Zeszyty Naukowe nr 3 POLSKIE TOWARZYSTWO EKONOMICZNE Kraków 202 Janusz Żarnowski Joanna Rutkowska Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Stopy zwrotu z portfeli sortowanych według współczynnika beta z modelu CAPM na przykładzie akcji notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w latach 998 200. Wprowadzenie Model CAPM jest powszechnie stosowany przez analityków do wyceny kosztu kapitału i wartości fundamentalnej spółek. Ważne jest zatem poparte badaniami przekonanie o prawdziwości postulowanej w modelu liniowej i dodatniej relacji między oczekiwanymi stopami zwrotu a współczynnikami beta spółek obliczanymi względem portfela rynkowego. Celem artykułu jest próba odpowiedzi na pytanie, czy taka postulowana w modelu CAPM zależność ma miejsce w polskich warunkach. Badania wykonano dla 3-letniego szeregu stóp zwrotu z akcji notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych (GPW) w Warszawie, obejmującego lata 998 200, opierając się na metodzie regresji przekrojowej z grupowaniem spółek w portfele. Współczynniki beta spółek oszacowano na podstawie miesięcznych stóp zwrotu z wykorzystaniem 5 wariantów okien estymacji, kolejno: 24 miesięcy, 30 miesięcy, 48 miesięcy, 60 miesięcy i 72 miesięcy.
250 Janusz Żarnowski, Joanna Rutkowska 2. Metodologia obliczania współczynników beta Typowym sposobem obliczania współczynników beta spółek jest korzystanie z modelu rynkowego, według którego jedyną przyczyną korelacji pomiędzy stopami zwrotu akcji jest ich wspólna reakcja na zmiany stanu rynku, mierzonego głównym indeksem rynkowym, a następnie estymacja współczynników za pomocą regresji liniowej postaci: Rit = () αip + βipmmt + εit, przy założeniu, że R it, M mt, ε it są zmiennymi losowymi będącymi odpowiednio: R it stopą zwrotu z instrumentu i, M mt czynnikiem rynkowym (market factor) wspólnym dla wszystkich instrumentów, ε it czynnikiem resztowym dla każdego instrumentu i. Pozostałe założenia modelu rynkowego są następujące: α ip stała dla instrumentu i będąca częścią składową stopy zwrotu, niezależną od czynnika rynkowego i przyjmująca taką wartość, by wartość oczekiwana składnika resztowego ε it była równa zeru, tj. E(ε it ) = 0, czynnik specyficzny ε it jest nieskorelowany z czynnikiem rynkowym M t, tj. cov(ε it, M pt ) = 0, czynnik rynkowy jako jedyny wpływa na stopy zwrotu instrumentów, tj. cov(ε it, ε jt ) = 0 dla i j. Przy takich założeniach równanie modelu rynkowego oznacza, że stopa zwrotu z instrumentu w okresie rozpoczynającym się w chwili t = (p )T +, a kończącym w chwili t = pt, gdzie p jest okresem estymacji współczynnika beta, jest liniową funkcją czynnika rynkowego, wspólnego dla wszystkich instrumentów M mt, oraz niezależnego czynnika specyficznego dla każdego instru - mentu, ε it. Siłę wpływu czynnika rynkowego na stopę zwrotu instrumentu wyraża współczynnik β i, specyficzny dla każdego instrumentu i, a formalnie współczynnik ten jest ilorazem kowariancji stopy zwrotu instrumentu z czynnikiem rynkowym i wariancji stopy zwrotu czynnika rynkowego, co wyraża wzór (2): cov( Rip, RMp) β ip =. (2) var( RMp) Za czynnik rynkowy przyjmuje się główny indeks rynku, na rynku amerykańskim jest nim indeks Standard & Poors Composite Index 500, a na rynku polskim WIG. Współczynniki beta oblicza się, stosując regresję liniową stóp zwrotu z instrumentu i na stopy zwrotu z indeksu rynku (np. WIG-u), korzystając z estymatorów zdefiniowanych klasyczną metodą najmniejszych kwadratów KMNK (za: [Welfe 998]) lub OLS (Ordinary Least Squares). Obliczenia współczynników beta tą metodą wymagają przyjęcia dwóch parametrów: wielkości N, oznaczają-
