplitudzie np. x = [B 1 + B 2 cos (θ 1 t)] sin (θt) cz sto± drga«podstawowych: θ = ω 1 cz sto± drga«moduluj cych θ 1 = ω 1 ω 2 B 1 = A A2 2 B 2 = 2A 1 A 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
67 Krzywe Lissajous Skªadamy ze sob drgania prostopadªe do siebie wzdªu» osi x i y, ró»ni ce si w fazie: x (t) = x 0 sin (ω x t) y (t) = y 0 sin (ω y t ϑ) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
68 Krzywe Lissajous Skªadamy ze sob drgania prostopadªe do siebie wzdªu» osi x i y, ró»ni ce si w fazie: x (t) = x 0 sin (ω x t) y (t) = y 0 sin (ω y t ϑ) Je±li cz sto±ci drga«s sobie równe, torem ruchu jest elipsa lub odcinek (ϑ = kπ), w zale»no±ci od ró»nicy faz drga«skªadowych. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
69 Krzywe Lissajous Skªadamy ze sob drgania prostopadªe do siebie wzdªu» osi x i y, ró»ni ce si w fazie: x (t) = x 0 sin (ω x t) y (t) = y 0 sin (ω y t ϑ) Je±li cz sto±ci drga«s sobie równe, torem ruchu jest elipsa lub odcinek (ϑ = kπ), w zale»no±ci od ró»nicy faz drga«skªadowych. Je±li skªadane drgania ró»ni si cz sto±ciami, ró»nica faz jest liniow funkcj czasu. Przy wymiernym stosunku cz sto±ci obu drga«(p/q p, q N/{0}) tor staje si krzyw zamkni t. Cykl si powtarza po czasie T = pqt, gdzie pt jest okresem jednych drga«, a qt okresem drugich. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
70 Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
71 Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
72 Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Rodzaje oporów ruchu: µ wspóªczynnik tarcia F N siªa nacisku b = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
73 Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Rodzaje oporów ruchu: 1 tarcie po±lizgowe (kulombowskie, suche) T = µf N, µ wspóªczynnik tarcia F N siªa nacisku b = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
74 Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Rodzaje oporów ruchu: 1 tarcie po±lizgowe (kulombowskie, suche) T = µf N, 2 tarcie wewn trzne (wiskotyczne, lepko± ) T = bv, µ wspóªczynnik tarcia F N siªa nacisku b = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
75 Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Rodzaje oporów ruchu: 1 tarcie po±lizgowe (kulombowskie, suche) T = µf N, 2 tarcie wewn trzne (wiskotyczne, lepko± ) T = bv, 3 opór hydrodynamiczny T = bv 2, µ wspóªczynnik tarcia F N siªa nacisku b = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
76 Drgania tªumione wiskotycznie Z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx bẋ ẍ + 2βẋ + ω 2 x = 0 0 wspóªczynnik tªumienia: β = b 2m cz sto± koªowa odpowiadaj cych drga«nietªumionych, nazywa si cz sto±ci drga«wªasnych: ω 0 = k m Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
77 Drgania tªumione wiskotycznie Z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx bẋ ẍ + 2βẋ + ω 2 x = 0 0 wspóªczynnik tªumienia: β = b 2m cz sto± koªowa odpowiadaj cych drga«nietªumionych, nazywa si cz sto±ci drga«wªasnych: ω 0 = k m Korzystamy z podstawienia: x = Ae λt st d: ẋ = λae λt ẍ = λ 2 Ae λt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
