Estymacja parametrów Wybrane zagadnienia implementacji i wykorzystania Wykład w ramach przedmiotu Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji
Plan wykładu Potrzeba estymacji parametrów Estymacja jako etap procesu identyfikacji systemu Estymacja gradientowa Niekrzepka Krzepka Estymacja metodą najmniejszych kwadratów Wsadowa Z przesuwnym oknem Rekursywna (iteracyjna) Z współczynnikiem zapominania
Implementacja w Matlabie/Simulinku Mplik Mplik+Simulink Implementacja w języku C Implementacja w PLC (język ST)
Przykładowa parametryzacja dla modelu ARMA
Estymacja gradientowa Dzielenie przez zero, szum pomiarowy może uniemożliwiad wyznaczenie thety
Algorytm gradientowy
Metoda największego spadku (steepest descent)
M. Gaussa-Seidela
Regresja liniowa metoda najmniejszych kwadratów Popularna metoda statystyczna Można ją odnaleźd w pracach Gaussa (1777 1855) przy wyznaczaniu orbit planet Wykorzystywana do wyznaczania nieznanych wielkości na podstawie znanych wielkości (oraz wiedzy o strukturze zależności między nimi) Użyteczna w wielu zastosowaniach: opracowaniu wyników pomiarów, modelowaniu, pośrednio sterowaniu
Jak na podstawie pomiarów y(t) otrzymad theta?
Wektor N x 1 Macierz N x n
Metoda najmniejszych kwadratów
Postad rekurencyjna ze wsp. zapominania
Dryf parametrów Zjawisko dryftu parametrów może wystąpid, gdy zastosowana zostaje klasyczna metoda estymacji parametrów (np. gradientowa lub najmniejszych kwadratów) dla obiektu posiadającego błędy modelowania nie będące białym szumem. Efektem dryftu parametrów jest to, że estymaty parametrów modeli zmierzają do nieskooczoności przy utrzymywaniu niewielkiego błędu modelowania. Otrzymanie nieograniczonych estymat parametrów uniemożliwia otrzymanie poprawnego sterowania. Istotne jest to, że efekt ten pojawia się nawet w obliczu bardzo korzystnego błędu modelowania addytywnego zakłócenia, które zanika.
Dryf parametrów
Dryf parametrów
Estymacja krzepka błąd modelowania jest ograniczony
Model parametryczny T y( t) t ( ) y(t) Wielkośd mierzona, najczęściej wyjściowa T (t) Wektor znanych wielkości (regresor, zmienne regresji) Wektor nieznanych (wyznaczanych, estymowanych parametrów)
Realizacja w Matlabie Matlab M plik
Matlab RLS z FF
u = sign(randn(50,1)); % input e = 0.2*randn(50,1); % noise th0 = idpoly([1-1.5 0.7],[0 1 0.5],[1-1 0.2]); % a low order idpoly model opt = simoptions('addnoise',true,'noisedata',e); y = sim(th0,u,opt); z = iddata(y,u); plot(z) % analysis data object thm1 = roe(z,[2 2 1],'ff',0.98);
ROE Computes estimates recursively for an output error model. [THM,YHAT] = ROE(Z,NN,adm,adg) z : An IDDATA object or the output-input data matrix z = [y u]. The routine is for single input, single output data only. NN : NN = [nb nf nk], The orders and delay of an output error input-output model (see also OE). adm: Adaptation mechanism. adg: Adaptation gain adm='ff', adg=lam: Forgetting factor algorithm, with forgetting factor lam adm='kf', adg=r1: The Kalman filter algorithm with R1 as covariance matrix of the parameter changes per time step adm='ng', adg=gam: A normalized gradient algorithm, with gain gam adm='ug', adg=gam: An unnormalized gradient algorithm with gain gam THM: The resulting estimates. Row k contains the estimates "in alphabetic order" corresponding to data up to time k (row k in Z) YHAT: The predicted values of the outputs. Row k corresponds to time k. Initial value of parameters(th0) and of "P-matrix" (P0) can be given by [THM,YHAT,P] = ROE(Z,NN,adm,adg,TH0,P0) Initial and last values of auxiliary data vectors phi and psi are obtained by [THM,YHAT,P,phi,psi] = ROE(Z,NN,adm,adg,TH0,P0,phi0,psi0).
Metoda ruchomego okna dyskusja Układy niestacjonarne Parametry zmienne w czasie Stała liczba danych brana pod uwagę
Bibliografia Ioannou P., Sun J. (1996) Robust Adaptive Control, PTR Prentice Hall Soderstrom T., Stoica P. (1997) Identyfikacja systemów, Wydawnictwo Naukowe PWN Janiszowski K. (2002) Identyfikacja modeli parametrycznych, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Gang T. (2003) Adaptive Control Design and Analysis Wiley-Interscience, A John Wiley & Sons Inc. Publication
Bibliografia cd. Astrom K., Wittenmark B. (1995) Adaptive Control Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company Niederlioski A., Mościoski J, Ogonowski Z. (1995) Regulacja adaptacyjna, Wydawnictwo Naukowe PWN