OBWODOWY MODEL LINII TRANSMISYJNEJ

Transkrypt

1 Ćwiczenie 5 modiowano WYDIAŁ ELEKTRONIKI Celem ćwiczenia jest: OBWODOWY MODEL LINII TRANSMISYJNEJ zaoznanie się z modelem obwodowm uładu o arametrach rozłożonch tu linia transmisjna omiar wbranch wielości eletrcznch w modelu linii transmisjnej ilustracja zjawis izcznch wstęującch w obwodach o arametrach rozłożonch orównanie uzsanch wniów z wniami uzsanmi z analiz teoretcznej modelu obwodowego linii. W ćwiczeniu należ (rz zadanej częstotliwości): zmierzć imedancje wejściowe modelu linii rz różnch obciążeniach i wznaczć imedancję alową zmierzć imedancję wejściową linii zwartej na ońcu jao uncję jej długości zmierzć rozład naięcia wzdłuż linii doasowanej alowo i wznaczć arametr alowe linii (tłumienność i rzesuwność) długość ali rędość azową oraz srawność rzenoszenia moc rzez linię zaobserwować rzejście imulsu rostoątnego rzez linię w warunach różnch obciążeń na ońcu linii wszstie wnii omiarów należ orównać z wniami teoretcznmi otrzmanmi z analiz modelu linii. A. Wrowadzenie 1. Obwod o arametrach rozłożonch Każd izczn obwód eletrczn zajmuje oreślon obszar w rzestrzeni. Jeżeli w tm obszarze ola eletrczne i magnetczne są olami wazistacjonarnmi tzn. w ustalonej chwili czasu w całm obszarze są w rzbliżeniu jednaowe to mówim że obwód ten sełnia warune wazistacjonarności. Jeżeli rzebiegi naięć i rądów (a więc również ola eletrczne i magnetczne) są rzebiegami sinusoidalnmi wówczas warune ten można zaisać jao dma λ gdzie d ma masmaln izczn wmiar obwodu λ długość ali eletromagnetcznej rozchodzącej się w obwodzie. W ratce w zależności od wmaganej doładności obliczeń rzjmuje się że warune wazistacjonarności jest sełnion gd dma < ( 1 1) λ. Fizczn obwód eletrczn sełniając warune wazistacjonarności nazwa się obwodem o arametrach suionch. Obwód tai można zamodelować jao obwód onretn zbudowan z dsretnch elementów RLC i rzerowadzić jego analizę znanmi metodami teorii obwodów. 1

2 Jeżeli uład izczn nie sełnia warunu wazistacjonarności to nazwa się on obwodem o arametrach rozłożonch. Obwodu taiego na ogół nie można zamodelować jao obwodu onretnego zbudowanego z dsretnch elementów. Doładn ois matematczn zjawis zachodzącch w obwodach o arametrach rozłożonch daje ois olow tórego odstawą są równania Mawella. Przładami taich obwodów mogą bć wnęi rezonansowe cz alowod. W nietórch rzadach ied uład izczn nie sełnia warunu wazistacjonarności w ewien seciczn sosób możliwe jest sonstruowanie obwodu onretnego zbudowanego z dsretnch elementów RLC modelującego tai uład. Będzie ta wted gd warune wazistacjonarności nie będzie sełnion tlo rzez jeden z wmiaróww uładu. W dalszch rozważaniach wmiar ten nazwan będzie długością niezależnie o ustuowania uładu w rzestrzeni. Przładem taich uładów są linie rzesłowe. Dwie różne onstrucje taich linii oazano na rs. A1 i. Rs A1. Linia naowietrzna Rs A. Kabel oncentrczn ład taie niezależnie od tego ja są one izcznie sonstruowane nazwać będziem liniami transmisjnmi. Przjmować będziem również że długość linii jest zorientowana wzdłuż osi uładu wsółrzędnch. Warto tutaj odreślić że sełnienie lub niesełnienie warunu wazistacjonarności nie jest immanentną cechą uładu zależ nie tlo od wmiarów i onstrucji obwodu ale również od częstotliwości rzebiegów w tm obwodzie. Przładowo rz częstotliwości energetcznej 5 Hz długość ali eletromagnetcznej w wolnej rzestrzeni jest równa 6 m i linia o długości iluset ilometrów może bć tratowana jao obwód o arametrach suionch natomiast rz częstotliwości z zaresu miroalowego 1 GHz długość ali jest równa 3 cm i odcine linii o długości ilunastu milimetrów należ tratować ja obwód o arametrach rozłożonch. Na schematach eletrcznch linię transmisjną niezależnie od jej izcznej realizacji oznaczać będziem w sosób oazan na rs. A3. = = l i( t) i( t ) i( t l ) u ( t) u ( t ) ( u t l ) Rs. A3. Schemat eletrczn liniii transmisjnej o długości l wracam uwagę że wszstie rzebiegi eletrczne (naięcia i rąd) w linii są uncjami dwóch zmiennch czasu t i zmiennej rzestrzennej.

3 . Równania linii transmisjnej Rozważm róti ragment linii transmisjnej o długości λ. Odcine tai sełnia warune wazistacjonarności może więc bć zamodelowan za omocą suionch elementów RLC w sosób oazan na rs. A4. = + = l R L G C Rs. A4. Króti odcine linii transmisjnej jao obwód o arametrach suionch L i C rerezentują odowiednio inducjność i ojemność odcina linii o długości natomiast R i G rerezentują strat w taim odcinu linii wniające z rezstancji rzewodów i ułwności izolacji międz nimi. Do dalszch rozważań wgodnie będzie wrowadzić ojęcie arametrów jednostowch linii zdeiniowanch jao: L C R G lim L inducjność jednostowa [ ] lim C ojemność jednostowa [ ] lim R rezstancja jednostowa [ ] lim G ułwność jednostowa [ ] L H = m C F = m R Ω = m G S =. m Jeżeli założm że linia jest jednorodna czli że arametr jednostowe nie zmieniają się wzdłuż linii to R = R L = L G = G C = C. Wówczas obwodow suion model rótiego odcina linii ma ostać oazaną na rs. A5. Na rsunu zaznaczono również naięcia i rąd na oczątu i na ońcu tego odcina. 3

