u(t)=u R (t)+u L (t)+u C (t)

Transkrypt

1 Szeregowy obwód Źródło napięciowe u( o zmiennej sile elektromotorycznej E(e [u(] Z drugiego prawa Kirchhoffa: u(u (u (u ( ównanie ruchu ładunku elektrycznego: Prąd płynący w obwodzie: di( i t dt u t i t ( ) ( ) ( ) dt u ( i( du( u t dt u t u t ( ) ( ) ( ) dt czyli: jeśli u( e jωt impedancja I o Z jω Obwód rezonansowy szeregowy - częstość rezonansowa Szeregowy układ : napięciowe źródło sygnału przemiennego częstość ω amplituda o Z zasady dzielnika napięcia: uwe ( u ( u jω Dla częstości rezonansowej ω u we ( sinωt jω uwe ( ( jω u WY uwe ( ( u ( jω znika łączna impedancja elementów reaktancyjnych > impedancja obwodu napięcia na kondensatorze i indukcyjności osiągają wartości maksymalne W rezonansie amplitudy napięcia na indukcyjności lub na pojemności mogą przekroczyć amplitudę napięcia wejściowego!!! Im(Z) amplituda napięcia wyjściowego osiąga wartość największą amplitudy napięć na elementach obwodu mają wartości:

2 DOBOĆ OBWOD Wielkość: Q dobroć obwodu amplitudy dla częstości rezonansowej!!! Ogólna definicja: Dobroć wyraża stosunek energii zmagazynowanej w układzie rezonansowym (E ) do mocy traconej (P) w ciągu jednego okresu drgań (T) przy częstości rezonansowej Inna postać wyrażenia na dobroć: Q jω π ( I ) π E T ( I ) T P Magazynowanie energii w elementach reaktancyjnych obwodu rezonansowego o wysokiej dobroci i wywołane przez nie podbijanie napięcia jest wykorzystywane do filtracji i transformowania sygnałów o określonej częstości Filtr rezonansowy szeregowy Sygnał wejściowy harmoniczny, częstość ω jωt uwe( wee Transmitancja obwodu: Stosunek amplitud napięcia wyjściowego do wejściowego: WY/WE,,8,6,4,, u u wy we ( ( ω wy we mh, nf 5 Ω 3 Ω ν 8 g ν g częstość [Hz] Z ω ω napięcie wyjściowe : napięcie na oporniku uwe ( uwy ( u ( jω Przesunięcie fazowe między napięciem wyjściowym i wejściowym: Im tgϕ Z e Z π/ π/4 faza [rad]. -π/4 -π/ Dzielnik napięcia!!! ω ϕ arctan ω ω ν 7 g ν g częstość [Hz] mh, nf 5 Ω 3 Ω

3 Filtr rezonansowy szeregowy c.d. W Y / W E ω m H, nf Pasmo przenoszenia zlokalizowane jest w okolicach częstości rezonansu:,,8,6,4 5 Ω 3 Ω ω,, ν 8 g ν g częstość [H z] faza [rad] π/ 5 Ω π/4 3 Ω -π/4 -π/ ν 7 g ν g częstość [Hz] Pasmo przenoszenia filtru rozciąga się od νg do νg - częstości graniczne Dla częstości granicznych: wy we π ϕ 4 Dobroć: Q ω ω Filtr rezonansowy równoległy jω jω u wy ( u( Dla częstości rezonansowej ω napięcie wyjściowe osiąga wartość największą khz u-we u-wy u wy ( u( jω Dla częstości rezonansowej ω filtr pasmowy zaporowy napięcie wyjściowe osiąga wartość najmniejszą 3

4 Obwód drgań elektrycznych (obwód ) kondensator naładowany do napięcia ównanie ruchu ładunku w obwodzie: różniczkujemy: i di dt d i di i dt dt podstawiamy do równania różniczkowego pierwiastki równania kwadratowego: A, α idt równanie algebraiczne: 4 Amplitudy A i A wyznaczamy z warunków początkowych: di i( ) A A A zakładamy postać rozwiązania: ozwiązanie równania kombinacją liniową rozwiązań z α i α : c i( Ae α α α [ i A ( α α ) 4 αt αt α t i( A e A e ] A dt t ( α α ) Przypadki: 4 jest liczbą rzeczywistą, rozwiązania mają charakter dwuwykładniczy: po wzbudzeniu prąd w obwodzie zanika 4 jest liczbą urojoną rozwiązania mają charakter oscylacyjny: częstość oscylacji: ω x 4 i( A ( e e ) α t < 4 i( e ω 4 jx x jx Przypadek szczególny, gdy : drgania niegasnące i( sin( ω.. t α t sin( ω x natężenie [ma].5 - kład antyoscylacyjny mh, nf, 5kΩ 5 V czas [µs] natężenie[ma] kład drgający : mh, nf, 3 Ω 5 V 3 czas [µs] jx jx e e e e cos x sin x e jx cos x j sin x j częstość oscylacji: ω 4

5 Opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne zeczywiste konstrukcje - opornik, cewka czy kondensator zawierają wielkości pasożytnicze (z indeksem p) Przy pewnych częstościach sygnału wielkości pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności elementu Każdy rzeczywisty bierny element elektroniczny jest złożonym układem impedancji Elementy bierne o parametrach rozłożonych: ezystancja, indukcyjność i pojemność nie są zlokalizowane w konkretnych punktach, lecz są rozłożone w przestrzeni układu Tak należy traktować układ, gdy rozmiary geometryczne układu są porównywalne lub większe od długości transmitowanej fali sinusoidalnej inie przesyłowe, kable koncentryczne, linie paskowe, płyty laminowane itd. Model linii długiej: kład równań telegrafistów : Spadek napięcia wzdłuż linii przesyłowej: Straty prądu: u( i( ' ' S i( x t i( u( u( ' x t ' D 5

