Ekonometria wiczenia 10 / 11 / 12: Badania operacyjne Programowanie liniowe / Typy zada«optymalizacyjnych / Analiza pooptymalizacyjna / SOLVER Karolina Konopczak Katedra Ekonomii Stosowanej
Plan wicze«badania operacyjne Zadania programowania liniowego Analiza pooptymalizacyjna
Plan wicze«badania operacyjne Zadania programowania liniowego Analiza pooptymalizacyjna
Badania operacyjne - denicja Badania operacyjne (operations research, OR): zastosowanie metod matematycznych w celu znalezienia rozwi zania problemu decyzyjnego, tj. okre±lenia najlepszej decyzji spo±ród wszystkich mo»liwych pocz tki: XIX w. (Charles Babbage) rozwój: II woja ±wiatowa st d nazwa: operacyjne dotycz ce operacji wojskowych
Badania operacyjne - zakres zaj rozdziaªy: 11, 12, 13 zagadnienia: sformuªowanie problemu decyzyjnego w postaci zadania programowania matematycznego problemy decyzyjne w zakresie: produkcji, diety, protfela inwestycyjnego, harmonogramu, transportu, przydziaªu, mieszanki, rozkroju rozwi zanie zadania programowania liniowego z u»yciem dodatku SOLVER w programie Excel rozwi zanie zadania programowania liniowego z dwiema zmiennymi decyzyjnymi metod graczn badanie wra»liwo±ci (stabilno±ci) decyzji optymalnej na zmian parametrów zadania
Sformuªowanie zadania programowania matematycznego 1. Zdeniowanie zmiennych decyzyjnych. 2. Zdeniowanie funkcji celu i kryterium optymalizacji (minimalizacja lub maksymalizacja). 3. Zdeniowanie warunków ograniczaj cych.
Rozwi zanie zadania programowania matematycznego rozwi zanie zadania znalezienie decyzji optymalnej minimalizacja/maksymalizacja funkcji celu przy zadanych warunkach ograniczaj cych
Plan wicze«badania operacyjne Zadania programowania liniowego Analiza pooptymalizacyjna
Problem planu produkcji Cukiernia Markiza specjalizuje si w produkcji dwóch rodzajów ciast tortu i ciasta czekoladowego. Zysk z kilograma pierwszego ciasta wynosi 2,5 zª, za± z drugiego 3,5 zª. Do produkcji wykorzystuje si wod, m k, cukier i kakao. Woda wyst puje w nieograniczonych ilo±ciach i jest bezpªatna. Zasoby trzech pozostaªych skªadników s ograniczone. Miesi czne zapasy wynosz odpowiednio: 18 kg, 15 kg i 6 kg. Do produkcji 1 kg tortu zu»ywane jest 1,2 kg m ki, 1,5 kg cukru i 0,3 kg kakao, za± ciasta czekoladowego odpowiednio: 1,5 kg, 1 kg, 0,4 kg. Kierownictwu zale»y na jak najwy»szym zysku. Jaki plan produkcji powinni przyj, bior c pod uwag fakt, i» zwi zani s umow z lokaln restauracj na dostaw 5 kg tortu miesi cznie.
Problem diety Aby ±niadanie byªo peªnowarto±ciowe powinno dostarczy dziecku przynajmniej 1 jedn. witaminy B1, 4 jedn. witaminy D, 400 kalorii. Dziecko chce je± wyª cznie mleko i ciasto. 100 ml mleka kosztuje 3,8 zª i dostarcza 0,1 jedn. witaminy B1, 1 jedn. witaminy D oraz 100 kalorii. 100 g ciasta kosztuje 4,2 zª i dostarcza 0,25 jedn. witaminy B1, 0,25 jedn. witaminy D i 120 kalorii. Jaki zestaw ±niadaniowy b dzie odpowiedni dla dziecka i satysfakcjonuj cy dla oszcz dnych rodziców?