4 i( t ) R L i( t ) i( t + ) u ( t ) ( + ) u t G C ( + ) u t Rs. A5. Model obwodow odcina linii transmisjnej o długości λ Obwód z rs. A5 można oisać nastęującmi równaniami wniającmi z raw Kirchhoa: ( + ) u t i ( t ) + G u ( t + ) + C + i ( t + ) = (I rawo Kirchhoa) t ( ) i t u ( t ) + R i ( t ) + L + u ( t + ) =. (II rawo Kirchhoa) t Równania te o doonaniu rzejścia granicznego można dorowadzić do ostaci [1]: u t i t = Ri ( t ) + L t i t u t = Gu ( t ) + C t (A1a) (A1b) czli do uładu dwóch liniowch równań różniczowch o ochodnch cząstowch. Powższe równania został o raz ierwsz wrowadzone rzez Olivera Heaviside a tór badał niezrozumiałe wówczas zjawisa wstęujące w długich liniach telegraicznch szczególnie drastcznie ujawniające się w odwodnch ablach transatlantcich. Polegał one na bardzo owolnm rzesłaniu znaów alabetu Morse a rzesłanie ojednczego znau trwało nawet dwie minut czli rzesłanie rótiej deesz mogło zająć ila a nawet ilanaście godzin. Problem ten został rozwiązan doiero o oracowaniu orawnej teorii linii transmisjnch. Otrzmane rzez Heaviside a równania noszą historczną nazwę równań telegraistów. Rozwiązanie równań (A1) rz dowolnch warunach oczątowch i brzegowch jest zagadnieniem dosć trudnm a otrzmane wnii są trudne do interretacji i mają niewielie znaczenia ratczne. Osob zainteresowane odsłam do literatur [] [3]. W dalszch rozważaniach ograniczm się tlo do ewnego szczególnego rzadu mającego najwięsze zastosowanie ratczne. ałożm mianowicie że zarówno rąd ja i naięcie w linii są rzebiegami sinusoidalnmi o ustalonej ulsacji ω czli { } jωt u ( t ) = ( ) sin ωt + ψ ( ) = Im ( ) e jωt i ( t ) = I ( ) sin ωt + ϕ ( ) = Im{ I ( ) e }. gdzie ( ) i I ( ) są wartościami sutecznmi naięcia i rądu ( ) i ( ) jψ ( ) jϕ( ) oczątowmi natomiast ( ) ( ) e i I ( ) I ( ) e ψ ϕ ich azami = = są wartościami sutecznmi zesolonmi naięcia i rądu w linii. Wówczas o uwzględnieniu że 4

5 WYDIAŁ ELEKTRONIKI u t jωt u t d jωt = Im{ jω ( ) e } = Im e t d oraz i( t ) jω t i t di jωt = Im{ jω I ( ) e } = Im e t d równania (A1) można dorowadzić do ostaci [1] [] d = ( R + jωl ) I ( ) (Aa) d di = ( G + jωc ) ( ). (Ab) d Równania te noszą nazwę równań telegraistów w ostaci smbolicznej. wracam uwagę że w równaniach tch niewiadome są uncją jednej zmiennej więc wstęują w nich ochodne zwczajne a nie cząstowe. 3. Rozwiązania równań linii transmisjnej Po zróżniczowaniu ażdego z równań (A) otrzmujem d di = ( R + jωl ) = ( R + jωl )( G + jωc ) ( ) d d d I d = ( G + jωc ) = ( R + jωl )( G + jωc ) I ( ) d d + ω + ω = γ czli o oznaczeniu ( R j L )( G j C ) d d γ = (A3a) d I γ I ( ) =. (A3b) d Są to dwa niezależne od siebie liniowe jednorodne równania różniczowe drugiego rzędu. Wsółcznni ( R j L )( G j C ) γ = + ω + ω wstęując w tch równaniach nosi nazwę tamowności alowej linii. Rozwiązania ogólne równań (A3) mają ostać: e e γ γ = A + B (A4a) 1 γ γ ( e e ) I = A B (A4b) gdzie R + jωl = G + jω C jest wsółcznniiem o wmiarze imedancji tór nazwać będziem imedancją alową linii natomiast A i B są dowolnmi stałmi. Stałe te można wznaczć na ostawie warunów brzegowch czli wartości naięć i rądów w wbranch untach linii. 5

6 Smboliczn schemat zastęcz linii transmisjnej oazano na rs. A6. = = l I ( ) I ( ) I ( l ) ( ) ( ) ( l ) Rs. A6. Smboliczn schemat zastęcz odcina linii transmisjnej Jeżeli założm że znane są wartości suteczne zesolone naięcia i rądu na oczątu linii czli ( ) i I ( ) i wrowadzim oznaczenia ( ) I I ( ) wówczas o odstawieniu do równań (A4) = otrzmujem = A + B I = A B czli + I A = I B =. Rozwiązania szczególne równań (A3) mają wted ostać: + I I ( ) I + I γ γ I ( ) = e + e. (A5b) γ γ = e + e (A5a) Wrowadźm oznaczenia: + I γ γ i ( ) = e = ie I γ γ r ( ) = e = re I + γ γ I i ( ) = e = I ie I γ γ I r ( ) = e = I re. Wówczas rozwiązania równań linii można zaisać jao = e + e i i γ γ r r γ I = I e + I e. γ 6