6 linia bez strat S oraz D poprawne przybliżenie dla typowych warunków laboratoryjnych u( i( ' x t i( u( ' x t Przypadek drgań o częstości ω wzbudzonych w linii bez strat: Napięcie: u(u(x)e jωt natężenie prądu: i( i(x)e jωt > d u( x) ω ' ' u( x) γ dx u( x) γ ω '' > stała propagacji rozwiązanie równania: u(x)(a e -jγx A e jγx ) u((a e -jγx A e jγx )e jωt czyli i(x) (A e -jγx -A e jγx )/Z i( (A e -jγx -A e jγx )e jωt /Z impedancja linii przesyłowej ω' ω' Z γ ω ' ' ' ' A - amplituda fali biegnącą zgodnie z kierunkiem osi X, A - amplituda fali biegnącej w kierunku przeciwnym. 6

7 DOŚWIADZENIE MYŚOWE Nieskończenie długa linia bez strat połączona z generatorem sygnałów: inia Z generator A W układzie istnieje tylko fala propagująca się w kierunku osi X, czyli: A u( Z i( Z ' '. Impedancja falowa nieskończenie długiej obciążenie dla generatora generator Z ' ' Nieskończona linia jest równoważna oporowi o wartości Z zeczywiste linie transmisji mają zawsze skończoną długość Istnieje sygnał odbity od końca linii interferujący z sygnałem wysłanym Skończone linie w wielu doświadczeniach zachowują się analogicznie do rezystancji Z w czasie krótszym od podwójnego czasu propagacji sygnału przez nią. Impedancja falowa linii jest określona przez jej budowę W technice stosuje się linie o ustalonych standardach, np. 5 Ω (układy pomiarowe), 55 Ω, Ω (układy transmisji danych), 75 Ω, 3 Ω (układy antenowe) i inne. A A A generator Z Z x 7

8 A A A generator Z Z x Z warunku ciągłości (po obu stronach złącza napięcia i prądy są równe) : Z A A A A A A ' I Z I Z ' Z Z' ' Z ' A Stosunek amplitud jest współczynnikiem odbicia fali na złączu dwóch linii: A A Z' Z A Z ' Z Na złączu linii odbicie fali nie nastąpi, gdy ich impedancje są sobie równe: ZZ linia zakończona jest zwarciem, Z, współczynnik odbicia: A /A - fala odbita od końca linii ma przeciwną fazę do fali padającej linia jest rozwarta na końcu, Z współczynnik odbicia wynosi: A /A fala odbita ma tę samą fazę, co fala padająca (interferencja konstruktywna) Bezodbiciowe zakończenie linii można osiągnąć przez zakończenie oporem Z linia Z Z nadajnik (generator) odbiornik (oscyloskop) E E 8

9 Brak dopasowania falowego: Z Nadajnik (generator) linia Z czas propagacji τ Z3 odbiornik (oscyloskop) E τ EZ3 Z Z 3 Ćwiczenie Filtr rezonansowy szeregowy Obwody drgań elektrycznych Dokonać pomiaru charakterystyki amplitudowej (transmitancji) dla sygnału harmonicznego wy we (ω) oraz fazowej przesunięcia fazowego ϕ(ω) generator WY dod. WY (trójnik BN) WE obwód WY oscyloskop A B ext. trig. Na podstawie otrzymanych wyników ustalić indukcyjność cewki. Przy pomocy drugiego (identycznego) kondensatora przebudować obwód tak, aby jego częstość rezonansowa wynosiła ω ω lub Zastąpić opornik 5 Ω opornikiem 5 Ω i dokonać pomiaru częstości rezonansowej 9

10 Przemontować układ zamieniając miejscami opornik i kondensator Na wejście należy podać sygnał prostokątny o częstości khz i maksymalnej amplitudzie Zbocza narastające i opadające tego sygnału pobudzają drgania w obwodzie Zaobserwować drgania ładunku w obwodzie oscylacyjnym,,5,,5,,5,3,4 Dokonać pomiaru kształtu pojedynczego ciągu oscylacji, rejestrując jego maksima i minima oraz przejścia przez zero,, -, -,4,,5,,5,,5,3 Nanieść na wykresy punkty doświadczalne Do zarejestrowanych przebiegów dopasować funkcję e - αt Na podstawie pomiaru stałej tłumienia wyznaczyć indukcyjność obwodu cewki Dla poprawnej interpretacji wyników należy uwzględnić rezystancję wyjściową generatora (5 Ω) zy pojemności kabli i rezystancja wejściowa oscyloskopu mają istotny wpływ na pracę obwodu oscylującego? Dopasowanie funkcji e αt do danych doświadczalnych.,,5,,5,,5,3,4,, -, -,4,,5,,5,,5,3 Tworzymy pomocniczy wykres (współrzędne : czas - napięcie, oś napięciowa - logarytmiczna) dla bezwzględnych wartości zarejestrowanych maksimów i minimów. Punkty doświadczalne ułożą się wzdłuż prostej: log( ) -α*t log. Należy dopasować tę prostą do punktów doświadczalnych Stąd znajdujemy współczynnik nachylenia α (współczynnik tłumienia dla funkcji wykładniczej) oraz amplitudę