STATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech

Transkrypt

1 TATYTYKA wykład 8 Wnioskowanie Weryfikacja hipotez Wanda Olech

2 Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną (H). np. Hipoteza statystyczna to dwie wartości oczekiwane dwóch populacji połączone jednym z operatorów: =, >, <,.

3 Co nazywamy hipotezą Hipoteza statystyczna jest zwykle formułowana na podstawie merytorycznego zagadnienia czy problemu. np. Hipoteza mówiąca, że obwód klatki piersiowej bydła rasy horthorn jest cechą o rozkładzie normalnym, Hipoteza informująca, że wariancja masy ciała jelenia jest równa 400 kg

4 Podział hipotez W zależności od ich treści hipotezy statystyczne możemy podzielić na parametryczne (mówiące o parametrach rozkładu) nieparametryczne (dotyczące rozkładu zmiennej losowej)

5 Podział hipotez Hipotezy dzielimy też na weryfikowalne (oznaczane przez H 0 ) takie do sprawdzenia prawdziwości których istnieją narzędzia nie weryfikowalne (oznaczane przez H )..

6 Weryfikacja Hipotezy Obiektywnie H 0 prawdziwa fałszywa decyzja odrzucamy błąd I rodzaju () właściwa przyjmujemy właściwa błąd II rodzaju ()

7 Testy istotności Obiektywnie H 0 prawdziwa fałszywa decyzja odrzucamy błąd I rodzaju () właściwa przyjmujemy właściwa błąd II rodzaju ()

8 Przebieg weryfikacji hipotezy formułowanie hipotezy zerowej H 0 : = A Weryfikowana hipoteza z reguły zawiera znak równości między parametrem a założoną dla tego parametru wartością, co wynika z konstrukcji i wymagań testów statystycznych

9 Przebieg weryfikacji hipotezy Dobranie hipotezy alternatywnej H Hipoteza alternatywna stanowi dopełnienie lub zaprzeczenie hipotezy zerowej. Mamy do wyboru jedną z trzech możliwości: H : A (zaprzeczenie H 0 ) albo H : > A lub H : < A (uzupełnienie H 0 )

10 Przebieg weryfikacji hipotezy Próba Wybór reprezentatywnej próby dla każdej populacji oraz scharakteryzowanie jej przy pomocy potrzebnych parametrów (średnia odch. standardowe itd.)

11 Przebieg weryfikacji hipotezy Dobór testu statystycznego Po wybraniu testu obliczana jest jego empiryczna wielkość : test emp Wybór testu jest determinowany rodzajem hipotezy zerowej i próbą, głównie jej liczebnością

12 Przebieg weryfikacji hipotezy Dobranie poziomu istotności i określenie obszaru krytycznego Obszar krytyczny to przedział lub suma przedziałów liczbowych wyznaczonych przez wartości krytyczne. Pole pod funkcją rozkładu testu nad obszarem krytycznym jest równe poziomowi istotności. Położenie obszaru krytycznego zależy od wybranej uprzednio hipotezy alternatywnej

13 Obszar krytyczny f(t) -t t t f(t) -t t

14 Obszar krytyczny Rodzaj testu granice obszaru krytycznego dwustronnego prawostronnego lewostronnego t-tudenta (- ; -t t ; ) t ;) (- ; -t u (normalny standaryzowany) (- ; -u u ; ) u ;) (- ; -u Pearson a (0 ; -/ / ; ) ;) (0 ; - F nedecor a (0 ; F -/ F / ; ) F ;) (0 ; F -

15 Podejmowanie decyzji odrzucenie lub nie odrzucenie hipotezy zerowej H 0 Jeśli obliczona wartość testu (test emp ) należy do obszaru krytycznego hipoteza zastaje odrzucona

16 Przykład f(t) krytyczny poziom istotności dla α=0,0, t α; 5 =,,753 t emp =, 0,05

17 Jaki test wybrać? Test jest dopasowany do hipotezy zerowej oraz do cechy i próby. Bierze się pod uwagę wielkość próby i rozkład analizowanej cechy w populacji

18 Hipoteza dotycząca wartości oczekiwanej cechy: H 0 : EX = EX 0 Jeśli rozpatrywana cecha ma w populacji rozkład normalny, to hipotezę można zapisać (H 0 : m = m 0 ) i stosuje się test t-tudenta x m t 0 emp