78 Drgania tªumione wiskotycznie Z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx bẋ ẍ + 2βẋ + ω 2 x = 0 0 wspóªczynnik tªumienia: β = b 2m cz sto± koªowa odpowiadaj cych drga«nietªumionych, nazywa si cz sto±ci drga«wªasnych: ω 0 = k m Korzystamy z podstawienia: x = Ae λt st d: ẋ = λae λt ẍ = λ 2 Ae λt Po podstawieniu rozwi zania i jego pochodnych do równania otrzymujemy równanie charakterystyczne: λ 2 + 2βλ + ω 2 = 0 0 dla β < ω 0 ma dwa pierwiastki: λ = β ± β 2 ω 2 = β ± iω 0 gdzie ω = ω 2 0 β2 jest cz sto±ci koªow ruchu tªumionego. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
79 Rozwi zaniem jest kombinacja liniowa ze wspóªczynnikami sprz»onymi: x = A 1 e ( β+iω)t + A 2 e ( β iω)t = e βt ( A 1 e iωt + A 2 e iωt) wspóªczynniki te mo»na zast pi przez A 1 = A 0 2 eiϑ oraz A 2 = A 0 ( 2 e iϑ, korzystaj c z cos Θ = 1 2 e iθ + e iθ) otrzymujemy: x (t) = A 0 e βt cos (ωt + ϑ) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
80 Rozwi zaniem jest kombinacja liniowa ze wspóªczynnikami sprz»onymi: x = A 1 e ( β+iω)t + A 2 e ( β iω)t = e βt ( A 1 e iωt + A 2 e iωt) wspóªczynniki te mo»na zast pi przez A 1 = A 0 2 eiϑ oraz A 2 = A 0 ( 2 e iϑ, korzystaj c z cos Θ = 1 2 e iθ + e iθ) otrzymujemy: x (t) = A 0 e βt cos (ωt + ϑ) Rozwi zanie mo»na zinterpretowa geometrycznie jako wiruj cy fazor o malej cej dªugo±ci (amplitudzie): A = A 0 e βt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
81 Rozwi zaniem jest kombinacja liniowa ze wspóªczynnikami sprz»onymi: x = A 1 e ( β+iω)t + A 2 e ( β iω)t = e βt ( A 1 e iωt + A 2 e iωt) wspóªczynniki te mo»na zast pi przez A 1 = A 0 2 eiϑ oraz A 2 = A 0 ( 2 e iϑ, korzystaj c z cos Θ = 1 2 e iθ + e iθ) otrzymujemy: x (t) = A 0 e βt cos (ωt + ϑ) Rozwi zanie mo»na zinterpretowa geometrycznie jako wiruj cy fazor o malej cej dªugo±ci (amplitudzie): A = A 0 e βt Z postaci czynnika tªumienia e βt uzyskujemy staª wielko± zwan logarytmicznym dekrementem tªumienia, b d cym logarytmem ze stosunku kolejnych amplitud: δ = ln A(t) A(t+T ) = ln A 0e βt A 0 e β(t+t ) = βt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
82 Rozwi zaniem jest kombinacja liniowa ze wspóªczynnikami sprz»onymi: x = A 1 e ( β+iω)t + A 2 e ( β iω)t = e βt ( A 1 e iωt + A 2 e iωt) wspóªczynniki te mo»na zast pi przez A 1 = A 0 2 eiϑ oraz A 2 = A 0 ( 2 e iϑ, korzystaj c z cos Θ = 1 2 e iθ + e iθ) otrzymujemy: x (t) = A 0 e βt cos (ωt + ϑ) Rozwi zanie mo»na zinterpretowa geometrycznie jako wiruj cy fazor o malej cej dªugo±ci (amplitudzie): A = A 0 e βt Z postaci czynnika tªumienia e βt uzyskujemy staª wielko± zwan logarytmicznym dekrementem tªumienia, b d cym logarytmem ze stosunku kolejnych amplitud: δ = ln Czas relaksacji τ A(t) A(t+T ) = ln A 0e βt A 0 e β(t+t ) = βt to czas po którym amplituda zmaleje e razy: e = A(t) A(t+τ) = A 0e βt A 0 e β(t+τ) = e βτ τ = 1 β = T δ Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
83 Oscylator silnie tªumiony Je±li wspóªczynnik tªumienia jest wi kszy od cz sto±ci drga«nietªumionych, oba pierwiastki równania charakterystycznego s rzeczywiste: β > ω 0 λ = β ± β 2 ω 2 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
