METODA BADANIA ISTOTNOCI WSPÓŁCZYNNIKÓW REGRESJI ROZMYTEJ BARBARA GŁADYSZ Politechnia Wrocławsa Streszczenie Regresja rozmyta ma zastosowanie w prognozowaniu, gdy dane do jej onstrucji s zadane nieprecyzyjnie, to jest w postaci liczb rozmytych. Regresja rozmyta obo regresji odpornej jest efetywnym narzdziem prognozowania w sytuacjach, gdy dane prognostyczne nie spełniaj podstawowych załoe Gaussa- Marowa regresji lasycznej. W literaturze zaproponowano wiele modeli regresji rozmytej. Natomiast bra jest opracowa (poza jedn pozycj) weryfiujcych istotno zmiennych objaniajcych wystpujcych w tych modelach. W artyule zaproponowano metod weryfiacji istotnoci współczynniów modelu regresji rozmytej opart na rozładach moliwoci reszt modelu. Przedstawiono przyład ilustrujcy. Słowa luczowe: rozmyta regresja, istotno współczynniów, cena miesza. 1. Wprowadzenie Przedstawimy tu interpretacj zbioru rozmytego rozwijajc teori moliwoci na podstawie teorii zbiorów rozmytych, [9]. Niech X bdzie pewn zmienn, tórej warto nie jest znana. Niech µ X : R [ 0,1] bdzie normaln, quasi-wlsł, półcigła z góry funcj zwan rozładem moliwoci zmiennej rozmytej X [4], [10]. Warto µ X ( x) dla x R oznacza moliwo zdarzenia, e zmienna rozmyta X przyjmie warto x. Zapisujemy to jao µ X ( x) = Pos( X = x) (1) Zmienn X o taich własnociach nazywamy zmienn rozmyt. Dla danej zmiennej rozmytej i danego definiuje si-poziom zmiennej rozmytej jao [ X ] λ = { x : µ X ( x) λ}. Szczególnym przypadiem zmiennej rozmytej jest zmienna rozmyta typu L-L. Rozład moliwoci taiej zmiennej rozmytej jest postaci ( ) x mx µ X x = L () lx gdzie: L x = L x ( ) ( ) m X centrum zmiennej rozmytej X, l szeroo zmiennej rozmytej X. X
158 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 010 Przyładami funcji ( x) L p ( x) ( x ) L s funcje L( x) = max { 0, 1 x } p p, ( x) = ( 1 x ) 1 = exp. Zmienn rozmyt typu L-L bdziemy zapisywa jao X (, ) oczeiwan zmiennej rozmytej typu L-L jest m X (porównaj [1], []). L, = m X l X. Wartoci Niech X, Y bd dwiema zmiennymi rozmytymi o rozładach moliwoci odpowiednio µ X ( x), µ Y ( y). Wówczas rozłady moliwoci sumy Z = X + Y, rónicy U = X Y i iloczynu V = X Y, zgodnie z zasad rozszerzania Zadeha mona zapisa nastpujco [9]: µ Z ( z) = sup z= x+ y ( min( µ X ( x), µ Y ( y) )) (3) ( u) supu= x y ( min( µ X ( x) Y ( y) )) ( v) sup ( min( µ ( x) ( y) )) µ =, (4) U µ µ =, (5) V v= x y X µ Y Załómy, e chcemy porówna dwie zmienne rozmyte, to znaczy chcemy oreli moliwo zajcia zdarzenia, e realizacja zmiennej X (warto przyjta przez X ) bdzie wisze (nie mniejsza) od realizacji zmiennej Y. Do porównania tych zdarze Dubois i Prade zaproponowali nastpujce indesy [4]: Pos( X Y ) = sup x y min( µ X ( x), µ Y ( y) ) (6) Pos ( X > Y ) = inf min( µ ( x), 1 ( y) ) sup (7) x y x X µ Y Oba indesy przyjmuj wartoci z przedziału [0,1]. Chcemy teraz oreli moliwo zajcia zdarzenia, e realizacja zmiennej X bdzie równa realizacji zmiennej Y. Moliwo zajcia tego zdarzenia definiuje si nastpujco [4]: Pos( X = Y ) = min ( Pos( X Y ), Pos( Y X )) (8) Zaleno liniow Y ˆ = A0 + A1 X1 + + A X, (9) w tórej zmienna objaniana Y jest zmienn rozmyt a zmienne objaniajce X 1,, X i współczynnii regresji A 0, A1,, A s zmiennymi rozmytymi lub zmiennymi rzeczywistymi nazywamy regresj rozmyt. W szczególnym przypadu parametry A 0, A1,, A mog by zmiennymi rozmytymi typu L-L o rozładzie moliwoci postaci ( ) x a j µ = A x L dla j = 0,1,,, (10) j l Aj A 0, A1,, A jest postaci Wówczas rozład moliwoci wetora współczynniów regresji ( ) ( )( ) x j a j µ = A A x, x min j L 0,, 0, (11) l Aj Przy powyszych załoeniach rozład moliwoci zmiennej objanianej mona wyznaczy orzystajc z nastpujcego twierdzenia.