7 Rozważm ierwsz ze sładniów rozwiązania na naięcie ostać czasową tego rzebiegu wrowadzim nastęujące oznaczenia: jψ i i = i e γ = α + j β. Wówczas jψ i ( α + jβ ) α j( ψ i β ) = e e = e e i i i i γ ie =. Ab zaisać a ostać czasowa jωt α j( ωt β + ψ i ) ui ( t ) = Im{ i ( ) e } = i e Im{ e } czli α u t = e sin ω t β + ψ. (A6) i i i Otrzmane równanie jest znanm z izi równaniem tłumionej ali łasiej rozchodzącej się w ierunu dodatnich wartości. Falę tę będziem nazwać ala adającą a wszstie wielości izczne z nią związane oznaczać będziem indesem i (ang. incident wave). α = a więc Wartość suteczna naięcia ali adającej w dowolnm uncie linii i i e maleje władniczo ze wzrostem. Rozważm wartości suteczne naięć w dwóch dowolnch untach linii 1 i : i i = 1 = α 1 i e α i e. Po odzieleniu stronami i zlogartmowaniu otrzmam ( ) i 1 i ln = α 1. Wrażenie ln ( ) ( ) i 1 i jest wielością bezwmiarową. W teleomuniacji rzjęło się logartm naturaln ze stosunu dwóch naięć nazwać neerem (N). Iloczn ( ) α oreśla więc tłumienie wartości sutecznej naięcia (również amlitud) na odcinu o długości 1 czli ( ) 1 α = ln α i 1 1 i Re{ γ } 1 jest tłumieniem wrażonm w neerach na jednostę długości linii. = nazwa się tłumiennością alową linii [ ] N α =. m Φ t = ω t β + ψ. W ustalonej chwili czasu t na Rozważm azę naięcia ali adającej i aza ta zmienia się o Φ ( t 1 ) Φ ( t ) β ( 1 ) Φ ( t ) Φ ( t ) odcinu linii o długości 1 = czli 1 β = oreśla zmianę az naięcia wrażoną w radianach na jednostę 1 długości linii (w dowolnej ustalonej chwili t ). β Im{ γ } = nazwa się rzesuwnością alową linii [ ] rad β =. m 7

8 Ponieważ na odcinu linii 1 = λ aza zmienia się o π więc zachodzą oczwiste związi: π π βλ = π czli β = i λ = λ β Rozważm obecnie ołożenie untu w tórm aza naięcia (A6) jest stała. Położenie taiego ωt + ψ i const untu oreślone jest równaniem Φ ( t ) = ωt β + ψ i = const czli =. Punt β ten orusza się wzdłuż linii z rędością d ω v = =. (A7) dt β Prędość v nazwa się rędością azową rozchodzenia się ali w linii. π W czasie t = T = unt stałej az rzesuwa się o odcine równ długości ali zachodzą ω więc związi: v v 1 ω λ = vt = π = gdzie = =. ω T π Jeżeli rozatrzm drugi sładni rozwiązania (A5a) I r ( ) γ γ = e = re to o analogicznm rozumowaniu jego ostać czasową można zaisać jao α ( ) r e sin ( ω β ψ ) u t = t + +. (A8) r r Wrażenie to (z doładnością do amlitud) różni się od (A6) jednie znaiem rz. Rerezentuje ono więc identczną alę naięcia rozchodzącą się w ierunu malejącch czli od ońca linii w stronę jej oczątu. Falę tę będziem nazwać ala odbitą a wszstie wielości izczne z nią związane oznaczać będziem indesem r (ang. relected wave). Rozwiązanie na rąd w linii transmisjnej ma bardzo odobną ostać ja rozwiązanie na naięcie należ więc oczeiwać że interretacja tego rozwiązania będzie odobna. Jeżeli oznaczm I + jϕi I i = = I i e I jϕr I r = = I r e to i t = i t + i t i r gdzie i t = I α e sin ω t β + ϕ (A9) i i i α ( ) r e sin ( ω β ϕ ) i t = I t + +. (A1) r r Prąd w linii rozchodzi się odobnie ja naięcie w ostaci dwóch al adającej rozchodzącej się od oczątu linii w stronę jej ońca (w ierunu rosnącch ) i odbitej rozchodzącej się od ońca linii w stronę jej oczątu (w ierunu malejącch ). Rozwiązania te w sosób oglądow oazano na rs. A7. 8

9 ( i ) ( ) u t ur t ( i ) ( ) i t ir t Rs. A7. Ilustracja rzebiegów al naięcia i rądu w linii transmisjnej Alternatwną ostać rozwiązań równań linii można uzsać rz rzjęciu innch warunów brzegowch. Przjmiem mianowicie że zadane są wartości naięcia i rądu na ońcu linii czli ( l) I I ( l). Do dalszch rozważań wgodnie będzie doonać zmian uładu wsółrzędnch. Doonam nastęującego odstawienia: = l. Podstawienie taie oznacza że jest odległością mierzoną od ońca linii. Wówczas rozwiązania ogólne równań linii mają ostać: γ ( l ) γ ( l ) γl γ γl γ l = Ae + Be = Ae e + Be e γ ( l ) γ ( l ) γl γ γl γ I ( l 1 1 ) = Ae Be = Ae e Be e. Wrowadzim oznaczenia: l = ɶ I l = Iɶ oraz γl γl Ae = Aɶ Be = Bɶ co rowadzi do równań: ɶ A γ γ = ɶ + B ɶ (A11a) e e 1 γ γ = ( ɶ ) I ɶ Ae Be. ɶ (A11b) wracam uwagę że rz nowch oznaczeniach = ɶ l I = Iɶ l ɶ = ɶ I = I. Przjmiem że zadane są wartości i I. Dodatowo założm że do zacisów ońcowch linii dołączon został dwójni o imedancji zesolonej. Smboliczn schemat zastęcz taiego uładu oazano na rs. A8. = l I Iɶ ( ) = I ɶ ( ) Rs. A7. Smboliczn schemat zastęcz linii obciążonej 9

10 Po odstawieniu do (A11) = otrzmam uład równań = Aɶ + Bɶ I = Aɶ Bɶ a stąd I Aɶ + = I Bɶ =. Ostatecznie rozwiązania mają ostać: I I ɶ + γ γ γ γ ( ) = e + e = ie + re (A1a) I + I Iɶ γ γ γ γ ( ) = e + e = I ie + I re. (A1b) W rozwiązaniach tch można bez trudu wróżnić znane już sładnii odowiadające ali adające i odbitej. wracam jednie uwagę że jest odległością mierzoną od ońca linii więc ala adająca orusza się w ierunu malejącch wartości a ala odbita w ierunu rosnącch. We wzorach (A1) i r I i I r oznaczają odowiednio wartości suteczne zesolone naięć i rądów ali adającej i odbitej na ońcu linii. Ponieważ i I są ze sobą związane rawem Ohma = I więc o weliminowaniu z równania (A1a) rądu I a z równania (A1b) naięcia równania te można zaisać w ostaci: e 1 e 1 e ɶ γ γ γ γ 1 e = + + = (A13a) e 1 e 1 e Iɶ γ γ γ γ I I I 1 e = + = + +. (A13b) Wrażenie jθ = Γ = Γ e (A14) + nazwa się wsółcznniiem odbicia na ońcu linii. Można oazać że jeżeli jest imedancją Re to wted Γ 1. dwójnia aswnego czli { } Równania (A13) worzstując oznaczenie wsółcznnia odbicia można teraz zaisać jao: 1 ɶ γ γ γ γ γ ( ) = 1 e ( 1 Γ e ) ie ( 1 Γ e ) i ( ) i ( ) Γ e + + = + = + (A15a) 1 Iɶ γ γ γ γ γ ( ) = I 1 e ( 1 Γ e ) I ie ( 1 Γ e ) I i ( ) I i ( )( Γ e ). + = = + (A15b) równań (A15) wnia że γ r ( ) = i ( ) Γ e (A16a) γ I r = I i Γ e. (A16b) W szczególności gd = (oniec linii) otrzmujem: r = i Γ i I r = I i Γ. 1