84 Oscylator silnie tªumiony Je±li wspóªczynnik tªumienia jest wi kszy od cz sto±ci drga«nietªumionych, oba pierwiastki równania charakterystycznego s rzeczywiste: β > ω 0 λ = β ± β 2 ω 2 0 Rozwi zanie ogólne jest kombinacj wyrazów wykªadniczych: x (t) = e (A βt 1 e β2 ω0 2 t + A 2 e ) β 2 ω0 2 t Do drga«nie dochodzi. Ruch jest aperiodyczny. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
85 Oscylator silnie tªumiony Je±li wspóªczynnik tªumienia jest wi kszy od cz sto±ci drga«nietªumionych, oba pierwiastki równania charakterystycznego s rzeczywiste: β > ω 0 λ = β ± β 2 ω 2 0 Rozwi zanie ogólne jest kombinacj wyrazów wykªadniczych: x (t) = e (A βt 1 e β2 ω0 2 t + A 2 e ) β 2 ω0 2 t Do drga«nie dochodzi. Ruch jest aperiodyczny. Tªumienie krytyczne zachodzi gdy wspóªczynnik tªumienia jest równy pulsacji drga«nietªumionych: β = ω 0 λ = β Rozwi zanie ogólne jest sum : x (t) = (A 1 + A 2 t) e βt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
86 Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
87 Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Zjawisko to wyst puje w dwóch fazach: Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
88 Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Zjawisko to wyst puje w dwóch fazach: 1 stan przej±ciowy (nieustalony) przyrost amplitudy, Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
89 Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Zjawisko to wyst puje w dwóch fazach: 1 stan przej±ciowy (nieustalony) przyrost amplitudy, 2 stan ustalony (stacjonarny) o staªej amplitudzie. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
90 Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Zjawisko to wyst puje w dwóch fazach: 1 stan przej±ciowy (nieustalony) przyrost amplitudy, 2 stan ustalony (stacjonarny) o staªej amplitudzie. Siªa wywoªuj ca drgania: F = F 0 sin (Ωt) z Drugiej Zasady Dynamiki: mẍ = kx bẋ + F 0 sin (Ωt) ẍ + 2βẋ + ω 2 x = a 0 0 sin (Ωt) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
91 Stan ustalony Do±wiadczenie pokazuje,»e drgania w stanie ustalonym maj t sam cz sto±, co wymuszaj ca siªa i s wzgl dem niej spó¹nione w fazie. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
92 Stan ustalony Do±wiadczenie pokazuje,»e drgania w stanie ustalonym maj t sam cz sto±, co wymuszaj ca siªa i s wzgl dem niej spó¹nione w fazie. Równanie ruchu w postaci zespolonej: ẍ + 2βẋ + ω 2 x = a 0 0e iωt rozwi zanie: x = Ae i(ωt ϑ) równanie charakterystyczne: AΩ 2 + 2iAβΩ + Aω 2 = a 0 0e iϑ Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
93 Stan ustalony Do±wiadczenie pokazuje,»e drgania w stanie ustalonym maj t sam cz sto±, co wymuszaj ca siªa i s wzgl dem niej spó¹nione w fazie. Równanie ruchu w postaci zespolonej: ẍ + 2βẋ + ω 2 x = a 0 0e iωt rozwi zanie: x = Ae i(ωt ϑ) równanie charakterystyczne: AΩ 2 + 2iAβΩ + Aω 2 = a 0 0e iϑ Obliczaj c moduª z tego równania otrzymujemy amplitud drga«: A (ω 2 0 Ω2) 2 + 4β 2 Ω 2 = a 0 A = F 0 m (ω 2 0 Ω2 ) 2 +4β 2 Ω 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