Barbara Gładysz Metoda badania istotnoci współczynniów regresji rozmytej 159 TWIERDZENIE 1 [7] Rozład moliwoci estymatora zmiennej objanianej Yˆ dla ustalonej x = 1, x 1,, jest postaci wartoci ( ) x y a j= j x 0 j µ ( ) = Yˆ y L (1) l j= A x 0 j j Jest wiele metod wyznaczania rozładów moliwoci współczynniów regresji rozmytej, przyładowo: metoda najmniejszych wadratów, metoda najmniejszych wartoci bezwzgldnych, metoda minimalizacji szerooci estymatorów zmiennej objanianej, metoda minimalizacji szerooci współczynniów regresji. Przegld tych metod mona znale w pracy [6].. Istotno współczynniów regresji Problemowi badania istotnoci współczynniów regresji rozmytej powiecona jest praca [5]. Zaprezentowano w niej metod badania istotnoci poszczególnych współczynniów regresji rozmytej na podstawie rozładu moliwoci tych współczynniów. Zaproponowano nastpujc miar moliwoci istotnoci współczynnia: współczynni A jest współczynniiem istotnym, gdy: ( A j = 0) λ0 j Pos, (13) gdzie λ 0 jest wartoci zadan przez decydenta. My zaproponujemy metod badania istotnoci uładu współczynniów regresji rozmytej bdc na gruncie teorii moliwoci odpowiedniiem testu F-Snedecora w regresji lasycznej. R n 1 n ( yˆ i y) n 1 W teorii lasycznej regresji statystya testowa F = = 1 R i 1 = y yˆ ( ) bada relacje midzy odległoci estymowanych wartoci losowej zmiennej objanianej ŷ i od wartoci redniej y a odległoci obserwacji y i od ich aprosymacji ŷ i, [3], [8]. Oznaczmy rednie wadratowe odchylenie aprosymowanych wartoci rozmytej zmiennej 1 n objanianej Yˆ i od jej wartoci redniej obserwacji Y jao MSTr = = ( Yˆ ) i i Y oraz rednie n 1 1 n odchylenie wadratowe obserwacji Y i od ich aprosymacji Yˆ i jao MSE = = ( Y ) i i Yˆ i. n 1 DEFINICJA 1 Uład współczynniów regresji A 0, A1,, A jest istotny, gdy Pos MSTr > MSE Λ (14) ( ) 0 gdzie Λ 0 jest pewn zadan przez decydenta wartoci (wiesz od ½). i i
160 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 010 3. Przyład Przedmiotem bada s ceny miesza we Wrocławiu w rou 009. Dane pochodz z serwisu biura nieruchomoci [11], tabela 1. S to ceny z ofert sprzeday miesza z trzech dzielnic Wrocławia: Stare Miasto, ródmiecie i Krzyi. Nie s to ceny transacji upna/sprzeday. Tabela. Cena i powierzchnia miesza we Wrocławiu w rou 009 Cena[tys.zł] y Metra [m ] x1 x Dzielnica 68 33 33 0 Stare Miasto 30 33 33 0 ródmiescie 99 39 39 0 ródmiecie 335 48 48 0 Krzyi 35 53 53 0 Krzyi 405 53 53 0 Krzyi 30 56 56 0 ródmiecie 480 60 60 0 Krzyi 330 66 0 66 Stare Miasto 435 70 0 70 Krzyi 450 74 0 74 Stare Miasto 437 76 0 76 ródmiecie 450 84 0 84 Stare Miasto 630 94 0 94 Krzyi 599 99 0 99 ródmiecie ródło: http://wroclaw.nieruchomosci-online.pl/mieszania,sprzedaz/ Wyznaczmy na podstawie danych z tabeli 1 rozłady moliwoci ceny m w poszczególnych dzielnicach. Przyjmijmy, e ceny miesza s trójtnymi zmiennymi rozmytymi. Wówczas rozłady moliwoci ceny m miesza mona wyznaczyczy estymujc ich parametry na podsawie redniej i wariancji wyznaczonej z próby (porównaj [1]): E Y = m (15) ( ) Y ( Y ) l Var = (16) Zgodnie z wzorami (), (15), (16), przyjmujc L( x) = max { 0, 1 x} 1 m miesza na Starym Miecie jest postaci Y ( 5.7, 4.18) Y ( 6.17,.57), a na Krzyach: ( 6.8,.7 ) 9 Y SM =, rozład moliwoci ceny, w ródmieciu: S = Y K =. Wyznaczmy zgodnie ze wzorem (8) indesy moliwoci, e ceny m w badanych trzech dzielnicach s równe. Otrzymamy Pos Y SM Y = 0,, ( = S ) 96 ( Y SM = Y K ) = 0, 88 ( Y S Y ) = 0, 89 Pos, Pos = K. Zatem ceny 1 m w badanych trzech dzielnicach Wrocławia s równe w stopniu co najmniej 0,88. Zbudujmy model rozmytej regresji ceny miesza ( Y ) w zalenoci od metrau małego mieszania ( x 1 ) i metrau duzego mieszania ( x ), tabela 1. Za mieszania małe przyjmijmy mieszania o metrau nie wiszym ni 60 m.
Barbara Gładysz Metoda badania istotnoci współczynniów regresji rozmytej 161 Sonstruujmy liniowy model regresji rozmytej bez stałej. Współczynnii modelu wyznaczymy metod zaproponowan przez Tana i innych w pracy [7]. Załómy, e dysponujemy obserwacjami ( y i, x1i,, xi ), i=1,,n, i chcemy zidentyfiowa posta zalenoci y ˆ dla pewnego zadanego λ -poziomu. (9) ta, aby równoczenie spełniony był warune i [ Y i ] λ Przyjmujc jao ryterium minimaln łczn szeroo estymatorów zmiennej objanianej [ Yˆi ] λ rozłady moliwoci współczynniów modelu otrzymamy jao rozwizanie nastpujcego problemu liniowego przy ograniczeniach yi a j x ji + y i = 0 l j j = 0 Aj a x = 0 l j j ji j = 0 Aj x x ji ji L 1 1 L ( λ) ( λ) n i = 1 j = 0 A x ji l j min (17) dla i = 1,, n, l 0 dla j = 0,1,,. A j dla i = 1,, n, (18) Model (17) (18) zalenoci cen miesza od metrau Y ˆ = A1 x1 + A x dla danych z tabeli 1 i λ = 0, 5 przyjmuje posta Y ˆ = ( 6.9,.41) x 1 + ( 5.85, 1. 70) x (19) Zbadajmy istotno współczynniów A 1, A modelu (19). Zgodnie ze wzorem (8) otrzymujemy Pos A = 0, oraz Pos ( A = 0) 0. Ta wic, według wzoru (13), oba współczynnii s ( ) 0 1 = = istotne. Zweryfiujmy teraz istotno uładu współczynniów A 1, A według definicji 1. Przyjmijmy Λ 0 = 0, 6. W tabeli przedstawiono ceny miesza oraz ich rozmyte aprosymacje, ja równie błd modelu. Na rysunu 1 przedstawiono obserwacje oraz -poziomy predycji zmiennej objanianej dla =0, ½, 1. Na rysunu zobrazowano rednie wadratowe błdy MSTr MSTr MSE Pos MSTr > MSE = 0,78 > Λ uład oraz MSE oraz Pos ( > ). Poniewa ( ) 0 współczynniów A 1, A modelu (19) jest istotny i model moemy uzna za poprawny.
16 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 010 Tabela. Ceny miesza, predycja cen, błd modelu i odchylenie predycji od redniej ceny dla rou 009 ( ) Metra Cena Centrum Szeroo Centrum Szeroo Centrum Szeroo predycji predycji błdu błdu odchylenia odchylenia Pos Y = y x y Ŷ Ŷ Y Yˆ Y Yˆ Yˆ Y Yˆ Y 33 68 8,9 39,71 39,71 79,43-171,5 79,43 0,50 33 30 8,9 39,71 1,71 79,43-171,5 79,43 0,98 39 99 69,79 46,94 9,1 93,87-19,74 93,87 0,69 48 335 33,05 57,77,95 115,53-67,48 115,53 0,97 53 35 366,64 63,78-41,64 17,57-3,89 17,57 0,67 53 405 366,64 63,78 38,36 17,57-3,89 17,57 0,70 56 30 387,39 67,39-67,39 134,79-1,14 134,79 0,50 60 480 415,06 7,1 64,94 144,4 15,53 144,4 0,55 66 330 386,17 56,17-56,17 11,34-13,36 11,34 0,50 70 435 409,57 59,57 5,43 119,15 10,04 119,15 0,79 74 450 43,98 6,98 17,0 15,96 33,45 15,96 0,86 76 437 444,68 64,68-7,68 19,36 45,15 19,36 0,94 84 450 491,49 71,49-41,49 14,98 91,96 14,98 0,71 94 630 550,00 80,00 80,00 160,00 150,47 160,00 0,50 99 599 579,6 84,6 19,74 168,51 179,7 168,51 0,88 ródło: Opracowanie własne. Z postaci modelu (19) moemy wywniosowa, e cena m miesza małych ma rozład moliwoci (.9,.41) 6 [tys.zł], rednia cena m małego mieszania wynosi 690zł, w stopniu ½ cena m małego mieszania waha si od 570zł do 810zł, w stopniu 1 cena m małego mieszania nie powinna by mniejsza ni 4590zł i wysza ni 9330zł. 5.85, 1.70 [tys. zł], cena m duych mieszania ma rozład moliwoci ( ) rednia cena m duego mieszania wynosi 5850zł, w stopniu ½ cena m duego mieszania waha si od 5000zł do 6700zł, w stopniu 1 cena m duego mieszania nie powinna by mniejsza ni 4150zł i wysza ni 7550zł.
Barbara Gładysz Metoda badania istotnoci współczynniów regresji rozmytej 163 800 700 600 500 400 y Y^-(0,5) Y^+(0,5) Y^(1) Y^-(0) Y^+(0) 300 00 100 30 40 50 60 70 80 90 100 Rys. 1. Obserwacje i predycje cen miesza dla rou 009 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 µ(mstr) µ(mse) 1-µ(MSE) Pos(MSTr>MSE) 0,3 0, 0,1 0 0 5000 10000 15000 0000 5000 30000 35000 40000 45000 50000 Rys.. rednie wadratowe błdy MSTr i MSE dla regresji cen miesza w rou 009 Sonstruujmy teraz predycj cen dla nowych ofert, tóre pojawiły si na stronie naszego biura nieruchomoci. Nowe oferty i predycj cen Yˆ oferowanych miesza wyznaczon na podstawie modelu (19) i przedstawiono w tabeli 3.
164 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 010 Wród nowych ofert pojawiła si oferta mieszania o 110 m o stosunowo nisiej cenie 449000zł. Według modelu (19) pojawienie si taiej oferty jest moliwe w stopniu 0,35 (tabela 3). Tabela 3. Cena i prognoza miesza oraz miara Pos ( Y = y) Cena ródło: Opracowanie własne. Metra Centrum predycji Yˆ Szeroo predycji Yˆ ˆ rou 009 ( Y ˆ y) Pos = 449 110 643,6 93,6 0,35 450 89 50,74 75,74 0,71 35 5 359,7 6,58 0,80 50 4 90,55 50,55 0,79 60 36 49,04 43,3 0,91 Porównajmy teraz regresj rozmyt z regresj lasyczn. Jeeli dla danych z tabeli 1 zbudujemy lasyczn metod najmniejszych wadratów model regresji bez stałej, to otrzymamy y ˆ = 7,06x 1 + 5,95x (0) 0,33 0,1 W przypadu modelu (0) spełnione s załoenia Gaussa-Marowa. Oba współczynnii s istotne (test t-studenta i F-Snedecora). Moemy zatem stwierdzi, e 1 cena m miesza małych N 7.06, 0.33, a cena m miesza duych ma rozład normalny ma rozład normalny ( ) N ( 5.95, 0.1). Wszystie ceny miesza dla nowych ofert (z tabeli 3) mieszcz si w przedziale ufnoci na poziomie ufnoci 0,90. Cena 449000zł mieszania o metrau 110 z nowej oferty nie mieci si w przedziale ufnoci na poziomie ufnoci 0,95, pozostałe ceny wpadaj do tego przedziału. Na rysunu 3 przedstawiono obserwacje, regresj lasyczn (warto oczeiwan predycji i przedział ufnoci na poziomie istotnoci 0,95) oraz regresj rozmyt (aprosymowane rozłady moliwoci zmiennej objanianej dla λ = 1i λ = 0 ).
Barbara Gładysz Metoda badania istotnoci współczynniów regresji rozmytej 165 700 600 500 400 cena y^ U_95 U+95 Y^(1) Y^-(0) Y^+(0) 300 00 100 30 40 50 60 70 80 90 100 Rys. 3. Obserwacje ( ) oraz regresja lasyczna (linia cigła) i regresja rozmyta (linia przerywana) cen miesza w rou 009 Mona zaobserwowa, e oce przedziałów ufnoci w przypadu regresji lasycznej s liniami równoległymi. A zatem według modelu lasycznego ceny miesza małych i duych s podobnie zrónicowane. Koce rozładów moliwoci ( λ = 0 ) w przypadu regresji rozmytej nie s równoległe. Z postaci modelu regresji rozmytej wynia, e ceny miesza o wiszych metraach s bardziej zrónicowane. Aby rozstrzygn, tóry model lepiej odwierciedla rzeczywisto naleałoby ontynuowa badania na wiszej próbie empirycznej. 4. Podsumowanie Zaproponowano metod badania istotnoci uładu współczynniów regresji rozmytej. Jao miar istotnoci współczynniów przyjto funcj moliwoci rednich wadratowych odległoci obserwacji zmiennej objanianej od jej aprosymacji oraz aprosymacji zmiennej objanianej od wartoci redniej obserwacji. Metod zilustrowano na przyładzie rozmytej regresji cen miesza we Wrocławiu. [1] Carlsson C., Fuller R., On possibilistic mean value and variance of a fuzzy number. Fuzzy Sets and Systems 1, 001, pp. 315 36. [] Chanas S., Nowaowsi M., Single value simulation of fuzzy variable, Fuzzy Sets and Systems 5, 1988, pp. 43 57. [3] Draper N.R., Smith H., Analiza regresji stosowana, PWN, Warszawa 1973. [4] Dubois D., Prade H., Possibility Theory: An Approach to Computerized Processing of Uncertainty, Plenum Press New Yor 1988.
166 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 010 [5] Gładysz B., Kuchta D., Least squares method for L-R fuzzy variables, [w:] Fuzzy Logic and Applications, red. V. Di Gesu, S.K. Pal, A. Petrosino, Proceedings of 8th International Worshop, WILF 009, June, Palermo, Italy 009. [6] Kacprzy J., Fedrizzi M., Fuzzy Regression Analysis, Omnitech Press Warsaw and Physica- Verlag Heilderberg, Warszawa 199. [7] Tanaa H., Guo P., Possibilistic Data Analysis for Operations Research, A Springer-Verlag Company, Heidelberg 1999. [8] Welfe A., Eonometria, PWE, Warszawa 1988. [9] Zadeh L.A., Fuzzy Sets, Information and Control 8, 1965, pp. 338 35. [10] Zadeh L.A., Fuzzy sets as a basis of theory of possibility, Fuzzy Sets and Systems 1, 1978, pp. 3 8. [11] http://wroclaw.nieruchomoci-online.pl/mieszania,sprzedaz/. A METHOD OF VERIFYING THE SIGNIFICANCE OF FUZZY REGRESSION COEFFICIENTS Summary The fuzzy regression is used in forecasting when the data for its construction are given imprecisely in the form of fuzzy numbers. A fuzzy regression lie a robust regression is a practical method of forecasting in situations when the Gauss-Marov assumptions are not satisfied. In the literature many methods of fuzzy regression are proposed. However there are no methods verifying the significance of independent variables in those models. In the paper we proposed a method of verifying the significance of the model coefficients, based on the concept on the possibility theory. An illustrating example is presented Keywords: fuzzy regression, coefficients significance, apartment price. Barbara Gładysz Instytut Organizacji i Zarzdzania Politechnia Wrocławsa ul. Wybrzee Wyspiasiego 7, 50-370 Wrocław e-mail: barbara.gl adysz@pwr.wroc.pl http://www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/gladysz/