11 4. Przenoszenie moc rzez linię transmisjną Oznaczm: i P moc cznna ali adającej w odległości od ońca linii Pr P P moc cznna ali odbitej w odległości od ońca linii Wówczas: i moc cznna dostarczona do linii moc cznna dostarczona do obciążenia. { } { } { } i i i i i i i γ γ α α P = Re I = Re e I e = Re I e = P e. Podobnie o uwzględnieniu (A16a) i (A16b): r γ r { i Γ } { } { } γ { r } i Γ P = Re I = Re e I e = γ γ γ γ α α i i Γ Γ i i Γ i Γ = Re e I e e e = Re I e = P e. Moc ali odbitej jest ujemna co oznacza że moc ta jest rzenoszona od odbiornia do generatora. Na ońcu linii ( = ) można zaisać bilans moc ( ) ( ) i r i i P = P + P = P P Γ. (A17) Jeżeli odbiorniiem jest dwójni aswn czli { } to wówczas P Γ Re 1 i wówczas równanie (A17) można zinterretować w tai sosób że część moc ali adającej o dojściu do ońca linii zostaje wdzielona w obciążeniu a ozostała część odbija się od odbiornia i owraca w ostaci ali odbitej do generatora. Interretacja taa uzasadnia stosowanie nazw ala adająca i ala odbita. Poglądową ilustrację równania (A17) oazano na rs. A8. P i P P r = Γ P i Rs. A8. Bilans moc na ońcu linii Szczególnie interesując jest rzade gd Γ =. Wówczas moc ali adającej jest w całości rzeazana do odbiornia i w linii nie wstęuje ala odbita. Stan tai nazwa stanem doasowania alowego linii transmisjnej. zależności (A14) wnia że waruniem doasowania alowego linii jest: =. (A18) Bilans moc na oczątu linii ( = l ): αl αl i r ie i Γ e P = P l + P l = P P. (A19) 11

12 Srawność rzeazwania moc rzez linię transmisjną rozumiana jao stosune moc cznnej wdzielonej w obciążeniu do moc cznnej dostarczonej do linii jest równa: P 1 Γ P αl αl e Γ e η = =. (A) W szczególności w warunach doasowania alowego ( Γ = ) η αl = e. 5. Imedancja wejściowa linii transmisjnej W uładzie ja na rs. A7 imedancja zesolona widziana od stron zacisów wejściowch linii jest równa 1 γl 1 γl 1 e 1 e ɶ ( l ) + + we = = =. I Iɶ ( l ) 1 γl 1 γl I 1 e I 1 e + Po uwzględnieniu że = oraz e γl e γl = th γl owższą zależność o odowiednim γl γl I e + e ogruowaniu sładniów w liczniu i mianowniu można dorowadzić do ostaci + thγ l. (A1) we = + thγ l W rzadach szczególnch: we linia doasowana alowo ( = ) = (Aa) linia zwarta na ońcu ( = ) wez = th γl (Ab) wer linia rozwarta na ońcu ( ) =. (Ac) th γl ależności (Ab) i (Ac) sugerują rost sosób omiaru imedancji alowej linii jao = wez wer. (A3) 6. nieształcenia sgnałów w linii Najczęściej w linii transmisjnej rozchodzą się sgnał rzenoszące inormację (rzebiegi zmodulowane imulsowe) tórch widmo zawiera sładowe o wielu różnch ulsacjach. Każda ze sładowch rozchodzi się z rędością azową v ( ω ) ω ω = = β ω ω ω { } Im ( R + j L )( G + j C ) 1

13 tóra w sosób dosć somliowan zależ od ulsacji. Może to sowodować znieształcenie ształtu rzenoszonego sgnału a w onsewencji utrudnić lub uniemożliwić orawn odbiór rzesłanej inormacji. W rzadu niedoasowania alowego dodatowe utrudnienia mogą sowodować intererencje al adającch i odbitch. jawisa wstęujące w linii rz obudzeniu jej gruą trzech imulsów zilustrowano na rs. A9. u ( ) u ( t 1 ) t 1 ( ) u t t t W celu ilościowej analiz wstęującch w linii zjawis rozatrzm bardzo rost rzade ied w linii rozchodzą się dwie ale sinusoidalne o nieznacznie różniącch się częstotliwościach. ałożm również że linia jest doasowana alowo (nie wstęują ale odbite). Naięcie na oczątu linii będzie więc równe sinω sin ( ω ω) u t = t + + t. Ja widać założliśm dodatowo że amlitud obu sładowch są taie same a ich az oczątowe są zerowe. ałożenia taie nie zmniejszą ogólności wniosów ońcowch ozwolą jednie uninąć zbędnch omliacji w zaisie. Wówczas zgodnie z zasadą suerozcji: gdzie Rs. A9. Przechodzenie gru imulsów rzez linię transmisjną α ( α + α ) ( ) e sin ( ω β ) e sin ( ω ω ) ( β β ) α α = e { sin ( ωt β ) + e sin ( ωt β ) + ( ωt β ) } u t = t + + t + = ( R L )( G C ) + jω + jω = α + j β ( ω ω) ( ω ω) α α ( β β ) R + j + L G + j + C = + + j +. Jeżeli ja założliśm ω ω to można rzjąć e 1 α ω + ω β + β ω β 13