94 Stan ustalony Do±wiadczenie pokazuje,»e drgania w stanie ustalonym maj t sam cz sto±, co wymuszaj ca siªa i s wzgl dem niej spó¹nione w fazie. Równanie ruchu w postaci zespolonej: ẍ + 2βẋ + ω 2 x = a 0 0e iωt rozwi zanie: x = Ae i(ωt ϑ) równanie charakterystyczne: AΩ 2 + 2iAβΩ + Aω 2 = a 0 0e iϑ Obliczaj c moduª z tego równania otrzymujemy amplitud drga«: A (ω 2 0 Ω2) 2 + 4β 2 Ω 2 = a 0 A = F 0 m (ω 2 0 Ω2 ) 2 +4β 2 Ω 2 Opó¹nienie fazowe: Ω 0 ϑ 0 ϑ = arctg 2βΩ Ω ω ω0 2 0 ϑ π Ω2 2 Ω ϑ π Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
95 Rezonans wychylenia Amplituda drga«wymuszonych zale»y od ich cz sto±ci. Wykres tej zale»no±ci nazywa si krzyw rezonansow. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
96 Rezonans wychylenia Amplituda drga«wymuszonych zale»y od ich cz sto±ci. Wykres tej zale»no±ci nazywa si krzyw rezonansow. Amplituda przy pewnej cz sto±ci Ω R osi ga maksimum. Zjawisko to nazywamy rezonansem, a Ω R cz sto±ci rezonansow. [ d (ω 2 0 Ω 2) ] 2 + 4β 2 Ω 2 dω st d cz sto± rezonansowa: Ω R = = 2 ( ω 2 0 Ω 2) ( 2Ω) + 8β 2 Ω = 4 ( Ω 2 ω β 2) Ω = 0 ω 2 0 2β2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
97 Warto± amplitudy w rezonansie: A R = F 0 m [ω 2 0 ( ω 2 0 2β2)] 2 + 4β ( = F0 = F 0 2 ω 2 2β2) 2mβ ω 2 bω 0 0 β2 ω cz sto± drga«tªumionych b wspóªczynnik oporów ruchu Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
98 Warto± amplitudy w rezonansie: A R = F 0 m [ω 2 0 ( ω 2 0 2β2)] 2 + 4β ( = F0 = F 0 2 ω 2 2β2) 2mβ ω 2 bω 0 0 β2 ω cz sto± drga«tªumionych b wspóªczynnik oporów ruchu Ró»nica faz w rezonansie: 2β ω 2 ϑ R = (ω0 ) 0 2β2 2 arctg ω 2 ( = arctg 2 = Ω R arctg ω 2 2β2) β β 0 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
99 Drgania tªumione kulombowsko Zakªadamy warunki pocz tkowe ruchu: x (0) = A 0 > F C, ẋ (0) = 0, k A 0 amplituda pocz tkowa drga«z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx F C sgn (ẋ) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
100 Drgania tªumione kulombowsko Zakªadamy warunki pocz tkowe ruchu: x (0) = A 0 > F C, ẋ (0) = 0, k A 0 amplituda pocz tkowa drga«z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx F C sgn (ẋ) Ze wzgl du na zale»no± zwrotu staªej siªy tarcia F C od zwrotu pr dko±ci, równanie ruchu musimy rozwi zywa oddzielnie dla ka»dej fazy ruchu z danym zwrotem siªy tarcia. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
101 Drgania tªumione kulombowsko Zakªadamy warunki pocz tkowe ruchu: x (0) = A 0 > F C, ẋ (0) = 0, k A 0 amplituda pocz tkowa drga«z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx F C sgn (ẋ) Ze wzgl du na zale»no± zwrotu staªej siªy tarcia F C od zwrotu pr dko±ci, równanie ruchu musimy rozwi zywa oddzielnie dla ka»dej fazy ruchu z danym zwrotem siªy tarcia. W pierwszej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = k m x + F C m = k m ( x F C k ) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
102 Drgania tªumione kulombowsko Zakªadamy warunki pocz tkowe ruchu: x (0) = A 0 > F C, ẋ (0) = 0, k A 0 amplituda pocz tkowa drga«z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx F C sgn (ẋ) Ze wzgl du na zale»no± zwrotu staªej siªy tarcia F C od zwrotu pr dko±ci, równanie ruchu musimy rozwi zywa oddzielnie dla ka»dej fazy ruchu z danym zwrotem siªy tarcia. W pierwszej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = k m x + F C m = k m ( x F C k ) W ka»dej fazie ruchu ciaªo porusza si ruchem analogicznym do harmonicznego nietªumionego. Jednak "poªo»enie równowagi jest rozbite" na dwa punkty poprzez przesuni cie o x 1 = F C, z miejsca dla ruchu k nietªumionego w kierunku do pocz tku danej fazy ruchu. Na przemian zmienia swoje poªo»enie na takie, w którym siªa spr»ysto±ci równowa»y si z siª tarcia. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
