Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Transkrypt

1 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03

2 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy dotyczące rozkładu zmiennej losowej. Celem tych testów jest porównanie rozkładów dwóch cech w jednej populacji lub jednej cechy w dwóch populacjach. Testy zgodności nazywamy także testami nieparametrycznymi.

3 Rodzaje testów zgodności Dowolny rozkład Rozkład normalny Test chi-kwadrat Uniwersalny test dla dowolnych rozkładów, stosowany do dużych prób losowych. Test ten polega na porównaniu liczebności empirycznej z liczebnościami oczekiwanymi wyznaczonymi przez rozkład teoretyczny Test Kołomogorowa -Smirnowa (KS) Test dla rozkładów, ciągłych. Test ten polega na porównaniu dystrybuanty empirycznej z dystrybuantą rozkładu normalnego. Dla małych prób stosuje się test z poprawką Lillierforsa Test W Shapiro-Wilka Test dla małych prób. Posiada dużą moc. W teście wyznacza się wartość statystyki W. Im większa jest ta wartość, tym rozkład empiryczny jest bardziej zgodny z rozkładem normalnym.

4 Testowanie hipotez statystycznych schemat H 0 hipoteza zerowa H 1 hipoteza alternatywna 1. Losujemy próbkę {x 1,,x n } z populacji generalnej i obliczamy wartość wybranej statystyki S(x) dla x=(x 1,,x n ). 2. Ustalamy poziom istotności α (np. 0,05) 3. Wyznaczamy obszar krytyczny testu 4. Podejmujemy decyzję, jeśli obliczona wartość statystyki S(x) zawiera się w zbiorze krytycznym, wtedy odrzucamy hipotezę zerową, w przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, że hipoteza zerowa może (ale nie musi) być prawdziwa. W testowaniu hipotez wylicza się tzw. wartość p. Jest to prawdopodobieństwo zdarzenia wylosowania próbki, dla której uzyskamy konkretną wartość statystyki S(x)

5 Typy błędów w testowaniu hipotez statystycznych

6 Interpretacja wartości p

7 Test zgodności Chi-kwadrat - liczba obserwacji - prawdopodobieństwo, że cecha X przyjmie wartość należącą do i-tego przedziału klasowego - Liczba jednostek, które powinny znaleźć się w i-tym przedziale przy założeniu, że cecha ma rozkład zgodny z hipotezą zerową. Statystyka ma rozkład chi-kwadrat o k = r-s-1 stopniach swobody, gdzie s jest liczbą parametrów rozkładu wyliczoną z próby, a r jest liczbą przedziałów klasowych

8 Rozkład chi-kwadrat

9 Rozkład chi-kwadrat

10 Przykład 1 We wrocławskim ośrodku WORD przeprowadzono test 100 losowo wybranych kierowców, w którym badano refleks i uwagę. Każdy kierowca miał do wykonania zadania na czterech stanowiskach. Otrzymane wyniki podane są w poniższej tabeli Okazuje się, że w warszawskim ośrodku WORD prawdopodobieństwa liczby wykonania takich zadań przez kandydatów wynoszą Na poziomie istotności α = 0,01 zweryfikować hipotezę, że we wrocławskim ośrodku WORD rozkład wyników osiąganych przez kandydatów jest takim sam jak w Warszawie.

11 Przykład 1 Sformułowanie hipotez: H 0 wrocławscy kandydaci na kierowców uzyskują podobne wyniki, jak warszawscy kandydaci H 1 wyniki uzyskiwane we Wrocławiu różnią się od wyników uzyskiwanych przez warszawskich kandydatów

12 Przykład 1 Liczba stopni swobody k = 5 1 = 4

13 Przykład 1 Decyzja: nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że wrocławscy kandydaci, są tak samo zdolni, jak ich warszawscy odpowiednicy

14 Przykład 1 stopień swobody =ROZKŁAD.CHI.ODWR(0,01;4) = 13,277 stopień swobody

15 Przykład 2 Na podstawie danych z karty zdarzeń drogowych, które wystąpiły na placu Dominikańskim we Wrocławiu w ciągu kilku lat (300 tygodni) nastąpiła znaczna liczba wypadków. Dane są przedstawione w poniższej tabeli: Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład zdarzeń jest rozkładem Poissona

16 Przykład 2 Sformułowanie hipotez: H 0 Rozkład zdarzeń jest rozkładem Poissona H 1 Rozkład zdarzeń nie jest rozkładem Poissona

17 Przykład 2 Zwiększamy wartość, tak aby prawdopodobieństwa sumowały się do 1

18 Przykład 2 Obliczamy wartość krytyczną statystyki dla k = = 4 stopni swobody. Odejmujemy od liczby klas dodatkową jedynkę, bo parametr λ w rozkładzie teoretycznym Poissona obliczyliśmy z próby. =ROZKŁAD.CHI.ODWR(0,05;4) = 9,488

19 Przykład 2 1 2

20 Przykład

21 Przykład 2 1 2

22 Przykład 2 1 2

23 Przykład 2 Wartość statystyki chi-kwadrat Wartość p

24 Przykład 3 W poniższej tabeli zamieszczone są punkty uzyskane przez 100 studentów z egzaminu ze statystyki. Stosując test chi-kwadrat na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład tych punktów jest normalny..

25 Przykład 3 Sformułowanie hipotez: H 0 Rozkład uzyskanych punktów z egzaminu ze statystyki jest rozkładem normalnym H 1 Rozkład uzyskanych punktów z egzaminu ze statystyki nie jest rozkładem normalnym

26 Przykład 3 Budujemy szereg rozdzielczy Liczymy parametry rozkładu

27 Przykład 3 Obliczamy prawdopodobieństwa teoretyczne, że obserwacja wpadnie do danego przedziału

28 Przykład 3 Liczba stopni swobody k = = 2 Dwa parametry wyliczyliśmy z próby

29 Przykład 3 4,98 < 5,99 Decyzja: nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że rozkład punktów jest normalny

30 Przykład 3 stopień swobody =ROZKŁAD.CHI.ODWR(0,01;2) = 5,99 stopień swobody

31 Przykład

32 Przykład 3 2 1

33 Przykład Przy wyborze własnych przedziałów testy normalności są zablokowane

34 Przykład testy normalności są odblokowane

35 Przykład 3

36 Przykład 3 1 2

37 Przykład 3 1 2

38 Przykład 3

39 Przykład 4 W poniższej tabeli zamieszczone są dane na temat miesięcznych wynagrodzeń netto 150 pracowników pewnej korporacji. Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład tych punktów jest normalny.

40 Przykład

41 Przykład 4 3

42 Przykład 4 Prawy przycisk myszy Wybieramy rozkład normalny

43 Przykład 4

44 Porównanie Dane z Przykładu 4 Dane z Przykładu 3