14 i wówczas * α ω β u ( t ) = e cos t sin ( ωt β ) = A( t ) sin ( ωt β ). (A4) Jest to równanie ali łasiej o ulsacji ω i rzesuwności β rozchodzącej się z rędością ω azową v = rzemnożonej rzez obwiednię β α ω β A( t ) = e cos t. (A5) W izce zjawiso intererencji dwóch al o nieznacznie różniącch się częstotliwościach nosi nazwę dudnień. ω β Równanie obwiedni (A5) rerezentuje alę łasą o ulsacji i rzesuwności. Punt ω stałej az obwiedni orusza się w ierunu dodatnich z rędością. Prędość tę w granic β gd β nazwa się rędością gruową v g ω dω lim =. β β dβ Wres zależności (A4) dla ustalonej wartości t = t oazano na rs. A1. ( ) u t v g v Rs. A1. Ilustracja dudnienia al w linii transmisjnej W rzadu gd w linii rozchodzą się rzebiegi tórch widmo zawiera sładowe o wielu różnch częstotliwościach waruniem zachowania ształtu rzebiegu jest zachowanie relacji międz azami tch sładowch co wmaga ab vg = v czli dω ω dω dβ = =. dβ β ω β Rozwiązaniem owższego równania różniczowego jest β = aω (A6) gdzie a jest dowolną stałą. Linia nie będzie więc wrowadzać znieształceń linearnch (zachowan będzie ształt rzenoszonch imulsów) gd rzesuwność będzie liniowo zależeć od ulsacji. * B A B + A astosowano tożsamość trgonometrczną sin A + sin B = cos sin 14

15 Warune (A6) będzie sełnion gd arametr jednostowe linii sełniają zależność R G =. (A7) L C Istotnie wówczas R G γ = α + jβ = ( R + jωl )( G + jωc ) = jω LC 1+ 1 jω L + = jω C R G = jω LC 1+ jω LC 1 jωl = + jωc czli α = R C = G L β = ω L C. L C Warune (A7) jest więc waruniem dostatecznm ab vg = v. Można oazać [3] że jest to również warune onieczn. Linię transmisjną tórej arametr jednostowe sełniają warune (A7) nazwa się linią zrównoważoną lub nieznieształcającą. Warto zauważć że imedancja alowa linii zrównoważonej R 1+ R + jωl L jωl L = = = G + jωc C G C 1+ j ωc jest liczbą rzeczwistą. * Jeżeli w linii vg v to taą linię nazwa się linią dsersjną. Dsersję nazwa się normalną gd vg < v i anomalną gd vg > v. 7. Fale stojące w linii transmisjnej Wartość suteczna zesolona naięcia wzdłuż linii (rz odległości mierzonej od ońca linii) zgodnie (A15a) jest równa e i ( 1 e = + Γ ) ɶ γ γ. Obliczm wartość suteczną tego naięcia ( ) = ( ) Wówczas o uwzględnieniu że γ α ( θ β ) j Γ 1+ Γ e = 1+ e e = γ α jβ α e e e e α ( ) ( ) = 1+ Γ e cos θ β + j Γ e sin θ β = α ɶ ɶ j. Oznaczm Γ = Γ. α ( ) ( ) α 1 Γ e cos θ β Γ e sin θ β = + + = ( ) α 4α = 1+ Γ e cos θ β + Γ e = = e θ * Wrażenie L C nazwa się imedancją charaterstczną linii. 15

16 otrzmujem ɶ = ɶ = e 1+ e cos + e. (A8a) Podobnie z zależności (A15b) Iɶ γ γ = I e 1 Γ e i ( ) i α α 4α Γ θ β Γ można o analogicznch rzeształceniach wznaczć rozład wartości sutecznej rądu wzdłuż linii: Iɶ = Iɶ = I +. (A8b α α 4α i e 1 Γ e cos θ β Γ e Przładowe wres zależności (A8) dla wbranch wartości Γ oazano na rs. A11. π ɶ Iɶ ( ) j Γ 4 = 75e Γ = ɶ ( ) Iɶ ( ) λ λ jπ Γ = e = 1 (linia zwarta na ońcu) ɶ ( ) Iɶ ( ) Γ = (linia doasowana alowo) ɶ ( ) Iɶ ( ) λ Rs. A11. Przład rozładów wartości sutecznej naięcia i rądu wzdłuż linii transmisjnej Przedstawione na rs. A11 rozład naięcia i rądu nie zmieniają się w czasie i mają charater znanch z izi al stojącch. Warto zauważć że ołożenie masimów naięcia orwa się z ołożeniem minimów rądu i odwrotnie. Ponadto odległości międz minimami (masimami) są stałe i równe λ. Sugeruje to rost sosób omiaru długości ali w linii. W rzadu linii doasowanej alowo rozład wartości sutecznej naięcia i rądu są uncjami monotonicznmi maleją władniczo w miarę rzesuwania się od oczątu linii w stronę jej ońca. 16

17 B. Ois zestawu laboratorjnego Dla otrzeb ćwiczenia wonano obwodow model rzeczwistej naowietrznej linii teleonicznej o długości l = 36 m. estaw laboratorjn zbudowan jest w ostaci łańcuchowego ołączenia 4 ogniw wonanch zgodnie ze schematem oazanm na rs. B1. Każde ogniwo L R rerezentuje odcine rzeczwistej linii o długości = 15 m. Przjęcie taiej długości odcina do budow modelu C G laboratorjnego stanowi omromis międz liczbą odcinów niezbędną do zamodelowania linii o długości Rs. B1. Schemat jednego ogniwa modelu linii transmisjnej orównwalnej z długością ali a długością jednego odcina wniającą z onieczności sełnienia warunu wazistacjonarności λ. ałożono że model ma rerezentować naowietrzną linię dwurzewodową taą ja na rs. A1. Przjęto nastęujące wartości elementów użtch do budow ogniwa z rs. B1: L = 85mH C = 9 nf R = 38Ω G = 79 µs. Warune wazistacjonarności dla jednego ogniwa będzie sełnion gd 1λ co odowiada częstotliwości Hz. W ratce wnii omiarów są wstarczająco doładne również dla częstotliwości nieco więszch. Przjmiem że douszczalna częstotliwość rz tórej model jest jeszcze orawn jest równa ma = 3 Hz (wówczas = 15λ ). drugiej stron częstotliwość omiarowa owinna bć na tle duża ab można bło wraźnie zaobserwować zjawisa alowe zachodzące w linii. Przjmiem że min = 6 Hz. Wówczas λ = 5 m i długość całej linii l = 7λ. W modelu laboratorjnm umieszczono również czter standardowe dwójnii RC tóre za omocą rzełącznia mogą bć dołączane do ońca linii. Schemat i wartości elementów tch dwójniów oazano na rs. B. R C R = 58Ω C = 56 nf R = 57Ω C = 7 nf R = 57Ω C = 13nF R = 565Ω C = 68nF. Rs. B. Dwójnii dołączane do ońca linii 17