103 Mamy wi c dla pierwszej fazy ruchu: ẍ = ω 2 0 (x x 1) ω 0 = k m cz sto± odpowiadaj cych drga«nietªumionych. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
104 Mamy wi c dla pierwszej fazy ruchu: ẍ = ω 2 0 (x x 1) ω 0 = k m cz sto± odpowiadaj cych drga«nietªumionych. Poprzez analogi z drganiami nietªumionymi: x x 1 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = Aω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
105 Mamy wi c dla pierwszej fazy ruchu: ẍ = ω 2 0 (x x 1) ω 0 = k m cz sto± odpowiadaj cych drga«nietªumionych. Poprzez analogi z drganiami nietªumionymi: x x 1 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = Aω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Z warunków pocz tkowych obliczamy amplitud A i przesuni cie fazowe ϑ: ẋ (0) = 0 0 = Aω 0 cos ϑ ϑ = ± π 2 + 2πn x (0) = A 0 A 0 x 1 = A sin ϑ = A sin ( ± π 2 ) = ±A St d równanie ruchu: x (t) = x 1 + (A 0 x 1 ) cos (ω 0 t) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
106 W drugiej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = ω 2 (x x 0 2) "Poªo»enie równowagi" tej fazy ruchu: x 2 = x 1 = F C k Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
107 W drugiej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = ω 2 (x x 0 2) "Poªo»enie równowagi" tej fazy ruchu: x 2 = x 1 = F C k Rozwi zanie ma posta : x x 2 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = A ω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
108 W drugiej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = ω 2 (x x 0 2) "Poªo»enie równowagi" tej fazy ruchu: x 2 = x 1 = F C k Rozwi zanie ma posta : x x 2 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = A ω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Z ( warunków ) brzegowych sklejenia: T ẋ 2 = 0 ϑ = ± ( π ) + 2πn 2 T x 2 = A0 + 2x 1 A 0 + 2x 1 x 2 = A 0 + 3x 1 = A sin (π + ϑ) = A sin ( ± π ) 2 = ±A St d równanie ruchu: x (t) = x 1 + (A 0 3x 1 ) cos (ω 0 t) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
109 W drugiej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = ω 2 (x x 0 2) "Poªo»enie równowagi" tej fazy ruchu: x 2 = x 1 = F C k Rozwi zanie ma posta : x x 2 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = A ω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Z ( warunków ) brzegowych sklejenia: T ẋ 2 = 0 ϑ = ± ( π ) + 2πn 2 T x 2 = A0 + 2x 1 A 0 + 2x 1 x 2 = A 0 + 3x 1 = A sin (π + ϑ) = A sin ( ± π ) 2 = ±A St d równanie ruchu: x (t) = x 1 + (A 0 3x 1 ) cos (ω 0 t) Po upªywie jednego okresu amplituda zmniejszyªa si do: x (T ) = A 0 4x 1 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
110 Poprzez kolejne iteracje otrzymujemy ogólne rozwi zanie dla poªo»enia w n-tej poªówce okresu drga«(fazie ruchu): x (t) = ( 1) n 1 x 1 + [A 0 (2n 1) x 1 ] cos (ω 0 t) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