Problem portfela inwestycyjnego Fundusz powierniczy chce zainwestowa 20 mld zª. Doradca inwestycyjny funduszu oszacowaª oczekiwane stopy zwrotu oraz ryzyko dla 5 mo»liwych inwestycji. Jak zainwestowa posiadany kapitaª, aby zmaksymalizowa oczekiwany zysk pod warunkiem,»e ±redni wska¹nik ryzyka nie mo»e przekroczy 0,05, a ª czna warto± inwestycji w akcje nie mo»e przekroczy 3 mld zª. Zakªadamy niezale»no± stóp zwrotu z poszczególnych inwestycji. Rodzaj inwestycji Oczekiwana stopa zwrotu Ryzyko Nieruchomo±ci 0,16 0,05 Obligacje rmy ubezpieczeniowej 0,15 0,04 Akcje A 0,25 0,30 Obligacje skarbowe 0,12 0,00 Akcje B 0,20 0,10
Problem harmonogramu (1) Urz d pocztowy dy»uruje przez caª dob, za± ka»dy zatrudniony pracownik w ci gu doby pracuje bez przerwy 8 godzin, zaczynaj c prac o jednej z nast puj cych godzin: 0:00, 4:00, 8:00, 12:00, 16:00, 20:00. Z powodu ró»nej w ró»nych porach doby liczby klientów, minimalna liczba osób niezb dnych do funkcjonowania urz du jest zmienna: Pora dnia Minimalna liczba pracowników 0:00-4:00 3 4:00-8:00 4 8:00-12:00 8 12:00-16:00 4 16:00-20:00 10 20:00-24:00 4 Jak liczb pracowników nale»aªoby minimalnie zatrudni,»eby zapewni funkcjonowanie urz du?
Problem harmonogramu (2) Jak zmieniªby si model, gdyby jako kryterium przyj minimalizacj ª cznego uposa»enia pracowników: 1. przyjmuj c,»e wysoko± pensji nie zale»y od pory dnia, na któr przypadaj godziny pracy 2. przyjmuj c,»e wynagrodzenie za o±miogodzinny czas pracy w zale»no±ci od godziny rozpocz cia zmiany ksztaªtuj si nast puj co: Pora dnia Wynagrodzenie 0:00-4:00 400 4:00-8:00 300 8:00-12:00 200 12:00-16:00 200 16:00-20:00 300 20:00-24:00 400
Zadanie transportowe niezbilansowane (1) Hurtownia posiada w kraju trzy oddziaªy terenowe, w których znajduje si 72, 46 oraz 60 ton m ki. M k t nale»y rozwie¹ do trzech odbiorców zgªaszaj cych zapotrzebowanie w wysoko±ci 27, 50 i 47 ton. Jednostkowe koszty transportu (w tys. zª/ton ) mi dzy hurtowniami a odbiorcami podano w tabeli. Hurtownia Odbiorca 1 2 3 1 33 20 21 2 45 15 35 3 26 25 22 Ustali plan dostaw, z którym zwi zany byªby minimalny koszt transportu.
Zadanie transportowe niezbilansowane (2) Jak uwzgl dni» dania, aby: 1. odbiorca drugi nie otrzymaª m ki z drugiej hurtowni 2. z pierwszej hurtowni wywie¹ caªy zapas m ki 3. z pierwszej hurtowni wywie¹ co najmniej 60 ton maki 4. odbiorca pierwszy dostaª m k tylko z pierwszej hurtowni
Problem przydziaªu W zakªadzie jubilerskim zatrudniaj cym trzech pracowników mo»na wytwarza cztery rodzaje pier±cionków. Tygodniowa wydajno± pracowników mierzona liczba pier±cionków, które mo»e dana osoba wykona, dana jest macierz : W = 3 3 1 4 1 4 2 3 2 2 2 4 Pier±cionki s sprzedawane po cenach odpowiednio 20, 15, 25 i 10 tys. zª. Wªa±ciciel zakªadu chciaªby przydzieli zadania swoim pracownikom, aby ka»dy z nich wytwarzaª jeden, inny ni» pozostali, rodzaj pier±cionków i by tygodniowa warto± produkcji byªa mo»liwie najwi ksza.
Problem mieszanki Raneria produkuje 2 gatunki benzyny: zwykª (Z) i wysookoktanow (W), mieszaj c w tym celu trzy skªadniki: S1, S2, S3. Cena 1 tony benzyny Z wynosi 0,5 jp., za± benzyny W - 0,54 jp. Ceny poszczególnych skªadników (w jp. za ton ), ich zapasy (w tonach) oraz skªad benzyny obu typów jest nast puj cy: Skªadniki Cena Zasób Benzyna Z Benzyna W S1 0,25 5000 Co najwy»ej 30% Co najmniej 25% S2 0,30 10000 Co najmniej 40% Co najwy»ej 40% S3 0,42 10000 Co najwy»ej 20% Co najmniej 30% Wywi zanie si z kontraktów podpisanych z odbiorcami wymaga produkcji co najmniej 10000 ton benzyny Z. Jaki plan produkcji benzyny pozwoliªby na maksymalizacj zysku ranerii.