18 Wido zestawu laboratorjnego rzedstawiono na rs. B3. Rs. B3. Wido zestawu laboratorjnego C. Część laboratorjna estaw rzrządów na stanowisu: zestaw laboratorjn generator naięcia sinusoidalnego generator imulsów rostoątnch oscloso dwuanałow woltomierz mierni az deada rezstorowa deada ondensatorowa. Przed rzstąieniem do wonwania ćwiczenia należ uzgodnić z rowadzącm zajęcia częstotliwość omiarową. 1. Wznaczenie arametrów jednostowch i alowch linii Na odstawie odanch w części B. wartości elementów użtch do budow jednego ogniwa wznaczć arametr jednostowe linii L C R G rzjmując że jedno ogniwo odowiada odcinowi linii o długości = 15 m. Prz obliczaniu R orócz rezstora R należ również uwzględnić rezstancję własną indutora R L. Rezstancję tę należ zmierzć ewentualnie rz brau możliwości technicznch rzjąć R L = 4 Ω. Nastęnie rz wbranej częstotliwości obliczć imedancję alową ˆ = R + jωl G + jω C i tamowność alową ( R L )( G C ) ˆ γ = + jω + jω = ˆ α + j ˆ β. waga: dla odróżnienia od wielości wznaczonch na odstawie omiarów wielości wznaczone teoretcznie będziem oznaczać dasziem. Prz obliczeniach można worzstać rocedurę linia1 w MATLABie zamieszczoną w dodatu. 18

19 Na odstawie obliczonej tamowności alowej wznaczć długość ali w linii ˆ λ = π ˆ β rędość azową ˆv ˆ = ω β i długość eletrczną linii d ˆ = l ˆ. λ. Pomiar imedancji wejściowej linii Imedancję wejściową linii mierzm metodą techniczną w uładzie oazanm na rs. C1 gdzie dwójni we rerezentuje nieznaną imedancję wejściową linii. analiz obwodu otrzmujem R 1 we we = E g R + E g we we a stąd o zmierzeniu we można wznaczć oszuiwaną imedancję: we R1 we = R1 =. (C1) Rs. C1. ład do omiaru imedancji E E g we g 1 we Rzeczwist uład do omiaru imedancji wejściowej linii jai należ zestawić na stanowisu omiarowm oazano na rs. C. 1 we 1 lub V 1 R g E g A R 1 ϕ B we we Rs. C. Rzeczwist uład do omiaru imedancji wejściowej linii Rezstor R 1 = 5 Ω wstęując w uładzie z rs. C jest zamontowan w zestawie laboratorjnm (nie należ go dołączać jao dodatow element). wracam uwagę że w uładzie omiarowm E nie jest siłą eletromotorczną idealnego źródła naięciowego lecz naięciem na g zacisach rzeczwistego generatora tór ma własną rezstancję wewnętrzną Rg 5 Ω zmianie mierzonej imedancji naięcie 19. Prz E g będzie się więc nieznacznie zmieniać i za ażdm razem należ je zmierzć rzełączając woltomierz z untu do untu 1. Imedancję we obliczam ze wzoru (C1). Naięcie generatora owinno bć ta dobrane ab naięcie na wejściu linii miało wartość =. suteczną we ( 1 ) V.1. Wznaczenie imedancji alowej linii W uładzie omiarowm ja na rs. C należ zmierzć imedancję wejściową linii zwartej na ońcu wez i rozwartej na ońcu wer a nastęnie obliczć imedancję alową ze wzoru (A3) = wez wer.

20 Na odstawie wznaczonej imedancji alowej należ zarojetować dwójni zaewniając doasowanie alowe linii czli dwójni o imedancji =. Wznaczona imedancja alowa owinna mieć charater ojemnościow czli obciążenie doasowane owinno bć dwójniiem RC. owodów technicznch * dwójni ten zarojetujem jao równoległe ołączenie elementów R i C (ja na rs. B). Waruniem doasowania alowego jest Y czli R 1 1 = = + jω C (C) R 1 Im = = Re { Y } { Y } C. ω estawić zarojetowan dwójni z dostęnch dead rezstorowej i ondensatorowej i rzłączć do ońca linii. Można również w rzadu dobrej zgodności wartości elementów worzstać jeden ze standardowch dwójniów z rs. B. Nastęnie zmierzć imedancję wejściową linii doasowanej alowo i orównać wni z imedancją alową zweriować zależność (Aa)... Pomiar imedancji wejściowej linii zwartej na ońcu jao uncji jej długości W uładzie z rs. C zmierzć imedancję wejściową zwartej na ońcu linii tórej długość zmienia się. mianę długości linii realizujem w ten sosób że za omocą standardowego abela zwieram linię o jej olejnch ogniwach i za ażdm razem mierzm E g i we a nastęnie z wzoru (C1) obliczam imedancję wejściową. Wnii omiarów i obliczeń należ zestawić w nastęującej tabeli: Numer ogniwa n E g V we V ϕ we stonie wez Ω Na odstawie obliczonch arametrów alowch linii sorządzić teoretczn wres modułu imedancji wejściowej linii zwartej na ońcu w uncji jej długości zgodnie ze wzorem (Ab) ˆ = ˆ th ˆ γl wez a nastęnie na ten wres nanieść unt omiarowe z iątej olumn tabeli. Wszstie dosć żmudne obliczenia i wonwanie wresów znacznie ułatwi rocedura linia w MATLABie zamieszczona w dodatu. achęcam do jej worzstania. Porównać uzsane wnii omiarów z wniami teoretcznmi i wjaśnić rzczn ewentualnch rozbieżności. * W rzadu realizacji dwójnia jao szeregowego ołączenia elementów RC wmagana jest bardzo duża ojemność ondensatora.