111 Poprzez kolejne iteracje otrzymujemy ogólne rozwi zanie dla poªo»enia w n-tej poªówce okresu drga«(fazie ruchu): x (t) = ( 1) n 1 x 1 + [A 0 (2n 1) x 1 ] cos (ω 0 t) W pªaszczy¹nie zespolonej wektor fazowy na przemian ma pocz tek w x 1 i x 2, a jego dªugo± zmniejsza si o 2x 1 z ka»d zmian zwrotu pr dko±ci. Przypomina to zwijanie tego wektora fazowego wokóª odcinka o ko«cach x 1 x 2. Ciaªo zatrzymuje si w momencie naªo»enia si wektora fazowego na o± rzeczywist gdy: x 2 x ( n T 2 ) x1. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
112 Poprzez kolejne iteracje otrzymujemy ogólne rozwi zanie dla poªo»enia w n-tej poªówce okresu drga«(fazie ruchu): x (t) = ( 1) n 1 x 1 + [A 0 (2n 1) x 1 ] cos (ω 0 t) W pªaszczy¹nie zespolonej wektor fazowy na przemian ma pocz tek w x 1 i x 2, a jego dªugo± zmniejsza si o 2x 1 z ka»d zmian zwrotu pr dko±ci. Przypomina to zwijanie tego wektora fazowego wokóª odcinka o ko«cach x 1 x 2. Ciaªo zatrzymuje si w momencie naªo»enia si wektora fazowego na o± rzeczywist gdy: x 2 x ( n T 2 ) x1. Ze wzgl du na ten sam wspóªczynnik proporcjonalno±ci siªy do wychylenia, okres drga«b dzie identyczny z okresem drga«nietªumionych. W przypadku rozpocz cia ruchu z zerow pr dko±ci, czas jego trwania b dzie równy wielokrotno±ci poªówek jego okresu: t C = N [ ] T, gdzie 2 A N = 0 +x 1 2x 1 jest liczb "nawini " wektora fazowego. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, / 32
Dynamika Bryªy Sztywnej
Dynamika Bryªy Sztywnej Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 27.10.2016 Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Adam Szmagli«ski
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Fizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Fizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Ruch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Wektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D).
Wektor Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, 10.10.2015 1 / 13 Wektor Uporz dkowany
RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
2 Statyka. F sin α + R B = 1 1 n ( 1. Rys. 1. mg 2
1 Moment p du Zad. 1.1 Cz stka o masie m = 5 kg znajduj c si w poªo»eniu r = 3i + j + k [m] ma pr dko± v = i [m/s]. Obliczy wektor momentu p du L cz stki wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªprzednych, wzgl dm
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Kinetyczna teoria gazów
Kinetyczna teoria gazów Gaz doskonaªy 1. Cz steczki gazu wzajemnie na siebie nie dziaªaj, a» do momentu zderzenia 2. Rozmiary cz steczek mo»na pomin, traktuj c je jako punkty Ka»da cz steczka gazu porusza
Elektrostatyka. Prawo Coulomba. F = k qq r r 2 r, wspóªczynnik k = 1 = N m2
Elektrostatyka Prawo Coulomba F = k qq r r 2 r, wspóªczynnik k = 1 N m2 4πε = 9 109 C 2 gdzie: F - siªa z jak ªadunek Q dziaªa na q, r wektor poªo»enia od ªadunku Q do q, r = r, Przenikalno± elektryczna
Drgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Plan wykładu. Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne. Oscylator harmoniczny Przykłady zastosowań. dr inż.