Problem rozkroju W tartaku produkowane s meble do samodzielnego zªo»enia. Ka»dy zestaw skªada si z 2 elementów o dªugo±ci 0,7m, 3 elementów o dªugo±ci 1,5m oraz 1 elementu o dªugo±ci 2,5m. Elementy wycinane s w tartaku z desek o dªugo±ci 3m. Do tartaku przyjechaªa wªa±nie dostawa 2000 desek. 1. W jaki sposób nale»y poci deski, aby liczba zestawów mebli do skªadania byªa jak najwi ksza. 2. W jaki sposób poci deski, aby zrealizowa zamówienie na 600 zestawów i zmarnowa mo»liwie maªo surowca. Podpowied¹: Na pocz tku trzeba ustali mo»liwe sposoby poci cia pojedynczej deski (chodzi o takie sposoby, aby z pozostaªej cz ±ci deski nie daªo si wykroi»adnego elementu).
Plan wicze«badania operacyjne Zadania programowania liniowego Analiza pooptymalizacyjna
Analiza pooptymalizacyjna Badanie wra»liwo±ci (stabilno±ci) decyzji optymalnej na zmian parametrów zadania optymalizacyjnego wspóªczynnika funkcji celu np. zmiana jednostkowej ceny lub jednostkowego zysku z produkowanych dóbr wyrazu wolnego w warunku ograniczaj cym np. zmiana zapasów danego czynnika produkcji liczby warunków ograniczaj cych np. podpisanie umowy na dostaw okre±lonej ilo±ci jednego z produktów liczby zmiennych decyzyjnych np. wprowadzenie nowego produktu do oferty wspóªczynnika przy zmiennej decyzyjnej w warunku ograniczaj cym np. zmiana technologii produkcji przy pozostaªych parametrach niezmienionych.
Zmiana wspóªczynnika funkcji celu przykªad: zmiana ceny rynkowej (i tym samym jednostkowego zysku z) tortu przy wszystkich pozostaªych parametrach (tj. cenie ciasta, kosztach produkcji, zasobach skªadników, technologii) niezmienionych zmiana wspóªczynników funkcji celu > zmiana nachylenia warstwicy funkcji celu, które determinuje to, który wierzchoªek jest rozwi zaniem optymalnym szukamy przedziaªu stabilno±ci dla danego wspóªczynnika funkcji celu pytanie: dla jakich warto±ci wspóªczynnika funkcji celu decyzja optymalna jest stabilna przy niezmienionych pozostaªych parametrach zadania?
Zmiana wyrazu wolnego w warunku ograniczaj cym (1) przykªad: cz ± z posiadanych przez cukierni zapasów ulegªa zepsuciu przy pozostaªych warunkach niezmienionych zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczaj cego > równolegªe przesuni cie prostej warunku w gór lub w dóª, co mo»e zmieni zbiór rozwi za«dopuszczalnych je±li dany warunek nie jest w optimum napi ty, zmiana wyrazu wolnego mo»e nie mie wpªywu na zbiór rozwi za«dopuszczalnych je±li dany warunek jest w optimum napi ty, zmiana wyrazu wolnego zawsze wywoªa zmian decyzji optymalnej st d w tym przypadku badamy nie tyle stabilno± decyzji optymalnej, ile stabilno± barier dla decyzji optymalnej, czyli czy po zmianie zasobu warunki pozostan napi te
Zmiana wyrazu wolnego w warunku ograniczaj cym (2) struktura bazowa rozwi zania optymalnego > zbiór warunków deniuj cych dane rozwi zanie optymalne (wi» cych) st d badamy, czy struktura bazowa rozwi zania optymalnego nie ulegnie zmianie po zmianie danego zasobu szukamy przedziaªu stabilno±ci struktury bazowej rozwi zania optymalnego pytanie: dla jakich warto±ci wyrazu wolnego warunku ograniczaj cego zbiór warunków napi ty w wyj±ciowym rozwi zaniu optymalnym jest stabilny? dla warunku lu¹nego > nie tylko zachowanie struktury bazowej, ale równie» samego rozwi zania
Cena dualna cena dualna > przyrost/spadek warto±ci funkcji celu wywoªany jednostkowym przyrostem/spadkiem wyrazu wolnego danego warunku pod warunkiem, ze zmiana nie wykracza poza przedziaª stabilno±ci dla warunku lu¹nego cena dualna = 0