19 Hipoteza dotycząca wartości oczekiwanej cechy: H 0 : EX = EX 0 Jeśli cecha nie ma rozkładu normalnego, to próba musi być duża i stosujemy test u x EX 0 u emp

20 Hipoteza dotycząca wartości oczekiwanych dwóch populacji H 0 : EX =EX Jeśli cecha nie ma rozkładu normalnego, to próba musi być duża i stosujemy test u u emp x x

21 Hipoteza dotycząca wartości oczekiwanych dwóch populacji H 0 : EX =EX Jeśli rozpatrywana cecha ma w populacji rozkład normalny, to hipotezę można zapisać (H 0 : m = m ) i stosuje się test t-tudenta x x emp x x t ) ( ) ( x x

22 Hipoteza dotycząca wartości oczekiwanych dwóch populacji H 0 : m =m Warunkiem wyboru testu t-tudenta jest nieodrzucenie na poziomie istotności 0,05 Hipotezy o równości wariancji (H 0 : ) W przeciwnym przypadku używamy test C-Cochrana C emp x x Z wartościami krytycznymi: gdzie v = -; V = - C, t, t

23 Hipoteza dotycząca wariancji cechy w dwóch populacjach H 0 : Jeśli rozpatrywana cecha ma rozkład normalny, stosuje się test F-nedecora F emp

24 Hipoteza dotycząca wariancji cechy w populacji H 0 : 0 Jeśli rozpatrywana cecha ma w populacji rozkład normalny, stosuje się test chi-kwadrat ( ) emp 0

25 Przykład ) Pytanie czy zawartość tłuszczu w mleku jest różna u kóz różnych ras? Wylosowano po 3 kóz z każdej z dwóch ras, zmierzono zawartość tłuszczu w ich mleku i uzyskano: = 4,6%, = 0,5%, = 4,%, = 0,9% H 0 : H : (0,9), 604 H 0 : m =m F emp (0,5) Obszar krytyczny,69 ; ) H : m >m t emp 4,6 4, 0,0360, ,4473 Obszar krytyczny,4 ; )

26 Hipoteza dotycząca wartości prawdopodobieństwa sukcesu w populacji H 0 : p = p 0 Hipotezę tę można weryfikować jedynie, gdy próba jest duża (>00), gdyż stosowany test u wykorzystuje twierdzenie graniczne w p u emp 0 p0( p0)

27 Przykład W celu sprawdzenia dokładności wskazań wagi zważono 5 razy tego samego psa i uzyskano następujące wyniki: 8,99 kg, 8,98 kg, 9,00 kg, 9,0 kg, 8,97 kg. Uznaje się wagę za wiarygodną, jeśli wariancja powtórzeń nie przekracza 0,000 kg. ależy zweryfikować H 0 : = 0,000 H : > 0,000 (prawostronna hipoteza alternatywna) x (8,99 8,98 9,00 9,0 8,97) 8,99 5 (8,99 8,99) (8,98 8,99) (9,00 8,99) (9,0 8,99) (8,97 8,99) 0, emp (5 )0,0005 0,000 0 obszar krytyczny: 9,488 ; )

28 Hipoteza dotycząca wartości prawdopodobieństwa sukcesu w dwóch populacjach H 0 : p = p Hipotezę tę można weryfikować gdy próby są duże, stosowany test u : w w w w u emp ) ( m m w

29 Hipotezy nieparametryczne O zgodności rozkładu cechy z rozkładem teoretycznym O niezależności dwóch cech O losowości wyboru próby

30 Hipoteza o zgodności rozkładu cechy z rozkładem teoretycznym Rozkład teoretyczny pozwala wyznaczyć prawdopodobieństwa p i w każdej klasie. łużą one do obliczenia teoretycznych liczebności (p i ) a te porównywane są z empirycznymi (n i ). Testem do weryfikacji hipotez jest test zgodności Chikwadrat: k ( n i pi ) emp p i i

31 H 0 : Rozkład grup krwi A:B:AB:0 jest jak 3::: klasa n i p i p i (n i -p i ) /p i A 53 0,375 50,5 0,50 B 5 0,50 33,50,57 AB 39 0,50 33,50 0, ,5 6,75 0, Chi emp = 3,4 α = 0,3598 lss = 3

32 Ciconia ciconia