Stopy zwrotu z portfeli sortowanych... 25 cej ilość przedziałów czasowych, na podstawie których estymowany jest współczynnik, oraz długość przedziału czasowego, w którym mierzona jest pojedyncza stopa R it instrumentu i stopa indeksu rynku R Mt. Nie ma jednej uniwersalnej reguły mówiącej, jakie ma być N i jak długi ma być przedział czasowy będący podstawą obliczania stopy zwrotu. Przy określaniu tych parametrów ważne jest rozważenie dwóch zagadnień. Pierwsze z nich wiąże się ze sposobem weryfikacji istotności estymowanego parametru. Przyjęcie założenia o normalnym rozkładzie zmiennej pozwala na skorzystanie ze standardowych testów istotności wartości średniej parametru, opartych na statystyce t-studenta. Aby jednak założenie o normalnym rozkładzie stóp zwrotu było spełnione, konieczne jest korzystanie ze stóp o stosunkowo długim interwale, wynoszącym miesiąc [Fama i MacBeth 973]. Druga kwestia wiąże się z wyważeniem relacji pomiędzy stabilnością estymowanego parametru a jego zdolnością predykcyjną. Im dłuższy okres estymacji współczynnika, tym jest on stabilniejszy w czasie. Z drugiej strony, im dłuższy okres estymacji, tym mniej aktualne prognozy oparte na współczynniku, gdyż w miarę wydłużania okresu estymacji zwiększa się wpływ stanu rynku z bardziej odległej przeszłości na aktualny poziom współczynnika. Najczęściej w badaniach stosuje się więc stopy miesięczne i 5-letni okres estymacji współczynnika. 3. Konstrukcja testu Implikacją modelu CAPM jest liniowa zależność między współczynnikami beta spółek a oczekiwanymi stopami zależność ta jest także podstawą testów prawdziwości modelu. Dotychczasowe testy modelu CAPM w polskich warunkach dają niejednoznaczny wynik co do jego prawdziwości. Z jednej strony wyróżnić można badania wskazujące na poprawność czy zasadność stosowania modelu CAPM lub modeli wskaźnikowych wykorzystujących ryzyko systematyczne jako jedną ze zmiennych premiowanych stopą zwrotu [Markowski 2009; Czapkiewicz i Skalna 20; Urbański 20], z drugiej strony wiele badań nie potwierdza działania modelu CAPM [Grotowski 2002; Sekuła 2004; Martynowska 2006]. W tym kontekście oraz w związku z faktem, że dostępne są dłuższe szeregi czasowe stóp zwrotu, nadal pozostaje otwarte pytanie o prawdziwość implikowanej przez model CAPM dodatniej liniowej zależności między stopami zwrotu a współczynnikami beta spółek. Okres estymacji (okno estymacji) to iloczyn długości przedziału czasowego i liczby przedziałów czasowych N, np. przy N = 60 oraz interwale miesięcznym okres estymacji wynosi 5 lat.
252 Janusz Żarnowski, Joanna Rutkowska Celem badań jest próba odpowiedzi na pytanie, czy wspomniana wyżej, dodatnia liniowa zależność miała miejsce w Polsce w latach 998 200. Badania przeprowadzono w oparciu o standardowy estymator współczynnika beta, obliczany metodą KMNK, przy czym wykonano je, grupując spółki w portfele i stosując metodę regresji przekrojowej zaproponowanej przez E.F. Famę i J.D. McBetha [973]. W metodzie tej testowany jest następujący model 2 : ~ R = ~ γ + ~ γ β + ε, (3) it 0t t i it gdzie: R ~ it jest zmienną losową, będącą jednookresową stopą zwrotu z instrumentu i w okresie od t do t, ~ γ 0t jest zmienną losową, wyrażającą część stopy zwrotu niezależną od wpływu współczynnika β i i przyjmującą taką wartość, by wartość oczekiwana składnika resztowego ~ ε it była równa zeru, ~ γ t jest zmienną losową mierzącą siłę wpływu wskaźnika współczynnika β i, instrumentu i na stopę zwrotu R ~ it, ~ ε it jest zmienną losową będącą składnikiem resztowym, mierzącym wpływ ryzyka idosynkratycznego (specyficznego) instrumentu i. Testowanie modelu dla pojedynczych instrumentów powoduje wskazywany w literaturze problem błędu w estymatorach (errors-in-the-variables) przenoszący się na błąd w ocenie parametrów modelu ~ γ 0t, ~ γ t. Dlatego wykorzystano zaproponowane przez E.F. Famę i J.D. MacBetha grupowania akcji w portfele i testowano model postaci: = γ + γˆ β + ε, (4) Rpt ˆ 0t t p, t pt N i= gdzie R pt jest zmierzoną stopą zwrotu z portfela p w okresie od t do t, jest średnią arytmetyczną wartością współczynników β i dla portfela p, równą N βp, t = βi, t, zaś parametry γˆ 0 t, γˆ t, εˆ pt otrzymuje się z regresji przekrojowej. Z założeń modelu regresji liniowej wynika, że parametry γˆ 0 t, γˆ t, εˆ pt mają rozkład normalny. Ze sposobu konstrukcji okresów rewizji, a mianowicie z faktu, że nie nachodzą one na siebie, wynika z kolei to, iż poszczególne wartości parametrów γˆ it, γˆ it+ są niezależne dla i = 0 2, t = T. Możliwe jest zatem wnioskowanie statystyczne, dotyczące uśrednionych po czasie wartości tych parametrów w oparciu o rozkład t-studenta. W szczególności ważna jest statystyczna istotność parametru γ ˆt. Parametr ten mierzy postulowany wpływ współczynnika β na stopy zwrotu z akcji. Brak statystycznej istotności powoduje odrzucenie hipotezy o prawdziwości modelu postaci (4), tj. modelu postulującego liniową zależność. 2 Znak ~ nad zmienną oznacza, że jest to zmienna losowa. β p
Stopy zwrotu z portfeli sortowanych... 253 Poniżej podany został algorytm zastosowany do weryfikacji modelu CAPM: I. Ustalono rozdzielczość grupowania, tj. liczbę portfeli N, na które będzie dzielona populacja spółek. Przyjęto N = 5 (portfele kwintylowe). II. Ustalono długość okna estymacji T. Przyjęto długość okna równą T = 24 miesiące. III. Ustalono długość okna testowego. Przyjęto, że jest równa długości okna estymacji. IV. Wyznaczono dzień t, w którym nastąpi pierwsze utworzenie portfeli. V. Obliczono estymator β dla każdej spółki w oparciu o okno estymacji od dnia t 0 do t. VI. Utworzono portfele według wartości obliczonych współczynników beta. Otrzymany ranking spółek jest podstawą utworzenia portfeli pierwszego dnia miesiąca t. Spółki kwalifikowane są do portfeli tak, by portfele były równoliczne (różnica w liczbie spółek w portfelach jest nie większa niż ). VII. Obliczane są wartości średnich arytmetycznych β p k t współczynnika w portfelach na podstawie rankingu z ostatniego dnia miesiąca przed dniem sformowania portfeli, będącego podstawą kwalifikacji spółek do portfeli. Zmienna k numeruje portfele w układzie przekrojowym (k = N), zmienna t zaś, w układzie czasowym (t = T). Spółki trzymane są w portfelu do końca miesiąca według strategii kup i trzymaj (buy-and-hold). Istotne jest to, że w trakcie miesiąca żadna nowa spółka nie trafia do portfela. Jeśli spółka opuściła parkiet, to została automatycznie usunięta z portfela, z zachowaniem korekty na zmianę nierynkową 3. Spółki w portfelu ważone są kapitalizacją. VIII. Obliczana jest stopa zwrotu z poszczególnych portfeli R p k t (tj. indeksów portfeli) w miesiącu t. W ten sposób otrzymano N obserwacji przekrojowych dla miesiąca t. Na każdą obserwację składa się para ( β p t, Rp t ) beta dla portfela k k jako zmienna objaśniająca i stopa zwrotu z portfela jako zmienna objaśniana. Dla miesiąca t wykonywane jest równanie regresji postaci (4), co daje w rezultacie estymatory parametrów regresji γ ˆ0t, γˆ t. IX. Rekurencyjnie powtarza się punkty: IV do VIII algorytmu dla kolejnych miesięcy okna testowego, aż do ostatniego miesiąca, tj. dla miesiąca o numerze t i = T. W rezultacie otrzymuje się szereg czasowy estymatorów parametrów regresji ( γ ˆ0, γ ˆ), ( γ ˆ 02, γˆ 2 ),, ( γˆ 0T, γˆ T ). X. Dla otrzymanych szeregów czasowych parametrów regresji (4) oblicza się uśrednione po czasie wartości estymatorów regresji γ ˆ 0t, γˆ t. Dokonuje się wnioskowania statystycznego. Hipotezą zerową jest założenie, że wartości 3 Co odpowiada założeniu, że została sprzedana w ostatnim dniu notowania. Opis zmian nierynkowych znajduje się w punkcie 2.4 niniejszej pracy.
254 Janusz Żarnowski, Joanna Rutkowska średnie parametrów regresji γ ˆ 0t, γˆ t istotnie nie różnią się od zera. Wnioskowanie opiera się na statystyce t-studenta. XI. Powtarza się punkty od II do IX kolejne dwa razy, z tym że przyjmuje się długości okna estymacji: 36 miesięcy, 48 miesięcy, 60 miesięcy, 72 miesiące. 4. Rezultaty obliczeń i ich interpretacja Badaniami objęto wszystkie spółki notowane na GPW w Warszawie (z wyjątkiem funduszy inwestycyjnych), które posiadały co najmniej dwuletnią historię notowań niezbędną do obliczeń estymatorów współczynnika beta w najkrótszym wariancie okna estymacji. Ich liczba narastała w ciągu okresu badawczego od 05 w styczniu 2000 r. do 278 w grudniu 200 r. Tabela ilustruje wartości podstawowych charakterystyk dla portfeli tworzonych według współczynnika beta w badanej populacji spółek i w badanym zakresie w zależności od długości okna estymacji parametr beta dla pojedynczych spółek: od 24 miesięcy do 70 miesięcy co 2 miesięcy. Analizując dane zawarte w tabeli, zauważyć należy, że średnie miesięczne stopy zwrotu z poszczególnych kwintyli nie spełniają postulowanej przez model CAPM dodatniej liniowej zależności między wartością współczynnika a stopą zwrotu z portfela. Co więcej, obliczona dla skrajnych portfeli premia arbitrażowa jest ujemna (premia liczona jako różnica między średnią stopą zwrotu z portfela o największej wartości współczynnika beta a stopą zwrotu z portfela o najniższej wartości współczynnika beta) i wynosi od 0,% dla portfeli sortowanych w oparciu o współczynniki beta estymowane na podstawie okna 24-miesięcznego do,8% dla portfeli sortowanych w oparciu o współczynniki beta estymowane na podstawie okna 72-miesięcznego. Ujemna premia jest sprzeczna z postulowaną przez model CAPM dodatnią zależnością między stopą zwrotu z portfela a współczynnikiem beta. Drugi wniosek nasuwający się z analizy danych z tabeli dotyczy zmienności stóp zwrotu spółek w poszczególnych portfelach. Portfele o najniższych współczynnikach beta (nr ) charakteryzują się największą zmiennością, liczoną odchyleniem standardowym stopy zwrotu w czterech przypadkach na pięć sposobów sortowania (tylko dla współczynników beta estymowanych z okresu 24-miesięcznego najwyższą zmienność ma portfel o największej wartości współczynnika beta) co jest wynikiem niezgodnym z interpretacją współczynnika beta jako miary wrażliwości portfela (a co za tym idzie zmienności stopy zwrotu) na czynnik rynkowy. Wyniki weryfikacji modelu liniowej zależności stóp zwrotu portfela i jego współczynnika beta z użyciem pięciu wariantów estymatorów współczynników beta spółek zawiera tabela 2.
Stopy zwrotu z portfeli sortowanych... 255 Tabela. Podstawowe charakterystyki portfeli kwintalowych sortowanych według współczynnika beta Okno estymacji współczynnika beta Pozycja niskie beta Kwintyle Premia: 5 2 3 4 5 wysokie beta wielkość 24 miesiące Liczba spółek na początku 2 2 2 2 2 Liczba spółek na końcu 55 56 56 55 58 Średnia miesięczna stopa zwrotu 2,0% 2,4%,9% 2,0%,9% 0,% 89,6% Odchylenie standardowe stopy zwrotu 9,5% 8,6% 7,5% 9,6% 0,% Beta portfela (stopy miesięczne) 0,9 0,60 0,77,04,66 36 miesięcy Liczba spółek na początku 20 20 9 20 20 Liczba spółek na końcu 43 43 44 43 44 Średnia miesięczna stopa zwrotu 2,4% 2,3%,5% 2,% 2,% 0,3% 77,7% Odchylenie standardowe,8% 8,2% 8,0% 8,9% 0,0% Beta portfela (stopy miesięczne) 0,23 0,6 0,83,07,67 48 miesięcy Liczba spółek na początku 20 9 9 9 9 Liczba spółek na końcu 38 39 38 39 39 Średnia miesięczna stopa zwrotu 3,6% 2,4% 2,2% 2,5% 2,%,5% 3,3% Odchylenie standardowe 2,8% 8,7% 9,% 9,2% 9,8% Beta portfela (stopy miesięczne) 0,29 0,65 0,86,07,66 60 miesięcy Liczba spółek na początku 28 29 28 29 29 Liczba spółek na końcu 38 39 38 39 39 Średnia miesięczna stopa zwrotu 4,% 3,0% 2,7% 2,8% 2,3%,8%,8% Odchylenie standardowe 3,4% 9,% 9,3% 9,5% 0,2% Beta portfela (stopy miesięczne) 0,29 0,67 0,88,0,7 72 miesiące Liczba spółek na początku 3 3 30 30 3 Liczba spółek na końcu 38 39 38 39 39 Średnia miesięczna stopa zwrotu 3,9% 2,4% 2,4% 2,2% 2,%,8% 4,4% Odchylenie standardowe 3,6% 8,7% 9,0% 8,7% 0,2% Beta portfela (stopy miesięczne) 0,32 0,7 0,93,6,77 Źródło: obliczenia własne na podstawie danych Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie. wartość p
256 Janusz Żarnowski, Joanna Rutkowska Tabela 2. Wyniki regresji przekrojowej dla modelu postaci (4) w zależności od długości okna estymacji współczynnika beta Beta Średnia arytmetyczna Odchylenie standardowe t-value p-value 0 0 0 0 24 miesiące 3,74E-04 0,020 4,8E-02 0,0809 0,09 2,9 93% 0% 36 miesięcy 7,68E-04 0,022 6,9E-02 0,0409 0,2 2,3 90% 2% 48 miesięcy 8,79E-03 0,033 6,7E-02 0,07,37 3,26 7% 0% 60 miesięcy,6e-02 0,040 6,8E-02 0,,7 3,53 9% 0% 72 miesiące,0e-02 0,036 6,9E-02 0,098,49 3,03 4% 0% Źródło: obliczenia własne na podstawie danych Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie. Dla weryfikowanej hipotezy ważna jest wartość parametru t dla poszczególnych wariantów długości okna estymacji parametru beta oraz jego statystyczna istotność. Wyniki zamieszczone w tabeli 2 wskazują, że w czterech z pięciu przypadków współczynnik t ma wartość ujemną, co oznacza zależność sprzeczną z postulowaną w modelu CAPM, jedynie w przypadku współczynników beta estymowanych dla 24-miesięcznego okresu zależność jest dodatnia, zgodna z modelem. Wagę wyników osłabia jednak fakt, że wszystkie otrzymane wartości współczynnika t okazały się statystycznie nieistotne. Otrzymane wyniki zakwalifikować należy do grupy badań wskazujących na brak podstaw do stosowania współczynnika beta jako premiowanego dodatnią stopą zwrotu ładunku czynnikowego portfeli i w tym kontekście do grupy badań niepotwierdzających prawdziwości modelu CAPM. Podobne wnioski wysuwali w swoich badaniach: M. Grotowski [2003] brak istotnej statystycznie zależności między współczynnikiem beta a stopami zwrotu portfeli, A. Martynowska [2006] brak stabilności współczynników beta w poszczególnych podokresach, oraz P. Sekuła [2004] brak związku pomiędzy współczynnikiem beta portfela a jego średnią stopą zwrotu. Otrzymane wyniki nie są zgodne z rezultatami badań L. Markowskiego [2009], A. Czapkiewicz i I. Skalnej [20] oraz S. Urbańskiego [20], choć w dwóch pierwszych wymienionych pracach podkreślano warunkową zależność (zmieniającą się) między współczynnikami beta a stopami zwrotu w zależności od stanu koniunktury rynkowej. 5. Podsumowanie Wyniki badań nie pozwalają potwierdzić hipotezy o dodatniej liniowej zależności między współczynnikiem beta a stopą zwrotu z portfela w warunkach
Stopy zwrotu z portfeli sortowanych... 257 polskich. Stopy zwrotu z portfeli o najmniejszej wartości współczynnika beta okazały się najwyższe, czyli otrzymano wynik odwrotny do teoretycznie oczekiwanego. Co więcej, portfele o najmniejszej wartości współczynnika beta okazały się także najbardziej ryzykowne, jeśli brać pod uwagę ryzyko całkowite mierzone odchyleniem standardowym stopy zwrotu, co także jest sprzeczne z interpretacją współczynnika beta. Wyniki regresji przekrojowej wskazują na ujemną zależność między współczynnikiem beta portfela a stopą zwrotu, niemniej parametry są statystycznie nieistotne, co osłabia wymowę wyników. Wyników nie należy traktować w żaden sposób jako rygorystycznego testu modelu CAPM, jednakże w świetle otrzymanych rezultatów trudno jest być zwolennikiem tezy o prawdziwości działania modelu CAPM w Polsce w latach 998 200. W tym kontekście można umiejscowić otrzymane badania w grupie negatywnie weryfikujących postulowaną w modelu CAPM zależność między stopą zwrotu a współczynnikiem beta portfeli. Literatura Czapkiewicz A., Skalna I. [20], Użyteczność stosowania modelu Famy i Frencha w okresach hossy i bessy na rynku akcji GPW w Warszawie, Bank i Kredyt, nr 3. Fama E.F., French K.R. [986], Multifactor Explanations of Asset Pricing Anomalies, The Journal of Finance, vol. 5, nr. Fama E.F., MacBeth J.D. [973], Risk, Return and Equilibrium: Empirical Test, The Journal of Political Economy, vol. 8, nr 3. Grotowski M. [2002], Test modelu wyceny aktywów kapitałowych w polskich realiach, Ekonomista, nr 4. Markowski L. [2009], Warunkowe relacje między współczynnikami beta a stopami zwrotu określone modelem CAPM na przykładzie GPW w Warszawie, Prace i Materiały Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego, nr 4/2. Martynowska A. [2006], Analiza ryzyka sektorowego na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w latach 998 2006, Prace i Materiały Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego, nr 3, Gdańsk. Sekuła P. [2004], Test Modelu Wyceny Aktywów Kapitałowych (CAPM) w warunkach polskiego rynku kapitałowego, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, nr 042, t. 2, Wrocław. Urbański S. [20], Cross-section Changes of Rates of Return on the Shares Traded on the Warsaw Stock Exchange, Ekonomista, nr 5. Welfe A. [998], Ekonometria. Metody i ich zastosowanie, PWE, Warszawa.
258 Janusz Żarnowski, Joanna Rutkowska Rates of Return on Portfolios Sorted on CAPM s Beta Coefficient Based on Stocks Quoted on the Warsaw Stock Exchange in 998 200 The paper presents an analysis of the correlation between the rates of return on portfolios and their beta coefficient as a basis for the formation of portfolios. The results, although not significant statistically, contradict the postulated positive correlation between rates of return and CAPM s beta coefficients. Also, the results indicate a negative correlation between beta coefficients for portfolios and rates of return, while portfolios with the lowest beta coefficient values are characterised by the highest level of variability. Janusz Żarnowski doktor, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, Wydział Finansów, Katedra Rynków Finansowych. Zainteresowania naukowo-badawcze: efektywność informacyjna rynku akcji, analiza fundamentalna, trading. e-mail: efzarnow@cyf-kr.edu.pl Joanna Rutkowska doktor, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, Wydział Finansów, Katedra Finansów Przedsiębiorstw. Zainteresowania naukowo-badawcze: zarządzanie finansami przedsiębiorstw, prognozowanie upadłości przedsiębiorstw. e-mail: joanna.rutkowska@uek.krakow.pl