21 3. Pomiar naięcia wzdłuż linii doasowanej alowo oraz omiar rzenoszonej moc Do zacisów ońcowch linii dołączć obciążenie doasowane alowo w t..1. i zestawić uład omiarow ja na rs. C3. zarojetowane A ϕ B V Generator Do olejnch ogniw linii Obciążenie doasowane Rg R1 E g R C Rs. C3. ład do omiaru naięcia wzdłuż linii 3.1. Pomiar naięcia wzdłuż linii doasowanej alowo mierzć wartości suteczne zesolone naięcia (moduł i azę) na olejnch ogniwach linii. = (naięcie to nie owinno rzeraczać Poziom naięcia z generatora wbrać ta ab ( 1 ) V V). Fazę naięcia mierzć względem naięcia na oczątu linii (zacis A miernia az dołączć do wejścia linii ta ja na rs. C3). Wnii omiarów zestawić w tabeli. Numer ogniwa n n V ϕ n = arg stonie n ϕ n = arg radian n n ln waga: Wsazania miernia az mieszczą się w zaresie ±18 natomiast ϕ n owinno monotonicznie maleć ze wzrostem n. Prz rzeliczaniu stoni na radian należ więc doonać odowiedniej oret za ażdm razem gd zna az zmienia się z na + należ od wniu rzeliczenia (i wszstich nastęnch!) odjąć π. Można również worzstać rocedurę unwra w MATLABie. Sorządzić na łaszczźnie Gaussa wres naięcia ˆ ( ) unormowanego względem ˆ czli ˆ ( ) ˆ γ ˆ α j ˆ β = e = e e. ˆ (Będzie to we wsółrzędnch biegunowch wres ˆ ( ) ˆ ˆ = arg ). ˆ 1

22 Na wres ten nanieść unt uzsane z omiarów i wjaśnić rzczn ewentualnch rozbieżności. Wnii z czwartej i iątej olumn tabeli nanieść na wres jao uncje n. Ponieważ γ α β = e = e e czli w linii doasowanej alowo j ln = α i ϕ ( ) = β więc naniesione unt omiarowe należ arosmować liniami rostmi rzechodzącmi rzez ocząti uładów wsółrzędnch. nachlenia orowadzonch rostch wznaczć α i β. Wszstie oisane obliczenia i wres można wonać w MATLABie za omocą rocedur linia3 zmieszczonej w dodatu. 3.. Wznaczenie moc rzenoszonej rzez linię i srawności rzeazwania moc W uładzie z rs. C3 zmierzć naięcia E g i obliczć rąd na oczątu linii Eg I = R1 moc cznną dostarczoną do linii P= Re I { } oraz moc cznną wdzieloną w obciążeniu P=. R Na odstawie obliczonch moc obliczć srawność rzeazwania moc rzez linię P η =. P Porównać uzsan wni ze srawnością teoretczną (zależność (A) dla Γ = ) αl ˆ ˆ η = e Wznaczenie rędości gruowej w linii Prędość gruową wznaczm z rzbliżonej zależności ω v g =. (C3) β W tm celu w uładzie z rs. C3 należ zmierzć azę naięcia rz częstotliwości omiarowej a nastęnie zmienić nieznacznie częstotliwość ta ab aza naięcia zmieniła się o o. ± 1. anotować częstotliwości 1 i i ψ 1 i ψ zmierzone rz tch częstotliwościach az naięcia. Nastęnie obliczam ω = π ( 1) ( ) 1 π β = ψ ψ. l 18 3 Po odstawieniu ustalonch danch liczbowch ( l = 36 1 m ) do (C3) otrzmujem 8 1 vg = ψ ψ 1 rz czm 1 i jest wrażone w Hz zaś ψ 1 i ψ w stoniach.

23 Otrzman wni zweriować rzez orównanie z wniiem teoretcznm wliczonm zgodnie z (C3). Obliczenia znacznie usrawni worzstanie rocedur linia1. 4. Obserwacja rzejścia imulsu rostoątnego rzez linię estawić uład omiarow zgodnie z rs. C4. Oscloso dwuanałow Generator imulsów rostoątnch Do wbranego ogniwa linii R g R 1 Obciążenie doasowane warcie Rozwarcie Rs. C4. ład do obserwacji rzechodzenia imulsów rzez linię 4.1. Linia doasowana Do zacisów wjściowch linii rzłączć dwójni doasowan alowo worzstać jeden z dwójniów standardowch z rs. B3. Na generatorze imulsów ustawić szeroość imulsu 7 8 ms i częstotliwość ich owtarzania o. 1 Hz (arametr imulsów można w miarę o. otrzeb sorgować w tracie omiarów). aobserwować ształt i oóźnienie imulsu w ilu untach linii. Wdruować wnii na 1 i 4 ogniwie linii. Oszacować czas rzejścia imulsu rzez linię i obliczć rędość oruszania się imulsu wzdłuż linii. Porównać z wliczoną w t rędością gruową. Na odstawie amlitud imulsu na wejściu i wjściu linii wznaczć tłumienność α. 4.. Linia zwarta na ońcu Odłączć obciążenie linii i zewrzeć jej zacisi wjściowe. mniejszć szeroość imulsu do 4 5 ms. Przłączć oscloso do 1 ogniwa linii. Wdruować obraz z eranu o. osclosou. interretować uzsane wdrui. 4.. Linia rozwarta na ońcu Powtórzć wszstie cznności z t. 4.. dla linii rozwartej na ońcu Linia doasowana obudzana odwójnm imulsem Doasować linię ja t Na generatorze ustawić gruę dwóch imulsów o szeroości 1 ms odległch od siebie o 1 ms. Częstotliwość owtarzania taiej gru o. 1 Hz. Przłączć oscloso do ońca linii i zaobserwować uzsane rzebiegi. mieniać odległość międz imulsami i ich szeroość i oszacować minimalną odległość międz nimi taą ab na ońcu linii bł one rozróżnialne. Wdruować dwa wbrane charaterstczne rzadi. 3