Plan wykładu Ruch drgajacy 1 Przykłady zastosowań dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Drgania wymuszone 3 Drgania zachodzace w tym samym kierunku
dr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA
NAZEWNICTWO LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH d n u a n d x + a d n 1 u n n 1 d x +... + a d 2 u n 1 2 d x + a d u 2 1 d x + a u = b( x) Powyższe równanie o niewiadomej funkcji
Kinematyka 2/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Kinematyka
Kinematyka 2/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Kinematyka jest cz ±ci mechaniki, która zajmuje si opisem
Drgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca
Dynamika. Adam Szmagli«ski. Kraków, Instytut Fizyki PK
Dynamika Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 22.10.2016 Pierwsza Zasada Dynamiki Newtona Ka»de ciaªo pozostaje w spoczynku lub porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym, je±li nie dziaªaj na
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
MECHANIKA KLASYCZNA. Andrzej P kalski
MECHANIKA KLASYCZNA Andrzej P kalski Spis tre±ci Rozdziaª 1. Wst p 7 Rozdziaª 2. Dynamika punktu materialnego 9 1. Prawa Newtona 9 2. Rozwi zywanie równa«newtona 10 3. Oscylator harmoniczny 11 4. Prawa
Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana
Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale
Podstawy fizyki wykład 7
Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
1 Trochoidalny selektor elektronów
1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Spis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
(wynika z II ZD), (wynika z PPC), Zapisujemy to wszystko w jednym równaniu i przeksztaªcamy: = GM
ODPOWIEDZI, EDUKARIS - kwiecie«2014, opracowaª Mariusz Mroczek 1 Zadanie 1.1 (2 pkt) Zmiana kierunku wektora pr dko±ci odbywa si, zgodnie z II ZD, w kierunku dziaªania siªy. Innymi sªowami: przyrosty pr
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 10 015/016, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna
Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo
VII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
Dynamika 3/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Dynamika
Dynamika 3/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Dynamika jest cz ±ci mechaniki klasycznej, która zajmuje si
f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera
V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Kinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bifurkacje. Ewa Gudowska-Nowak Nowak. Plus ratio quam vis
Bifurkacje Nowak Plus ratio quam vis M. Kac Complex Systems Research Center, M. Smoluchowski Institute of Physics, Jagellonian University, Kraków, Poland 2008 Gªówna idea.. Pozornie "dynamika" ukªadów
drgania h armoniczne harmoniczne
ver-8..7 drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p
Fale mechaniczne i akustyka
Fale mechaniczne i akustyka Wstęp: siła jako element decydujący o rodzaju ruchu Na pierwszym wykładzie, dynamiki Newtona omawiając II zasadę dr d r F r,, t = m dt dt powiedzieliśmy, że o tym, jakim ruchem
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Stacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u
Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny
Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Instytut Informatyki i Automatyki Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Informatyki i Przedsi biorczo±ci w Šom»y 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Przeksztaªcenia pªaszczyzny
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 2012/2013, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia
1 Elektrostatyka. 1.1 Wst p teoretyczny
Elektrostatyka. Wst p teoretyczny Dwa ªadunki elektryczne q i q 2 wytwarzaj pole elektryczne i za po±rednictwem tego pola odziaªuj na siebie wzajemnie z pewn siª. Je»eli pole elektryczne wytworzone jest
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 8 017/018, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
ver b drgania harmoniczne
ver-28.10.11 b drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne N = n=1 A n cos nω n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k jeden sopień swobody: E p -A E p A 0
PODSTAWY MECHANIKI KLASYCZNEJ wersja robocza. Andrzej P kalski
PODSTAWY MECHANIKI KLASYCZNEJ wersja robocza Andrzej P kalski Spis tre±ci Rozdziaª 1. Wst p 5 Rozdziaª 2. Dynamika punktu materialnego 7 1. Zasady zachowania 11 2. Ukªad punktów materialnych 13 3. Wi
Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007
Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Rodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów
Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe
BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC
Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia
Siła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana