Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie



Podobne dokumenty
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe

1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)

Zadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).

Laboratorium nr 1. Kombinatoryka

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

1. Mamy do wyboru 2 mieszkania i 3 auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Zadania należy samodzielnie rozwiązać, a następnie sprawdzić poprawność wyniku!

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka

R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

Matematyka dyskretna zestaw II ( )

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

Wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz realizacja ośmiu głównych kompetencji kluczowych

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

a 1 = 1.5 dm a 2 = 2.1 dm a 3 = 3.3 dm a 4 = 4.5 dm

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1

Statystyka matematyczna

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

Statystyka matematyczna

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.

KOMBINATORYKA (A) Szczegółowy plan wykładu

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

Do rozwiązania większości zadań często wystarcza reguła mnożenia i wzór na kombinację.

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

liczb naturalnych czterocyfrowych. Mamy do dyspozycji następujące cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. g) Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych?

Wprowadzenie do kombinatoryki

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Matematyka dyskretna

Kombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ.

Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.

Statystyka podstawowe wzory i definicje

Zestawy zadań z Metod Probabilistyki i Statystyki. dr Hanna Podsędkowska dr Katarzyna Lubnauer mgr Małgorzata Grzyb mgr Rafał Wieczorek

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

KOMBINATORYKA (A) Szczegółowy plan wykładu

Projekt dofinansowała Fundacja mbanku PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa

PRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B

Typy zadań kombinatorycznych:

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

0, 4 0, 3 A = 0, 4 0, 7. Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac, że stan poczatkowy jest następujacy: 0, 1 0, 2 0, 9 0, 6

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

Metody probabilistyczne

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania

= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.

Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw 1 Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa

ZEBRANE ZADANIA DOMOWE Z ĆWICZEŃ NA STUDIACH ZAOCZNYCH (KURS MDA) Zadanie 1. Wyznacz wartość wyrażenia

Rachunek prawdopodobieństwa lista zadań nr 6

c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

Statystyka matematyczna

ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI

Prawdopodobieństwo

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 15:30 godzina. Które z poniższych zdań jest fałszywe? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Zestaw 1-1 Organizacja plików: Oddajemy tylko źródła programów (pliki o rozszerzeniach.cpp)!!!

Transkrypt:

Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2 Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 23 października 2008

Lista zadania nr 1 elementy kombinatoryki c J. Kotowicz 2008 1 1. Obliczyć n k i=1 2. Obliczyć n k i=1 ( n i k gdzie n, k N i k n. i ( n i k gdzie n, k N i k n. 3. Udowodnić, że dla dowolnych n.k N takich, że n k zachodzą następujące wzory ( ( n k = n n k ; ( ( n k + n ( k 1 = n+1 k, o ile tylko k 1; n ( n k = 2 n ; n ( 1 k( n k = 0; n ( n+1 k 2 n!2n (2n!! = 1. = ( n+2 3 ; 4. Do windy w 8 piętrowym wieżowcu wsiadły 3 osoby. Na ile różnych sposobów mogły one wysiąść, jeśli każda z nich wysiada na dowolnym piętrze; innym piętrze; wszyscy wysiądą na tym samym piętrze. 5. Do windy w 9 piętrowym wieżowcu wsiadły 2 osoby. Na ile sposobów mogły one wysiąść? 6. Do windy w 10 piętrowym wieżowcu wsiadły 2 osoby. Na ile różnych sposobów mogły one wysiąść na dowolnych piętrach; różnych piętrach. 7. Winda z 5 pasażerami zatrzymuje się na 10 piętrach. Na ile sposobów pasażerowie mogą wysiąść z windy? Na ile sposobów mogą to zrobić, jeżeli każdy ma wysiąść na innym piętrze? 8. Do windy w 55 piętrowym drapaczu chmur wsiadło 11 osób. Ile jest możliwych sposobów, aby co najmniej dwie osoby wysiadły na tym samym pietrze. 9. Dany jest sześcian. Ze wszystkich wierzchołków sześcianu losujemy 3 tworzące trójkąt. Ile jest możliwości takich losowań? 10. Ile jest kombinacji z powtórzeniami zbioru 10 elementowego, gdy losujemy dwa elementy. 11. Na ile sposobów można podzielić 12 osobowy zastęp harcerzy na dwie podgrupy liczące po 7 i 6 osób. 12. W turnieju w którym uczestniczy 20 graczy, każdy z nich gra po jednej partii z innym. Ile partii rozegrano? 13. Dzieci łączą się w pary. Ilu dzieci wzięło udział w zabawie, jeżeli wiadomo iż mogły się one połączyć na 110 sposobów 14. Na turnieju rozegrano 190 meczy każdy z każdym. Ilu zawodników uczestniczyło w turniej? 15. Ilu zawodników wzięło udział w turnieju szachowym, jeżeli każdy grał z każdym dokładnie 1 partię i w całym turnieju rozegrano ich 10. 16. W turnieju szachowym bierze udział n zawodników. n 2 rozegrało każdy z każdym po jednej partii, n 1 - szy rozegrał 10 partii a n - ty 1 partię. łącznie rozegrano 55 partii. Ilu jest zawodników? Czy n 1 - szy i n - ty grali już ze sobą? 17. Ile można wykonać chorągwi mającej trzy pasy kolorów z 4 barw.

2 Lista zadania nr 1 elementy kombinatoryki c J. Kotowicz 2008 18. Dane jest 7 gatunków cukierków czekoladowych, z których wybieramy 4 rodzaje. Ile różnych paczek w ten sposób można otrzymać. 19. Rzucamy 5 kostkami do gry. Ile jest możliwych wszystkich wyników? 20. Rok liczy 365 dni. Ile jest możliwych wszystkich wyników, tak aby 5 osób urodziło się każda innego dnia? 21. W urnie znajduje się 5 ponumerowanych kul. Losujemy 5 kul po jednej bez zwracania. Ile można otrzymać różnych wyników? 22. W klasie liczącej 37 uczniów rozlosowano trzy jednoosobowe bilety do trzech różnych teatrów. Ile jest możliwych wyników tego losowania? 23. Grupę składającą się z 25 osób podzielono na dwie podgrupy po 13 i 12 osób. Ile jest możliwych podziałów? 24. Grupę 6 osobową podzielona na dwie równoliczne. Ile było możliwych podziałów? 25. Ile jest możliwości trafienia prawidłowo przez gracza w multilotka 10 właściwych liczb. 26. Ile jest możliwych wyników w losowaniu dużego lotka (6 z 49? 27. Grupa taneczna składa się z 12 chłopców i 12 dziewcząt. Ile różnych par można utworzyć z nich wszystkich, aby mogli oni zatańczyć poloneza. 28. W ogłoszonym plebiscycie na 10 najlepszych sportowców zgłoszono 17 kandydatów. Plebiscyt wygrał R. Szurkowski. Obliczyć ile istnieje sposobów przyznania dalszych miejsc, jeżeli sportowcy nie mogą zajmować tego samego miejsca. 29. W biegu na 100 m startuje 6 zawodników. Ile jest możliwych wyników ukończenia biegu, jeśli punktowane są pierwsze trzy miejsca i nie uwzględniamy wyników ex eqou. 30. Danych jest n kul i N komórek. Kule umieszczamy losowo w komórkach. Ile jest taki rozmieszczeń, jeśli kule i komórki są rozróżnialne; kule są nie rozróżnialne, a komórki są; kule są nierozróżnialne i ponadto w każdej komórce może się znajdować co najwyżej jedna kula. Uwaga. Tego typu rozmieszczenia mają interpretacje w fizyce i nazywane są odpowiednia statystykami (modelami Maxwella - Boltzmana, Bosego - Einsteina oraz Fermiego - Diraca. Ponadto według statystyki Bosego - Einsteina zachowują się fotony, nukleony i atomy zawierające parzystą liczbę cząstek elementarnych, modelu Fermiego - Diraca elektrony, protony i neutrony, zaś modelu Maxwella - Boltzmana nie spełniają żadne cząstki. 31. Rozmieszczamy 8 kul w 3 szufladach. Ile jest możliwych różnych rozmieszczeń? Które model z poprzedniego zadania można stosować rozwiązując to zadanie. Odpowiedź uzasadnij. 32. Dane są 3 szuflady i 5 koszul. Ile jest możliwości rozmieszczenia tych koszul w szufladach 33. Iloma sposobami można włożyć m jednakowych kul do k komórek? 34. Iloma sposobami można posadzić w rzędzie m drzew liściastych i n iglastych (m > n tak, aby żadne dwa drzewa iglaste nie sąsiadowały ze sobą? 35. Z klasy liczącej 20 osób wybieramy delegację składającą się z 3 osób. Na ile różnych sposobów można ją wybrać. 36. Z 12 dziewcząt i 8 chłopców należy wybrać delegację liczącą 2 dziewczynki i 1 chłopca. Na ile różnych sposobów można ją wybrać. 37. W pudełku znajduje się 20 śrub wśród których są 3 wadliwe. Wylosowano 5 śrub. Obliczyć ilość możliwości, że otrzymano dokładnie 1 wadliwą. 38. Na płaszczyźnie danych jest 12 punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Ile jest różnych prostych przechodzących przez dokładnie dwa punkty.

Lista zadania nr 1 elementy kombinatoryki c J. Kotowicz 2008 3 39. Na płaszczyźnie danych jest n punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Ile jest różnych prostych przechodzących przez dokładnie dwa punkty. 40. Dany jest sześcian. Ze wszystkich wierzchołków sześcianu losujemy 3 tworząc trójkąt. Ile jest możliwości takich losowań? 41. Ile można skonstruować trójkątów z odcinków o długościach równych: 5,7,9,11,13? 42. Na ile sposobów można rozdzielić grupę k + m + n różnych przedmiotów na grupy po k, po m i po n przedmiotów odpowiednio? 43. Jak długie powinny być znaki w alfabecie Morsa, aby zapisać 24 literowy alfabet. 44. Jak długie powinny być znaki w alfabecie Morsa, aby zapisać wszystkie litery alfabetu polskiego. 45. Rzucamy 3 kostkami do gry. Ile jest możliwych różnych wyników? 46. Ile jest różnych tablic rejestracyjnych samochodów składających się z 3 liter i 4 cyfr (24 litery, jeśli ustawienie tablica jest jak w Polsce; możemy mieszać kolejność liter i cyfr. 47. W szafie znajduje się 10 różnych par butów. Wyjmujemy 4 buty. Ile jest możliwości, że nie wyjmiemy żadnej pary. 48. Ile słów z sensem lub bez można utworzyć z liter tworzących to słowo mama? abrakadabra? matematyka? amazonka? bajkopisarka? Brzęczyszczykiewicz? panna? 49. Na ile sposobów można ustawić encyklopedię 13 tomową na półce? 50. Na półce ustawiamy dwie nierozróżnialne encyklopedie 13 tomowe. Na ile sposobów można je ustawić? 51. Na ile sposobów można ustawić encyklopedię 13 tomową na półce tak, aby tomy 1 i 2 1, 2 i 3 trzy wybrane losowo stały obok siebie? 52. Na egzamin wykładowca przygotował 60 pytań, z których student losuje dokładnie 3. Ile jest wszystkich możliwych wyników takiego losowania. 53. 4 studentów zdaje egzamin. Na ile sposobów mogą oni otrzymać oceny jeśli wiadomo, że żaden ze studentów nie otrzymał oceny niedostatecznej. 54. Na ile sposobów można ustawić 8 wież tak, aby nie mogły się zbić? 55. Ile różnych sznurów korali można ułożyć z 6 karali czarnych i 4 białych, jeśli ustaliliśmy początek sznura. 56. Ile różnych liczb dwucyfrowych można utworzyć ze pięcioelementowego zbioru cyfr. 57. Ile różnych liczb trzycyfrowych można utworzyć ze zbioru cyfr od 1 do 9.

4 Lista zadania nr 1 elementy kombinatoryki c J. Kotowicz 2008 58. Ile różnych liczb trzycyfrowych można utworzyć ze zbioru wszystkich cyfr. 59. Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 2, 2, 4, 4, 6, 6? 60. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych nieparzystych, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać; mogą się powtarzać? 61. Ile różnych liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,...,7, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać? 62. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, jeśli jedynie cyfry 1 i 2 mogą się tylko powtarzać? 63. Ile różnych liczb pięciocyfrowych można utworzyć z cyfr 0,1,2,3,4, jeśli żadna z cyfr się nie powtarza? cyfry mogą się powtarzać? 64. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć ze wszystkich cyfr? 65. Ile różnych liczb sześciocyfrowych parzystych można utworzyć ze wszystkich cyfr, jeśli cyfry mogą się powtarzać? 66. Ile różnych liczb ośmiocyfrowych można utworzyć z cyfr tworzących liczbę 12212122? 67. Na ile sposobów można rozdać 13 kart z talii liczącej 52 karty? 68. Z tali liczącej 52 karty wylosowano 13 kart. Ile było możliwy wyników takich losowań, jeśli otrzymano dokładnie 1 asa; asa kier; dokładnie 3 asy w tym asa pik; dokładnie 1 asa, 3 króle i 2 damy; dokładnie wszystkie karty jednego koloru. 5 asów. 69. Ile jest możliwości, że brydżysta otrzyma dokładnie damę pik, asa trefl, 5 kierów? damę pik, asa trefl i 5 trefli? wszystkich kart tego samego koloru? dokładnie 12 kart tego samego koloru? 70. Z tali liczącej 52 karty wybieramy 9 kart. Ile było takich losowań, że otrzymano dokładnie 1 asa.