24 agadnienia do samodzielnego oracowania 1. Prz założeniu że strat w linii są omijalnie małe tzn. R G wrowadzić wzor na arametr alowe linii imedancję wejściową i rozład wartości sutecznej naięcia i rądu wzdłuż linii.. Przedsutować zależność imedancji wejściowej linii transmisjnej o omijalnie małch stratach od jej długości rz różnch obciążeniach ( = { R j X } ). 3. Narsować wres reatancji wejściowej linii o omijalnie małch stratach zwartej na ońcu w uncji długości tej linii. 4. Narsować rozład wartości sutecznej naięcia i rądu wzdłuż linii o omijalnie małch stratach zwartej i rozwartej na ońcu. 5. badać ja zmienia się moduł i argument wsółcznnia odbicia Γ jeżeli obciążeniem linii jest dwójni reatancjn tzn. j X X. = Literatura 1. WOLSKI W. Teoretczne odstaw technii analogowej Oicna Wd. PWr Wrocław 7. RSKI M. WOLSKI W. Teoria obwodów II srt PWr. Wrocław OSIOWSKI J. ars rachunu oeratorowego WNT Warszawa 197 Dodati żteczne rocedur w MATLABie 1. Procedura linia1 oblicza teoretczne arametr alowe laboratorjnego modelu linii transmisjnej ˆ i ˆ γ rz częstotliwości. Częstotliwość należ odać w Hz. %Oblicza arametr alowe laboratorjnego modelu linii: %imedancję alową (ohm) i gamma (1/m) %rz częstotliwości (Hz) unction [gamma]=linia1() d=15e3; L=8.5e-3/d;C=9e-9/d;R=4/d;G=7.9e-6/d; w=*i*; z=r+j*w*l;=g+j*w*c; =sqrt(z/); gamma=sqrt(z*);. Procedura linia oblicza moduł imedancji wejściowej modelu linii na odstawie danch omiarowch. Jao dane wejściowe należ odstawić: o częstotliwość omiarowa w Hz Eg macierz wierszowa zawierająca 4 element zmierzone wartości E g we iwe macierze wierszowe o 4 elementach zawierające zmierzone wartości suteczne i az naięcia zmierzone rz zwieraniu linii na olejnch ogniwach. we Jao wni otrzmuje się macierz olumnową we tórej elementami są moduł imedancji wejściowej linii zwartej na ońcu o długości ogniw. 4

25 Procedura sorządza również wres teoretcznie wliczonego modułu imedancji wejściowej jao uncję długości linii na tór naniesione są unt uzsane na odstawie omiarów. waga: rocedura działa orawnie o zainstalowaniu rocedur linia1. %Oblicza moduł imedancji wejściowej laboratorjnego modelu linii rz %częstotliwości (w hertzach) na odstawie danch omiarowch: %Eg we (w woltach) i iwe (w stoniach) %Wwołanie we=linia(egweiwe) unction we=linia(egweiwe) [gamma]=linia1(); =15e3:15e3:36e3; we=*tanh(gamma*); t=:1e3:36e3; wet=*tanh(gamma*t); =we.*e(j*iwe*i/18); wes=5*./(eg-); set(gc'color''white') lot(tabs(wet)'color'[.5 ]'LineWidth')grid label('dlugosc linii [m]')label('modul imedancji [ohm]') hold on lot(abs(wes)'linestle''none''marer''o''marersize'6 'MarerFaceColor'[.5.3]'MarerEdgeColor'[.5.3]) hold o we=round(abs(wes))'; 3. Procedura linia3 oblicza tłumienność alową α i rzesuwność alową β na odstawie omiarów wartości sutecznej i az oczątowej naięcia wzdłuż linii. Jao dane wejściowe należ odstawić: o częstotliwość omiarowa w Hz n in macierze wierszowe o 5 elementach zawierające wartości suteczne i az naięcia n zmierzone na olejnch ogniwach linii (ierwszm elementem jest naięcie i aza na oczątu linii!) Jao wni orócz α i β wrowadzone są w ostaci macierz olumnowch wartości n A = ln i rad az oczątowe naięć ϕ n rzeliczone na radian. Procedura sorządza również wres: teoretczn wres biegunow unt omiarowe n ln ˆ n na tór naniesione są wnii omiarów i ich arosmację linią rostą unt omiarowe ϕ n (rzeliczone na radian) i ich arosmację linią rostą. waga: rocedura działa orawnie o zainstalowaniu rocedur linia1. %Oblicza tłumienność i rzesuwność alową (ala i beta) %na odstawie omiaru wartości sutecznej i az naięcia %wzdłuż linii. %Wwołanie: [radaalabeta]=linia3(nin) %gdzie jest częstotliwością omiarową %n i in wetorami (macierzami wierszowmi o 5 elementach) 5

26 %odowiednio wartości sutecznch i az (w stoniach) %naięcia na olejnch (zacznając o oczątu linii!!!) %ogniwach. A jest wetorem olumnowm wartości ln n/ %zaś rad wetorem olumnowm zawierającm az naięć %rzeliczone na radian. %Wonuje również wres biegunow naięcia n (teoretczn %i na odstawie wniów omiarów) oraz wres %A i rad jao uncje długości linii. unction [radaalabeta]=linia3(nin) [gamma]=linia1(); n=n/n(1); rad=unwra(in*i/18); A=log(abs(n)); =:15e3:36e3; D=e(-gamma*); t=:1e3:36e3; Dt=e(-gamma*t); igure(1) set(gc'color''white') olar(angle(dt)abs(dt)) hold on olar(angle(d)abs(d)'or') olar(radabs(n)'+') hold o PA=olit(A1); A1=olval(PA); PF=olit(rad1); rad1=olval(pf); igure() set(gc'color''white') sublot(11) lot(a1'b'a'+')gridlabel('dlugosc linii [m]')label('ln n/o ') sublot(1) lot(rad1'b'rad'+')gridlabel('dlugosc linii [m]')label('i [rad]') ala=-pa(1); beta=-pf(1); rad=rad'; A=A'; 6